CÁLCULO 4 (3EE - 2010.1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
GABARITO DO TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2010
05 de julho de 2010
1a Questa˜o: Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de perı´odo 2pi, que no intervalo [−pi,pi] e´ dada
por f (x) = x2/4.
(a) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o f ; (2,0 pt.)
(b) Esboce o gra´fico da se´rie de Fourier da func¸a˜o f , no intervalo [−pi, 3pi]; (1,0 pt.)
(c) Use (a), e o teorema de Fourier para calcular
∞
∑
n=1
(−1)n+1
n2
. (1,0 pt.)
Soluc¸a˜o: (a) De f (x) = x2/4 em x = [−pi,pi] temos a representac¸a˜o
f (x) =
a0
2
+
∞
∑
n=1
{an cos(nx) + bn sen(nx)} com

an =
1
pi
∫ pi
−pi
1
4x
2 cos(nx) dx,
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
1
4x
2 sen(nx) dx.
Para todo n ∈N temos: pela simetria par de f (x); bn ≡ 0,
an =
1
4pi
[
n2x2 − 2
n3
sen(nx) +
2 x
n2
cos(nx)
]pi
−pi
=
1
4pi
[
2pi
n2
cos(npi)− −2pi
n2
cos(−npi)
]
=
1
n2
cos(npi) =
(−1)n
n2
, e
a0 =
1
4pi
1
3
x3
∣∣∣pi
−pi
=
pi2
6
.
Logo f (x) =
pi2
12
+
∞
∑
n=1
(−1)n
n2
cos(nx).
(b) Como a func¸a˜o perio´dica f e´ contı´nua, f e sua se´rie de Fourier coincidem em todos
os pontos, donde o gra´fico de f e´ dado como abaixo.
−pi pi 2pi 3pi
pi2
4
x
y
Gra´fico da se´rie de Fourier de f , no intervalo [−pi, 3pi].
(c) Se x = 0 ⇒ 0 = pi
2
12
+
∞
∑
n=1
(−1)n
n2
= 0 ⇒ pi
2
12
=
∞
∑
n=1
(−1)n+1
n2
.
2a Questa˜o: Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para resolver o problema: (3,0 pts)
tuxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = sen(3pix), 0 ≤ x ≤ 1.
Soluc¸a˜o: Ome´todo de separac¸a˜o das varia´veis aplicado a ut = t uxx fica como segue:
1o Encontram-se soluc¸o˜es na˜o nulas da forma u(x, t) = X(x) · T(t), logo:
X(x) ·Tt(t) = t Xxx(x) ·T(t) ⇒ Tt(t)t T(t) =
Xxx(x)
X(x)
= −λ ⇒
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Tt(t) + tλT(t) = 0.
2o X(x) herda as condic¸o˜es nulas na fronteira:
{
u(0, t) = X(0) · T(t) = 0 ⇒ X(0) = 0,
u(1, t) = X(1) · T(t) = 0 ⇒ X(1) = 0.
3o Achando soluc¸o˜es na˜o nulas para X(x) e constantes λ tais que:
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
X(0) = 0, X(1) = 0;
se λ < 0, X(x) = c1e
√−λ x + c2e−
√−λ x ⇒ c1 = c2 = 0,
se λ = 0, X(x) = c1 + c2 x ⇒ c1 = c2 = 0,
se λ > 0, X(x) = c1 cos(
√
λ x) + c2 sen(
√
λ x)
X(0) = c1 cos(
√
λ 0) + c2 sen(
√
λ 0) = 0, ⇒ c1 = 0
X(1) = c2 sen(
√
λ 1) = 0,
{√
λ = npi, (n ∈N),
Xn(x) = c2n sen[npi x].
Somente temos soluc¸o˜es na˜o nulas para o conjunto de autovalores λn = n2pi2, (n ∈
N).
