Tecnologia da Amostragem - Proporções (Prof. Vermelho)

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Proporção é o número de unidades, de uma 
população, que possui determinada 
característica, dividido pelo total de unidades 
dessa mesma população.
•O denominador é sempre o número de unidades na 
população
•Proporção é um número entre 0 e 1 (inclusive)
•Pode ser representada em porcentagem (0 e 100)
AAS – Estimação de Proporções
AAS – Estimação de Proporções
• Amostragem de proporções
• Pode-se encarar como caso particular do que foi visto 
anteriormente
• O interesse é estimar a proporção de unidades da 
população que pertence a determinada categoria
• Exemplos:
– proporção de alunos do sexo masculino na ENCE
– proporção de fumantes na população
– peças defeituosas num lote
AAS – Estimação de Proporções
• Notação
• Seja a população PN={U1,U2,...,UN}
• Supõe-se PN dividida em duas subpopulações:
• A proporção das unidades, na população, que possuem a 
característica C é:
• A proporção das unidades que não possuem a 
característica C é:
: unidades que possuem a característica C
: unidades que não possuem a característica C
C
NC
N
N
P
P
P=
N C
N
1NC CN N NQ P
N N
-
= = = -
AAS – Estimação de Proporções
• Seja uma característica de interesse definida da 
seguinte maneira:
• Então o total dessa característica será:
• A média será:
• Variância:
¯
Y= 1
N∑i=1
N
Y i=
NC
N
=P
S2= NN−1 PQ=
N
N−1 P(1−P) 
(σ2=PQ )
Y=∑
i=1
N
Y i=NC
Y i=1, se U i∈PNC ou Y i=0, se U i∉PNC (ouU i∈PNNC )
AAS – Estimação de Proporções
• Suponha AAS
• Um estimador não viciado para P é:
– onde n é o tamanho da amostra e nC é o número de 
unidades que possuem a característica na amostra
• A variância do estimador é:
• Que pode ser estimada por:
p=
nC
n
= y¯
V AAS( p )=(1−f )
S2
n
=N−n
N−1
PQ
n
v AAS ( p )=(1−f )
pq
n−1
=( N−nN ) pqn−1
AAS – Estimação de Proporções
• Intervalo de confiança para P
• Para N grande vale a aproximação normal
• Correção de continuidade, para n pequeno
Ep=| p−P|
P(|p−P |<D p)=1−α
D p=zα/2√V AAS(p)=zα/2√ N−nN−1 PQn
d p=zα/2√vAAS ( p)+ 12n =zα/2√ N−nN pqn−1+ 12n
AAS – Estimação de Proporções
• Intervalo de confiança para P
Exemplo: Numa eleição deseja-se estimar a votação dos 
candidatos A e B, numa região onde existem 1800000 
eleitores. Foi selecionada uma amostra (AAS) de 1200 
eleitores e destes 552 declararam seu voto em A, 359 
em B e os demais se disseram indecisos. 
– Estime os votos de A e respectivo IC95%
– Estime os votos de B e respectivo IC95%
– Estime o número de indecisos e respectivo IC95%
IC1−α (P ):[ p−Dp ;p+D p ]⇒ic1−α (P ): [ p−d p ;p+d p ]
AAS – Estimação de Proporções
• Tamanho da amostra para estimar proporções
• Seja Dp a margem de erro máxima admissível. Então:
• Logo:
• Para N “grande” tem-se:
2 2
2 2
1
1 1p p
N n PQ N PQD z D z
N n n Na a
- æ ö= Þ = -ç ÷- -è ø
n=
zα2
2 NPQ
N−1
DP
2 +zα2
2 PQ
N−1
⇒n0=
zα2
2 NPQ
(N−1)DP
2 ⇒n=
n0
1+
n0
N
n=
zα2
2 PQ
DP
2 +zα2
2 PQ
N
⇒n0=
zα2
2 PQ
DP
2 ⇒n=
n0
1+
n0
N
AAS – Estimação de Proporções
• Tamanho da amostra para proporções
• No caso de proporções a variância é limitada e é 
máxima quando P= Q = 0,5
AAS – Estimação de Proporções
• Novamente temos o problema de não conhecer P e, 
portanto, a variância PQ
• Como no caso das variáveis contínuas podemos:
– Avaliar a ordem de grandeza de P em pesquisas anteriores
– Usar uma pesquisa piloto para ter uma estimativa de inicial 
de P
– Usar o resultado mostrado no gráfico e supor P=0,5
• Na terceira opção temos:
n=
0,25 zα2
2
DP
2+
0,25 zα2
2
N
⇒n0=
zα2
2
4DP
2 ⇒n=
n0
1+
n0
N
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