Apostila Construindo planilhas no Excel Conteúdos Matemáticos

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APOSTILA: 
APRENDENDO MATEMÁTICA COM PLANILHAS 
ELETRÔNICAS 
Volume 1 
 
Charles Lourenço de Bastos 
 
 
 
 
 
 
 
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 O conteúdo que segue, está estruturado a partir de postagens realizadas no 
Xarlleslb Blog. Nesta apostila, são apresentados conteúdos matemáticos e 
codificações para a construção de planilhas eletrônicas no Excel. 
 
 Todo este conteúdo e ainda, links para as planilhas já construídas estão 
disponibilizadas para uso livre no link: 
http://xarlles.blogspot.com.br/p/planilhas-no-excel.html 
 
 Este primeiro volume apresenta planilhas com os seguintes conteúdos 
matemáticos: 
[1] Áreas de Figuras Geométricas. 
[2] Cálculos em P.A. e P.G. 
[3] Determinantes. 
[4] Estudo da Equação do 2º Grau. 
[5] Função Polinomial do Primeiro Grau. 
[6] Funções e Transformações Trigonométricas. 
[7] Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 
[8] Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
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Áreas de Algumas Figuras Geométricas 
 
Esta planilha é menos funcional, pois demanda bastante fórmulas e pouca relação 
com o entendimento do conteúdo. 
 
Nela, são retornados resultados de alguns cálculos de áreas de figuras geométricas a 
partir dos valores (medidas) de alguns de seus elementos. 
 
Estão presentes 13 resultados de cálculos de áreas de figuras como triângulo, 
quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio, círculo, setor circular, coroa 
circular e hexágono. 
 
Área 
Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou o piso de uma sala, ou ainda 
uma parede, obtemos um número, que é a sua área. 
Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma 
superfície. 
 
 
Códigos na Planilha e Fórmulas das Áreas 
 
 
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Quadrado 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(F5="";"";SE(F5<=0;"NE";F5^2));"NE") 
 
Fórmula: 
 
Retângulo 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(F10="";"";SE(F10<=0;"NE";SE(F9<=0;"NE";SE(F9="";"";F9*F10))));"NE
") 
 
Fórmula: 
 
Paralelogramo 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(M11="";"";SE(M10<=0;"NE";SE(M11<=0;"NE";SE(M10="";"";M10*M11)
)));"NE") 
 
Fórmula: 
 
Trapézio 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(AA12="";"";SE(AA11="";"";SE(AA10<=0;"NE";SE(AA11<=0;"NE";SE(A
A12<=0;"NE";SE(AA10="";"";(AA10+AA11)*AA12/2))))));"NE") 
 
Fórmula: 
 
Losango 
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Código na planilha: 
=SEERRO(SE(AA6="";"";SE(AA5="";"";SE(AA5<=0;"NE";SE(AA6<=0;"NE";AA5*AA6/
2))));"NE") 
 
Fórmula: 
 
Triângulo 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(F15="";"";SE(F14<=0;"NE";SE(F15<=0;"NE";SE(F14="";"";F14*F15/2))
));"NE") 
 
Fórmula: 
 
Triângulo Equilátero 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(M15="";"";SE(M15<=0;"NE";M15*RAIZ(3)/2));"NE") 
=SEERRO(SE(M15="";"";SE(M15<=0;"NE";(M15*M15*RAIZ(3))/4));"NE") 
Fórmulas: 
 
 
Triângulo Qualquer 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(T16="";"";SE(T15="";"";SE(T14="";"";SE(T16<=0;"NE";SE(T15<=0;"NE
";SE(T14<=0;"NE";SE(T14>=T16+T15;"NE";SE(T15>=T16+T14;"NE";SE(T16>=T15+
T14;"NE";RAIZ((T14+T15+T16)/2*((T14+T15+T16)/2-T14)*((T14+T15+T16)/2-
T15)*((T14+T15+T16)/2-T16)))))))))));"NE") 
 
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Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Triângulo (lados adjacentes e ângulo entre eles) 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(AA18="";"";SE(AA17="";"";SE(AA16="";"";SE(AA16<=0;"NE";SE(AA17
<=0;"NE";SE(AA18<=0;"NE";SE(AA18>=180;"NE";(AA16*AA17*(SEN(AA18*PI()/180)
))/2)))))));"NE") 
 
O ângulo deverá ser colocado em graus pelo usuário da planilha e o código faz a 
conversão para radianos. 
 
Fórmula: 
 
ângulo em radianos. 
 
 
Círculo 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(T10="";"";SE(T10<=0;"NE";PI()*(T10*T10)));"NE") 
Fórmula: 
 
 
 
Coroa Circular 
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Código na planilha: 
=SEERRO(SE(M6="";"";SE(M5="";"";SE(M5<=0;"NE";SE(M6<=0;"NE";IMABS(pi()*(M
5*M5-M6*M6))))));"NE") 
 
Fórmula: 
 
 
 
Setor Circular 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(T6="";"";SE(T5="";"";SE(T5<=0;"NE";SE(T6<=0;"NE";(PI()*T6*T5*T5)/3
60))));"NE") 
 
Ângulo em graus. 
 
Fórmulas: 
 
Hexágono 
Código na planilha: 
=SEERRO(SE(T20="";"";SE(T20<=0;"NE";1,5*(T20*T20*RAIZ(3))));"NE") 
 
Fórmula: 
 
 
 
Referência 
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994. 
 
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Cálculos em PA e PG 
 
Após algumas atualizações e ter criado uma planilha para tratar de Equações do 
Segundo Grau com Uma Incógnita, resolvi continuar o padrão de posts relacionados 
à planilhas eletrônicas. Então segue mais este post, agora tratando de Progressão 
Aritmética (P.A.) e Progressão Geométrica (P.G.) 
 