4to Conhecendo λn voltamos ao 1er passo para obter T(t); pelo me´todo de varia´veis
separadas:
Tt(t)+ tλnT(t) = 0 ⇒ dTT = −λnt dt ⇒ log[T] = −λn
t2
2
+ cte ⇒ Tn(t) = c e−λnt2/2.
Logo verificamos que tanto: un(x, t) = sen[npi x] · e−n2pi2t2/2, como sua combinac¸a˜o
linear,
u(x, t) =
∞
∑
n=1
cn sen[npi x] · e−n2pi2t2/2,
sa˜o soluc¸o˜es de, ut = t uxx, u(0, t) = u(1, t) ≡ 0. Faltando a condic¸a˜o
u(x, 0) = sen[3pi x] =
∞
∑
n=1
cn sen[npi x] · e−n2pi202/2 =
∞
∑
n=1
cn sen[npi x],
portanto,
cn =
1
2
∫ 1
0
sen[3pi x] sen[npi x]dx =
{
0 n 6= 3,
1 n = 3.
Finalmente temos que: u(x, t) = sen[3pi x] · e−9pi2t2/2.
3a Questa˜o: Encontre as soluc¸o˜es fundamentais(auto-func¸o˜es) para o seguinte problema: (3,0 pts)
uxx = utt, 0 ≤ x ≤ pi/2, t > 0
ux(0, t) = u(pi2 , t) = 0, t > 0
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi/2.
Soluc¸a˜o: Me´todo de separac¸a˜o das varia´veis para encontrar soluc¸o˜es da equac¸a˜o utt = uxx,
1o Encontrando soluc¸o˜es na˜o nulas da forma u(x, t) = X(x) · T(t), logo:
X(x) ·Ttt(t) = Xxx(x) ·T(t) ⇒ Ttt(t)T(t) =
Xxx(x)
X(x)
= −λ ⇒
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Ttt(t) + λT(t) = 0.
2o X(x) herda as condic¸o˜es nula na fronteira:
{
ux(0, t) = Xx(0) · T(t) = 0 ⇒ Xx(0) = 0,
u(pi2 , t) = X(
pi
2 ) · T(t) = 0 ⇒ X(pi2 ) = 0.
3o Achando soluc¸o˜es na˜o nulas para X(x) e constantes λ tais que:
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Xx(0) = 0, X(pi2 ) = 0;
se λ < 0, X(x) = c1e
√−λ x + c2e−
√−λ x ⇒ c1 = c2 = 0,
se λ = 0, X(x) = c1 + c2 x ⇒ c1 = c2 = 0,
se λ > 0, X(x) = c1 cos(
√
λ x) + c2 sin(
√
λ x)
Xx(0) = −
√
λ c1 sin(
√
λ 0) +
√
λ c2 cos(
√
λ 0) = 0, ⇒ c2 = 0
X(pi2 ) = c1 cos(
√
λ pi2 ) = 0,
{√
λ pi2 = (2n− 1)pi2 , (n ∈N)
Xn(x) = c1n cos[(2n− 1)x]
Somente temos soluc¸o˜es na˜o nulas para o conjunto de autovalores λ, λn = (2n− 1)2.
4o Conhecendo λn voltamos ao 1o passo para obter a func¸a˜o T(t):
Ttt(t) + λnT(t) = 0 ⇒ Tn(t) = an cos[
√
λn t] + bn sin[
√
λn t].
5o Forma-se o conjunto de soluc¸o˜es un(x, t) = cos[
√
λn x] ·
{
an cos[
√
λn t]+ bn sin[
√
λn t]
}
,
como
ut(x, 0) = 0 ⇒ {un}t(x, 0) = cos[(2n− 1) x] · {−
√
λnan · 0+
√
λnbn · 1} ⇒ bn ≡ 0.
Finalmente temos o conjunto soluc¸a˜o ,
un(x, t) = bn cos[(2n− 1) x] · cos[(2n− 1) t], (n = 1, 2, 3, . . . )