Ap. Protendido

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2139 - CONCRETO PROTENDIDO 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO PROTENDIDO 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Maio/2015 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina Concreto 
Protendido, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual 
Paulista – UNESP, Campus de Bauru/SP. 
O texto apresentado está de acordo com as prescrições contidas na norma NBR 
6118/2014 (“Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”), para o projeto e 
dimensionamento de elementos em Concreto Armado e Protendido. 
A apostila apresenta o estudo inicial de temas de Concreto Protendido. A bibliografia 
indicada deve ser consultada para aprofundar o aprendizado, bem como os textos apresentados 
na página da disciplina na internet: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_protendido.htm 
 
O autor agradece a Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
1. PROTENSÃO NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO .................................................... 1 
2. EXEMPLOS DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS .......................................................... 1 
3. CONCRETO PROTENDIDO X CONCRETO ARMADO .............................................. 3 
3.1 EXEMPLO ......................................................................................................................... 4 
4. BREVE HISTÓRICO DO CONCRETO PROTENDIDO ................................................ 9 
5. FABRICAÇÃO DE PEÇAS PROTENDIDAS ................................................................... 9 
5.1 ARMADURA DE PROTENSÃO PRÉ-TRACIONADA .................................................. 9 
5.2 ARMADURA DE PROTENSÃO PÓS-TRACIONADA ................................................ 11 
6. MATERIAIS ........................................................................................................................ 13 
6.1 CONCRETO ..................................................................................................................... 14 
6.2 AÇO DE ARMADURA ATIVA ...................................................................................... 14 
6.2.1 Apresentação .............................................................................................................. 14 
6.2.2 Quanto ao tratamento ................................................................................................. 15 
6.2.3 Normas brasileiras ...................................................................................................... 15 
6.2.4 Exemplos de designação ............................................................................................ 15 
6.2.5 Massa Específica, Coeficiente de Dilatação Térmica e Módulo de Elasticidade ...... 17 
6.2.6 Acondicionamento ..................................................................................................... 17 
6.2.7 Diagrama tensão-deformação ..................................................................................... 18 
6.3 BAINHAS ........................................................................................................................ 19 
6.4 CALDA DE CIMENTO ................................................................................................... 20 
6.5 ANCORAGENS ............................................................................................................... 21 
7. VALORES-LIMITES DE TENSÃO POR OCASIÃO DA OPERAÇÃO DE 
PROTENSÃO NA ARMADURA .............................................................................................. 27 
8. VALORES REPRESENTATIVOS DA FORÇA DE PROTENSÃO ............................. 28 
8.1 FORÇA DE PROTENSÃO Pi NA ARMADURA ........................................................... 30 
8.2 FORÇA DE PROTENSÃO Pa .......................................................................................... 30 
8.3 FORÇA DE PROTENSÃO Po NA ARMADURA/CONCRETO .................................... 30 
8.4 FORÇA DE PROTENSÃO Pt NA ARMADURA/CONCRETO .................................... 30 
9. PERDAS DE PROTENSÃO .............................................................................................. 31 
9.1 ESCORREGAMENTO DOS FIOS NA ANCORAGEM EM PISTA DE PROTENSÃO
 31 
9.2 RELAXAÇÃO INICIAL DA ARMADURA NA PRÉ-TRAÇÃO .................................. 31 
9.3 RETRAÇÃO INICIAL DO CONCRETO EM PISTA DE PROTENSÃO...................... 32 
9.4 VARIAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO DE Pi A Pa............................................... 33 
9.5 DETERMINAÇÃO DA FORÇA Po NA PRÉ-TRAÇÃO ................................................ 33 
9.6 DETERMINAÇÃO DE Po NA PÓS-TRAÇÃO............................................................... 36 
9.7 PERDA POR ATRITO NA PÓS-TRAÇÃO .................................................................... 37 
9.8 PERDAS NA ANCORAGEM NA PÓS-TRAÇÃO......................................................... 41 
9.9 PERDA DE PROTENSÃO NA PÓS-TRAÇÃO POR DEFORMAÇÃO IMEDIATA DO 
CONCRETO PELO ESTIRAMENTO DOS CABOS RESTANTES ...................................... 43 
9.10 RETRAÇÃO E FLUÊNCIA INICIAL DO CONCRETO NA PÓS-TRAÇÃO .............. 44 
9.11 DETERMINAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO FINAL.......................................... 44 
9.12 PERDA DE PROTENSÃO POR RETRAÇÃO DO CONCRETO .................................. 44 
9.13 VALOR DA RETRAÇÃO ............................................................................................... 45 
9.14 PERDA DE PROTENSÃO POR FLUÊNCIA DO CONCRETO ................................... 46 
9.14.1 Anexo A – Fluência do Concreto (A.2.2) .................................................................. 46 
9.15 PERDAS PROGRESSIVAS ............................................................................................ 48 
9.15.1 Processo Simplificado para o Caso de Fases Únicas de Operação (Item 9.6.3.4.2) .. 48 
9.15.2 Processo Aproximado do Item 9.6.3.4.3 .................................................................... 49 
9.15.3 Método Geral de Cálculo ........................................................................................... 50 
10. CRITÉRIOS DE PROJETO .............................................................................................. 50 
10.1 Estado-Limite Último (ELU) ............................................................................................ 50 
10.2 Estado-Limite de Serviço (ELS) ....................................................................................... 50 
11. AÇÕES A CONSIDERAR NOS ESTADOS-LIMITES DE SERVIÇO ........................ 52 
11.1 COMBINAÇÕES DE SERVIÇO ..................................................................................... 52 
11.2 NÍVEIS DE PROTENSÃO .............................................................................................. 52 
12. ESTIMATIVA DA FORÇA DE PROTENSÃO P∞∞∞∞ ......................................................... 53 
12.1 Protensão Completa .......................................................................................................... 53 
12.2 Protensão Limitada ........................................................................................................... 55 
12.3 Protensão Parcial .............................................................................................................. 55 
13. DETERMINAÇÃODA FORÇA Pi ................................................................................... 55 
14. VERIFICAÇÃO DE TENSÕES NORMAIS NA SEÇÃO DE CONCRETO MAIS 
SOLICITADA PELO CARREGAMENTO EXTERNO......................................................... 56 
15. VERIFICAÇÃO DE TENSÕES NORMAIS AO LONGO DO VÃO ............................ 56 
15.1 PROCESSO DAS CURVAS LIMITES ........................................................................... 57 
15.1.1 Limitações de Tensões para o Estado em Vazio ........................................................ 57 
15.1.2 Limitações de Tensões para o Estado em Serviço ..................................................... 58 
15.1.3 Curvas Limites para as Tensões Devidas à Protensão ............................................... 58 
15.1.4 Exemplo de Curvas Limites ....................................................................................... 59 
15.2 PROCESSO DO FUSO LIMITE ..................................................................................... 60 
15.2.1 Estado em Vazio ........................................................................................................ 60 
15.2.2 Estado em Serviço ...................................................................................................... 62 
15.2.3 Traçado do Fuso Limite ............................................................................................. 63 
16. ANÁLISE DA RESISTÊNCIA ÚLTIMA À FLEXÃO (ELU) ....................................... 64 
16.1 TIPOS DE RUPTURA POR FLEXÃO ............................................................................ 65 
16.2 PRÉ-ALONGAMENTO................................................................................................... 66 
16.3 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR ÚLTIMO ............................................. 68 
16.3.1 Seção Retangular ........................................................................................................ 68 
16.3.2 SEÇÃO T ................................................................................................................... 69 
16.3.3 ROTEIRO PARA CÁLCULO DE Mu ....................................................................... 71 
16.4 EXEMPLOS DE CÁLCULO DE Mud ............................................................................. 71 
17. ANÁLISE DO ESTADO-LIMITE ÚLTIMO RELATIVO À FORÇA CORTANTE .. 88 
17.1 EFEITOS DA FORÇA CORTANTE ............................................................................... 88 
17.2 EFEITO DA COMPONENTE TANGENCIAL DA FORÇA DE PROTENSÃO ........... 89 
17.3 VERIFICAÇÃO DO ESTADO-LIMITE ÚLTIMO (ELU) ............................................. 90 
17.3.1 Modelo de Cálculo I ................................................................................................... 90 
17.3.2 Modelo de Cálculo II ................................................................................................. 92 
18. QUESTIONÁRIO ............................................................................................................... 92 
19. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP (Bauru/SP) – 2139 – Concreto Protendido 
 
Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
1
1. PROTENSÃO NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
O concreto é um material resistente às tensões de compressão, mas sua resistência à tração 
varia de 8 a 15 % da resistência à compressão. 
Sob flexão, o concreto desenvolve fissuras, ainda em estágios iniciais de carregamento, e 
para reduzir ou impedir tais fissuras, uma força de compressão concêntrica ou excêntrica pode ser 
imposta na direção longitudinal do elemento, que age eliminando ou reduzindo as tensões de 
tração nas seções críticas do meio do vão e dos apoios, elevando a capacidade das seções à flexão, 
à força cortante e à torção. As seções podem atuar elasticamente e a capacidade “total” do 
concreto à compressão pode ser eficientemente utilizada, em toda a altura da seção, a todas as 
ações aplicadas. 
 
Estudo complementar: ler Hanai (2002), item 1.2 – A protensão aplicada ao concreto, p.3 a 
11. 
 
Definição: uma peça é considerada de Concreto Protendido quando é submetida à ação de 
forças especiais e permanentemente aplicadas, chamadas forças de protensão, e quando a peça é 
submetida à ação simultânea dessas forças, das cargas permanentes e variáveis, o concreto não 
seja solicitado à tração ou só o seja dentro dos limites permitidos. 
Exemplo (Figura 1), onde M é o momento fletor solicitante e P a força de protensão: 
 
P PAp
Viga
σt,m
+
-
σc,m
σc,p
+
-
σt,p
+ =
-
σc
M+PP M
0
 
Figura 1 – Tensões normais numa viga protendida. 
 