P.A. e P.G. são conteúdos comumente estudados no ensino médio e que lidam com 
sequências numéricas. A P.A. é uma sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é igual ao anterior somado com o número fixo, dito razão desta 
progressão. A P.G. A P.G. é uma sequência de números não nulos em que cada 
termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número 
fixo dito razão desta progressão. 
 
Os gráficos gerados dos números da sequência de uma P.A. ou de uma P.G. têm 
aparência com a logo deste post. Existem inúmeras questões a respeito destes 
conteúdos que demandam interpretação das situações propostas, para além dos 
cálculos em fórmulas como apresenta a planilha. 
 
Estes conteúdos têm aplicações em diversas áreas, por exemplo, na Biologia com a 
reprodução das bactérias; ou em Química, no balanceamento e na proporção de 
fusão de elementos, na Economia, com crescimentos ou decrescimentos constantes 
ou variáveis ou com juros simples e juros compostos; ou seja, situações que 
envolvem sequências numéricas. 
 
A planilha aborda alguns cálculos relacionados à P.A. e à P.G., o mais importante 
está na leitura, no entendimento e na aplicação destes conteúdos. Os cálculos são 
básicos e até repetitivos quando estudados na escola. Está planilha então serve para 
verificar os cálculos realizados. Trabalhar a implementação desta planilha é até 
interessante, mas demandaria outras implementações para explorar mais o conteúdo. 
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Mesmo assim, apresento as funcionalidades da planilha, bem como o modo em que a 
implementei. 
 
Funcionalidades da Planilha 
 
 
As funcionalidades da planilha já são aparentes nas imagens. São realizados 6 
diferentes resultados para a P.A. e para a P.G.: 
# enésimo termo; 
# primeiro termo; 
# razão (r, q); 
# número de termos (n); 
# soma dos n termos (S); 
# 10 primeiros termos. 
 
Apesar das legendas indicarem "Cálculo" os valores obtidos na verdade são apenas 
resultados, já que os cálculos estão ocultos nas fórmulas. Estas fórmulas são 
apresentadas detalhadamente mais abaixo, tanto no formato algébrico, quanto no 
formato lógico-matemático (codificação Excel). 
 
Como criei a planilha 
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A inserção dos dados conhecidos 
Os únicos espaços disponíveis para inserção de dados são as células em amarelo. É 
informado que se deveinserir os valores conhecidos. Comumente, haverão três dos 
4 valores conhecidos e o quarto valor, assim como os já inseridos irão aparecer como 
resultados dos cálculos. Na planilha construída, as células que referenciam cada item 
são: 
r = C6 (razão) 
a1 = D6 (primeiro termo da sequência) 
n = E6 (número de termos) 
an = F6 (último termo determinado, enésimo termo) 
 
 
Cálculo do termo an (enésimo termo, termo geral) 
A codificação no Excel: 
 
=SE(E6="";"";SE(D6="";"";SE(C6="";"";D6+(E6-1)*C6))) 
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A fórmula matemática: 
 
 
 
Cálculo do termo a1 
A codificação no Excel: 
 
=SE(C6="";"";SE(E6="";"";SE(F6="";"";F6-(E6-1)*C6))) 
A fórmula matemática é a mesma do termo geral, mas evidenciando o primeiro 
termo: 
 
 
 
Cálculo da razão (r) 
A codificação no Excel: 
 
=SE(E6="";"";SE(E6=1;"";SE(D6="";"";SE(F6="";"";(F6-D6)/(E6-1))))) 
A fórmula matemática: 
 
Observe que temos uma observação, não pode ocorrer n = 1, como n - 1 é 
denominador, teríamos 0 (zero), e isso não pode ocorrer. Para que não tenhamos 
uma mensagem de erro, na codificação foi implementado retorno vazio quando n = 1. 
 
Cálculo do número de termos (n) 
A codificação no Excel: 
 
=SE(C6="";"";SE(C6=0;"";SE(D6="";"";SE(F6="";"";1+(F6-D6)/C6)))) 
A fórmula matemática: 
 
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Apesar de poder existir sequências constantes na P.A., ou seja, r = 0, na 
implementação da fórmula para a codificação, observe que r não pode ser 0 (zero), 
pois está no denominador; para não haver mensagem de erro, implementamos 
retorno vazio quando r = 0. 
 
 
Cálculo da soma dos n termos 
A codificação no Excel: 
 
=SE(E6="";"";SE(F6="";"";SE(D6="";"";((D6+F6)*E6)/2))) 
A fórmula matemática: 
 
 
 
Os 10 primeiros termos 
A codificação no Excel: 
 
=SE(C11="";"";C11), primeiro termo. 
=SE(C11="";"";SE(C6="";"";C23+C6)), segundo termo. 
(...) 
As demais são semelhantes a esta última codificação e alterando a célula C23, pela 
célula do termo anterior. 
 
A fórmula matemática: 
 
 
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A inserção dos dados conhecidos 
Na planilha construída, as células que referenciam cada item são: 
q = L6 (razão) 
a1 = M6 (primeiro termo da sequência) 
n = N6 (número de termos) 
an = O6 (último termo determinado, enésimo termo) 
 
Cálculo do termo an (enésimo termo) 
A codificação no Excel: 
=SE(N6="";"";SE(L6="";"";SE(M6="";"";M6*(L6^(N6-1))))) 
 
A fórmula matemática: 
 
 
Cálculo do termo a1 
A codificação no Excel: 
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=SE(N6="";"";SE(L6="";"";SE(O6="";"";O6/(L6^(N6-1))))) 
 
A fórmula matemática: 
 
 
Cálculo da razão (q) 
A codificação no Excel: 
=SE(M6=0;"";SE(N6="";"";SE(N6=1;"";SE(M6="";"";SE(O6="";"";(O6/M6)^(1/(N6-
1))))))) 
A fórmula matemática: 
 
A codificação foi realizada baseando-se na fórmula escrita no segundo formato, por 
desconhecer a implementação de raízes com radicais superiores a 2. Observe que 
poderíamos ter algum problema por haver divisão e a1 não poderia assumir 0 (zero) 
pela fórmula, mas isso é garantido pela definição de P.G., já que ela não pode ser 
nula. 
Teremos um problema se n = 1, ou seja, se quisermos apenas um elemento, observe 
na fórmula que usamos n - 1 no denominador, ou é, se n = 1 teríamos zero no 
denominador, o que é impossível de resolver; mas veja que não faz muito sentido 
procurar q para 1 elemento, já que este elemento é o próprio a1. Para não termos 
esse erro, observe que foi implementado na codificação um retorno vazio para n = 1. 
 
