CÁLCULO 4 (3EE - 2008.2)

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 4 - A´REA II - 2008/2
RESPOSTAS DA TERCEIRA AVALIAC¸A˜O
Observac¸a˜o: Nas questo˜es 2 e 4 na˜o e´ necessa´rio detalhar o processo de separac¸a˜o de
varia´veis.
1. (a) (1,5 pts) Se f(x) = pi − x para 0 ≤ x ≤ pi, expanda f(x) numa se´rie de cossenos.
Resposta. Estendemos f(x) para uma func¸a˜o par, 2pi-perio´dica f˜ e obtemos que a se´rie
de Fourier de f˜ (que coincide com f em [0, pi] ) e´:
pi
2
+
4
pi
∑
n impar
1
n2
cos(nx).
(b) (1,0 pt) Se h : R → R e´ a func¸a˜o determinada pela se´rie de Fourier obtida em (a)
para todo x ∈ R, desenhe o gra´fico de h para −2pi ≤ x ≤ 2pi. JUSTIFIQUE.
Resposta. Ja´ vimos em (a) que a se´rie de Fourier em questa˜o e´ obtida da extensa˜o par,
2pi-perio´dica f˜ de f ; note que como f˜ na˜o tem pontos de descontinuidade, o teorema de
Fourier garante que a se´rie de Fourier de f˜(x) converge para f˜(x) para todo x, isto e´,
temos h(x) = f˜(x). Assim, basta desenhar o gra´fico da extensa˜o f˜ em −2pi ≤ x ≤ 2pi (o
gra´fico tem a forma de um “w”).
(c) (1,0 pt) Use a se´rie calculada anteriormente para obter o valor das se´ries nume´ricas:
(i)
∞∑
k=0
1
(2k + 1)2
, (ii)
∞∑
k=0
1
(2k + 1)4
.
Resposta. Para a primeira se´rie calculamos a se´rie de Fourier acima em x = 0 e no-
tamos pelo teorema de Fourier que o seu valor e´ f˜(0) = f(0) = pi, de onde obtemos
∞∑
k=0
1
(2k + 1)2
= pi2/8. Para a segunda se´rie aplicamos a identidade de Parseval, obtendo
∞∑
k=0
1
(2k + 1)4
= pi4/96.
2. Determine a soluc¸a˜o u(x, t) do problema de conduc¸a˜o do calor
ut = uxx, 0 < x < pi, t > 0
u(0, t) = 4, u(pi, t) = 2, t > 0
u(x, 0) = −2x/pi, 0 < x < pi
seguindo os passos abaixo:
(a) (0,5 pts) Determine a temperatura de equil´ıbrio v(x). Resposta. v(x) = 4− 2
pi
x.
(b) (1,5 pts) Quais sa˜o as condic¸o˜es de contorno e de valor inicial que w = u− v satisfaz?
Resolva este problema para w. Resposta. w e´ soluc¸a˜o do problema wt = wxx, w(0, t) =
w(pi, t) = 0, w(x, 0) = −4. Obtemos w(x, t) = −16
pi
∑
n impar
1
n
e−n
2tsen (nx).
(c) (0,5 pt) Finalmente, determine a soluc¸a˜o desejada u(x, t).
Resposta. u(x, t) = 4− 2
pi
x− 16
pi
∑
n impar
1
n
e−n
2tsen (nx).
3. (2,0 pts) Uma corda de comprimento L tem suas extremidades livres para se mover
ao longo de trilhos perpendiculares a` corda, de modo que as condic¸o˜es de fronteira sa˜o
descritas por ux(0, t) = 0, ux(L, t) = 0. Aqui, u(x, t) e´ a func¸a˜o que descreve o desloca-
mento vertical da corda e satisfaz a equac¸a˜o utt = uxx. Determine todas as soluc¸o˜es da
forma u(x, t) = X(x)T (t), desenvolvendo em detalhe o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis.
Resposta. Note que aqui as condic¸o˜es de fronteira para X sa˜o X ′(0) = 0, X ′(L) = 0. As
soluc¸o˜es procuradas sa˜o u0(x, t) = c1 + c2t (correspondente ao autovalor nulo), un(x, t) =
cos(
npix
L
)(c1 cos(
npit
L
) + c2sen (
npit
L
)) (correspondentes aos autovalores da forma n2pi2/L2,
para n = 1, 2, 3 . . .)
4. (a) (1,0 pt) Determine F , G, de modo que u(x, t) = F (x+ t)+G(x− t) seja soluc¸a˜o do
problema utt = uxx (−∞ < x <∞) com as condic¸o˜es iniciais u(x, 0) = sen (4x), ut(x, 0) =
sen (2x).
Resposta. F (x) =
1
2
sen (4x)− 1
4
cos(2x), G(x) =
1
2
sen (4x) +
1
4
cos(2x).
(b) (1,0 pt) Note que a soluc¸a˜o obtida acima satisfaz u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 e portanto
pode ser vista (para 0 < x < pi) como soluc¸a˜o do problema para a corda de comprimento
pi com extremidades fixas. Use as func¸o˜es obtidas pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis
para calcular novamente a soluc¸a˜o do problema da corda finita, com as condic¸o˜es iniciais
de (a), e verifique que o resultado coincide com a resposta obtida em (a).
Resposta. Por superposic¸a˜o das soluc¸o˜es ba´sicas dadas por separac¸a˜o de varia´veis, obte-
mos a soluc¸a˜o u(x, t) = sen (4x) cos(4t) + 1
2
sen (2x)sen (2t). A soluc¸a˜o obtida em (a) e´
u(x, t) = 1
2
(sen 4(x + t) + sen 4(x − t)) − 1
4
(cos 2(x + t) − cos 2(x − t)). As identidades
trigonome´tricas ba´sicas estabelecem a igualdade destas duas expresso˜es.