 Na fibra inferior de uma viga protendida, sob momento fletor positivo, pode resultar 
tensão nula, tensão de compressão ou de tração. 
 
Atividade complementar: ler em Hanai (2002): “Os dez mandamentos do engenheiro de 
C.P.”, p.i, ii, e o item 1.1 – O que se entende por protensão? (p.1 a 3). 
 
2. EXEMPLOS DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS 
 
 
Na Figura 2 até a Figura 7 são mostrados exemplos de estruturas em Concreto Protendido. 
 
 
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2
 
Figura 2 – Ponte em Concreto Protendido (CP) em Vitória/ES. 
 
 
 
 
Figura 3 – Laje alveolar pré-moldada em CP. 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Pavimento de edifício em laje nervurada protendida. 
 
 
 
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3
 
 
Figura 5 - Pavimentos de edifício em laje maciça protendida. 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Lajes pré-moldadas protendidas. 
 
 
 
Figura 7 – Seção duplo T em Concreto Protendido pré-moldado. 
 
3. CONCRETO PROTENDIDO X CONCRETO ARMADO 
 
1. Concreto Protendido utiliza concretos e aços de alta resistência (aços até 2100 MPa e 
concretos até 85 MPa); 
2. Em Concreto Protendido toda a seção transversal resiste às tensões; 
3. Devido aos itens 1 e 2, elementos de Concreto Protendido são mais leves, mais esbeltos e 
esteticamente mais bonitos; 
4. Concreto Protendido fica livre de fissuras, com todas as vantagens daí provenientes; 
5. Concreto Protendido apresenta melhor controle de flechas; 
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4
6. Concreto Protendido tem melhor resistência às forças cortantes (devido à inclinação dos 
cabos próximos aos apoios e a pré-compressão que reduz as tensões de tração diagonais); 
7. O aço é pré-testado durante o estiramento. 
 
Estudo complementar: “Concreto Protendido”, catálogo da empresa Rudloff. 
 
3.1 EXEMPLO 
 
Laje simplesmente apoiada, h = 30,5 cm, d = ds = 25,4 cm, fcd = 34,5 MPa, fp,ef = 1.104 
MPa, fyd = 435 MPa, fc,máx = 13,8 MPa (tensão máxima à compressão permitida no concreto), L = 
9,14 m, γconcr = 16,76 kN/m3 (concreto leve), q = 5,11 kN/m2 (ação variável). 
 A laje será calculada tomando-se uma faixa igual à sua altura (b = 30,5 cm - Figura 8), ao 
invés de um metro, de modo que as quantidades de armadura que serão calculadas são relativas à 
largura b da faixa. 
30
,
5
30,5cm
=
 
25
,
4
d s
 
Figura 8 – Dimensões (cm) da seção transversal da laje. 
 
Momento fletor da carga permanente (Mg) na faixa b = 30,5 cm: 
 
 gpp = 16,76 . 0,305 . 0,305 = 1,56 kN/m 
 
 
28,16
8
14,9.56,1M
2
g == kN.m = 1.628 kN.cm 
 
 Tensões normais no topo e na base da seção (não fissurada): 
 
345,0
5,30.5,30
1628.6
bh
M6
22
g ±=±=±=σ kN/cm2 = ± 3,45 MPa 
 
Momento fletor da carga variável (Mq) na faixa b = 30,5 cm: 
 
q = 5,11. 0,305 = 1,56 kN/m 
 
== gq MM 1.628 kN.cm 
 
São apresentados a seguir diversos casos possíveis para o dimensionamento da laje. 
 
1) Laje não-armada 
 
A tensão final máxima de 6,9 MPa, de compressão na borda superior e de tração na borda 
inferior, é menor que a tensão máxima de compressão permitida (fc,máx = 13,8 MPa), porém, é 
maior que a resistência à tração na flexão máxima do concreto (módulo de ruptura), o que faz a 
laje fissurar e romper. 
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5
+
-
3,45
+
3,45
+
-
3,45
=
3,45
+
-
6,9
6,9
Μg Μq
 
Figura 9 – Tensões normais (MPa) nas bordas da laje sem armaduras, 
devidas aos carregamentos permanente e variável. 
 
2) Laje em Concreto Armado (ELU) 
0,
8x
0,85 fcd
Rcc
Rst
εcd
εsd
d 
-
 
0,
4xLN
x
 
Figura 10 – Laje em Concreto Armado no Estado Limite Último (ELU). 
 
Md = 1,4 (Mg + Mq) 
 
Md = 1,4 (1628 + 1628) = 4.558 kN.cm 
 
Md = 0,68bw x fcd (d – 0,4x) 
 
4558 = 0,68 . 30,5 . x . 3,45 (25,4 – 0,4x) 
 
x
2
 – 63,5x + 159,25 = 0 
 
x = 2,62 cm ⇒ dom. 2 (x2lim = 0,26d = 0,26 . 25,4 = 6,6 cm) 
 
( )x4,0d
MA
sd
d
s
−σ
= = ( ) 30,462,2.4,04,255,43
4558
=
−
cm2 
 
3) Laje em Concreto Protendido: protensão axial 
 
Assumindo que nenhuma tensão de tração é permitida. 
 
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6
+
-
3,45
6,93,45
-
+
-
=
3,45
3,45
+
13,8
0
-
PP CG
(P)
6,9
Μg Μq
Μg( ) Μq( )
+ ++
 
Figura 11 – Tensões normais (MPa) na laje com protensão axial. 
 
Para resultar tensão final nula na face inferior da laje é necessário impor uma tensão de 
compressão, proporcionada por uma força de protensão, de tal modo que: 
 
− σP (base) = σg (base) + σq (base) = 3,45 + 3,45 = 6,9 MPa 
 
Força de protensão: 
 
P = σP . Ac = (− 0,69) 30,5 . 30,5 = − 641,9 kN ≈ − 64 tf 
 
Área da armadura de protensão: 
 
81,5
4,110
9,641
f
PA
ef,p
p === cm
2
 
 
A força de protensão (P) aumentou a tensão de compressão na borda superior para 13,8 
MPa, igual à tensão máxima permitida (fc,máx = 13,8 MPa). Uma posição mais conveniente para a 
força de protensão pode diminuir esta tensão resultante. 
 
4) Laje em Concreto Protendido: protensão excêntrica 
 
Assumindo a força de protensão no limite do núcleo central de inércia (h/6 para seção 
retangular). 
Considerando que a tensão na face inferior da laje deve ser nula, a força de protensão 
deverá causar uma tensão de compressão de 6,9 MPa na face inferior. A força de protensão, 
portanto, deve ser: 
 
( ) 9,320
2
5,30.69,0
2
A
P
2
cbasep
−=
−
=
σ
= kN 
 
Área da armadura de protensão: 
 
91,2
4,110
9,320
f
PA
ef,p
p === cm
2
 
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7
+
-
=
6,9
6,9
6,9
0
-
P
P
(P)
h
6 = 
30,5
6 = 5,08 cm
0
6,9
-
+
Μg + Μq
Μg + Μq( )
 
Figura 12 – Tensões normais (MPa) na laje com protensão excêntrica, com P posicionada no limite do 
núcleo central de inércia. 
 
 
A armadura de protensão é metade da armadura do caso anterior. O resultado mostra a 
grande importância da posição de aplicação da força de protensão. A força de protensão 
excêntrica diminuiu a tensão final na borda superior para 6,9 MPa, menor que fc,máx . 
 
5) Laje em Concreto Protendido: máxima excentricidade da força de protensão 
 
A tensão na base devida à força de protensão excêntrica é: 
 
( ) 





+=






+=σ
h
e61
A
P
6
bh
e.P
A
P
c
2
c
baseP 
=
4,6
0
-
PP
(P)
-
2,3
6,9
+
= 10,16 cmemáx 
5,09
+
-
6,9
6,9
+
Μg + Μq
Μg + Μq( )
 
Figura 13 – Tensões normais (MPa) na laje com excentricidade máxima da força de protensão. 
 
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8
Assumindo e = emáx = 10,16 cm e σP (base) = − 6,9 MPa (para resultar tensão nula na base da 
laje), a força de protensão será: 
 






+=−
5,30
16,10.61
5,30
P69,0 2 ⇒ P = − 214,1 kN 
 
Área da armadura de protensão: 
 
94,1
4,110
1,214
f
PA
ef,p
p === cm
2
 
 
A força de protensão com a máxima excentricidade causa tensão de tração na borda 
superior, combatida pela tensão de compressão da carga permanente. A maior excentricidade da 
força de protensão diminuiu a tensão final de compressão no topo da laje, comparando-se com os 
casos anteriores. 
Tensão normal na borda superior devida à força de protensão: 
 
23,0
5,30
16,10.61
5,30
1,214
2)topo(P =





−
−
 =σ kN/cm2 = 2,3 MPa (tensão de tração) 
6) Laje em Concreto Protendido: tração igual à máxima permitida 
 
Assumindo que uma tensão normal de tração de 1,46 MPa seja permitida na borda inferior 
da laje, sob a carga de serviço, a força de protensão passa a ser: 
 
( ) 





+=+−
5,30
16,10.61
5,30
P146,069,0 2 ⇒ P = − 168,8 kN 
 
Área de armadura de protensão: 
 
53,1
4,110
8,168
f
PA
ef,p
p === cm
2
 
 
A Tabela 1 apresenta um resumo dos resultados numéricos, obtidos para os casos 
analisados. 
 
Tabela 1 – Resumo dos resultados numéricos. 
Soluções p/ Laje σσσσc,máx (MPa) 
σσσσt,máx 
(MPa) 
P 
(kN) 
As ou Ap 
(cm2) 
Não-armada(*) 6,9 6,9 - - 
Concreto Armado - - - 4,30 
C.P. – protensão axial 13,8 0 641,9 5,81 
C.P. – P no limite do núcleo central 6,9 0 320,9 2,91 
C.P. – P c/ excentricidade máxima 4,6 0 214,1 1,94 
C.P. – tração na borda 5,1 1,46 168,8 1,53 
* a laje rompeu. 
 
