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CÁLCULO NUMÉRICO Aula 6 – Revisão AV1 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Revisão dos principais conceitos e expressões a partir da resolução de exercícios. SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 1 Considerando o método do ponto fixo, indique funções de iteração F (x) para resolução da equação x2 - 5x - 3 = 0 SOLUÇÃO: Devemos ter que x = F (x); x2 - 5x - 3 = 0 5x = x2 -3 x = (x2 -3)/5 x2 - 5x - 3 = 0 x2 = 5x + 3 x = 5/x + 3/x2 x2 - 5x - 3 = 0 x2 - 5x = 3 x.(x-5) = 3 x = 3/(x-5) SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 2 Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: a)(-2,0; -1,5) b)(-1,5; - 1,0) c) (-1,0; 0,0) d)(0,0; 1,0) SOLUÇÃO: TEOREMA DE BOLZANO f(-2)= -9 f(-1,5) = -2,625 f(-1) = 1 f(0) = 3 f(1) = 3 f(-2)*f(-1,5) = 23,625 > 0 f(-1,5)*f(-1) = -2,625 < 0 f(-1)*f(0) = 3 > 0 f(0)*f(1) = 9 > 0 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 3 Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação. SOLUÇÃO: f(0) = 1 e f(1) = -1. Como f(0)*f(1) < 0, existe 1 raiz real (0,1). Primeira iteração: xm= (0+1)/2 = 0,5 f(0,5) = 0,125. Como f(0,5)*f(1) < 0, novo intervalo (0,5;1) Segunda iteração: xm= (0,5+1)/2 = 0,75 f(0,75)= -0.547. Como f(0,5)*f(0,75) < 0, novo intervalo (0,5;0,75). Assim, xm= (0,5+0,75)/2 = 0,625 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 4 A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 3,2 b) 2,4 c) 1,6 d) 0,8 e) 0 SOLUÇÃO: Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8 Fórmula de recorrência: k=1 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 5 Determine a raiz real positiva da função f(x) = x3 - 8x, com precisão de 0,01 empregando o Método de Newton Raphson. SOLUÇÃO: Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8 Fórmula de recorrência: Valor inicial xo = 4 k=1: f(4) = 43 – 8.4 = 32 f´(4) = 3.42 -8 = 40 4 – 3,2 = 0,8 > 0,01 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 5 - CONTINUAÇÃO k=2: x1 = 3,2 f(3,2) = 3,23 – 8.3,2 = 7,168 f´(3,2) = 3.(3,2)2 -8 = 22,72 3,2 – 2,885 = 0,315 > 0,01 k=3: x2 = 2,885 f(2,885) = (2,885)3 – 8.(2,885) = 0,9325 f´(2,855) = 3.(2,885)2 -8 = 16,9697 2,885-2,83= 0,055 > 0,01 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO EXERCÍCIO 5 - CONTINUAÇÃO k=4: x3 = 2,83 f(2,83) = (2,83)3 – 8.(2,83) = 0,02519 f´(2,83) = 3.(2,83)2 -8 = 16,0267 2,83-2,829= 0,001 < 0,01 RAIZ APROXIMADA: 2,829 SSSSS REVISÃO AV1 CÁLCULO NUMÉRICO RESUMINDO Nesta aula vocês revisaram os principais conceitos e expressões de cálculo numérico, a partir da resolução de exercícios. LEMBRETE: AV1 – MATÉRIA TODA SSSSS * *
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