P2-Disc-Gabarito 2015.1

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INSTITUTO DE FI´SICA - UFRJ
P2 Fı´sica I - 2015-1
Parte 2 - Questo˜es Discursivas
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que: todos os fios e molas sa˜o ideais;
os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resisteˆncia do ar e´ desprezı´vel;
a gravidade tem mo´dulo g conhecido.
Questa˜o 1 – valor 2,5
Um bloco de massaM esta´ em equilı´brio preso a uma mola ideal, de constante ela´stica k, inicialmente
em sua posic¸a˜o relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de
mo´dulo v0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna apo´s a colisa˜o no sentido oposto com
velocidade de mo´dulo v0/2. Considere que a colisa˜o seja instantaˆnea. Determine, em func¸a˜o dos
dados do problema:
a) a velocidade V do bloco de massa M imediatamente
apo´s a colisa˜o.
b) a compressa˜o ma´xima da mola.
c) a raza˜om/M para que a colisa˜o seja ela´stica.
gabarito
(a) [0,8] Podemos aplicar a conservac¸a˜o do momento linear do sistema bloco+bala, pois podemos
considerar que a colisa˜o e´ um processo quase instantaˆneo e assim desprezar o deslocamento da mola
e da bala durante o choque. Adotando o sinal positivo para a velocidade da bala antes da colisa˜o,
escrevemos
m · v0 = −m
v0
2
+M · V (0, 5 pt)
V =
3mv0
2M
(0, 3 pt)
(b) [0,8] Podemos aplicar a conservac¸a˜o de energia mecaˆnica no sistema bloco+mola apo´s a colisa˜o
(pois a forc¸a ela´stica e´ conservativa) entre o momento imediatamente posterior a` colisa˜o (quando o
bloco tem velocidade V calculada no item anterior) e o instante de ma´xima compressa˜o (x) da mola,
quando o bloco tem velocidade nula:
Emec = Ec + U ⇒
1
2
M · V 2 =
1
2
k · x2 (0, 5 pt)
x =
√
M · V 2
k
=
√
M
k
3mv0
2M
(0, 3 pt)
(c) [0,9] Se a colisa˜o do bloco com a bala for ela´stica, enta˜o a conservac¸a˜o da energia cine´tica do
sistema bloco+bala entre os instantes imediatamente anterior e posterior a` mesma fornece:
1
2
mv2
0
=
1
2
m
(v0
2
)2
+
1
2
MV 2 (0, 6 pt)
1
m
M
=
1
3
(0, 3 pt)
Questa˜o 2 – valor 2,5
Um disco de massa M e raio R esta´ em repouso sobre uma superfı´cie plana, horizontal e com
atrito. Num dado instante aplica-se no seu centro O uma forc¸a ~F constante, cuja direc¸a˜o faz um
aˆngulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Sabe-se que o disco rola sem deslizar sobre a
superfı´cie e que o momento de ine´rcia do disco em relac¸a˜o a um eixo perpendicular ao plano do disco
e que passa pelo seu centro e´ I =
1
2
MR2.
a) Fac¸a um diagrama representando todas as forc¸as que
agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de
aplicac¸a˜o.
b) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o, aCM , do centro de
massa do disco enquanto ele se desloca.
c) Determine o mo´dulo e o sentido da forc¸a de atrito que
atua sobre o disco.
d) Determine a energia cine´tica adquirida pelo disco no ins-
tante em que da´ uma volta completa a partir do ins-
tante inicial.
gabarito
a) valor=0,4 ponto
~P a forc¸a peso
~N a forc¸a normal
~fat a forc¸a de atrito
~F a forc¸a aplicada
b) +c) valor=1,7 ponto
A dinaˆmica do movimento do disco e´ dada pela sua rotac¸a˜o e pela translac¸a˜o do seu centro de
massa.
Translac¸a˜o:
∑
~Fi = M~aCM Rotac¸a˜o:
∑
~τi = I~α (1)
Onde ~Fi sa˜o as forc¸as e ~τi os torques que agem sobre o disco. A condic¸a˜o para que o disco role sem
deslizar e´ dada pelo vı´nculo aCM = αR, onde α corresponde a acelerac¸a˜o angular do disco e R o seu
raio.
2
De acordo com a direc¸a˜o e sentido do movimento do centro de massa do disco, o sentido de
rotac¸a˜o positivo como hora´rio e calculando os torques em relac¸a˜o ao centro O, podemos escrever as
relac¸o˜es em (1) como:
Translac¸a˜o:


F cos θ − fat = MaCM i)
Fsenθ +N − P = 0 ii)
Rotac¸a˜o: Rfat = Iα iii)
Rearranjando as equac¸o˜es i) e iii) com a condic¸a˜o de vı´nculo, obtemos


F cos θ − fat = MaCM
Rfat = Iα
α = aCM/R
→


F cos θ − fat = MaCM
fat = (I/R
2)aCM
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter aCM , onde I = (1/2)MR
2,
aCM =
Fcosθ
(M + I/R2)
→ aCM =
2
3
Fcosθ
M
Substituindo o resultado de aCM na relac¸a˜o i), Fcosθ − fat = MaCM =✚✚M
2
3
Fcosθ
✚✚M
,
fat =
1
3
Fcosθ
O valor de fat > 0 indica que o sentido adotado para a forc¸a de atrito esta´ correto.
d) valor=0,4 ponto
Maneira 1)
Apo´s uma volta completa o centro de massa do disco deslocou-se de 2πR. Podemos aplicar o
teorema trabalho-energia ∆K = WTotal. Como as forc¸as peso, normal e atrito na˜o realizam trabalho
e a forc¸a ~F e´ constante,WTotal = ~F ·∆~S. Assim temos,
Kf −Ki = Fcosθ.2πR (Ki= 0)→ Kf = 2πRFcosθ
Maneira 2)
A energia cine´tica do disco e´ dada pela soma das contribuic¸o˜es das energias cine´ticas de translac¸a˜o
e rotac¸a˜o. Como Ktransf =
1
2
Mv2CM,f e K
rot
f =
1
2
Iω2f , e o disco rola sem deslizar vCM = ωR,
com I = 1
2
MR2,
Kf =
3
4
Mv2cm,f
Apo´s uma volta completa o centro de massa deslocou-se de d = 2πR. Como aCM =
2
3M
Fcosθ
e´ constante, podemos aplicar a equac¸a˜o de Torricelli, logo v2cm,f = 2aCMd =
8
3M
πRFcosθ. Substi-
tuindo esse resultado emKf ,
Kf =
✁3
4
✚✚M
( 8
✟✟
✟3M
πRFcosθ
)
→ Kf = 2πRFcosθ
3