 
Nota: ler exemplo numérico em Hanai (2002), p.11 a 17. 
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9
4. BREVE HISTÓRICO DO CONCRETO PROTENDIDO 
 
No mundo: 
 
- 1866 – primeira aplicação de protensão nos Estados Unidos, por H. Jackson; 
- 1888 – patente para lajes protendidas por Doehring – Alemanha; 
- 1919 – Wettstein – Alemanha – fabricou paineis protendidos; 
- 1928 – Freyssinet – França – apresentou o primeiro trabalho consistente sobre Concreto 
Protendido. Inventou métodos construtivos, equipamentos, aços e concretos especiais; 
- 1950 – primeira conferência, na França. Walder construiu a primeira ponte em balanços 
sucessivos. 
- 1953 – norma alemã DIN 4227. 
 
 No Brasil: 
 
- 1948 – a primeira ponte em C.P. no Rio de Janeiro, com sistema Freyssinet; 
- 1952 – Companhia Belgo-Mineira iniciou a fabricação de aço de protensão. 
 
 
5. FABRICAÇÃO DE PEÇAS PROTENDIDAS 
 
Apresentam-se a seguir as formas de fabricação de peças protendidas, considerando peças 
com pré-tração e com pós-tração. 
5.1 ARMADURA DE PROTENSÃO PRÉ-TRACIONADA 
 
É aquele em que o estiramento da armadura de protensão é feito utilizando-se apoios 
independentes da peça, antes do lançamento do concreto, sendo desfeita a vinculação da armadura 
com os apoios após ocorrido o endurecimento do concreto. A transferência da força de protensão 
da armadura para a peça ocorre devido à aderência entre o concreto e a armadura, sendo este 
sistema também chamado “concreto protendido com aderência inicial”. 
Peças de Concreto Protendido pré-tracionadas são geralmente fabricadas em “pistas de 
protensão”, para possibilitar a moldagem de um grande número de peças simultaneamente, 
geralmente idênticas. A cura úmida a vapor é comum, a fim de permitir a transferência da força de 
protensãoem até 24 horas. 
Devido à baixa idade do concreto, encurtamentos elásticos e deformação lenta tendem a 
atingir valores altos, com consequente redução do alongamento da armadura de protensão, ou 
seja, ocorre uma relativamente alta “perda de protensão”. 
 
Cilindro
hidráulico
("macaco")
Cabo
Fôrma
da peça
Pista de
protenção
Bloco de
reação
Ancoragem
passiva
 
Figura 14 – Esquema simplificado de pista de protensão, para fabricação de peças 
 protendidas com pré-tração. 
 
 
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10 
Na Figura 15 até a Figura 19 são ilustradas fábricas com pistas de protensão. 
 
 
Figura 15 – Pista de protensão em fábrica de laje alveolar. 
 
 
 
Figura 16 - Pista de protensão em fábrica de laje pré-moldada. 
 
 
 
Figura 17 - Pista de protensão em fábrica de laje pré-moldada. 
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11 
 
Figura 18 - Pista de protensão em fábrica de dormente ferroviário de concreto. 
 
 
Figura 19 - Pista de protensão em fábrica de dormente ferroviário de concreto. 
 
 
5.2 ARMADURA DE PROTENSÃO PÓS-TRACIONADA 
 
As peças fabricadas com pós-tração podem ter aderência entre a armadura de protensão e o 
concreto da peça, bem como podem também serem fabricadas sem a aderência. 
No concreto protendido pós-tracionado, o estiramento da armadura de protensão é 
realizado após o endurecimento do concreto, utilizando-se, como apoios, partes da própria peça, 
criando-se posteriormente aderência com o concreto de modo permanente. 
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12 
a) Peça concretada
duto
vazado
Ap
Ap
b) Estiramento da armadura de protenção
c) Armadura ancorada e dutos preenchidos 
com nata de cimento
 
Figura 20 – Esquema simplificado de fabricação de peça 
 protendida com pós-tração. 
Neste caso, o duto é preenchido com nata de cimento, de modo a criar aderência entre a 
armadura e o concreto, melhorando o controle da fissuração e a resistência última. 
Na Figura 21 até a Figura 23 são ilustradas a pós-tração. 
 
 
 
Figura 21 – Moldagem da peça com bainha metálica (Catálogo Rudloff). 
 
 
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13 
 
Figura 22 – Operação de estiramento da armadura de protensão, após o concreto da peça já apresentar a 
resistência à compressão necessária (Catálogo Rudloff). 
 
 
 
 
Figura 23 – Preenchimento da bainha com nata de cimento para criar aderência entre a armadura e o 
concreto da peça (Catálogo Rudloff). 
 
 
É aquele obtido como no caso anterior, mas sem se criar a aderência da armadura de 
protensão com o concreto. Geralmente usa-se a cordoalha engraxada como armadura de 
protensão. 
 
Estudo complementar: 
Ler Hanai, p.17 a 20 e fazer o item 1.6; 
Ler catálogo “Concreto Protendido” da empresa Rudloff. 
 
 
6. MATERIAIS 
 
O Concreto Protendido é composto pelos materiais concreto simples, aço de protensão 
(armadura ativa) e geralmente contém também armadura passiva (CA-25, 50 ou 60). Podem 
ocorrer também outros materiais, como dispositivos de ancoragem, bainhas metálicas, etc. 
 
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14 
6.1 CONCRETO 
 
A construção de estruturas de Concreto Protendido exige um controle de qualidade mais 
rigoroso do concreto. A resistência característica à compressão do concreto (fck) situa-se 
frequentemente na faixa entre 30 e 50 MPa, o que resulta estruturas com menor peso próprio e 
maiores vãos. No caso de peças protendidas pré-fabricadas são muitas vezes utilizados concretos 
de resistência superior a 50 MPa. 
Concretos com resistências elevadas são desejáveis porque: 
 
a) as solicitações prévias causadas pela força de protensão podem ser muito elevadas; 
b) permitem a redução das dimensões das peças, diminuindo o peso próprio, importante nos 
grandes vãos e peças pré-moldadas; 
c) possuem maiores módulos de elasticidade (Ec), o que diminui as deformações imediatas, a 
deformação lenta e a retração, ou seja, as flechas e as “perdas de protensão” são menores; 
d) geralmente são mais impermeáveis, o que é importante para diminuir a possibilidade de 
corrosão da armadura de protensão, que, por estar sob tensões muito elevadas, são mais 
suscetíveis à corrosão. 
 
A aplicação do cimento CP V ARI é muito comum, porque possibilita a aplicação da força 
de protensão num tempo menor, no caso da pós-tensão. 
Especialmente nas peças de Concreto Protendido, a cura do concreto deve ser cuidadosa, a 
fim de possibilitar a sua melhor qualidade possível. A cura térmica a vapor é frequente na 
fabricação das peças pré-fabricadas, para a produção de maior quantidade de peças. 
Exemplo: com cimento ARI e cura a vapor consegue-se, em 12 h, cerca de 70 % da 
resistência à compressão aos 28 dias de cura normal. 
No projeto das estruturas de Concreto Protendido, os seguintes parâmetros são 
importantes, e devem ser especificadas pelo projetista: 
 
a) resistências características à compressão (fckj) e à tração (fctkj), na idade j da aplicação da 
protensão e na idade de 28 dias; 
b) módulo de elasticidade do concreto na idade to (Eci(to)), quando se aplica uma ação 
permanente importante, como a força de protensão, bem como também aos 28 dias de 
idade; 
c) relação a/c do concreto. 
 
 
6.2 AÇO DE ARMADURA ATIVA 
 
Caracterizam-se pela elevada resistência e por não possuírem patamar de escoamento. A 
elevada resistência é exigida para permitir grandes alongamentos em regime elástico e para 
compensar as perdas de protensão, que podem alcançar 415 MPa. Deve apresentar também: 
ductilidade antes da ruptura, boas propriedades de aderência, baixa relaxação e boa resistência à 
fadiga e à corrosão. 
 
6.2.1 Apresentação 
 
a) fios trefilados de aço, diâmetro de 3 a 8 mm, em rolos ou bobinas; 
b) cordoalhas (fios enrolados em hélice, com 2, 3 ou 7 fios); 
c) barras de aço-liga de alta resistência, laminadas a quente, com φ ≥ 12 mm, e com 
comprimento limitado. 
 
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15 
 
 
Figura 24 – Cordoalha de sete fios engraxada e não engraxada (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
Figura 25 – Barra de aço Dywidag, com dispositivo de fixação (Catálogo Dywidag). 
 
 
6.2.2 Quanto ao tratamento 
 
a) aços de relaxação normal (RN); 
b) aços de relaxação baixa (RB): são aqueles que tem suas características elásticas 
melhoradas para reduzir as perdas de tensão por relaxação, que é cerca de 25 % da 
relaxação do aço RN. 
 
Relaxação: é a perda de tensão com o tempo em um aço estirado, sob comprimento e 
temperatura constantes. Quanto maior a tensão ou a temperatura, maior a 
relaxação do aço. 
 
6.2.3 Normas brasileiras 
 
a) NBR 7482/08: “Fios de aço para Concreto Protendido - Especificação”; 
b) NBR 7483/08: “Cordoalhas de aço para Concreto Protendido - Especificação”; 
c) NBR 7484/09: “Barras, cordoalhas e fios de aço destinados a armaduras de protensão - 
Método de ensaio de relaxação isotérmica”; 
d) NBR 6349/08: “Barras, cordoalhas e fios de aço para armaduras de protensão – Ensaio 
de tração”. 
 