Cálculo do número de termos (n) 
A codificação no Excel: 
=SE(M6=0;"";SE(L6="";"";SE(M6="";"";SE(O6="";"";LOG(IMABS(O6/M6*L6);IMABS(L6
)))))) 
A fórmula matemática: 
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Um destaque especial para esta fórmula, a presença dos dois módulos se deve ao 
não cálculo de logaritmo para números negativos, já que a razão aqui não é nula (q é 
diferente de zero pela definição de P.G.), mas pode ser negativa. 
 
Cálculo da soma dos n termos 
A codificação no Excel: 
=SE(N6="";"";SE(M6="";"";SE(L6="";"";(M6*((L6^N6)-1))/(L6-1)))) 
 
A fórmula matemática: 
 
 
Os 10 primeiros termos 
A codificação no Excel: 
=SE(L11="";"";M6) 
=SE(L11="";"";SE(L6="";"";M6*L6)) 
 
A fórmula matemática: 
 
 
Referência e recomendação 
 
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994. 
Após terminar este post, resolvi procurar planilhas sobre P.A. e P.G., encontrei uma 
que realiza mais funções que a que disponibilizo, mas apenas para P.A.. Vale a pena 
conferir no Blog Matemática na Veia. 
 
 
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Determinantes 
 
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada. 
 
A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente na Alemanha e no Japão. 
Foi desenvolvida por dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e Seki Shinsuke Kowa 
(1642-1708), ao solucionarem um problema de eliminações necessárias à resolução 
de um sistema de m equações lineares com m incógnitas. 
 
Este é outro post que relaciona conteúdo da matemática com planilhas eletrônicas 
confeccionadas no Excel. Abaixo seguem alguns procedimentos sobre como foi 
confeccionada a planilha e sugestões de leitura a respeito de determinantes. 
 
Esta planilha devolve resultados de determinantes de matrizes de 2ª, 3ª e 4ª ordem. 
Nas fórmulas é possível perceber o uso de menor complementar, cofator, Regra de 
Sarrus e teorema de Laplace. 
 
A planilha 
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Det A 
=SEERRO(SE(J5="";"";SE(I5="";"";SE(J4="";"";SE(I4="";"";I4*J5-J4*I5))));"") 
 
O determinante de uma matriz de 2ª ordem é um número real obtido pela diferença 
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária. 
 
Det B 
=SEERRO(SE(L11="";"";SE(K11="";"";SE(J11="";"";SE(L10="";"";SE(K10="";"";SE(J10
="";"";SE(L9="";"";SE(K9="";"";SE(J9="";"";(J9*K10*L11+K9*L10*J11+L9*J10*K11-
(L9*K10*J11+L10*K11*J9+L11*K9*J10)))))))))));"") 
 
O método aplicado ao calcular o determinante de 3ª ordem é conhecido 
com teorema de Laplace. Tal teorema pode ser enunciado por: "O determinante de 
uma matriz quadrada B, de 3ª ordem, é igual à soma dos produtos dos elementos de 
uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.". Mas na fórmula aplicada 
na planilha foi utilizada a regra de Sarrus. 
 
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Det C 
=SEERRO(SE(N18="";"";SE(M18="";"";SE(L18="";"";SE(K18="";"";SE(N17="";"";SE(M
17="";"";SE(L17="";"";SE(K17="";"";SE(N16="";"";SE(M16="";"";SE(L16="";"";SE(K16="
";"";SE(N15="";"";SE(M15="";"";SE(L15="";"";SE(K15="";"";(K15*(-
1)^2*((L16*M17*N18+M16*N17*L18+N16*L17*M18) -
(N16*M17*L18+N17*M18*L16+N18*M16*L17))) + (L15*(-
1)^3*((K16*M17*N18+M16*N17*K18+N16*K17*M18) -
(N16*M17*K18+N17*M18*K16+N18*M16*K17))) + (M15*(-
1)^4*((K16*L17*N18+L16*N17*K18+N16*K17*L18) -
(N16*L17*K18+N17*L18*K16+N18*L16*K17))) + (N15*(-
1)^5*((K16*L17*M18+L16*M17*K18+M16*K17*L18) -
(M16*L17*K18+M17*L18*K16+M18*L16*K17)))))))))))))))))));"") 
 
No cálculo do determinante de matriz de 4ª ordem, foi aplicado o teorema de Laplace, 
até chegar em determinantes de 3ª ordem, e depois empregou-se a regra de Sarrus. 
 
 
Sugestões de Leitura 
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. 2º Grau. Volume Único. FTD.São Paulo, 1994. 
 
[2] Uma Breve História das Matrizes e Determinantes - [Blog Fatos Matemáticos] 
 
[3] O Método de Dodgson Para Calcular Determinantes 3x3 - [Blog Fatos 
Matemáticos] 
 
 
 
 
 
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Estudo da Equação do 2º Grau 
 
Esta semana atualizava um post que criei quando divulguei uma planilha que havia 
implementado sobre Movimento Uniformemente Variado (Física), quando pensei em 
criar uma planilha para estudar alguns cálculos e características presentes em 
equações do 2º grau com uma incógnita. 
 
