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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2 CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4 TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR SEGUNDO SEMESTRE DE 2002 20 de janeiro de 2002 1aQuesta˜o - 2,0 2aQuesta˜o - 3,0 3aQuesta˜o - 2,0 4aQuesta˜o - 3,0 Total - 10,0 Nome leg´ıvel – GABARITO Nu´mero de matr´ıcula – Turma – Identidade – Assinatura – Observac¸a˜o : o gabarito conte´m apenas os passos principais das resoluc¸o˜es. As resoluc¸o˜es em prova devem ser completas e conter todos os ca´lculos 1a Questa˜o: (2,0 pts) Determine a soluc¸a˜o de 9uxx = utt, t > 0, x ∈ R,u(x, 0) = ex, x ∈ R,ut(x, 0) = x, x ∈ R. Resoluc¸a˜o : a = 3. Pela fo´rmula de D’Alembert, u(x, t) = 1 2 (ex+3t+ex−3t)+ 1 6 ∫ x+3t x−3t s ds = 1 2 (ex+3t + ex−3t) + xt . 1 2a Questa˜o: Seja f a func¸a˜o dada por f(x) = { 0, −1 ≤ x < 0, x, 0 ≤ x < 1, e perio´dica de per´ıodo 2. a) (1, 0 pt) Calcule a se´rie de Fourier de f . b) (1, 0 pt) Determine os pontos x em que a se´rie de Fourier de f na˜o converge para f(x), caso haja algum. Determine o valor da soma da se´rie em cada um desses pontos. c) (1,0 pt) Calcule o valor de ∞∑ k=1 1 (2k − 1)2 . Resoluc¸a˜o : L = 1; a0 = ∫ 1 −1 f(x) dx = ∫ 1 0 x dx = 1 2 ; an = ∫ 1 −1 f(x) cos(npix) dx =∫ 1 0 x cos(npix) dx = cos(npi)−1 n2pi2 ; bn = ∫ 1 −1 f(x) sen (npix) dx = ∫ 1 0 x sen (npix) dx = − cos(npi) npi . A se´rie de Fourier de f e´ portanto 1 4 + ∞∑ n=1 (cos(npi)− 1) n2pi2 cos(npix)− cos(npi) npi sen (npix) . A se´rie na˜o converge para f(x) nos pontos em que f e´ descont´ınua, ou seja, no conjunto dos inteiros ı´mpares {±1,±3,±5, . . . } . Nestes pontos a se´rie converge para a me´dia dos limites laterais de f , que e´ 0+1 2 = 1 2 . Fazendo x = 0 na se´rie obtemos 1 4 −∑∞k=1 2(2k−1)2pi2 . Esta soma deve ser igual a f(0) = 0, logo ∞∑ k=1 1 (2k − 1)2 = pi2 8 . 3a Questa˜o: (2,0 pts) Uma barra meta´lica com 50 unidades de comprimento tem sua extremidade esquerda mantida a` temperatura fixa de 0oC e sua extremidade direita mantida a` tem- peratura fixa de 10oC. A distribuic¸a˜o inicial de temperatura na barra e´ dada pela func¸a˜o f(x) = sen (pix 25 ) + x 5 . Sabendo que que a temperatura u(x, t) da barra e´ governada pela equac¸a˜o uxx = ut, encontre u(x, t). Determine tambe´m a soluc¸a˜o de equil´ıbrio ou esta- ciona´ria. Dica: na˜o e´ necessa´rio resolver integrais neste pro-blema. Resoluc¸a˜o : L = 50. As temperaturas nas extremidades sa˜o T1 = 0 e T2 = 10. A func¸a˜o linear unindo os pontos (0, 0) e (50, 10) e´ x 5 . A func¸a˜o auxiliar w(x, t) = u(x, t)− x 5 satisfaz wxx = wt, w(0, t) = w(50, t) = 0 e w(x, 0) = sen ( pix 25 ). Pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, w e´ dada por uma se´rie da forma ∑∞ n=1 bn sen ( npix 50 ) exp(−n2pi2t 502 ). Fazendo- se t = 0, obtemos sen (pix 25 ) = ∑∞ n=1 bn sen ( npix 50 ). Comparando os termos vemos que b1 = 0, b2 = 1 e bn = 0 para n ≥ 3. Logo w(x, t) = sen (pix25 ) exp(−4pi 2t 502 ), e portanto u(x, t) = sen ( pix 25 ) exp(−4pi 2t 502 ) + x 5 . A soluc¸a˜o estaciona´ria e´ obtida tomando-se o limite quando t→∞, o que fornece x 5 . 4a Questa˜o: (3,0 pts) Determine a soluc¸a˜o de 4uxx = utt, t > 0, 0 < x < 10, ux(0, t) = ux(10, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 10, ut(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ 10. Resoluc¸a˜o : L = 10, a = 2. Pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, a soluc¸a˜o e´ da forma a0 2 + b0t 2 + ∑∞ n=1 cos( npix 10 )(an cos( 2npit 10 ) + bn sen ( 2npit 10 )). Fazendo t = 0 e observando as condic¸o˜es iniciais, obtemos a0 = 0, an = 0, e x = b0 2 + ∞∑ n=1 2npibn 10 cos (npix 10 ) . Os coeficientes b0 2 e 2npibn 10 devem ser portanto os coeficientes da se´rie de co-senos da func¸a˜o x no intervalo [0, 10]. Assim, b0 = 2 10 ∫ 10 0 x dx = 10, e 2npibn 10 = 2 10 ∫ 10 0 x cos(npix 10 ) dx = 20(cos(npi)−1) n2pi2 . Logo, u(x, t) = 5t+ ∞∑ n=1 100(cos(npi)− 1) n3pi3 cos (npix 10 ) sen (2npit 10 ) .
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