CÁLCULO 4 (3EE - 2003.2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
SEGUNDO SEMESTRE DE 2003 — (29–03–2004)
GABARITO DO TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 4
1a Questa˜o (4,0 pts) Sejam f(x) = x3, −1 ≤ x < 1, uma func¸a˜o perio´dica
de per´ıodo 2, e S(x) = a02 +
∞∑
n=1
(an cos(npix) + bnsen(npix)), x ∈ R a sua
se´rie de Fourier.
a) Fac¸a um gra´fico de f , no intervalo [−1, 3].
b) Calcule an, n = 1, 2, . . ..
c) Calcule S(2/3) e S(2).
d) Calcule
∞∑
n=1
b2n.
Soluc¸a˜o: (a) O gra´fico de f e´ o gra´fico abaixo:
x
y
-1 0 1 2 3
1
-1
(b) f e´ ı´mpar, logo an = 0, n = 0, 1 . . . .
(c) Pelo Teorema de Fourier, como f e´ cont´ınua em 2/3 e 2, enta˜o,
S(2/3) = f(2/3) = (2/3)3, e, S(2) = f(2) = 0.
(d) Pela Igualdade de Parseval,
∞∑
n=0
b2n =
∫ 1
−1
x6dx = 2/7.
2a Questa˜o (3,0 pts) Resolva o problema de valor inicial
uxx − utt = 0 , 0 < x < pi, t > 0
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = x , 0 ≤ x ≤ pi
u(0, t) = u(pi, t) = 0 , t ≥ 0.
Soluc¸a˜o: A soluc¸a˜o e´ dada por
u(x, t) =
∞∑
n=1
{an cos(nt)sen(nt) + bnsen(nt)sen(nx)},
onde an = 0, pois u(x, 0) = 0, e bn =
2
npi
∫ pi
0
xsen(nx)dx =
2
n2
(−1)n+1.
Portanto, a soluc¸a˜o do problema e´:
u(x, t) = 2
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
sen(nt)sen(nx).
3a Questa˜o (3,0 pts) Considere o problema de valor inicial:
(I)

uxx =
1
2ut +
3
2(u− 1) , 0 < x < pi, t > 0
u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ pi,
u(0, t) = u(pi, t) = 1 , t > 0,
onde f satisfaz f(0) = f(pi) = 1.
a) Mostre que se u = u(x, t) = 1 + v(x, t)e−3t e´ soluc¸a˜o do problema (I),
enta˜o v e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial
(II)

2vxx − vt = 0 , 0 < x < pi, t > 0,
v(x, 0) = f(x)− 1 , 0 ≤ x ≤ pi,
v(0, t) = v(pi, t) = 0 , t > 0.
b) Descreva a soluc¸a˜o do problema (II).
c) Encontre a soluc¸a˜o do problema (I), com
f(x) =
{ − 2pix+ 1 , 0 ≤ x ≤ pi2 ,
2
pi(x− pi) + 1 , pi2 ≤ x ≤ pi.
Soluc¸a˜o:
(a) Se u = 1 + ve−3t, enta˜o u − 1 = ve−3t, portanto uxx = vxxe−3t e
ut = vte
−3t − 3ve−3t.
Assim,uxx =
1
2ut +
3
2(u− 1)⇔ 2vxx = vt ⇔ 2vxx − vt = 0.
Como v = e3t(u− 1), temos:
v(0, t) = e3t(u(0, t)− 1) = e3t(1− 1) = 0,
v(pi, t) = e3t(u(pi, t)− 1) = e3t(1− 1) = 0, e,
v(x, 0) = u(x, 0)− 1 = f(x)− 1.
(b) A soluc¸a˜o de (II) e´ dada por v(x, t) =
∞∑
n=1
bne
−2n2tsen(nx), com
bn =
2
pi
∫ pi
0
(f(x)− 1)sen(nx)dx.
(c) Pelo ı´tem (a) devemos resolver o problema (II), determinando uma
func¸a˜o v(x, t), e depois tomamos u(x, t) = 1+v(x, t)e−3t. Assim, pelo ı´tem
(b), v(x, t) =
∞∑
n=1
bne
−2n2tsen(nx), com bn =
2
pi
∫ pi
0
(f(x)− 1)sen(nx)dx, ou
seja, bn = − 4
pi2
∫ pi/2
0
xsen(nx)dx+
4
pi2
∫ pi
pi/2
(x−pi)sen(nx)dx = − 8
pin2
sen(
npi
2
).
Assim, b2k = 0 e b2k−1 =
8(−1)k
pi(2k−1)2 , logo,
u(x, t) = 1 +
8e−3t
pi
∞∑
k=1
−1)k
(2k − 1)2e
−8(2k−1)2tsen((2k − 1)x).