Ao pesquisar a respeito, encontrei várias planilhas, algumas apresentando 
procedimentos de cálculos, outras com tabela para inserir valores e produzir gráficos 
(função) e diferentes funcionalidades. 
 
Acredito que seja importante o processo de criação da planilha, pois para 
implementar cálculos e funcionalidades é preciso ter conhecimento do conteúdo em 
questão; este seria um bom exercício de ensino e aprendizado. Neste post, relato um 
pouco sobre o tema, descrevo as funcionalidades da planilha, indico um passo a 
passo com as fórmulas que foram implementadas, mostro um exemplo e disponibilizo 
o arquivo da planilha para download. 
 
Não há neste post uma descrição sobre o conteúdo de estudo de equações do 2º 
grau. Este conteúdo é bastante extenso, e demandaria maior espaço para 
discussão. Confira as sugestões de leitura no final do post. O interessante aqui seria 
associar o conteúdo presente em livros didáticos e ir testando os exemplos e 
exercícios destes livros e assimilando cada um dos tópicos abordados na planilha. 
"Com um computador para desenhar gráficos (...), o professor e o aluno podem testar 
hipóteses e investigar raciocínios com defeito" Revista Cálculo, edição 15, p. 29. 
Há na edição 15 da Revista Cálculo, alguns exemplos do uso do Excel, vale conferir 
(p. 30 a p. 39). 
 
A planilha e suas funcionalidades 
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A planilha foi criada para apresentar resultados e algumas características próprias da 
equação que for analisada. Para utilizar destes cálculos basta o usuário adicionar os 
coeficientes da equação do 2º grau. Como a equação do 2º grau pode ser escrita da 
seguinte forma ax² + bx + c = 0, e portanto, os coeficientes sendo a, b e c. 
 
As funcionalidades da planilha são: 
# Retorna sobre a concavidade do gráfico da equação do 2º grau em estudo; 
# Apresenta o resultado do cálculo do discriminante e retorna uma das três 
possibilidades de sua ocorrência: discriminante maior, igual ou menor que zero 
(número de raízes reais da equação); 
# Apresenta o resultado do cálculo do vértice da parábola da equação em estudo (Xv, 
Yv), além de indicar se a curva possui ponto de mínimo ou ponto de máximo; 
# Apresenta o resultado do cálculo das raízes reais da equação e os pontos P e Q 
em que a parábola corta o eixo X (claro que dependendo do discriminante, podendo 
ter nenhuma, uma ou duas raízes reais); 
# E ainda apresenta o gráfico da equação no intervalo de números inteiros [-10, 10] 
para x. 
 
 
A planilha - como criei 
Aqui indicarei as fórmulas implementadas em cada um dos cálculos, relacionando as 
células ao valor real de cálculo. Observe que as células poderiam variar dependendo 
da posição em que fossem realizadas as formatações. 
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Acredito que esta é uma parte importante, pois organizar uma planilha deste modo é 
simples, mas demanda compreensão sobre lógica e entendimento do conteúdo 
(equação do 2º grau). 
 
 
 
 
1º) Coeficientes (equação do 2º grau) 
As três células em amarelo são os únicos espaços em que o usuário poderá inserir 
dados. No momento em que insere um dos três valores todos os demais espaços 
configurados vão se alterando e apresentando resultados. 
Nestas células não há formulações, mas é a partir delas que são realizadas 
praticamente todas as fórmulas. Elas correspondem a: E7 = coeficiente a, G7 = 
coeficiente b, I7 = coeficiente c. 
 
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2º) Concavidade 
As células mescladas para a concavidade estão com a seguinte codificação: 
 
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Atenção!!! Esta não é uma equação do 2º 
grau";SE(E7>0;"Como a > 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para 
cima.";"Como a < 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para baixo."))) 
A célula E7 que se repete por três vezes na codificação refere-se ao coeficiente a da 
equação em estudo pelo usuário. 
 
Esta codificação permite um dos possíveis retornos na condicional SE: 
# se E7 estiver vazia, o retorno é vazio; 
# se E7 for preenchida com 0 (zero), o retorno é a mensagem: "Atenção!!! Esta não é 
uma equação do 2º grau"; 
# Se E7 for preenchida com um valor maior que 0 (zero), o retorno é a 
mensagem: Como a > 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para cima. 
# Se E7 for preenchida com um valor menor que 0 (zero), o retorno é a 
mensagem: Como a < 0, o gráfico da equação tem concavidade voltada para baixo. 
3º) Discriminante 
Para o discriminante existem dois espaços de células mescladas. Um espaço 
reservado para o cálculo e outro para retornos a respeito deste cálculo. 
 
A codificação para o cálculo do discriminante é: 
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"";G7*G7-4*E7*I7)) 
Observe que a condicional SE: 
# Verifica se o coeficiente a (E7) está vazio, se estiver, não é realizado cálculo e no 
espaço é retornado vazio; 
# Verifica se o coeficiente a (E7) é zero, se for zero, faz o mesmo retorno de vazio; 
# Não sendo zero ou vazio (sem preenchimento), realiza o cálculo do discriminante 
que está escrito por b*b - 4*a*c. 
 
A codificação para retorno sobre o resultado do discriminante: 
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=SE(D12="";"";SE(D12=0;"A equação possui duas raízes reais e 
iguais";SE(D12>;0;"A equação possui duas raízes reais e diferentes.";"A equação não 
possui raízes reais."))) 
Observe que a codificação está em torno da célula D12, esta célula representa o 
valor do cálculo do discriminante, para ele são feitas as verificações: 
# Se o discriminante (D12) não tiver preenchimento o retorno é vazio (nada é 
preenchido); 
# Se o discriminante for 0 (zero), o retorno é: A equação possui duas raízes reais e 
iguais; 
# Se o discriminante for maior que 0 (zero), o retorno é: A equação possui duas 
raízes reais e diferentes. 
# Se o discriminante for menor que 0 (zero), o retorno é: A equação não possui raízes 
reais. 
 
