Tecnologia da Amostragem - Amostragem Estratificada (2ª Parte) (Prof. Vermelho)

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Amostragem estratificada
• Alocação da amostra
– um problema na amostragem estratificada é determinar 
como dividir as n unidades da amostra total em cada 
estrato de modo que: 
• Chama-se este problema de Alocação da Amostra
• Os três tipos principais de alocação são:
– Alocação proporcional
– Igual
– Ótima ou de Neyman
n=∑
h=1
H
nh
Amostragem estratificada
• Alocação proporcional
• Nesse tipo de alocação o número de unidades na 
amostra em cada estrato é proporcional ao tamanho do 
estrato:
• Portanto:
• Alocação igual:
• Pode-se adaptar adequadamente as fórmulas das 
variâncias dos estimadores para cada alocação
n nW
n N
N
h H
h h
h

 , , ,...,para todo 1 2
f n
N
n
N
h Hh h
h
  , , ,...,para todo 1 2
n n
H
h Hh  , , ,...,para todo 1 2
Amostragem estratificada
 Exemplo: Uma região possui 60 municípios e deseja fazer uma amostragem para atualizar 
a estimativa do total de sua população.
 Para isso foi decidido pesquisar 20 cidades e deseja-se saber qual seria o mais eficiente 
para o caso: uma AAS, uma AAE com alocação proporcional ou AAE com alocação 
igual.
 As cidades foram agrupadas em dois estratos segundo a população apurada no último 
Censo (cidades grandes: mais de 300 mil habitantes; e cidades pequenas: menos de 300 
mil habitantes). A tabela mostra essa estratificação e as populações, no censo, em milhares 
de habitantes.
Estrato 1 776 622 583 502 468 468 438 437 419 416 404 382 370 346 318
Estrato 2
297 295 294 292 290 285 270 255 250 250 244 241 238 236 234
231 220 218 215 211 204 202 201 192 190 190 188 178 178 171
167 166 163 162 157 145 141 141 139 125 122 118 112 111 110
Estrato 1 Estrato 2
Total 6.949 9.039
Soma de quadrados 3.417.311 1.954.179
Amostragem estratificada
• Alocação Ótima de Neyman
• Sabe-se que populações (ou estratos) grandes precisam de amostras 
grandes
• Sabe-se que fenômenos com grande variabilidade também precisam de 
amostras grandes
• Suponha que o custo para pesquisar uma unidade amostral pode variar 
para cada estrato
• A Alocação Ótima de Neyman leva tudo isso em conta:
• O custo da pesquisa será suposto linear, ou seja:
n n
N S c
N S c
h
h h h
h h h
h
H


1
C c n c
c h
c h
h h
h
H
h
 

0
1
0Onde é o "custo de escritório" que não depende de
é o custo de pesquisar uma unidade de
Amostragem estratificada
• Tendo o Custo fixo pode-se calcular o tamanho da amostra 
por:
• Fixando a variância desejada para estimar a média como 
V, tem-se:
n=
(C−c0)∑
h=1
H
Nh Sh/√ch
∑
h=1
H
Nh Sh √ch
n=
(∑h=1
H
W h Sh /√ch)(∑h=1
H
W h Sh √ch)
V+ 1
N ∑h=1
H
W hSh
2
Amostragem estratificada
• Para o caso em que os custos para coleta dos dados 
independem do estrato tem-se
• A alocação acima é a que minimiza a variância 
quando o tamanho total da amostra, n, é dado
• Usa-se também essa fórmula quando não se tem 
nenhuma idéia sobre o custo de coleta nos estratos
n n N S
N S
n W S
W S
h
h h
h h
h
H
h h
h h
h
H 
 