6.2.4 Exemplos de designação 
 
a) CP – 175 RN: aço para Concreto Protendido, com resistência característica mínima à 
tração (fptk) de 175 kN/cm2 (1.750 MPa) e de relaxação normal; 
b) CP – 190 RB: aço para Concreto Protendido, com resistência característica mínima à 
tração (fptk) de 190 kN/cm2 (1.900 MPa) e de relaxação baixa. 
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16 
Tabela 2 – Especificação de fios (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
Tabela 3 – Especificação de cordoalhas (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
Tabela 4 – Especificação de barra Dywidag St 85/105 (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
 
 
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17 
6.2.5 Massa Específica, Coeficiente de Dilatação Térmica e Módulo de Elasticidade 
 
A NBR 6118 adota a massa específica de 7.850 kg/m3, e o coeficiente de dilatação térmica 
de 10-5/°C, para intervalos de temperatura entre - 20°C e 100°C. Para o módulo de elasticidade a 
norma permite adotar 200 GPa (200.000 MPa = 20.000 kN/cm2) para fios e cordoalhas, quando o 
valor não for obtido em ensaio ou não for fornecido pelo fabricante do aço. 
 No item 8.4.6 a norma apresenta características de ductilidade do aço e no 8.4.7 apresenta 
a resistência à fadiga. 
 
6.2.6 Acondicionamento 
 
Tabela 5 – Dados do acondicionamento dos fios (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
 
Figura 26 – Rolo de fio. 
 
 
Tabela 6 – Dados do acondicionamento das cordoalhas (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
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18 
 
Figura 27 – Rolos de cordoalhas engraxada e não engraxada (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
 
 
 
Figura 28 - Rolos de fio e cordoalha (Catálogo ArcelorMittal). 
 
 
6.2.7 Diagrama tensão-deformação 
 
A NBR 6118 (item 8.4.5) especifica que o diagrama tensão-deformação deve ser fornecido 
pelo fabricante ou obtido em ensaio realizado segundo a NBR 6349. Na falta deles a NBR 6118 
permite, nos estados-limite de serviço e último, utilizar um diagrama simplificado, para intervalos 
de temperaturas entre - 20° C e 150° C. 
 
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fpyd
σp
εpuk
fptk
α εp
εpyd
εpyk
fptd
fpyk
 
Figura 29 – Diagrama tensão-deformação simplificado indicado pela NBR 6118 para aços de protensão. 
 
tg α = Ep = módulo de elasticidade = 200 GPa para fios e cordoalhas (na falta de dados do 
fabricante e de ensaio); 
fpyk = resistência característica de escoamento convencional, correspondente à deformação 
residual de 0,2 %. 
 
“Os valores característicos da resistência ao escoamento convencional fpyk , da resistência 
à tração fptk e o alongamento após ruptura εuk das cordoalhas devem satisfazer os valores mínimos 
estabelecidos na ABNT NBR 7483. Os valores de fpyk , fptk e do alongamento após ruptura εuk dos 
fios devem atender ao que é especificado na ABNT NBR 7482.” 
 
6.3 BAINHAS 
 
São tubos dentro dos quais a armadura de protensão é colocada, utilizados em protensão 
com aderência posterior ou também sem aderência. São fabricados em aço, com espessura de 0,1 
a 0,35 mm, costurados em hélice. Para criar aderência com a armadura de protensão, as bainhas 
são preenchidas com calda de cimento. 
 
 
Figura 30 – Bainha metálica. 
 
 
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20 
 
Figura 31 – Bainha metálica. 
 
 
6.4 CALDA DE CIMENTO 
 
A calda, ou nata de cimento injetada no interior da bainha metálica, tem como função 
proporcionar a aderência entre a armadura de protensão e o concreto da peça, na pós-tração, e 
proteger a armadura contra a corrosão. Utiliza-se cerca de 36 a 44 kg de água para cada 100 kg de 
cimento. 
A norma NBR 7681 (“Calda de cimento para injeção”) fixa as condições exigidas para as 
caldas. 
 
 
Figura 32 – Equipamentos para injeção de calda de cimento. 
 
 
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21 
6.5 ANCORAGENS 
 
A forma mais simples e econômica de fixação dos fios e cordoalhas é por meio de cunhas 
e porta-cunhas. As cunhas podem ser bi ou tripartidas, e ficam alojadas em cavidades de blocos ou 
placas de aço (porta-cunha). 
No caso de armaduras pós-tracionadas, existem conjuntos de elementos, que constituem os 
chamados “sistemas de protensão”, como Freyssinet, Dywidag, VSL, BBRV, Rudloff, Tensacciai, 
etc. 
Na Figura 32 até a Figura 49 ilustram-se vários tipos de dispositivos de ancoragem. 
 
 
 
Figura 33 – Cunhas embutidas em portas-cunha para fixação de fios de protensão. 
 
 
 
 
Figura 34 – Dispositivo de ancoragem. 
 
 
 
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22 
 
 
Figura 35 - Dispositivo de ancoragem. 
 
 
 
 
Figura 36 - Dispositivo de ancoragem para cordoalha engraxada. 
 
 
 
 
Figura 37 – Dispositivos para ancoragem de cordoalha engraxada. 
 
 
 
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23 
 
Figura 38 - Ancoragem ativa de cordoalha engraxada. 
 
 
 
 
Figura 39 - Ancoragem passiva de cordoalha engraxada. 
 
 
 
 
Figura 40 - Ancoragem de cordoalha engraxada. 
 
 
 
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24 
 
Figura 41 – Operação de estiramento de cordoalha engraxada. 
 
 
 
 
Figura 42 – Cilindros hidráulicos para estiramento de cordoalha. 
 
 
 
Figura 43 – Dispositivo para ancoragem ativa (Catálogo Rudloff). 
 
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25 
 
 
Figura 44 - Dispositivo para ancoragem ativa (Catálogo Rudloff). 
 
 
 
Figura 45 - Dispositivo para ancoragem passiva (Catálogo Rudloff). 
 
 
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26 
 
Figura 46 - Dispositivo para ancoragem passiva (Catálogo Rudloff). 
 
 
 
 
Figura 47 - Dispositivo para ancoragem passiva (Catálogo Rudloff). 
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27 
 
Figura 48 - Dispositivo para emenda de armadura (Catálogo Rudloff). 
 
 
 
 
Figura 49 - Dispositivo para ancoragem de barras (Catálogo Dywidag). 
 
 
7. VALORES-LIMITES DE TENSÃO POR OCASIÃO DA OPERAÇÃO DE 
PROTENSÃO NA ARMADURA 
 (NBR 6118, item 9.6.1.2.1) 
 
A tensão na armadura de protensão deve ser verificada para diversas situações em serviço, 
a fim de evitar solicitações exageradas e deformações irreversíveis. 
Durante as operações de protensão, a tensão de tração na armadura não deve superar os 
seguintes valores-limites: 
 
a) armadura pré-tracionada 
 
Por ocasião da aplicação da força de estiramento (Pi), a tensão σpi na armadura de 
protensão na saída do aparelho de tração (cilindro hidráulico), deve respeitar os limites: 
 
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28 




≤σ
pyk
ptk
pi f90,0
f77,0
 - para aços RN 
 




≤σ
pyk
ptk
pi f85,0
f77,0
 - para aços RB 
 
b) armadura pós-tracionada 
 




≤σ
pyk
ptk
pi f87,0
f74,0
 - para aços RN 
 




≤σ
pyk
ptk
pi f82,0
f74,0
 - para aços RB 
 




≤σ
pyk
ptk
pi f88,0
f80,0
 - para cordoalhas engraxadas RB 
 
 




≤σ
pyk
ptk
pi f88,0
f72,0
 - para aços CP – 85/105 em barras 
 
Ao término da operação de protensão, a tensão σpo(x) da armadura pré ou pós-tracionada, 
decorrente da força Po(x), não deve superaros limites do item b. 
 
8. VALORES REPRESENTATIVOS DA FORÇA DE PROTENSÃO 
 
Servem de orientação na verificação de esforços solicitantes e nas fases de execução da 
protensão na obra ou na fábrica. 
As Figuras 50 e 51 ilustram os valores representativos da força de protensão, em função do 
tempo, para os casos de peças protendidas pré-tracionadas e pós-tracionadas. 
 
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29 
Es
tir
am
en
to
 
da
 
a
rm
a
du
ra
t - 2 t - 1 t0
in
íc
io
 
da
 
re
tra
çã
o
do
 
co
n
cr
et
o
ap
lic
a
çã
o
 
da
 
pr
o
te
n
çã
o
 
ao
 
co
n
cr
e
to
(tempo)
P
8
P t
Pi
∆Panc = perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem
∆Pr1 + ∆Pcs1 {∆Pr1 = perda por relaxação inicial da armadura∆Ppr1 = perda por retração inicial do concreto
∆Pe = perda por deformação inicial do concreto
∆Pr2 + ∆Pcs2 + ∆Pcc{∆Pr2 = perda por relaxação posterior da armadura∆Pcs2 = perda por retração posterior do concreto
∆Pcc = perda por fluência posterior do concreto
t
Pré-tração
P
Pa
Po
 
Figura 50 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pré-tracionada. 
 
 
 
Es
tir
am
e
n
to
 
do
 
1º
 
ca
bo
t0
(tempo)
8
Pi
t
P
8
∆P
P0
P t
{∆Pcs2 = perda por retração posterior do concreto
∆Pcc2 = perda por fluência posterior do concreto
∆Pr2 = perda por relaxação posterior da armadura
+ ∆Pcs1+ ∆Pcc1∆Pr1 {∆Pcs1 = perda por retração inicial do concreto∆Pcc1 = perda por fluência inicial do concreto
∆Pr1 = perda por relaxação inicial da armadura
∆Pe =
∆Patr + ∆Panc {∆Patr = perda por atrito ao longo da armadura
∆Panc
perda por deformação imediata do concreto
pelo estiramento dos cabos restantes
=
perda por escorregamento dos fios na
ancoragem e acomodação da ancoragem
P
∆P
0
∆P
e
estiramento
dos cabos
restantes
+ ∆Pcs2+ ∆Pcc2∆Pr2
Pós-tração
 
Figura 51 – Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pós-tracionada. 
 
 
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30 
Se os cabos (conjunto de fios ou cordoalhas para formar uma armadura de protensão) não 
forem retos, deve-se acrescentar a perda por atrito que ocorre nos desvios, à ∆Panc (perda de força 
de protensão na ancoragem). 
 
