CÁLCULO 4 (3EE - 2012.1)

Prévia do material em texto

1. (a) (1,5 pts) Calcule a serie de senos de f(x) - x (0 -
Fourier, calcule 0 valor da serie em fun - d - < ,x < 11), ando 0 eorema de
(
"') , gao ex, n eQ:Ulllt caso' (') 0 < ")
x = 'if, III 'if < X < 2'if , Justifique, ' x <;-: -
~b) (0,75 pt) Calcule a serie de cossenos de f(x) = x2 (0 < X -) .
mtegre termo a termo a serie obtida (,), al ul < }. . egw.ndo a ug ~·ao:
pela definigao, em a. c ceo termo co tante da erie para ?
(c) (1,5 pts) Com 0 auxilio de (a) e (b), calcule 0 yalor d ' ,.,.
(i) 1- ~ ~_ ~ ," sen 10 sen 15 en') aB egumtes senes: JU tifique,
3+ 5 7+, ,,, (11) sen 5- -- +-- - ----=:Q + ' ("') 1 1 1 12 3 4 "" III +-+- --24 34 -!-1 ,,'.
'00
(;( J~ cLo- fo~e>-- de. f er do.. p'-vnC(. ~ 6~ Sl2¥\.~ /
oY0e.- b r11" '1l' "'~ ,
n": '~J f~1 (~')(Id"~ ~l J X -S:Qv-\en,,) d X . .-:::.
_iT
~
fO..~<tnclo U = )( dv::. ~C. \,\",)d oj) .... 2.. (' 0 (,...I" , S.1f
~co duo:;d)( y_ -c.pb,l -:- ·-X(D)·llX) 'r ~0)
~~ - t"'\ 11 hi)\) Y'I
__ ,s. ( .-'1fL-.>(Y\lt) -+ ~(n:",)\lT) ~ ~CU1{Y\1f) ~ -,1:. (-t)"rI.
'"1t V'\. r\i: v h n..
'~O'Q thr I
CL ~ Jh r~~ ck SCx) ~p>JCA\tu 2..-.z' t~ $en
~::::-l
V~o '~'UYrC ck f"ovWeA. c txJ[ut. ~k ~ e fCx) ~'"'
~~J dJL C\~Y'~~~ X r ~ W:t)!J....-ft~ hut) ,~~
dll.D OrA-tA.t'Mi~ek. ( x::. + 1\ , -t.3 if,·~") ~
C.:) SR- 0< " <:11, k"",,,", ~ ("')~ :ft<) =X; (.;<) J-e )(.~If k•.•..
~~r~;~ =' 0; Ll<l) s-e tr<l( <'2:<1, fix) = )(-2i1
l\ _ ..L •..~ ~ { >' cf-t.. 0 <. )( <:. if
Q.;~~ 0 \fCXU1.UQ ~ -t.. 0 K )(::.Tf
'>< _ '2:lr J:R- 11 <)( <.. '2..1(
!~0 votlA\P~ ~ ~O-:<JL- K=1\ ~ ()fO{,-~\v ~-k-.~
o";'\-;) ) ~ ~c'b )(';;1\ nc ~~€C> d&--~ ~ t-c."...; .e
~. ~'V<'\~ l' P.Ak ~~ p()...-$L, 0<-< <"iT r ~1""""]I::IP~ fle>.-<h_c0(\'''''eb ~,iA<>~""'''\:s.../ ~.;v-.
w\o ~ ~ 0') <s-l~<J> CA~
(:UVV)~l:t
'-..:> 0- 0-d-Q......yy\'\1 r0
(0< )(<If)
2. (1,5 pts) (A questao 1 sera util aqui.) Use 0 metodo de Fourier para resolver 0
PVIF abaixo para a corda vibrante com extremidades fixas. Nao e necessario discutir
separagao de variaveis nest a questao; a partir da forma da solugao geral como superposigao
de harmonicos, argumente em detalhe impondo as condig6es iniciais - nao use formulas
memorizadas para calcular os coeficientes.