4º) Vértice 
Para o vértice existem duas codificações, uma para cada coordenada: 
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-G7/(2*E7))) 
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"#";-D12/(4*E7))) 
A primeira linha de codificação calcula a coordenada x do vértice e a segunda linha 
calcula a coordenada y do vértice. As duas linhas verificam se: 
# Se o coeficiente a não foi inserido, não havendo inserção não é realizado cálculo e 
o retorno é vazio; 
# Se o coeficiente a for 0 (zero), o retorno é # (indicando que isso não pode ocorrer, 
por se tratar de uma equação do 2º grau; 
# Se o coeficiente a for inserido e não for zero, o cálculo é realizado Xv = - b/2*a e Yv 
= - Δ/4*a; 
 
Há ainda a codificação com retornos sobre o vértice: 
=SE(E7="";"";SE(E7=0;"Impossível calcular o vértice";SE(E7>0;"A parábola possui 
ponto de mínimo em Yv.";"A parábola possui ponto de máximo em Yv."))) 
Esta codificação realiza as verificações: 
# Se o coeficiente a (E7) não for preenchido, retorna vazio (nenhuma informação); 
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# Se o coeficiente a for preenchido com 0 (zero), retorna:Impossível calcular o 
vértice; 
# Se o coeficiente a é maior que 0 (zero), retorna: A parábola possui ponto de mínimo 
em Yv; 
# Se o coeficiente a é maior que 0 (zero), retorna: A parábola possui ponto de 
máximo em Yv. 
5º) Raízes reais da equação 
As células mescladas para o cálculo das raízes da equação, possuem a codificação: 
=SE(D12="";"";SE(D12<0 br="">=SE(D12="";"";SE(D12<0 font=""> 
As duas codificações verificam: 
# se o discriminante (D12) está vazio e retorna vazio; 
# se o discriminante é menor que zero e retorna # (indicando que não existe raiz real 
para a equação e, portanto, a parábola não corta o eixo x); 
# se o discriminante não está vazio e não é menor que zero, as codificações 
realizam, respectivamente, o cálculo para x' e x'', as duas coordenadas x (raízes) dos 
pontos P e Q que são intersecção da parábola com o eixo x. 
 
Há ainda uma pequena codificação que copia as coordenadas x, mostrando os 
pontos P e Q: 
=SE(D19="";"";D19) 
=SE(G19="";"";G19) 
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6º) Gráfico 
Construir o gráfico com os valores dos cálculos realizados anteriormente (vértice e 
raízes) demanda um pouco mais de codificação e algumas outras implementações. 
Nesta planilha foi preferido organizar uma tabela, com duas colunas e o tipo de 
gráfico escolhido foi o de dispersão XY. A primeira com valores para x no intervalo de 
números inteiros [-10, 10] e a segunda com o cálculo dos valores y, neste caso, 
interpretou-se a equação na forma de função (f(x)= y = ax² + bx + c). Assim, quando 
são inseridos os valores para a, b e c (coeficientes) o gráfico é gerado. 
 
A codificação para a segunda coluna é baseada na codificação de uma célula e que é 
copiada para todas as demais da coluna y na tabela: 
=$E$7*AA4*AA4+$G$7*AA4+$I$7 
Observe o uso de $, esse sinal fixa a linha e a coluna da célula, ou seja, permite que 
se copie a fórmula desta primeira célula para as demais sem alterar a célula em 
quem o símbolo $ aparece. Veja que apenas a célula AA4 não possui este símbolo, é 
ela que será alterada ao copiar o código nesta célula para as demais linhas de 
células na coluna. 
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O cálculo presente nesta codificação é justamente a*x*x + b*x + c. 
Um exemplo 
Confira como fica a planilha após a inserção dos coeficientes da equação -4x² 
+ 4x + 5 = 0. 
 
 
Sugestões de Leitura 
[1] Equações do Segundo Grau Com Uma Incógnita (Blog Fatos Matemáticos) 
 
[2] Função Quadrática - Aplicações (Blog Prof. Edigley Alexandre) 
 
[3] O método de completar quadrados: processo prático (Blog Vivendo Entre 
Símbolos) 
 
[4] Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes (Blog O 
Baricentro da Mente) 
 
[5] Exemplo de simulador. [Professor Cardy] 
 
 
 
 
 
 
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Função Polinomial do 1º Grau 
 
Em mais um exemplo de planilha eletrônica, trato da Função Polinomial do Primeiro 
Grau, desta vez expondo o conteúdo juntamente com as fórmulas lógicas utilizadas 
para criar os retornos na planilha. Uma planilha bem simples de confeccionar e que 
está disponível para download. 
 
A imagem por si, já traz basicamente o que propomos mais abaixo, com conteúdo, 
planilha, sugestões de leituras e simuladores. 
 
Funcionalidades da planilha 
 
 
Está planilha é bem simples, apresentando as funcionalidades: 
# Apresenta o zero da função (abscissa); 
# Retorna se a função é dita afim, linear ou constante; 
# Retorna os intervalos em que a função é positiva, negativa e nula; 
# Informa se a função é crescente, decrescente ou constante; 
# Representa o gráfico da função no intervalo [-10; 10]. 
 
 
 
 
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A planilha e o conteúdo matemático 
 
 
1º) Coeficientes da função do 1º grau 
Os espaços em amareço representam os dois coeficientes - a e b - da função 
polinomial. Estas são as duas únicas células (em amarelo) que permitem inserção de 
dados. Estes dados devem ser exclusivamente numéricos. Inserindo letras ou 
símbolos haverá erro nos retornos. 
 
Toda função polinomial representada pela fórmula matemática 
 
com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais e a diferente de zero, definida 
para todo x real, é denominada função do 1º grau. 
 
