Buscar

Tecnologia da Amostragem - Amostragem Estratificada (Prof. Vermelho)

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 14 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 14 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 14 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Tecnologia de Amostragem I
• Amostragem Estratificada
• Divisão da população em grupos chamados de 
estratos, motivada por:
– melhora da precisão das estimativas
– estimativas independentes para estratos além da população 
como um todo
– questões administrativas, estratos naturais
• Motivação técnica:
• Erro diminui quando amostra cresce mas cresce 
quando a variabilidade é grande!
• Saída: dividir a população em grupos (estratos) o 
mais homogêneos possíveis
 V AAS ( y¯ )=(1−f )
S y
2
n
Tecnologia de Amostragem I
• Exemplo numérico:
• Seja uma população P8 onde se conhece as 
variáveis renda domiciliar (y) e bairro de 
moradia (x) como na tabela abaixo:
Y¯=22,5 σ2=153 S2=174,857
Y¯ A=36,67 σ A
2 =11,56 S A
2=17,33
Y¯ B=14 σ B
2=56,5 SB
2=45,2
i 1 2 3 4 5 6 7 8
Yi 24 32 10 12 40 38 5 19
Xi B A B B A A B B
Estrato A Estrato B
i 2 5 6 i 1 3 4 7 8
Yi 32 40 38 Yi 24 10 12 5 19
Xi A A A Xi B B B B B
Tecnologia de Amostragem I
• Vamos selecionar amostras de tamanho 4 da 
seguintes maneiras:
– AAS na população PN
– AAS de tamanho 2 no estrato A e AAS de 
tamanho 2 no estrato B
• Pode-se então calcular:
 V AAS ( y¯ )=(1− f )
S2
n
 V AAS ( y¯A )=(1− f A )
SA
2
nA
 V AAS ( y¯B)=(1− f B)
SB
2
nB
Tecnologia de Amostragem I
• Pode-se calcular a média da população como uma 
média ponderada das médias dos grupos A e B
• Propomos como estimador da média populacional a 
seguinte estatística:
• Portanto:
• O efeito da estratificação é dado por:
• Escolha do método de amostragem: melhor método é 
o que tem menor variância para o estimador
y N
N
y N
N
yes A A B B 
V ( y¯es)=(N AN )
2
V ( y¯A)+( NBN )
2
V ( y¯ B)
 EPA=
V ( y¯es)
V ( y¯)
Tecnologia de Amostragem I
• Nem tudo são flores!
• Vamos supor que ao invés de usar a variável bairro 
para estratificar, fosse usada outra variável tal que:
• Será isso razoável?
• EPA = ?
Y¯ A=23 ,5 σ A
2 =164 ,75 SA
2 =219 ,67
Y¯ B=21 ,5 σ B
2=139 ,25 SB
2=185 ,67
Estrato 1 Estrato 2
i 5 2 3 4 i 1 6 7 8
Yi 40 32 10 12 Yi 24 38 5 19
Xi A A B B Xi B A B B
Tecnologia de Amostragem I
• Formalizando
• Seja a população PN={U1, U2,..., UN}
• Dividida nos estratos:
• De maneira que:
P U U U
P U U U
P U U U
N N
N N
N H H HNH H
1 1
2 2
11 12 1
21 22 2
1 2
= { , ,..., }
= { , ,..., }
= { , ,..., }

