Prova com Gab 3ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR. PRIMEIRO SEMESTRE DE 2013
16 de Setembro de 2013
Nome:
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: Seja f : [0, 2pi)→ R, tal que; f(x) =
{
epie−x se x ∈ [0, pi],
e−piex se x ∈ [pi, 2pi).
Encontre uma se´rie de Fourier 2pi-per´ıodica. (3,0 pt.)
Resposta: Tomando a se´rie da forma
∞∑
n=−∞
cn e
2piinx/L com cn =
1
L
∫ L
0
f(x) e−2piinx/Ldx.
cn =
1
2pi
∫ pi
0
epie−x e−inx dx+
1
2pi
∫ 2pi
pi
e−piex e−inx dx =
epi
2pi
e−x−inx
−1− in
∣∣∣∣pi
0
+
e−pi
2pi
ex−inx
1− in
∣∣∣∣2pi
pi
=
epi
2pi
[
e−pi−inpi − e0]
−1− in +
e−pi
2pi
[
e2pi−in2pi − epi−inpi]
1− in =
1
2pi
[e−inpi − epi]
−1− in +
1
2pi
[epi − e−inpi]
1− in
=
1
2pi
[epi − (−1)n]
1 + in
+
1
2pi
[epi − (−1)n]
1− in =
epi − (−1)n
pi [1 + n2]
.
Veja que: e−inpi = einpi = (−1)n e e−in2pi = 1.
Assim quando x ∈ [0, pi), f(x) =
∞∑
n=−∞
epi − (−1)n
pi [1 + n2]
einx =
epi
pi
+ 2
∞∑
n=1
epi − (−1)n
pi [1 + n2]
cos(nx)
Quem usar a se´rie de Fourier trigonome´trica, deve usar as integrais dadas ao final da prova.
2a Questa˜o: Resolver, pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, o seguinte problema.
3φxx = φt, 0 < x < pi, 0 < t;
φ(0, t) = 0, φ(pi, t) = 0, φ(x, 0) = sin(2x) + 3 sin(5x).
(a) O processo para chegar ao problema de valores de contorno (Problema de Sturm Liouville). (1,0 pts)
(b) O processo para encontrar os autovalores e as autofunc¸o˜es do Problema de Sturm Liouville. (1,0 pts)
(c) Formular um conjunto de soluc¸o˜es base que satisfac¸a a EDP e as condic¸o˜es no contorno. (1,0 pts)
(d) Formular a soluc¸a˜o do problema. (1,0 pts)
Resposta:
(a) Encontremos soluc¸o˜es da forma, φ(x, t) = X(x) · T (t),
X(x)·Tt(t) = 3 Xxx(x)·T (t) ⇒ Tt(t)
3T (t)
=
Xxx(x)
X(x)
= −λ ⇒
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Tt(t) + 3λT (t) = 0.
Aqui λ = cte, o que no´s leva a duas EDO, uma para X(x) e outra para T (t).
X(x) herda as condic¸o˜es nula na fronteira, de aqui temos o Problema de Sturm Liouville
φ(0, t) = X(0) · T (t) = 0 ⇒ X(0) = 0,
φ(pi, t) = X(pi) · T (t) = 0 ⇒ X(pi) = 0. ⇒
[
Xxx(x) + λX(x) = 0,
X(0) = 0, X(pi) = 0.
]
(b) Como λ e´ desconhecida, temos treˆs poss´ıveis tipos de soluc¸o˜es para X(x)
se λ < 0, X(x) = c1e
√−λ x + c2e−
√−λ x
X(0) = c1e
√−λ 0 + c2e−
√−λ 0 = 0 ⇒ c2 = −c1
X(pi) = c1
(
e
√−λ pi − e−
√−λ pi) = 0 ⇒ c1 = 0, X(x) ≡ 0,
se λ = 0, X(x) = c1 + c2 x
X(0) = c1 + c2 0 = 0, ⇒ c1 = 0
X(pi) = c1 + c2 pi = 0, ⇒ c2 = 0, X(x) ≡ 0,
se λ > 0, X(x) = c1 cos(
√
λ x) + c2 sin(
√
λ x)
X(0) = c1 cos(
√
λ 0) + c2 sin(
√
λ 0) = 0, ⇒ c1 = 0,
X(pi) = c2 sin(
√
λ pi) = 0, ⇒
[
λn = n
2, (n = 1, 2, . . . )
Xn(x) = c2 sin
(
nx
)
.
]
(c) Conhecidos os valores de λ; Tt(t) + 3n
2 T (t) = 0 ⇒ Tn(t) = c3n e−3n2t.
E o conjunto de soluc¸o˜es sera´ dado por: φn(x, t) = an sin(nx) e
−3n2t, (n = 1, 2, . . . ).