2º) Zero da função 
Codificação: 
=SE(G8=0;"";SE(I8="";"";SE(G8="";"";-I8/G8))) 
 
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto 
é, torna f(x) = 0. 
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Veja que x = -b/a é o zero da função. 
3º) Características da função 
Codificação: 
=SE(I8="";"";SE(G8="";"";SE(G8<>0;SE(I8<>0;"A função é dita função afim, pois a e b 
são diferentes de zero.";"A função é dita função linear, pois b é nulo.");"Está é uma 
função constante, pois a é nulo."))) 
 
Observando os coeficientes determina-se a função como afim, linear ou constante. 
# Uma função polinomial do 1º grau é dita função afim quando a e b são diferentes 
de zero. 
# Uma função polinomial do 1º grau é dita função linear quando a é diferente de 
zero e b é nulo (zero). 
# Uma função polinomial do 1º grua é dita função constante quando a é nulo (zero) 
e b é diferente de zero. 
 
Codificação: 
=SE(G8=0;"";SE(G8>0;"A função é positiva (f(x)> 0)para x > ";"A função é positiva 
(f(x)> 0)para x <")) 
=SE(G8="";"";SE(G8=0;"A função é CONSTANTE em y = ";SE(G8>0;"A função é 
negativa (f(x)<0 0="" f="" fun="" negativa="" o="" para="" x="">"))) 
=SE(G8=0;"";SE(G8>0;"A função é nula (f(x)=0) para x = ";"A função é nula (f(x)=0) 
para x = ")) 
Geometricamente, o zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, com a diferente de zero, 
é aabscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. Chamemos o zero da função 
de k. 
Quando a > 0, a função é positiva para x > k e a função é negativa para x < k. 
Quando a < 0, a função é positiva para x < k e a função é negativa para x > k. 
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Se a = 0, com b diferente de zero, a reta não corta o eixo x e então a função é 
constante. Tendo que se b > 0, a reta está acima do eixo da abscissa; se b < 0, a reta 
está abaixo do eixo da abscissa. 
 
4º) Crescimento ou decrescimento 
Codificação: 
=SE(G8="";"";SE(G8=0;"f(x) é uma função CONSTANTE";SE(G8>0;"A função é 
CRESCENTE";"A função é DECRESCENTE"))) 
 
Uma função f(x) é crescente quando a > 0 e é decrescente quando a < 0. Se o 
coeficiente a é nulo, a função é constante. 
 
 
5º) Gráfico 
O gráfico é construído com a organização de uma tabela que fica mais a frente na 
planilha, em que x varia de - 10 a 10. 
 
Referências e sugestões de leitura e uso 
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994. 
[2] Simulador. Este simulador permite movimentar (alterar o valor) os coeficientes e 
verificar o que ocorre com o gráfico da função do primeiro grau. 
[3] Calculadora Gráfica. Simulador que gera diversos tipos de gráficos. 
 
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Funções e Transformações Trigonométricas 
 
Esta planilha é uma complementação da planilha sobre Relações Trigonométricas no 
Triângulo Retângulo. Nela tratamos de algumas funções trigonométricas e 
transformações trigonométricas. 
 
O trabalho ao organizar esta planilha foi um pouco maior, algumas das codificações 
utilizaram relações diferentes das fórmulas estudadas. 
 
Não se trata de uma planilha muito usual para testes e estudo, como algumas outras 
já construídas.É mais para a verificação de cálculos; o que uma calculadora 
científica faz facilmente. 
 
Foram realizados vários testes para ângulos variando de 0º a 360º, mas pelo grande 
número de codificação, pode haver alguma falha. Percebido algo erro de codificação, 
por favor, retorne aqui mesmo no post. 
 
 
As funcionalidades 
Nesta planilha o usuário irá indicar o ângulo desejado e serão apresentados: 
# os resultados das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, 
secante e cotangente. 
# os resultados de algumas transformações trigonométricas: 
 sen(a + b) 
 sen(a - b) 
 cos(a + b) 
 cos(a - b) 
 tg(a + b) 
 tg(a - b) 
 sen2a 
 cos2a 
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 tg2a 
 sen a + sen b 
 sen a - sen b 
 cos a + cos b 
 cos a - cos b 
E ainda mostra os gráficos para as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, 
cossecante, secante e cotangente. 
 
Apesar destas funcionalidades, ela não permite muita manipulação e por isso não é 
uma boa planilha para testes de possibilidades e de estudos. 
 
 
A codificação 
 
 
Optei por não adicionar as codificações da planilha neste post por duas questões: #1 
parte da codificação está sendo interpretada como html e tem alterado a configuração 
do post, não mostrando a codificação correta e #2 o post ficaria mais pesado se, por 
exemplo, transformasse os códigos em imagem. Mas as codificações podem ser 
vistas facilmente nas células de retornos (resultados), destacadas em rosa na 
planilha. 
 
Os gráficos foram construídos a partir dos cálculos de cada uma destas funções para 
ângulos no intervalo de 0º a 360º em uma tabela oculta na planilha. 
 
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O Curioso é que algumas das funções não estão definidas para alguns ângulos; 
nestas situações os gráficos no Excel, acabam por unir a curva com um segmento de 
reta, pra que esse segmento de reta não apareça, foi necessário retirar um valor 
antes e um valor depois do que não está definido na função; por exemplo, a tangente 
não está definida para o ângulo 90º, já que tangente = seno/cosseno, e cosseno de 
90º é Zero (não há divisão por zero), então foram retirados os resultados para os 
ângulos 89º e 91º e assim a curva perde parte de sua extensão em y, mas não 
apresenta continuidade neste ponto. 
 
 
 
As codificações para estas fórmulas não seguiu a escrita matemática convencional, 
pois isso demandaria maior codificação para contemplar as fórmulas como elas estão 
apresentadas a seguir, devido às particularidades de cada função. Procure perceber 
a diferença entre a codificação e a fórmula matemática em cada uma destas funções 
conferindo as fórmulas aqui no post e a codificação na planilha. 
 