8.1 FORÇA DE PROTENSÃO Pi NA ARMADURA 
 
Pi = força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração. 
 
É a força de protensão aplicada pelos cilindros (“macacos”) hidráulicos na pista de 
protensão, antes de ser realizada a ancoragem dos fios na cabeceira da pista, no bloco de 
ancoragem. 
No caso de pós-tração, é a força máxima aplicada pelos macacos hidráulicos antes da 
ancoragem com as cunhas. 
 
8.2 FORÇA DE PROTENSÃO Pa 
 
Esta força de protensão é considerada apenas no caso da pré-tração. 
 
Pa = força na armadura de protensão no instante imediatamente anterior à sua liberação das 
ancoragens externas. 
 
É a força Pi (força no macaco hidráulico) subtraídas as perdas de protensão decorrentes do 
escorregamento dos fios (ou cordoalhas) e acomodação das ancoragens provisórias nos blocos de 
ancoragem, da relaxação do aço e da retração inicial do concreto. 
Também pode-se dizer que é a “força ancorada” imediatamente anterior à transferência da 
força de protensão para o concreto. 
 
8.3 FORÇA DE PROTENSÃO Po NA ARMADURA/CONCRETO 
 
Po(x) = força de protensão no tempo t = 0 na seção de abcissa x. 
 
É o valor inicial da força de protensão transferida ao concreto (t = 0). Na pré-tração é a 
força ancorada (Pa) diminuída da perda de protensão por deformação imediata, devido ao 
encurtamento elástico do concreto. 
Na pós-tração é a força no macaco (Pi) diminuída das perdas de protensão devidas ao atrito 
dos cabos nas bainhas, ao escorregamento dos fios (ou cordoalhas) na ancoragem e acomodação 
da ancoragem, da deformação imediata do concreto devida aos cabos restantes, da retração e 
fluência inicial do concreto e da relaxação inicial da armadura de protensão. 
Este valor corresponde ao valor da força de protensão antes das perdas progressivas 
(decorrentes do tempo) e acontece no instante imediatamente posterior à transferência da 
protensão ao concreto. 
 
8.4 FORÇA DE PROTENSÃO Pt NA ARMADURA/CONCRETO 
 
Pt(x) = força de protensão no tempo t na seção de abcissa x. 
 
Pt(x) = Po(x) − ∆Pt(x) = Pi − ∆Po(x) − ∆Pt(x) 
 
Po(x) = força de protensão na peça antes da ocorrência das perdas progressivas; 
 
∆Pt(x) = perdas de protensão progressivas (retração e fluência posterior do concreto e 
relaxação posterior da armadura). Ocorrem após a aplicação de Po . 
 
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31 
Pt é variável no tempo t em função das perdas progressivas, e tendem ao valor final da 
força de protensão (P∞(x)). 
P∞ = força de protensão final após ocorridas todas as perdas. 
 
 
9. PERDAS DE PROTENSÃO 
 
São apresentadas a seguir as metodologias aplicadas no cálculo das diversas perdas de 
protensão. 
 
9.1 ESCORREGAMENTO DOS FIOS NA ANCORAGEM EM PISTA DE PROTENSÃO 
 
Ocorre devido ao escorregamento dos fios e acomodação das cunhas nos furos portas-
cunha, da ordem de 4 a 6 mm, dependendo do tipo de armadura de protensão e da existência ou 
não de pistão de cravação de cunhas nos macacos de protensão. 
O escorregamento causa perda apenas na ancoragem ativa; na ancoragem passiva a 
acomodação/escorregamento vai sendo anulada na operação de estiramento. 
O valor da perda de protensão por escorregamento/acomodação depende em grande parte 
do comprimento da pista de protensão. 
 
Exemplo: 
 
- comprimento da pista = 120 m = 120.000 mm; 
- deformação do aço = 0,7 % = 0,007; 
- alongamento do aço = 120.000 . 0,007 = 840 mm = 84 cm; 
- escorregamento/acomodação = 6 mm; 
7,0100
840
6Panc ==∆ % 
 
que pode ser considerado desprezível, porque a pista tem grande comprimento. Se a pista tivesse 
25 m a perda de protensão seria de 3,4 %, que já não é desprezível. 
 
9.2 RELAXAÇÃO INICIAL DA ARMADURA NA PRÉ-TRAÇÃO 
 
Relaxação é a perda de tensão com o tempo em um aço estirado, sob comprimento e 
temperatura constantes. Para tensões aplicadas até 0,5fptk , a perda por relaxação é desprezível, 
mas aumenta rapidamente com maiores tensões e temperaturas. A relaxação ocorre a partir do 
instante que o aço é estirado. 
A perda de protensão por relaxação inicial da armadura é aquela que ocorre no intervalo de 
tempo entre o estiramento da armadura e a aplicação da protensão no concreto. A relaxação ocorre 
sempre, mas para cálculo de Pa considera-se apenas uma fração inicial. 
Conforme a NBR 6118 (item 9.6.3.4.5), a intensidade da relaxação do aço deve ser 
determinada pelo coeficiente ψ (t,to), calculado por: 
 
( ) ( )
pi
opr
o
t;t
t;t
σ
σ∆
=ψ 
 
( )opr t;tσ∆ = perda de tensão por relaxação pura desde o instante to do estiramento da 
armadura até o instante t considerado; 
σpi = tensão na armadura de protensão no instante de seu estiramento. 
 
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32 
As normas NBR 7482 e 7483 estabelecem valores médios para o coeficiente de relaxação 
de fios e cordoalhas, medidos após 1.000 horas à temperatura constante de 20° C (ψ1000), para 
tensões variando de 0,5 e 0,8fptk . Para efeito de projeto, os valores de ψ1000 da Tabela 7 podem ser 
adotados. 
Tabela 7 - Valores de ψ1000 (%), (NBR 6118, item 8.4.8). 
σσσσpo 
Cordoalhas Fios Barras RN RB RN RB 
0,5 fptk 0 0 0 0 0 
0,6 fptk 3,5 1,32,5 1,0 1,5 
0,7 fptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0 
0,8 fptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0 
Obs.: interpolar para valores intermediários. RN é relaxação normal e RB é relaxação baixa. 
 
Para tensões inferiores a 0,5 fptk , admite-se que não haja perda de tensão por relaxação. 
Para o tempo infinito pode-se considerar: 
 
ψ (t∞;to) ≅ 2,5 ψ1000 
 
Para valores diferentes de 1.000 horas, sempre a 20° C, as expressões são: 
 
( )
15,0
o
1000o 1000
tt
t;t 




 −ψ=ψ (t em horas) 
 
( )
15,0
o
1000o 67,41
tt
t;t 




 −ψ=ψ (t em dias) 
 
Exemplo: 
- tempo curto: entre o estiramento e a aplicação da protensão no concreto = 15 horas; 
- cordoalha RN e σpi = − 0,80 fptk 
- da Tabela 7: ψ1000 = 12,0 % 
 
( ) 4,6
1000
01512t;t
15,0
o =




 −
=ψ % 
 
Perda por relaxação: 
 
( ) ( ) ( ) ptkptkpioopr f0512,0f80,0100
4,6
t;tt;t −=−=σψ=σ∆ 
 
A perda neste caso não é desprezível, e se utilizada cura a vapor, com elevação da 
temperatura na armadura de protensão, a perda é ainda maior. 
 
9.3 RETRAÇÃO INICIAL DO CONCRETO EM PISTA DE PROTENSÃO 
 
A retração inicial do concreto leva a uma perda de tensão na armadura. No ambiente de 
fábrica (ambiente úmido), com cura iniciada logo após o adensamento, pode-se desprezar o efeito 
da retração inicial do concreto, mesmo porque o intervalo de tempo entre a concretagem e a 
transferência da protensão é pequeno. 
 
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33 
9.4 VARIAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO DE Pi A Pa 
 
Considerando cabos retos, pista longa e cura acelerada, uma estimativa é: 
 



−
−
≅∆+∆+∆=∆ → RBaço%3
RNaço%7
PPPP 1cs1rancPP ai 
 
9.5 DETERMINAÇÃO DA FORÇA Po NA PRÉ-TRAÇÃO 
 
Po = força de protensão correspondente ao instante imediatamente posterior à transferência 
da protensão à peça. 
 
Pré-tração: 
 
Po = Pa - ∆Pe 
 
Pa = força ancorada; 
∆Pe = perda da força de protensão devida à deformação imediata do concreto 
(encurtamento elástico). 
 
NBR 6118 (item 9.6.3.3.1): “A variação da força de protensão em elementos estruturais 
com pré-tração, por ocasião da aplicação da protensão ao concreto, e em razão do seu 
encurtamento, deve ser calculada em regime elástico, considerando-se a deformação da seção 
homogeneizada. O módulo de elasticidade do concreto a considerar é o correspondente à data de 
protensão, corrigido, se houver cura térmica.” 
 
Ap
Pa Pa
∆l
σcp
 
Figura 52 – Encurtamento elástico por deformação imediata do concreto, protensão axial. 
 
 
σcp = tensão no concreto ao nível da armadura de protensão. 
 
Imediatamente após a transferência da protensão para a peça, a mudança na deformação da 
armadura de protensão (∆εp), causada pelo encurtamento elástico do concreto, é igual à 
deformação do concreto (εcp) ao nível da armadura de protensão, sendo a equação de 
compatibilidade expressa por: 
 
∆εp = εcp 
 
e aplicando a Lei de Hooke: 
 
c
cp
p
P
EE
e
σ
=
σ∆
 
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34 
A perda de protensão é: 
 
cppcp
c
p
P E
E
e
σα=σ=σ∆ 
 
 αp = 
c
p
E
E
= razão modular. 
 
 
ch
a
cp A
P
=σ 
 
Ach = área da seção homogeneizada: 
 
Ac = b . h 
 
Acp = αp . Ap 
 
Ach = Ac + Acp − Ap = b . h + (αp – 1) Ap 
b
h
Ac
Ap
 
 
Por simplicidade, em seções onde a quantidade de aço não é alta, faz-se Ach = Ac . 
Após o encurtamento elástico, a força de protensão na armadura será: 
Po = Pa − ∆Pe = p
ch
a
pa AA
PP α− 
 
Se a protensão for excêntrica e atuar o peso próprio da peça, fica: 
 
+
- +
Pa Pa
ep
-
+
-
( )Pa ( )Pa
+
( )Mpp
Pa
Ach
Pa
Ih
.ep² Mpp
Ih
ep
CG
 
Figura 53 – Tensões normais na seção transversal, sob protensão excêntrica 
e com atuação do peso próprio. 
 