PN=PN1∪PN2∪.. .∪PN H e PN1∩PN 2∩. ..∩PNH=∅
Tecnologia de Amostragem I
• Pode-se representar uma população estratificada por:
Estrato Total Média Variância
1
... ... ... ...
h
... ... ... ...
H
População
 1
 h
 H
1 1 Y
 h hY
 H HY
 1
2
1
2ou S
 h hou S2 2
 H Hou S2 2
   Y  2 2ou S
Tecnologia de Amostragem I
• Alguma notação: população
Nh : Tamanho do estrato h
τh=∑
i=1
Nh
Y hi Total do estrato h
μh=Y¯ h=
1
N h
∑
i= 1
Nh
Y hi Média do estrato h
Sh
2=1
Nh−1
∑
i=1
N h
(Y hi−μh)
2 Variância do estrato h
W h=
Nh
N
 Peso do estrato h,∑
h=1
H
W h=1
N=∑
h=1
H
Nh Tamanho da População
τ=∑
h=1
H
τh Total da População
μ=1
N ∑h=1
H
∑
i=1
Nh
Y hi Média da População
S2=1
N−1 ∑h=1
H
∑
i=1
Nh
(Y hi−μ)2 Variância Populacional
Tecnologia de Amostragem I
• Alguma notação: amostra
nh : Tamanho da amostra no estrato h
yhi : i−ésima observação do estrato h
μh=Y¯ h=
1
N h
∑
i= 1
Nh
Y hi Média do estrato h
f h=
nh
N h
 Fração amostral do estrato h
y¯h=
1
nh
∑
i=1
nh
yhi Média amostral do estrato h
sh
2=1
nh−1
∑
i=1
nh
( yhi− y¯h)
2 Variância amostral h
n=∑
h=1
H
nh Tamanho total da amostra
Tecnologia de Amostragem I
• Alguns resultados interessantes e úteis
• Ou seja: a variância pode ser vista como uma soma 
das variâncias dentro dos grupos (estratos) mais uma 
medida da variância entre os grupos, onde:
• ou:
  2 2 2 d e
σd
2=∑
h=1
H
W hσ h
2
σe
2=∑
h=1
H
W h(Y¯ h−Y¯ )
2
σ2=∑
h=1
H
W hσh
2+∑
h=1
H
W h (Y¯ h−Y¯ )
2
S2=∑
h=1
H Nh−1
N−1
Sh
2+∑
h=1
H Nh
N−1 (Y¯ h−Y¯ )
2
Tecnologia de Amostragem I
• Estimador da média populacional ou média global:
• onde é o estimador da média no estrato h
• Se todos os são estimadores não viciados tem-
se que: 
• Em particular isso ocorre se os estimadores de cada 
média de estrato for a correspondente média 
amostral
y¯es=
1
N∑h=1
H
N h y¯h=∑
h=1
H
W h y¯h
yh
yh
E ( y¯es)=Y¯
Tecnologia de Amostragem I
• Exemplo: Uma vila foi dividida (estratificada) em três conjuntos de 
domicílios segundo suas características: 1- região onde moram 
trabalhadores da industria, 2- moradores mais antigos, 3-área rural. Foi 
selecionada uma amostra em cada estrato e investigado o número de 
horas em que se assiste televisão por semana em cada domicílio.
– Estimar a média de horas por semana em cada estrato e na 
população
– Existe evidência que o número de horas difere em cada estrato?
Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3
35 28 26 41 27 4 49 10 8 15 21
43 29 32 37 15 41 25 30 14 30 20
36 25 29 31 12 32 34
39 38 40 45
28 27 35 34
155 62 93N1= N2= N3=
Tecnologia de Amostragem I
• Importante: o estimador sugerido para a média 
populacional na amostragem estratificada não é a 
média amostral
• A média amostral é dada por:
• Então:
y
n
y
n
n y
w y w n
n
h H
hi
i
n
h
H
h h
h
H
h h
h
H
h
h
h


  






1
1
1 2
11
1
1
, , , ,...,onde
y y w W h Hes h h  se para todo 1 2, ,...,
Tecnologia de Amostragem I
• Um estimador para o total populacional seria dado por:
• Variância dos estimadores:
• Média:
• Total:
• E se em todos os estratos tivermos AAS?
Y^=∑
h=1
H
Y^ h=∑
h=1
H
N h y¯h=N y¯es
V AE ( y¯es)=∑
h=1
H
W h
2V ( y¯h)
V AE(Y^ es)=N2∑
h=1
H
W h
2V ( y¯h)=∑
h=1
H
N h
2V ( y¯h)
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14

Outros materiais