 
1 1
Amostragem estratificada
• Dado um tipo de alocação, pode-se adaptar as 
fórmulas das variâncias dos estimadores:
• Alocação proporcional:
• Alocação igual ou uniforme
• Alocação ótima ou Neyman
2
1
1( )
H
prop h h
h
fV y N S
nN =
-
= å
2 2 2
2
1 1
1( )
H H
igual h h h h
h h
HV y N S N S
N n = =
æ ö
= -ç ÷
è ø
å å
2
2
2
1 1
1 1( )
H H
ot h h h h
h h
V y N S N S
N n = =
é ùæ ö
= -ê úç ÷
è øê úë û
å å
Amostragem estratificada
• Tamanho da amostra estratificada - caso geral
• Seja V a variância mínima desejada para estimar a média da 
população
Seja uma alocação qualquer nh= nah, onde ah é a constante que 
define a alocação no estrato h
• Pela fórmula da variância da média temos
• Portanto os ah vão depender da alocação escolhida
• Proporcional: Ótima:
V=∑
h= 1
H
W h
2(1−nahNh ) Sh
2
nah
=1
n∑h=1
H
W h
2 Sh
2
ah
− 1
N ∑h=1
H
W h Sh
2⇒ n=
∑
h=1
H
W h
2 Sh
2
ah
V+ 1N∑h=1
H
W h Sh
2
ah=W h=
Nh
N ah=
W h Sh /√ch
∑
h=1
H
W h Sh/√ch
Amostragem estratificada
• Alocação igual ou uniforme: 
• Pode-se usar a mesma estratégia do cálculo do tamanho 
da amostra na AAS, calculando n0 e depois n, onde:
• Fixando o erro, d ou dr, invés da variância V:
ah=
1
H
n0=
1
V ∑h=1
H W h
2Sh
2
ah
n
n
NV
W Sh h
h
H



0
2
1
1 1
V=( dzα2)
2
ou V=(dr ¯^Yzα2 )
2
Amostragem estratificada
• Intervalos de confiança para a média e total, supondo AAS dentro 
dos estratos
• Seja a variância amostral em cada estrato:
• Um estimador não viciado para variância da estimativa da média 
é:
• Intervalos de confiança podem ser calculados por:
• Para o total, basta multiplicar os limites por N
sh
2= 1
nh−1
∑
i=1
nh
( yhi− y¯h)
2
v ( y¯es)=∑
h=1
H W h
2 sh
2
nh
−∑
h=1
H W hsh
2
N
IC1−α (Y¯ ) : [ y¯es−zα /2√v ( y¯es); y¯es+zα /2√v ( y¯es)]
Amostragem estratificada
• Quando as amostras nos estratos são muito 
pequenas aconselha-se substituir a aproximação 
Normal pela t de Student com gl graus de 
liberdade
• Graus de liberdade
• gl deve ser arredondado
gh=
N h (Nh−nh )
nh
, gl=
(∑h=1
H
gh sh
2)
2
∑
h=1
H
[gh2 sh4 (nh−1)]
• Estratificação por corte
• Ideia: fazer um Censo nas maiores unidades e uma 
amostra (estratificada) nas restantes
Amostragem estratificada
Amostragem estratificada
• Suponha que o estrato certo é h=1 
• Estimador da média da população
• Sua variância é dada por:
• Para o total populacional tem-se:
y¯ec=∑
h=1
H
W h y¯h=W 1 Y¯ 1+∑
h= 2
H
W h y¯h
V AEc( y¯ec)=W 12V (Y¯ 1)+∑
h= 2
H
W h
2V ( y¯h)
 mas V (Y¯ 1)=0
 portanto V AEc ( y¯ec)=∑
h=2
H
W h
2V ( y¯h)
Y^ ec=N1 Y¯ 1+∑
h=2
H
Nh y¯h
V AEc(Y^ ec )=∑
h=2
H
Nh
2V ( y¯h)
Amostragem estratificada
• Amostra estratificada - proporções
• Numa população com H estratos:
• A variância de y no estrato h é dada por:
• Estima-se a proporção na população por:
• Sua variância é dada por:
Ph=
N ch
Nh
Nch=unidades no estrato h com a característica
S
N P Q
Nh
h h h
h
2
1


p
N
N p W pes h h
h
H
h h
h
H
 
 
 1
1 1
V AE (pes)=∑
h= 1
H
W h
2V ( ph )
V AE (pes)=∑
h= 1
H
W h
2(N h−nhN h−1 )PhQhnh
Amostragem estratificada
• Tamanho da amostra
• Alocação proporcional: nh=nWh
• Fixando a variância V
• Então
• Supondo Nh “grande”
n=
∑
h=1
H
W hPhQh
V+ 1
N∑h= 1
H
W hPhQh
ou n0=
∑
h=1
H
W hPhQh
V
⇒n=
n0
1+
n0
N
V=∑
h=1
H
W h
2(Nh−nW hNh−1 )PhQhnW h
=N
n ∑h=1
H
W h
2 PhQh
Nh−1
−∑
h=1
H
W h
2PhQh
N h−1
n=
N∑
h=1
H
Wh
2 PhQh
N h−1
V+∑
h=1
H
Wh
2 PhQh
Nh−1
n0=
N∑
h=1
H
W h
2 PhQh
N h−1
V ⇒n=
n0
1+
n0
N
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