 
Ih = momento de inércia da seção homogeneizada. 
 
Tensão no concreto ao nível da armadura de protensão: 
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h
ppp
h
2
pa
ch
a
cp I
eM
I
eP
A
P
+−−=σ 
 
A expressão de σcp é válida quando se pode considerar a protensão aplicada numa única 
fibra. Quando a protensão ocorrer em fibras distintas, como no caso de cordoalhas em vários 
níveis, a influência de uma sobre a outra deve ser avaliada, conforme processo apresentado em 
Hanai (2002). 
 
Perda de protensão: 
 
cppPe σα=σ∆ 
 
eao PPP σ∆−σ=σ → pPoo AP σ= 
 
 
Exemplo 
 
Calcule a perda de tensão na armadura de protensão na seção 1-1, de uma viga pré-
tensionada, assumindo que, antes da transferência da protensão, a força ancorada era 
correspondente à tensão de 0,75fptk . A viga tem os seguintes dados: 
vão l = 15,2 m ; peso próprio (gpp) = 7,22 kN/m 
 
concreto C40 ; 
fck(i) = 30 MPa 
Eci = ckE f5600α , com αE = 1,0 (brita de granito ou gnaisse) 
 
Eci = 305600.0,1 = 30.672 MPa 
 
Armadura de protensão (Ap): 10 cordoalhas CP 190 RB 12,7 (φ = 12,7 mm), 
 
Ap = 10 . 0,988 = 9,88 cm2 
 
fptk = 1.900 MPa ; Ep = 196 kN/mm2 = 196.000 MPa 
 
l
2
l
2
PaPa
e p
1
1
38
76
 
cm
10
 
cm
Ap
l = 15,2 m
 
Figura 54 – Esquema da viga. 
 
 
Resolução 
 
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Razão modular: 39,6
30672
196000
E
E
ci
p
p ===α 
 
Ac = 38 . 76 = 2.888 cm2 091.390.112
76.38I
3
==
 cm4 
 
por simplicidade: Ach = Ac e Ih = I 
 
Excentricidade da armadura de protensão: 
 
2810
2
76
ep =−= cm 
 
Força de protensão ancorada (Pa): 
 
Pa = − 0,75fptk . Ap = − 0,75 . 190 . 9,88 = − 1.406 kN 
 
Momento fletor devido ao peso próprio: 
 
51,208
8
2,15.22,7M
2
pp == kN.m = 20.851 kN.cm 
 
A tensão no concreto, na fibra relativa ao CG da armadura de protensão, no instante da 
transferência da força de protensão é: 
 
h
ppp
h
2
pa
ch
a
cp I
eM
I
eP
A
P
+−−=σ = 860,0
091.390.1
28.20851
091.390.1
28.1406
2888
1406 2
−=+−− kN/cm2 
 
A perda de tensão por encurtamento elástico é: 
 
cppPe σα=σ∆ = 6,39 (−0,860) = − 5,495 kN/cm
2
 = − 54,95 MPa 
 
Em porcentagem: 
 
86,3100
1900.75,0
95,54100
a
e
P
P
==
σ
σ∆
% 
 
Força de protensão após o encurtamento elástico (Po): 
 
eao PPP σ∆−σ=σ = − 0,75 . 190 – (−5,495) = − 137,01 kN/cm
2
 
 
 pPoo AP σ= = − 137,01 . 9,88 = − 1.352,2 kN 
 
9.6 DETERMINAÇÃO DE Po NA PÓS-TRAÇÃO 
 
Parte-se de Pi (força no macaco) deduzindo-se as seguintes perdas: 
 
∆Patr = perda por atrito ao longo da armadura; 
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37 
∆Panc = perda por escorregamento/acomodação dos fios na ancoragem; 
∆Pe = perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos cabos restantes; 
∆Pr1 = perda por relaxação inicial da armadura; 
∆Pcs1 = perda por retração inicial do concreto; 
∆Pcc1 = perda por fluência inicial do concreto. 
 
9.7 PERDA POR ATRITO NA PÓS-TRAÇÃO 
(NBR 6118, item 9.6.3.3.2.2) 
 
Considere um elemento pós-tracionado com uma armadura tensionada pelo cilindro 
hidráulico na ancoragem ativa. Uma seção desta armadura, localizada a uma distância x da 
ancoragem ativa, terá uma tensão menor, devido a perdas de tensão geradas pelo atrito entre a 
armadura e o duto (bainha), bem como entre também os próprios fios ou cordoalhas. 
 
α
P i - Patr∆
Pi
Força de
atrito
 
Figura 55 – Perda por atrito ao longo da bainha no estiramento da armadura. 
 
 
Nos elementos estruturais com pós-tração, a perda por atrito pode ser determinada por: 
 
( )[ ]kxiatr e1P)x(P +αΣµ−−=∆ 
 
onde: Pi = força de protensão no “macaco” hidráulico; 
 x = abcissa do ponto onde se calcula ∆Patr , medida a partir da ancoragem, em metros; 
 Σα = soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto de abcissa x, em radianos; 
k = coeficiente de ondulação = coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas 
não intencionais do cabo. Na falta de dados experimentais, pode ser adotado o valor 
0,01µ (1/m); 
µ = coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha. Na falta de dados experimentais, 
pode ser estimado como a seguir (1/radianos): 
 
µ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); 
µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; 
µ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica; 
µ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada; 
µ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada; 
 
 A Tabela 8 apresenta os valores propostos pelo ACI 318 para k e µ. 
 
 
 
 
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38 
Tabela 8 - Valores propostos pelo ACI para k e µ. 
Tipo de armadura k (por m) µµµµ 
Armaduras em bainha flexível de 
metal: 
- fios .................................................. 
- cordoalha de 7 fios ......................... 
- barras de alta resistência ................ 
 
 
0,0033 – 0,0049 
0,0016 – 0,0066 
0,0003 – 0,0020 
 
 
0,15 – 0,25 
0,15 – 0,25 
0,08 – 0,30 
Cordoalha de 7 fios em dutos 
metálicos rígidos 0,00066 0,15 – 0,25 
Armadura engraxada: 
- fios e cordoalhas de 7 fios ............... 
 
0,0010 – 0,0066 
 
0,05 – 0,15 
 
 
Exemplo 
 
1) Qual a perda total por atrito devido à curvatura e à oscilação da bainha metálica flexível, de 
uma viga pós-tensionada armada com cordoalhas CP 190 de 7 fios. Dados: 
 
σPi = − 0,74 fptk = − 0,74 . 1900 = − 1406 MPa 
µ = 0,20 (bainha metálica com cordoalha); 
k = 0,006/m conforme valor proposto pelo ACI (Tabela 8) 
 
Pi
l = 15,2 m
28
l
2
l
2
P i - 
Patr∆
Ap= 9,87 cm²
y
x
 
Figura 56 – Esquema da viga. 
 
 
Resolução 
 
x
m2
2
x
m
2
tg ==α 
 
y2m ≅
 
 
x
y4
2
tg =α 
y
x
2
x
 
m
arco
circular
α = 8yx
α
2
α
2
 
Figura 57 – Armadura curva. 
 
e para ângulos pequenos: 
 
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39 
x
y4
2
=
α
 ⇒ 
x
y8
=α (rad) 
 
147,0
1520
28.8
==α rad 
 
Conforme a NBR 6118: 
 
( )[ ]kxiatr e1P)x(P +αΣµ−−=∆ 
 
Força de protensão no “macaco” hidráulico: 
 
Pi = σPi . Ap = − 140,6 . 9,88 = − 1.387,7 kN 
 
( )[ ] ( )[ ]1206,02,15.006,0147,0.20,0atr e17,1387e17,1387)2,15(P −+− −−=−−=∆ 
 
7,157)2,15(Patr −=∆ kN 
 
Perda percentual: 4,11100
7,1387
7,157
= % 
 
Portanto, na ancoragem passiva (extremidade direita da viga) a força de protensão na 
armadura é: 
 
0,230.1)7,157(7,1387PP atri −=−−−=∆− kN 
 
 
2) Calcular as perdas por atrito num cabo de uma viga contínua pós-tensionada, nas posições B, C 
e D. Considere: µ = 0,20 (bainha metálica com cordoalha); k = 0,002/m. 
 
9 m 9 7 7
α(A/B)
α(A/C)
A
yB = 0,47B
C
D
Eα(C/D) yD = 0,185ancoragem ativa
 
Figura 58 – Posicionamento da armadura de protensão na viga protendida. 
 
 
Resolução 
 
A perda de protensão por atrito pode ser expressa também como perda de tensão: 
 
( )kx
Pp e)x( i
+αµ−σ=σ 
 
Tensão e perda de protensão em B: 
 
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40 
104,0
2
1
18
47,0.8
2
1
x
y8)B/A( B =





=





=α rad 
 
 )9(pσ = ( )9.002,0104,0.2,0P ei
+−σ 
 
)9(pσ = iP962,0 σ → perda de 3,8 % = (1 – 0,962) 100 
 
Tensão e perda de protensão em C: 
 
209,0
18
47,0.8
x
y8)C/A( B ===α rad 
 
 )18(pσ = ( )18.002,0209,0.2,0P ei
+−σ 
 
)18(pσ = iP925,0 σ → perda de 7,5 % 
 
Tensão e perda de protensão em D: 
 
α (A / D) = α (A / C) + α (C / D) 
 
( ) 262,0
2
1
14
185,0.8209,0
2
1
x
y8C/A)D/A( D =





+=





+α=α rad 
 
 )25(pσ = ( )25.002,0262,0.2,0P ei
+−σ 
 
)25(pσ = iP903,0 σ → perda de 9,7 % 
 
 
Exercício Proposto 
 
Uma viga contínua com três vãos em a armadura em parábolas sucessivas. Assumindo µ = 
0,20, k = 0,0025/m, σPi = - 1.303 MPa, fptk = 1.900 MPa, Ep = 202.000 MPa calcule a tensão na 
armadura nas seções A até F. 
 