(d) A soluc¸a˜o geral apresenta a forma:
φ(x, t) =
∞∑
n=1
bn sin(nx) e
−3n2 t ⇒ φ(x, 0) =
∞∑
n=1
bn sin(nx) e
0 = sin(2x) + 3 sin(5x)
que pelo Teorema de Fourier
bn =
2
pi
∫ pi
0
[
sin(2x)+3 sin(5x)
]
sin(nx) dx =
2
pi
∫ pi
0
sin(2x) sin(nx) dx+
2
pi
∫ pi
0
3 sin(5x) sin(nx) dx
Das integrais dadas ao final da prova vemos que b2 = 1, b5 = 3 e bn = 0 para qualquer outro n.
De aqui a soluc¸a˜o sera´
φ(x, t) = sin(2x) e−12 t + 3 sin(5x) e−75 t.
3a Questa˜o: Expor o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis do seguinte problema.
φxx − 2φx = φtt, 0 < x < 1, 0 < t;
φ(0, t) = 0, φx(1, t) + φ(1, t) = 0,
φ(x, 0) = x, φt(x, 0) = 0.
(a) Formular o Problema de Sturm Liouville (sem resolver). (1,0 pts)
(b) Obter uma relac¸a˜o impl´ıcita para os λn e chegar a formular a forma geral do problema. Para
isto considere os λn conhecidos (sem calcular). (1,0 pts)
Dica: Analize apenas as soluc¸o˜es em seno e cosseno do problema em X(x).
Resposta: Como indicado, φ(x, t) = X(x) · T (t)
(a) Xxx(x) ·T (t)−2Xx(x) ·T (t) = X(x) ·Ttt(t) ⇒ Xxx(x)− 2Xx(x)
X(x)
=
Ttt(t)
T (t)
= −λ.
De aqui
{
Xxx(x)− 2Xx(x) + λX(x) = 0,
X(0) = 0, Xx(1) = −X(1).
Ttt(t) + λT (t) = 0
Pois X(x) herda as condic¸o˜es na fronteira.
(b) Veja que k = 1±√1− λ sa˜o ra´ızes do polinoˆmio carater´ıstico para o problema em X(x),
X(x) = c1e
x cos(
√
λ− 1x) + c2ex sin(
√
λ− 1x),
X(0) = 0, ⇒ X(x) = c2ex sin(
√
λ− 1x);
Xx(1) = −X(1) ⇒ cos(
√
λ− 1) = 0 ⇒ λn = 1 + 14(2n− 1)2pi2.
As soluc¸o˜es para a parte temporal sa˜o dadas como: T (t) = an cos(
√
λn t) + bn sin(
√
λn t)
Para finalmente ter o formato da soluc¸a˜o geral como:
φ(x, t) =
∞∑
n=1
ex sin(
√
λn − 1x)
[
an cos(
√
λn t) + bn sin(
√
λn t)
]
4a Questa˜o: Dado o problema a seguir, encontre a forma da onda que viaja a` direita transcurridos 3
unidades do tempo a partir do momento no qual a corda infinita na˜o apresenta deformac¸a˜o, (2,0 pts)
0,25φxx = φtt, (t > 0); φ(x, 0) = 0, φt(x, 0) = x e
−x2 .
Resposta: A soluc¸a˜o deste probelma e´ dado por D’Lambert. Sa˜o duas ondas (perturbac¸a˜o
do estado de equilibrio) uma viajando a` esquerda e outra a direita ambas com velocidade de
deslocamento de 0,5; isto e´, φ(x, t) = F (x+ 0,5 t) +G(x− 0,5 t). Das condic¸o˜es iniciais
φ(x, 0) = 0 F (x) +G(x) = 0
φt(x, 0) = x e
−x2 0,5F ′(x)− 0,5G ′(x) = x e−x2 ⇒ F (x)−G(x) =
∫
2x e−x
2
dx
Integrando temos o sistema?
F (x) +G(x) = 0,
F (x)−G(x) = −e−x2 + c ⇒
F (x) = −12 e
−x2 + c2 ,
G(x) = 12 e
−x2 − c2 .
De aqui a soluc¸a˜o do problema: φ(x, t) = −12 e−(x+0,5 t)
2
+ 12 e
−(x−0,5 t)2 .
E forma da onda requerida: G(x, 3) = 12 e
−(x−1,5)2
Notas: O exame vale 11 pts. Notas entre 10 e 11, vai 10 no SIGA. As restantes sa˜o mantidas.∫ l
0
sin
(npix
l
)
sin
(mpix
l
)
dx =
l δm,n
2
,
∫
ebx cos(ax) dx =
aebx sin(ax) + bebx cos(ax)
a2 + b2
,∫ l
0
cos
(npix
l
)
cos
(mpix
l
)
dx =
l δm,n
2
,
∫
ebx sin(ax) dx =
bebx sin(ax)− aebx cos(ax)
a2 + b2
,
BOA PROVA!!!