CÁLCULO 4 (3EE - 2009.1)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 4
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 — (08–06–2009)
1a Questa˜o Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 4, que no intervalo (−2, 2] e´ dada por
f(x) =


x+ 1 , se −2 < x ≤ −1,
1− x2 , se −1 ≤ x ≤ 1,
x− 1 , se 1 < x ≤ 2.
a) Esboce o gra´fico de f no intervalo [−3, 5].
(1,0 pontos)
b) Se S(x) denota o valor da se´rie de Fourier de f em x, esboce o gra´fico de S no intervalo
[−3, 5].
(1,0 pontos)
c) Calcule o coeficiente a0 da expansa˜o em se´rie de Fourier da func¸a˜o f .
(1,0 pontos)
d) Usando a notac¸a˜o habitual para os coeficientes de Fourier de uma func¸a˜o, calcule a
soma da se´rie
∞∑
n=1
an.
(1,0 pontos)
Observe que na˜o e´ necessa´rio calcular os an para poder calcular a soma acima.
Soluc¸a˜o: (a) O gra´fico de f no intervalo [−3, 5] e´:
1
−1
1 2 3 4 5−1−2−3 x
y
(b) Sabemos que o valor de S(x) em cada real x e´ a me´dia dos limites laterais de f em x,
donde S(x) coincide com f(x), nos pontos onde f e´ cont´ınua, portanto o gra´fico de S(x)
e´:
1
−1
1 2 3 4 5−1−2−3 x
y
Note que f(−2) = f(2) = 1, enquanto que S(−2) = S(2) = 0
(c) Sabemos que a0 e´ dado por a0 =
1
L
∫
L
−L
f(x)dx, logo a0 =
1
2
∫ 2
−2
f(x)dx, e usando
simetrias do gra´fico para fazer menos operac¸o˜es, temos que
a0 =
1
2
∫ 1
−1
(1− x2)dx =
∫ 1
0
(1− x2)dx =
2
3
.
(d) A expansa˜o em se´rie de Fourier de f e´ dada por
S(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos(
npix
2 ) + bn sen(
npix
2 )).
Como f e´ cont´ınua em x = 0, pelo Teorema de Fourier temos que S(0) = f(0) = 1,
portanto,
1 =
a0
2
+
∞∑
n=1
an,
donde
∞∑
n=1
an = 1−
a0
2
= 1−
1
3
=
2
3
.
2a Questa˜o Seja v(x, t) soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
a vxx − b vt + c v = 0 , (1)
com a, b, c, constantes positivas. Considere a nova func¸a˜o u(x, t) tal que
v(x, t) = eδ t u(x, t) ,
onde δ e´ uma constante na˜o-nula.
a) Encontre a equac¸a˜o diferencial satisfeita por u. (1,0 pontos)
b) Mostre que e´ poss´ıvel escolher δ tal que a equac¸a˜o para u e´ a equac¸a˜o do calor. Dessa
forma, o resolver a equac¸a˜o (1) reduz-se a resolver a equac¸a˜o do calor. (1,0 pontos)
c) Use o me´todo descrito acima para resolver o problema
vxx − vt + v = 0, 0 < x < 1, t > 0
v(0, t) = 0,
v(1, t) = 0,
v(x, 0) = 1.
(1,0 pontos)
Soluc¸a˜o: Se v(x, t) = eδtu(x, t) satisfaz a equac¸a˜o (1), como vxx(x, t) = e
δtuxx(x, t) e
vt(x, t) = e
δt (δu(x, t) + ut(x, t)), segue que
aeδtuxx(x, t)− be
δt (δu(x, t) + ut(x, t)) + ce
δtu(x, t) = 0.
Simplificando teremos auxx(x, t)−b (δu(x, t) + ut(x, t))+cu(x, t) = 0, e portanto a equac¸a˜o
diferencial satisfeita por u e´
auxx + (c− bδ)u = but.
(b) A escolha de δ = c/b claramente reduz a u´ltima equac¸a˜o a equac¸a˜o do calor,
(√
a
b
)2
uxx = ut.
(c) Neste caso, a = b = c = 1, donde δ = 1, isto e´, v(x, t) = etu(x, t), e o problema dado
se transforma em:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = e−tv(0, t) = 0,
u(1, t) = e−tv(1, t) = 0,
u(x, 0) = e−0v(x, 0) = 1.
Sabemos que a soluc¸a˜o deste u´ltimo problema e´ dado por,
u(x, t) =
∞∑
n=1
bne
−n2pi2t sen(npix), onde, bn = 2
∫ 1
0
sen(npix)dx.
Calculando a integral encontramos
bn = −
2
npi
cos(npix)
]1
0
=
2
npi
(1− cos(npi)) =
2(1− (−1)n)
npi
, n = 1, 2, . . . .
Assim, teremos que b2k = 0, e b2k−1 =
4
(2k − 1)pi
, k = 1, 2, . . . , donde
u(x, t) =
4
pi
∞∑
k=1
e−(2k−1)
2pi2t sen[(2k − 1)pix], donde a soluc¸a˜o da equac¸a˜o em v e´:
v(x, t) =
4et
pi
∞∑
k=1
e−(2k−1)
2pi2t sen[(2k − 1)pix].
3a Questa˜o Encontre func¸o˜es φ e ψ tais que
u(x, t) = φ(x+ t) + ψ(x− t)
seja soluc¸a˜o do problema
utt = uxx, −∞ < x <∞,
u(x, 0) = x,
ut(x, 0) = 1.
Escreva explicitamente a soluc¸a˜o encontrada. (3,0 pontos)
Soluc¸a˜o: Se u(x, t) = φ(x + t) + ψ(x − t) e´ soluc¸a˜o do problema dado, enta˜o temos
que ut(x, t) = φ
′(x + t) − ψ′(x − t), e portanto, φ(x) + ψ(x) = x, e φ′(x) − ψ′(x) = 1,
donde, integrando a segunda equac¸a˜o ou derivando a primeira, temos que φ(x) = x+ c/2
e ψ(x) = −c/2.
φ(x) = x+ c/2, ψ(x) = −c/2 e u(x, t) = φ(x+ t) + ψ(x− t) = x+ t+ c/2− c/2 = x+ t.
Uma outra maneira de proceder seria usar a soluc¸a˜o de D’Alembert,
u(x, t) =
1
2
((x+ t) + (x− t)) +
1
2
∫
x+t
x−t
dξ,
que nos da´ u(x, t) = x+ t = φ(x+ t) + ψ(x− t), com φ(x) = x e ψ(x) = 0.