A
B
C
45,7 cm
D
E
F
14,64 m 3,65 3,65 4,70
35,3
32
,
3
 
Figura 59 – Esquema da viga. 
 
 
 
 
 
 
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41 
9.8 PERDAS NA ANCORAGEM NA PÓS-TRAÇÃO 
 
A perda na ancoragem deve-se ao escorregamento dos fios, e depende do tipo de 
dispositivo de ancoragem. Decresce com o aumento da distância da ancoragem, podendo ser 
desprezível na seção mais solicitada, sendo, entretanto, importante em peças curtas. 
Nos dispositivos com cunhas, as perdas de protensão são maiores (perda por 
encunhamento) e significativas. Segundo a NBR 6118 (9.6.3.3.2.3), essas “perdas devem ser 
determinadas experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos fabricantes dos 
dispositivos de ancoragem.” 
Quando a armadura recua devido ao escorregamento/acomodação, surge um atrito 
contrário que faz com que a perda de tensão na armadura ocorra somente até uma distância X da 
ancoragem ativa. 
σpi
x
ten
são
 
apó
s o
 
esc
orr
eg. 
na
 
an
cor
age
m
tensão
 antes
 do
 
escorregamento
∆σ
p,
a
n
c
X0
∆σ
p,
a
n
c
atrito
atrit
o
σp
/2
σp
∆σp,atr
 
Figura 60 – Perda de tensão por atrito e por escorregamento na ancoragem. 
 
 
A perda de tensão na posição da ancoragem é: 
 
X
E2 panc,p
δ
=σ∆ (Lei de Hooke) 
 
δ = escorregamento/acomodação na ancoragem; 
com ε=
δ
X
= perda de deformação média até X. 
 
Na posição X a perda de tensão é nula, e: 
 
λσ
δ
=
iP
pEX 
 
λ = valor dependente da curvatura da armadura e do atrito (µ); 
σPi = tensão na armadura na posição da ancoragem ativa (macaco hidráulico). 
 
 
 
 
 
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42 
Tabela 9 - Valores de λ e X para perfis típicos da armadura. 
Perfil 
x
kx+µα
=λ X ≤≤≤≤ llll 
Linear 
 
xσpi
 
k 
iP
p
k
E
X
σ
δ
= 
Parabólico 
 
σpi b
a
 
k
b
a2 2 +
µ
 λσ
δ
=
iP
pEX 
Circular 
 
σpi
R
 
k
R
+
µ
 λσ
δ
=
iP
pEX 
Qualquer forma, ou 
combinação de formas (modelo 
aproximado) 
σp (x)
x
σpi
l
z
 
iP
1z
σ






l
 
l
z
E
X p
δ
=
 
 
Exemplo 
 
Assumindo σPi =1.303 MPa e δ = 5,1 mm = 0,0051 m, qual o valor de X e da perda de 
protensão devida ao escorregamento na ancoragem ativa? Quais os valores das tensões na 
armadura de protensão nas posições X e X/2? 
Dados: µ = 0,15, k = 0,0025/m, Ep = 196.000 MPa. 
 
a = 45,7 cm
7,32 m 7,32
parábola
ancoragem ativa
 
Figura 61 – Esquema da armadura na viga. 
 
Resolução 
 
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43 
00506,00025,0
32,7
457,0.15,0.2k
b
a2 22 =+=+
µ
=λ /m 
 
λσ
δ
=
iP
pEX = 31,12
00506,03,130
0051,019600
=
⋅
⋅
 m 
 
A perda de protensão é: 
 
X
E2 panc,p
δ
=σ∆ = 4,162
31,12
0051,0196000.2 = MPa 
 
Perda percentual: 5,12100
1303
4,162
= % 
σpi
distância (x)
antes
 do
 escorreg
.
 na
 
ancoragem
∆σ
p,
a
n
c
µ
X
2
X
2
16
2,
4
após
 
o e
sco
rrega
me
nto
X = 12,31
∆σ
p,
a
n
c
posição do
"macaco"
∆σp,anc= 0
1140,6
1303
1221,8 = 1303 - ( 162,42 )
Pi P i - Pat
r∆
posição do
"macaco"
(anc. ativa)
ancoragem
passiva
escorregamento
(δ)
atrito
 no
 escorregamento
atrito
 no
 alongamento
σp
81
,
2
11
81
.
2
12
21
.
8
 
Figura 62 – Perda de tensão por atrito e por escorregamento na ancoragem. 
 
 
9.9 PERDA DE PROTENSÃO NA PÓS-TRAÇÃO POR DEFORMAÇÃO IMEDIATA 
DO CONCRETO PELO ESTIRAMENTO DOS CABOS RESTANTES 
 
Na pós-tração os macacos de protensão apóiam-se na própria peça a ser protendida, o que 
impõe deformações na peça à medida que a armadura vai sendo estirada, de modo que não 
ocorrem perdas de protensão quando os cabos são estendidos todos juntos. No entanto, quando a 
protensão é aplicada cabo por cabo, a protensão num cabo provoca deformações no concreto que 
resultam em perda de protensão nos cabos já tracionados e ancorados. 
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44 
O primeiro cabo sofre perda de protensão decorrente da protensão dos n-1 cabos restantes, 
e assim sucessivamente, sendo zero a perda do último cabo estirado. 
Segundo a NBR 6118 (item 9.6.3.3.2.1), a perda média de protensão, por cabo, é: 
 ( )( )
n2
1ncgcpp
P
−σ+σα
=σ∆
 
 
com: 
σcp = tensão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de protensão, devido à 
protensão simultânea dos “n” cabos; 
σcg = tensão no mesmo ponto, devida à carga permanente mobilizada pela protensão ou 
simultaneamente aplicada pela protensão. 
 
 
c
p
p E
E
=α 
 
Para um número muito grande de cabos, de modo aproximado: 
 
( )cgcppP 2
1
σ+σα=σ∆ 
 
9.10 RETRAÇÃO E FLUÊNCIA INICIAL DO CONCRETO NA PÓS-TRAÇÃO 
 
A perda de protensão por retração e fluência inicial do concreto ocorre quando os cabos de 
protensão são protendidos em instantes diferentes, ou seja, o cabo protendido numa primeira etapa 
já vai sofrendo perdas de protensão até o instante de protensão de cada um dos cabos restantes. 
As perdas de protensão ocorridas entre as etapas de protensão devem ser somadas à da 
relaxação da armadura. 
Não havendo necessidade de se considerar um cálculo mais refinado, essa perdas iniciais 
podem ser estimadas, ou desprezadas quando forem pequenas. 
 
9.11 DETERMINAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO FINAL 
 
A força de protensão final (P∞) é aquela existente após ocorridas todas as perdas de 
protensão. 
Pode ser calculada subtraindo todas as perdas ocorridas após a aplicação da força Po 
(perdas progressivas posteriores: retração e fluência do concreto e relaxação da armadura). 
 
9.12 PERDA DE PROTENSÃO POR RETRAÇÃO DO CONCRETO 
 
A retração no concreto é afetada por muitos fatores: traço, tipo de agregados, tipo de 
cimento, tempo de cura, tempo de aplicação da protensão após a cura, dimensões e forma da peça, 
condições do ambiente, etc. Aproximadamente 80 % da retração ocorre no primeiro ano. 
A perda de tensão na armadura devida à retração do concreto pode ser aproximada por: 
 
pcsPcs Eε=σ∆ 
onde: 
εcs = deformação específica de retração do concreto ao nível da armadura, no tempo 
considerado; 
 Ep = módulo de elasticidade da armadura de protensão. 
 
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45 
 A deformação εcs é fornecida pela NBR 6118 (Tabela 8.2, item 8.2.11) do tempo to (dias) 
até o tempo final (t∞), podendo ser utilizada onde não for necessária grande precisão. 
 Quando maior precisão for exigida pode-se aplicar a formulação contida no Anexo A da 
NBR 6118. O Anexo A da norma trata do “Efeito do tempo no concreto estrutural”, e informa que 
as prescrições “têm caráter informativo que podem, na falta de dados melhores, ser usadas no 
projeto de estruturas com concretos do grupo I da ABNT NBR 8953 cobertos por esta Norma. 
Outros valores podem ser usados, desde que comprovados experimentalmente, por meio de 
ensaios realizados de acordo com Normas Brasileiras específicas, levando em conta variações 
nas características e propriedades dos componentes do concreto, ou ainda desde que respaldados 
por Normas Internacionais ou literatura técnica.” 
 
9.13 VALOR DA RETRAÇÃO 
(Anexo A, NBR 6118, item A.2.3) 
 
Entre os instantes to e t a retração é dada por: 
 
εcs (t ; to) = εcs∞ [βs (t) – βs (to)] 
 
onde: 
εcs∞ = ε1s . ε2s 
 
εcs∞ = valor final da retração; 
ε1s = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do 
concreto (ver Tabela A.1 da NBR 6118); 
ε2s = coeficiente dependente da espessura fictícia da peça. 
 
fic
fic
s2 h38,20
h233
+
+
=ε 
 
onde: hfic = espessura fictícia, em cm; 
 
 
ar
c
fic
A2h
µ
γ= 
 
γ = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente (U - %) – Tabela A.1. 
 
( )U1,08,7exp1 +−+=γ 
 
Ac = área da seção transversal da peça; 
µar = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar; 
 
βs (t) ou βs (to) = coeficientes relativos à retração, nos instantes t ou to , dados na Figura 
A.3 da NBR 6118; 
t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (ver item A.2.4.1 da NBR 
6118); 
to = idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da retração na peça começa a ser 
considerado, em dias. 
 