Estas fórmulas da adição são válidas para arcos a e b positivos, do primeiro 
quadrante (0º a 90º), cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. 
 
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Estas fórmulas são válidas para a soma de dois arcos quando eles têm a mesma 
medida; são ditas fórmulas do arco duplo. 
 
 
 
 
 
As fórmulas a seguir são de transformação em produto, ou seja, a forma fatorada das 
expressões. 
 
 
 
 
 
Referência 
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994. 
 
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Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
Apresentamos neste post mais uma planilha relacionada à matemática. Desta vez, 
tratando das relações métricas no triângulo retângulo. A planilha tratará de cálculos 
dos três conteúdos descritos a seguir: 
 
O Teorema de Pitágoras 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos. 
 
As relações métricas no triângulo retângulo 
# Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em 
dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre 
si. 
# 1ª relação métrica: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um 
cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse 
cateto sobre a hipotenusa. 
# 2ª relação métrica: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da 
altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que essa 
altura determina sobre a hipotenusa (que são as projeções dos dois catetos sobre a 
hipotenusa). 
# 3ª relação métrica: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos 
catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à 
hipotenusa. 
# 4º relação métrica (Teorema de Pitágoras): Em qualquer triângulo retângulo, o 
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
catetos. 
 
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Um pouco de Trigonometria - Relações trigonométricas 
# O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a 
medida da hipotenusa, em qualquer triângulo retângulo. 
# O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e 
a medida da hipotenusa, em qualquer triângulo retângulo. 
# A tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do 
cateto adjacente a este ângulo, em qualquer triângulo retângulo. 
 
 
Funcionalidades da Planilha 
Está planilha apresenta as funcionalidades: 
# Resultado do terceiro lado de um triângulo retângulo, baseando-se no Teorema de 
Pitágoras; 
# Resultado para valores a, b, c, m, n e h, a partir das relações métricas no triângulo 
retângulo; 
# Resultado do seno, do cosseno e da tangente de dois ângulos internos em um 
triângulo, a partir da medida dos lados. 
 
 
Codificação da Planilha 
1ª Parte 
 
 
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Nesta primeira parte é preciso apenas inserir dois dos três lados do triângulo 
retângulo e o valor numérico do terceiro lado surge na área reservada para cálculo. 
É preciso se atentar para a descrição do lado, pois a codificação na planilha foi 
organizada para retornar apenas o terceiro lado além dos outros dois informados pelo 
usuário; além de algumas outras funcionalidades. 
Cálculo da hipotenusa: 
=SEERRO(SE(G7<>"";"";SE(E12="";"";SE(C8="";"";RAIZ(C8^2+E12^2))));"") 
 
 
 
Cálculo do cateto 1: 
=SEERRO(SE(C8<>"";"";SE(E12="";"";SE(G7="";"";RAIZ(G7^2-E12^2))));"") 
 
 
 
Cálculo do cateto 2: 
=SEERRO(SE(E12<>"";"";SE(C8="";"";SE(G7="";"";RAIZ(G7^2-C8^2))));"") 
 
 
 
A condição seerro elimina a possibilidade de apresentar erro para o caso do usuário 
inserir a < b ou a < c, o que é impossível em um triângulo retângulo, já que a é a 
hipotenusa (maior dos três lados). 
 
A condição que está verificando uma célula diferente de vazio <>""; faz com que o 
cálculo não seja realizado caso a célula seja preenchida. Isso é feito, procurando 
evitar erro, se o usuário tentar inserir três valores aleatórios em a, b e c, 
simultaneamente, ou se inserir um valor na variável que deseja calcular. 
 
 
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2ª Parte 
 
 
 
Nesta parte, o usuário deve perceber que há mais de um modo para encontras as 
medidas indicadas nas figuras (triângulos retângulos) presentes na planilha e que 
para cada uma das medidas, ele deve utilizar a linha que tiver os valores das 
medidas que se relacionam a ela e o cálculo será apresentado. 
 
Sugere-se um teste com os valores: a = 5, b = 4, c = 3, m = 3,2,n = 1,8 e h = 2,4; 
será possível verificar que para quaisquer linhas de uma mesma medida, o resultado 
se repete e é exatamente um dos valores indicados como sugestão. 
 
 
Cálculo de a: 
=SEERRO(SE(W12>0;SE(V12>0;SE(W12="";"";SE(V12="";"";RAIZ(V12^2+W12^2)));"
");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(Y13>0;SE(W13>0;SE(Y13="";"";SE(W13="";"";W13^2/Y13));"");"");"") 
 
 
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=SEERRO(SE(X14>0;SE(V14>0;SE(X14="";"";SE(V14="";"";V14^2/X14));"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(Y15>0;SE(X15>0;SE(Y15="";"";SE(X15="";"";X15+Y15));"");"");"") 
 
 
 
 
Cálculo de b: 
=SEERRO(SE(X16>0;SE(U16>0;SE(X16="";"";SE(U16="";"";RAIZ(U16*X16)));"");"");"
") 
 
 
 
=SEERRO(SE(Z17>0;SE(W17>0;SE(U17>0;SE(Z17="";"";SE(W17="";"";SE(U17="";""
;U17*Z17/W17)));"");"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(W18>0;SE(U18>0;SE(W18="";"";SE(U18="";"";RAIZ(U18^2-
W18^2)));"");"");"") 
 
 
 
 
Cálculo de c: 
=SEERRO(SE(Y19>0;SE(U19>0;SE(Y19="";"";SE(U19="";"";RAIZ(U19*Y19)));"");"");"
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") 
 
 
 
 
=SEERRO(SE(Z20>0;SE(V20>0;SE(U20>0;SE(Z20="";"";SE(V20="";"";SE(U20="";"";
U20*Z20/V20)));"");"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(V21>0;SE(U21>0;SE(V21="";"";SE(U21="";"";RAIZ(U21^2-
V21^2)));"");"");"") 
 
