Tecnologia da Amostragem - Amostragem Sistemática (Prof. Vermelho)

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Amostragem Sistemática
Definição
Selecionar cada ka unidade de uma população, 
começando de uma partida aleatória (r)
• Características principais
• As unidades são selecionadas sem reposição 
(sem repetição)
• As unidades têm todas a mesma chance de 
serem selecionadas (1/k)
Amostragem Sistemática
• Aspectos importantes
– Requer acesso a lista das unidades da população
– A lista pode ser construída ao mesmo tempo em 
que está sendo feita a seleção da amostra e coleta 
dos dados
– As unidades são selecionadas uma de cada vez
– Deve-se especificar
• Intervalo de seleção ou amostragem (k)
• Partida aleatória (r)
Amostragem Sistemática
• Intervalo de seleção: parte inteira do tamanho da 
população dividido pelo tamanho da amostra
• Partida aleatória: número inteiro escolhido 
aleatoriamente entre 1 e k 
• Probabilidade de seleção para todas as unidades 
na amostra:
k=[Nn ], inteiro
P(U I∈amostra)=
1
k
Amostragem Sistemática
• Amostragem Sistemática
• Exemplo
• N = 36, n = 9
• Unidades selecionadas: U2, U6, U10, U14, U18, U22, U26, U30, U34
• As unidades marcadas são selecionadas para a amostra
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
36k = 4, r 2
9
é ùÞ = =ê úë û
Amostragem Sistemática
• Amostragem Sistemática - Exemplo
• N = 49, n = 7
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
49k = 7, r 5
7
é ùÞ = =ê úë û
• As unidades marcadas são selecionadas para a 
 amostra
Amostragem Sistemática
• Amostragem Sistemática
• Vantagens
• Fácil de selecionar
• Espalha a amostra sobre a população
• Fácil de estimar os parâmetros
• Desvantagens
• Custo elevado (amostra espalhada)
• Influência da ordenação (periodicidade)
• Difícil estimativa da precisão
Amostragem Sistemática
• Exemplo do Cochran – possíveis amostras 
sistemáticas para N=23, n=4  k=5
• O tamanho das amostras varia de acordo com o 
valor de r
• Para n > 50 ignora-se o problema
I II III IV V
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23
Amostragem Sistemática
• Alternativa sugerida por Lahiri: circular
• Suponha que as N unidades estão dispostas em 
“círculo”: após a última unidade vem a primeira
• Seja k o inteiro mais próximo de N/n
• Seja r um aleatório entre 1 e N
• Amostra: tome o elemento r as k-ésimas unidades 
seguintes ao redor do “círculo”, até completar n 
unidades
• Exemplo: N = 23, n = 5, k = 5, r = 12
• Amostra: 12, 17, 22, 4 e 9
• Exemplo: N = 23, n = 3, k = 7, r = 15
• Amostra: 15, 22 e 6
Amostragem Sistemática
• Estimador do total:
• Estimador da média:
• Variância do estimador, pela definição:
1
ˆ
1Se 
AS r
AS AS
n
AS i
i
Y kyY y
N N
N nk y y
n =
= = =
= Þ = å
)
y¯ i .= estimativa da média da i-ésima amostra
 possível
 V AS( y¯AS)=
1
k ∑i= 1
k
( y¯ i .−Y¯ )2
1
n
AS i r
i
Y k y ky
=
= =å
)
Amostragem Sistemática
• Estimativa da variância
• Quando os valores da população estão “ordenados” 
aleatoriamente pode-se fazer uma analogia com AAS:
• Caso exista uma ordenação, as coisas podem 
complicar um pouco!
• Ver Cochran capítulo 8
v( y¯ AS )=
N−n
Nn
∑
i=1
n
( yi− y¯ AS)
2
n−1
= N−n
N
s2
n
Amostragem Sistemática
• Efeito de “Estratificação”
• Esta fórmula pode ser usada quando se nota 
uma “estratificação” na população 
amostrada
• Tendência Linear
v ( y¯AS)=
N−n
Nn
∑ ( yi− yi+k)2
2 (n−1)
v ( y¯AS)=
N−n
Nn
∑ ( yi−2 y i+k+yi+2k)2
6 (n−2)
Amostragem Sistemática
• Ambas as fórmulas podem funcionar bem 
para amostras razoavelmente grandes, quando 
as suposições forem razoáveis
• Proposta: se possível aleatorizar a população 
antes de selecionas (usar a ideia de Hàjek) e 
usar a fórmula da AAS
Seleção com intervalo fracionário 
• Seja uma população de tamanho N de onde se deseja 
selecionar uma amostra de tamanho n
• O intervalo de seleção será k=N/n, podendo ser fracionário
• A Seleção Sistemática dará sempre o mesmo tamanho de 
amostra
• Método utilizado pelo SAS
• Todas as unidades têm a mesma probabilidade de seleção e 
de inclusão
• P(Ui) = pi = 1/k
 
• Método de seleção
• Selecione um aleatório, g, inteiro entre 1 e N, 
inclusive
• Calcule os valores g, g+N, G+2N, ..., g+(n-1)N
• Divida os valores calculados por n e arredonde para 
cima
• Esses serão os índices das unidades selecionadas 
para a amostra 
Seleção com intervalo fracionário 
 
• Exemplo: N = 1000; n = 90
• Seja g = 33
• Teremos 33, 1033, 2033, …,89033
• Unidades na amostra: U1, U12, …, U990
• Seja g=1000
Teremos 1000, 2000, 3000, …,90000
 Unidades na amostra: U12, U23, …, U1000
Seleção com intervalo fracionário 
 
• Com esse método de seleção tem-se:
• Estimador para o total populacional:
• Estimador da média populacional
• Ambos os estimadores são não viciados
• Continua o problema para estimar variância dos estimadores!!
Seleção com intervalo fracionário 
Y^ si=k∑
i=1
n
yi=
N
n ∑i=1
n
yi
y¯ si=
k
N∑i=i
n
yi=
1
n∑i=i
n
yi
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