 
 
 
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46 
9.14 PERDA DE PROTENSÃO POR FLUÊNCIA DO CONCRETO 
 
A fluência no concreto ao nível da armadura depende da tensão no concreto naquele nível. 
Semelhantemente à perda por retração, a perda de tensão por fluência do concreto é: 
∆σPcc = εcc . Ep 
 
Onde não for necessária grande precisão, o coeficiente de fluência ϕ (t∞ ; to), entre o tempo 
to e o tempo final (t∞), pode ser determinado na Tabela 8.2 da NBR 6118 (item 8.2.11), e: 
 
)t;t(
E
)t()t;t( o
28,ci
oc
occ ∞∞ ϕ
σ
=ε
 
 
Quando for necessária maior precisão deve-se recorrer ao cálculo conforme descrito no 
Anexo A da NBR 6118, como apresentado a seguir. 
 
9.14.1 Anexo A – Fluência do Concreto (A.2.2) 
 
“A deformação por fluência do concreto (εcc) é composta de duas partes, uma rápida e 
outra lenta. A deformação rápida (εcca) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 h após a 
aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é, por sua vez, composta por duas outras 
parcelas: a deformação lenta irreversível (εccf ) e a deformação lenta reversível (εccd).” 
 
εcc = εcca + εccf + εccd 
 
εcca = deformação rápida irreversível, primeiras 24 horas; 
εccf = deformação lenta irreversível (umidade, consistência, espessura, idade); 
εcca = deformação lenta reversível, depende apenas da duração do carregamento. 
 
εc,tot = εc + εcc = εc (1 + ϕ) 
 
ϕ = ϕa + ϕf + ϕd 
 
εc,tot = deformação total do concreto; 
ϕ = coeficiente de fluência; 
ϕa = coeficiente de deformação rápida; 
ϕf = coeficiente de deformação lenta irreversível; 
ϕd = coeficiente de deformação lenta reversível. 
 
Valor da Fluência (A.2.2.3) 
 
No instante t a deformação devida à fluência é dada por: 
 
εcc (t ; to) = εcca + εccf + εccd = )t;t(E o28,cc ϕσ
 
 
com o módulo de elasticidade tangente inicial para j = 28 dias (Ec,28), obtido em ensaio segundo a 
NBR 8522 ou calculado pela expressão Ec,28 = Eci,28 = αE ckf5600 . 
 
O coeficiente de fluência ϕ (t ; to) é dado por: 
 
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47 
ϕ (t ; to) = ϕa + ϕf∞ [βf (t) – βf (to)] + ϕd∞ βd 
 
t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias; 
to = idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento único, em dias; 
ϕa = coeficiente de fluência rápida: 
 






−=ϕ
∞
)t(f
)t(f18,0
c
oc
a , para concretos de classes C20 a C45; 
 






−=ϕ
∞
)t(f
)t(f14,1
c
oc
a , para concretos de classes C50 a C90. 
 
onde: 
)t(f
)t(f
c
oc
∞
= função do crescimento da resistência do concreto com a idade, definida no item 
12.3 da NBR 6118; 
 
β1 → relação entre fckj/fck (NBR 6118, item 12.3.3.b): 
 


























−=β 2
1
1 t
281sexp
 
 
com: s = 0,38 para concreto com cimento CP III e IV; 
 s = 0,25 para concreto com cimento CP I e II; 
 s = 0,20 para concreto com cimento CP V ARI; 
t = idade fictícia do concreto, em dias. 
 
Faz-se: 
 
)t(
)tt(
)t(f
)t(f
1
o1
c
oc
∞∞
β
=β
= 
 
t∞ = tempo da vida útil; 
 
ϕf∞ = ϕ1c . ϕ2c = valor final do coeficiente de fluência irreversível para concretos de classes 
C20 a C45; 
 
ϕf∞ = 0,45 ϕ1c . ϕ2c = valor final do coeficiente de fluência irreversível para concretos de 
classes C50 a C90; 
 
ϕ1c = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U (%), e da consistência do 
concreto (Tabela A.1 da norma); 
 
ϕ2c = coeficiente dependente da espessura fictícia (hfic) da peça: 
 
fic
fic
c2 h20
h42
+
+
=ϕ 
 
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hfic em cm; 
 
βf (t) ou βf (to) = coeficiente relativo à fluência irreversível, função da idade do concreto 
(ver Figura A.2 da norma); 
 
ϕd∞ = 0,4 = valor final do coeficiente de fluência reversível; 
 
βd (t) = coeficiente relativo à fluência reversível, função do tempo (t – to), decorrido após o 
carregamento: 
 
70tt
20tt)t(
o
o
d +−
+−
=β 
 
9.15 PERDAS PROGRESSIVAS 
(NBR 6118, item 9.6.3.4) 
 
“Os valores parciais e totais das perdas progressivas de protensão, decorrentes da 
retração e da fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser determinados 
considerando-se a interação dessas causas, podendo ser utilizados os processos indicados em 
9.6.3.4.2 a 9.6.3.4.5. Nesses processos admite-se que exista aderência entre a armadura e o 
concreto e que o elemento estrutural permaneça no estádio I.” 
 
9.15.1 Processo Simplificado para o Caso de Fases Únicas de Operação (Item 9.6.3.4.2) 
 
De acordo com o item 9.6.3.4.2 da NBR 6118, esse caso é aplicável quando são satisfeitas 
as seguintes condições: 
a) “a concretagem do elemento estrutural, bem como a protensão, são executadas, cada uma 
delas, em fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase 
sobre a outra; 
 
b) os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da seção 
do elemento estrutural, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um 
único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos cabos 
componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante). 
 
Nesse caso, admite-se que no tempo t as perdas e deformações progressivas do concreto e 
do aço de protensão, na posição do cabo resultante, com as tensões no concreto σc,pog positivas 
para compressão e as tensões no aço σpo positivas para tração, sejam dadas por:” 
 
ppcp
opoopog,cppocs
op
)t;t()t;t(E)t;t()t;t(
ηραχ+χ
χσ−ϕσα−ε
=σ∆ 
 
p
p
op
o
p
po
pt E
)t;t()t;t(
E
χ
σ∆
+χ
σ
=ε∆ 
 
)t;t(
E
)t;t()t;t(
E ocs28,ci
oc
co
28,ci
pog,c
ct ε+
σ∆χ+ϕ
σ
=ε∆ 
 
onde: 
[ ])t;t(1ln)t;t( oo ψ−−=χ 
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)t;t(5,01 oc ϕ+=χ 
 
)t;t(1 op χ+=χ 
 
c
c2
p I
A
e1+=η ; 
c
p
p A
A
=ρ ; 
28,ci
p
p E
E
=α 
onde: 
σc,pog = tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, provocada pela protensão e pela 
carga permanente mobilizada no instante to , sendo positiva se for de compressão; 
ϕ (t ; to) = coeficiente de fluência do concreto no instante t para protensão e carga 
permanente, aplicadas no instante to ; 
∆σpo = tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente mobilizada no 
instante to , positiva se for de tração; 
χ (t ; to) = coeficiente de fluência do aço; 
εcs (t ; to) = retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instante to ; 
ψ (t ; to) = coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga permanente 
mobilizada no instante to ; 
∆σc (t ; to) = variação da tensão do concreto adjacente ao cabo resultante entre to e t; 
∆σp (t ; to) = variação da tensão no aço de protensão entre to e t; 
ρp = taxa geométrica da armadura de protensão; 
ep = excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do concreto; 
Ap = área da seção transversal do cabo resultante; 
Ac = área da seção transversal do concreto; 
Ic = momento central de inércia na seção do concreto. 
 
 
9.15.2 Processo Aproximado do Item 9.6.3.4.3 
 
“Esse processo pode substituir o estabelecido em 9.6.3.4.2, desde que satisfeitas as 
mesmas condições de aplicação e que a retração não difira em mais de 25 % do valor: 
 
[– 8 . 10-5 ϕ (t∞ ; to)] 
 
O valor absoluto da perda de tensão devida a fluência, retração e relaxação, com σc,pog 
em megapascal e considerado positivo se for de compressão, é dado por: 
 
a) para aços de relaxação normal (RN) (valor em porcentagem): 
 
[ ] ( )pog,c57,1op
po
op 3)t;t(
47
1,18
)t;t(
σ+ϕ
α
+=
σ
σ∆
∞
∞
 
 
b) para aços de relaxação baixa (RB) (valor em porcentagem): 
 
[ ] ( )pog,c07,1op
po
op 3)t;t(
7,18
4,7
)t;t(
σ+ϕ
α
+=
σ
σ∆
∞
∞
 
onde: 
σpo = tensão na armadura de protensão devida exclusivamente à força de protensão, no 
instante to .” 
 
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50 
9.15.3 Método Geral de Cálculo 
(item 9.6.3.4.4) 
 
“Quando as ações permanentes (carga permanente ou protensão) são aplicadas 
parceladamente em idades diferentes (portanto não são satisfeitas as condições estabelecidas em 
9.6.3.4.2), deve ser considerada a fluência de cada uma das camadas de concreto e a relaxação 
de cada cabo, separadamente. 
Pode ser considerada a relaxação isolada de cada cabo, independentemente da aplicação 
posterior de outros esforços permanentes.” 
 
10. CRITÉRIOS DE PROJETO 
 
Os estados-limites devem ser considerados na verificação da segurança das estruturas em 
Concreto Protendido. 
Apresentam-se a seguir as definições dos estados-limites conforme descritos no item 3.2 a 
NBR 6118. 
 
10.1 Estado-Limite Último (ELU) 
 
O estado-limite último é o “estado-limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura”. 
 
10.2 Estado-Limite de Serviço (ELS) 
 
Os estados-limites de serviço são definidos pela norma como “aqueles relacionados ao 
conforto do usuário e à durabilidade, aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação 
aos usuários,