CÁLCULO 4 (3EE - 2013.1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2013
GABARITO - TURMAS Q3 e Q6
As resoluc¸o˜es conte´m apenas os passos principais.
1a Questa˜o: Considere a func¸a˜o dada no intervalo [0, 5] por x2− 5x, e estendida de forma ı´mpar
e perio´dica com per´ıodo 10. Encontre sua se´rie de Fourier. Fac¸a x = 5/2 para
determinar o valor da soma
∞∑
p=0
(−1)p
(2p+ 1)3
= 1− 1
33
+
1
53
− 1
73
+ . . .
Aplique a identidade de Parseval ao exemplo acima para calcular a soma da se´rie
abaixo, com k escolhido apropriadamente.
∞∑
n impar
1
nk
Resoluc¸a˜o: Como a extensa˜o e´ ı´mpar, temos a0 = 0 e an = 0 para todo n.
bn =
2
5
∫ 5
0
(x2 − 5x) sen(npix
5
) dx =
4× 52(cos(npi)− 1)
n3pi3
=
{
0, n par
− 200
n3pi3
, n impar
A se´rie de Fourier pedida e´
S(x) = −200
pi3
∞∑
n impar
sen(npix
5
)
n3
Como S(5/2) = −25/4, obtemos
−25
4
= −200
pi3
∞∑
n impar
sen(npi
2
)
n3
de onde obtemos
1− 1
33
+
1
53
− 1
73
+ · · · = pi
3
32
Um dos lados da identidade de Parseval sera´
2
5
∫ 5
0
(x2 − 5x)2 dx = 125
3
Obtemos
125
3
=
∞∑
n=1
b2n =
2002
pi6
∞∑
n impar
1
n6
Logo,
∞∑
n impar
1
n6
=
pi6
26 × 3× 5
2a Questa˜o: Uma barra meta´lica com laterais isoladas termicamente tem suas extremidades man-
tidas a temperaturas fixadas em 0◦C (extremidade esquerda) e 25◦C (extremidade
direita). A barra tem cinco cent´ımetros de comprimento e sua constante de di-
fusividade te´rmica e´ 1cm2/s. A distribic¸a˜o inicial de temperatura e´ descrita pela
func¸a˜o x2. Determine a distribuic¸a˜o de temperatura no instante t e a distribuic¸a˜o
de equil´ıbrio (estado estaciona´rio).
Resoluc¸a˜o: A func¸a˜o afim que vale 0 quando x = 0 e 25 quando x = 5 e´ 5x. Por-
tanto, sendo u(x, t) a distribuic¸a˜o de temperatura na barra, consideramos a func¸a˜o
auxiliar v(x, t) = u(x, t) − 5x, que satisfaz as condic¸o˜es de contorno homogeˆneas
v(0, t) = 0 = v(5, t), para t > 0. Observando que α2 = 1 e L = 5, v(x, t) tera´ o
formato
v(x, t) =
∞∑
n=1
bn sen
(npix
5
)
exp
(
− n
2pi2t
25
)
A condic¸a˜o inicial satisfeita por v(x, t) sera´ v(x, 0) = u(x, 0)− 5x = x2 − 5x. Logo,
no intervalo [0, 5],
x2 − 5x =
∞∑
n=1
bn sen
(npix
5
)
Ou seja, o lado direito corresponde a` se´rie de senos para x2− 5x com L = 5, que foi
calculada na questa˜o anterior. Como u(x, t) = 5x+ v(x, t), obtemos
u(x, t) = 5x− 200
pi3
∞∑
n impar
sen
(
npix
5
)
n3
exp
(
− n
2pi2t
25
)
A distribuic¸a˜o de equil´ıbrio sera´
lim
t→∞
u(x, t) = 5x
3a Questa˜o: Uma corda ela´stica realiza um movimento ondulato´rio cuja velocidade de propac¸a˜o
e´ igual a 10m/s. Suas extremidades esta˜o livres para movimentar-se na direc¸a˜o
vertical, e separadas horizontalmente por (pi/2)m. A corda esta´ inicialmente na
posic¸a˜o horizontal a altura zero, e sua velocidade inicial e´ descrita pela func¸a˜o
1 + cos(2x)− 3 cos(10x). Determine a posic¸a˜o da corda u(x, t).
Resoluc¸a˜o: Como a = 10 e L = pi/2, u(x, t) tera´ o formato
u(x, t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(2nx) cos(20nt) +
b0t
2
+
∞∑
n=1
bn cos(2nx) sen(20nt)
A posic¸a˜o inicial da corda e´ descrita por u(x, 0) ≡ 0. Substituindo na expressa˜o
acima, obtemos a0 = 0 e an = 0 para todo n. Derivando com relac¸a˜o a t, obtemos
ut(x, t) =
b0
2
+
∞∑
n=1
(20nbn) cos(2nx) cos(20nt)
Fazendo t = 0 e comparando com a velocidade inicial dada,
1 + cos(2x)− 3 cos(10x) = b0
2
+
∞∑
n=1
(20nbn) cos(2nx)
Da´ı, obtemos b0/2 = 1, 20b1 = 1, 100b5 = −3, e bn = 0 para os outros valores de n.
Conclu´ımos que
u(x, t) = t+
cos(2x) sen(20t)
20
− 3 cos(10x) sen(100t)
100