 
 
 
 
Cálculo de m: 
=SEERRO(SE(V22>0;SE(U22>0;SE(V22="";"";SE(U22="";"";V22^2/U22));"");"");"") 
 
 
 
Cálculo de n: 
=SEERRO(SE(W23>0;SE(U23>0;SE(W23="";"";SE(U23="";"";W23^2/U23));"");"");"") 
 
 
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Cálculo de h: 
=SEERRO(SE(W24>0;SE(V24>0;SE(U24>0;SE(W24="";"";SE(V24="";"";SE(U24="";""
;V24*W24/U24)));"");"");"");"") 
 
 
3ª Parte 
 
=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AE11>0;SE(AG11="";"";SE(AE11="";""; 
AG11/AE11));"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(AF11>0;SE(AE11>0;SE(AF11="";"";SE(AE11="";""; 
AF11/AE11));"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AF11>0;SE(AG11="";"";SE(AF11="";""; 
AG11/AF11));"");"");"") 
 
 
=SEERRO(SE(AF11>0;SE(AE11>0;SE(AF11="";"";SE(AE11="";""; 
AF11/AE11));"");"");"") 
 
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=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AE11>0;SE(AG11="";"";SE(AE11="";""; 
AG11/AE11));"");"");"") 
 
 
 
=SEERRO(SE(AG11>0;SE(AF11>0;SE(AG11="";"";SE(AF11="";""; 
AF11/AG11));"");"");"") 
 
 
Pra finalizar, organizei uma pequena introdução sobre relações trigonométricas, 
apresentado o resultado para o seno, o cosseno e a tangente (funções) de dois 
ângulos, a partir dos lados de um triângulo qualquer. 
Posts Relacionados 
Triângulo Retângulo 
O Teorema é do Pitágoras? 
 
Referencias 
[1] CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática. 9º ano. Editora FTD. São 
Paulo, 2009. 
 
[2] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994. 
 
 
 
 
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Sistemas de Equações do 1º grau com duas incógnitas 
 
Neste post construímos uma planilha que encontra a solução de sistemas de 
equações do primeiro grau com duas incógnitas e para isso, resolvemos por 
expressar x e y (solução do sistema) por meio dos coeficientes das equações. 
 
Acredito que seja interessante visualizar o processo; então, além de dispor algum 
conteúdo e a planilha a respeito do tema, indicamos os passos para encontrar x e y 
em função dos coeficientes das equações. 
 
 
O procedimento para encontrar x e y 
Partindo do sistema 
 
 
 
com as equações ax + by = c e dx + ey = f, em que a, b, c, d, e e f são números reais 
quaisquer, evidenciamos x nas duas equações, obtendo: 
 
 
Das igualdades temos: 
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Agora, evidenciando y nas duas equações temos, analogamente: 
 
Das igualdades: 
 
 
 
 
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Funcionalidades na Planilha 
A planilha realiza as funcionalidades: 
# Especifica local para os números a, b, c, d, e e f nas equações; 
# Encontra, caso exista, a solução do sistema; 
# Indica se o sistema possui infinitas soluções ou nenhuma; 
# Classifica o sistema em SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema 
possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível); 
# Apresenta o plano cartesiano com as duas retas geradas das equações. 
 
Os códigos Excel na planilha 
 
 
Equações 
Os espaços em amarelo indicam os locais em que se devem ser colocados os 
números a, b, c, d, e e f, de acordo com o sistema à esquerda (na figura). As únicas 
células que permitem a inserção de dados são as em amarelo. 
 
Solução 
A solução S = {x, y} é dada a partir do procedimento indicado anteriormente. A 
codificação de x e de y na planilha é dada por: 
x: 
=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(O5*L6
-L5*O6=0;"#";(O5*R6-R5*O6)/(O5*L6-L5*O6)))))))) 
y: 
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=SE(R6="";"";SE(O6="";"";SE(L6="";"";SE(R5="";"";SE(O5="";"";SE(L5="";"";SE(L5*O6
-O5*L6=0;"#";(L5*R6-R5*L6)/(L5*O6-O5*L6)))))))) 
Há ainda espaço reservado para indicar retorno sobre a solução do sistema: 
=SE(O10="";"";SE(O13="Sistema Possível e Determinado";"Admite uma única 
solução!";SE(O13="Sistema Possível e Indeterminado"; "Admite infinitas soluções!"; 
"Não admite soluções!"))) 
Foram organizadas algumas condições para os casos em que o sistema admita 
infinitas soluções ou não admita solução real. Ocorrendo um destes dois casos, a 
solução x e y irá apresentar o símbolo #, que é interpretado na classificação do 
sistema e na informação sobre o número de soluções. 
 
Classificação do Sistema 
A classificação é dada por: 
=SE(O10="";"";SE(O10="#";SE(L5/L6=R5/R6;"Sistema Possível e 
Indeterminado";"Sistema Impossível");"Sistema Possível e Determinado")) 
 
Gráfico 
São geradas duas retas para as equações num mesmo plano cartesiano. Elas 
servem, entre outros, para evidenciar as classificações do sistema. 
Caso as duas retas se cruzem em um único ponto, significa que o sistema é 
POSSÍVEL e DETERMINADO, contendo uma única solução. 
Caso as duas retas estejam sobrepostas, significa que o sistema é POSSÍVEL e 
INDETERMINADO, contendo infinitas soluções. 
Caso as duas retas sejam paralelas, significa que o sistema é IMPOSSÍVEL, ou é, 
não existe solução real para o sistema. 
 
Para a construção das retas, foi estipulado um intervalo em x [-10, 10], com tabela 
em três colunas: coluna x, coluna equação 1 (y1) e coluna equação 2 (y2). 
 
Referência 
[1] GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental. Editora FTD. São Paulo, 1994.