PF 2015.2 Discursivas

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INSTITUTO DE FI´SICA - UFRJ
Parte 2 - PF Fı´sica I - 2015-1
Questo˜es Discursivas
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que: todos os fios e molas sa˜o ideais;
os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resisteˆncia do ar e´ desprezı´vel;
a gravidade tem mo´dulo g conhecido.
Questa˜o 1 [valor 2,6]
Um fio ideal se encontra enrolado em torno de um cilindro macic¸o de massa M e raio R e na˜o
desliza sobre o cilindro. O cilindro gira com atrito desprezı´vel em torno de um eixo horizontal fixo,
sendo MR2/2 seu momento de ine´rcia em relac¸a˜o a esse eixo. O fio passa por uma polia de massa
desprezı´vel. A outra extremidade do fio esta´ amarrada a uma bola de borracha de massa m, de
raio desprezı´vel, que se encontra inicialmente em repouso a uma altura H do solo, como mostra a
figura. Supondo que o fio se encontre inicialmente esticado e a bola colida elasticamente com o solo,
determine:
a) o mo´dulo v da velocidade com que a bola colide com o solo;
b) o mo´dulo T da tensa˜o no fio no instante imediatamente
anterior a` colisa˜o da bola;
gabarito
a)[1,2] Pela conservac¸a˜o da energia teremos que
Ei = Ef =⇒ mgH =
1
2
mv2 +
1
2
Iω2.
Contudo I = 1
2
MR2 e v = ωR. Com isso tiramos que
mgH =
1
2
mv2 +
1
4
MR2v2/R2 =⇒ v = 2
√
mgH
2m+M
b)[1,4] Pela segunda lei de Newton tiramos para o cilindro que
~τ
R
= I~α =⇒ −Iαkˆ = Rjˆ × T iˆ =⇒ Iα = RT
e da mesma, no caso da bola, teremos que
~F
R
= −majˆ = ~P + ~T =⇒ −majˆ = T jˆ −mgjˆ =⇒ T = m(g − a).
Contudo sabemos que a = αR e com isso, ao usarmos a primeira equac¸a˜o, podemos mostrar que
T =
mMg
2m+M
.
Questa˜o 2 [valor 2,6]
Dois blocos de massas mA e mB esta˜o em contato entre si, com o bloco B sobre o bloco A. Um
fio ideal ligado ao bloco B tem sua outra extremidade presa em um suporte vertical fixo. O bloco A
encontra-se inicialmente em repouso sobre uma superfı´cie horizontal sem atrito, e num dado instante e´
puxado por uma forc¸a ~F horizontal constante, como mostra a figura. A forc¸a ~F tem mo´dulo suficiente
para deslocar o bloco A. Sabe-se que existe atrito entre as superfı´cies de contato entre os blocos, cujo
coeficiente de atrito cine´tico e´ µc.
a) Fac¸a o diagrama das forc¸as que atuam sobre os blocos A
e B separadamente;
b) Determine a acelerac¸a˜o com que o bloco A se move e o
mo´dulo da trac¸a˜o que age no fio preso ao bloco B;
c) Determine o mo´dulo da forc¸a resultante que o bloco B
exerce sobre o bloco A;
Soluc¸a˜o
a) valor=0,8 pontos
Isolando os blocos, as forc¸as que agem em cada bloco, sa˜o mostradas na figura,
~PA, ~PB as forc¸as peso em A e B
~NB, ~N
′
B a forc¸a normal em B e sua reac¸a˜o em A
~NA a forc¸a normal em A devido ao solo
~fat, ~f
′
at a forc¸a de atrito em B e sua reac¸a˜o em A
~F a forc¸a aplicada em A
~T a trac¸a˜o aplicada em B
b) valor= 1,3 pontos
Considerando que o bloco B permanec¸a parado em relac¸a˜o a um referencial fixo no solo e o
bloco A desloca-se no sentido de ıˆ temos
bloco A


F − f ′at = mAaA
−PA −N
′
B +NA = 0
bloco B


−T + fat = mBaB = 0
−PB +NB = 0
Das duas primeiras linhas de cada sistema obtemos, e como | ~fat| = µcmBg,

F − f ′at = mAaA
−T + fat = 0 → T = µcmBg
De acordo com 3a Lei de Newton, | ~fat| = |f
′
at|, e da primeira linha do sistema de equac¸o˜es, obtemos,
aA =
F − T
mA
=
F − µcmBg
mA
c) valor= 0,5 ponto
As forc¸as que agem sobre o bloco A devido ao bloco B sa˜o ~f ′at e ~N
′
B . Estas forc¸as sa˜o perpendic-
ulares entre si, logo o mo´dulo da forc¸a resultante de B sobre A e´
|~FA(B)| =
√
|~f ′at|
2 + | ~N ′B|
2. Mas | ~N ′B| = |
~NB| = mBg e |~f
′
at| = µcmBg, assim,
|~FA(B)| =
√
|µcmBg|2 + |mBg|2 ∴ |~FA(B)| = mBg
√
µ2c + 1