{
Utt = c2uxx
u(O, t) = u(1r, t) = 0
u(x,O) = 0; Ut(x,O) = x
(0 < x < 1r, t > 0),
(t > 0),
(O<x<1r).
Sc..b QI'V\()) ~ a.
C>O
Ul'JCl \:.\:: L
3. (a) (1,5 pts) Desenvolva em detalhe 0 metodo de separagao de variaveis para determinar
todas as possfveis fungoes Un da forma un(x, t) = F(x)G(t) que satisfagam
(b) (1,5 pts) Considere uma barra de comprimento L e constante de difusibilidade K cuja
extremidade esquerda esta isolada termicamente e cuja extremidade direita esta mantida
a temperatura 2, isto e, ux(O, t) = 0, u(L, t) = 2. Se a temperatura inicial na posigao x e
dada por u(x, 0) = 2+4cos(;f)+cose;t), determine a distribuigao de temperatura u(x, t)
(Sugestao: determine a temperatura de equilibrio v e considere 0 PVIF que w = u - v
satisfaz.) Use a sua formula para verificar se limt-+oou(x, t) eo valor esperado fisicamente.
Q +ei'Y"\~~-UAQ ~ ~h.~ 0&)
0~Qa-- \)*.:: k 1S)l)( ~••."' (y\ lex)::: 0; U-{(o)= ...DCL)-=O
, d )(~ ~M/otx")=CXt; ~o tr XI~C~) C~O
V-(~)~ d. ~o :; ~ 7)
GM~ lJ ~ C. ~~Q.> C1/V"O' ~ 1<. cr~ ~
~Q...JCx W:= 0..-U . \-€VYI J:> I~ ~ ~x I )(Co,. t).:: /"
(p~ Lv,'((Q,-\:') ~ U')CCa,.t.) - 0 ::. 0-0-;0." 'w \:::- '-,
~ 'tv (~, b) '= U(~I 0) lS-('l<):: CC(i~1+- CD~(3~ )
iNo-hL r-- U4~2±) Cn~l/3.5, ... ) rRPc)-~~~
~~ <:>.~ W*c K\lVX.K' V-.JX(o... ,CtJY'<'.o v,'.siv.....en-- La)
S~ ~ \tv C><, to) ~ 4 etk:·f<t~) 4 e- ~ tu,l3~) «
~. ~~'V'.·6, 'UlX, t It-J&,-h) ;:: ~ -+ \!Vex, i.)
---rQYV'l U) .~ w [><1-L) :::..0 b-L..... n. I ~,. i) _ 'J
-t~ ()C:) ./ <l~ )to ~ VLVC-, ~ - ~ C'SrY1D
B'O<:> /
~~ (8e- YV?'v k5. ~ ~ ealU\. ~~ ~~~\V~
CA.. ~h-ewv-~ ~k k\A...L ~ +eu-.~'\Q..lu.--s.. ~~ (?V'\ 2 ...
~~Vl'\0) ~ o-~ ~l> \:e~~~~~~ ~VV"~do.- 0...
bO/WL ~ :2 ')
4. Nos itens (independentes) abaixo, voce pode assumir a forma geral das solu<;oes
u(x, t)/u(r, 8) da equa<;aoda onda/Laplace, mas argumente em detalhe a partir da!.
(a) (1~5pts) Resolva 0 problema da corda infinita Utt = 4uxx, u(x,O) = 3e-x2, Ut(x, 0) =
4xe-X • Use a solu<;aopara fazer urn desenho animado do movimento da corda: desenhe
o formato da corda em varios instan es, digamos t = -10, t = -5, t = 0, t = 5 e t = 10.
(b) (0,75 pt) Se u(r,8) e a temperatura de equilfbrio em urn disco D com condi<;aode
fronteira f(8), mostre que 0 valor de uno cen 1'0 do disco e igual ao valor medio de f(8).
4~ 1~~1
\.
'/.:2'0
I.
3
(\:= 3) '-
Q~\Q) ~~-