Tecnologia da Amostragem - Amostragem Probabilidades Desiguais (Prof. Vermelho)

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Amostragem Com Probabilidades Desiguais
• Em alguns casos na amostragem, associa-se 
probabilidades distintas de cada unidade da 
população ser incluída na amostra
– Unidades distintas em importância para o 
fenômeno estudado
– Unidades com tamanhos muito variados
– Estimativas mais precisas
• As diferentes probabilidades de seleção serão 
levadas em conta na estimativa dos 
parâmetros e de sua respectiva precisão
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Caso de seleção com reposição
• Seja uma população PN qualquer onde a probabilidade de ser 
selecionada a unidade Ui para a amostra seja pi
• Um estimador não viciado para o total da população é dado por 
(Hansen-Hurwitz):
1
( ) , 1, 2 ,...,
1, 0, 1, 2 ,...,
i i
N
i i
i
P U p i N
p p i N
=
= =
= > =å
Y^ HH=∑
i=1
n yi
π i
=1
n∑i=1
n yi
pi
π i=npi , ∑
i=1
N
π i=n
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Variância do estimador de HH:
• Pode ser estimada por:
• Estimador da média:
• Variância e seu estimador:
 V (Y^ HH )=1n∑i=1
N
pi(Y ip i−Y)
2
 v (Y^ HH )= 1n(n−1)∑i=1
n ( y ip i−Y^ HH)
2
 μ^HH= y¯HH=
1
nN∑i=1
n y i
pi
=
Y^ HH
N
 V ( μ^HH )=
1
N 2
V (Y^ HH ) e
 v ( μ^HH )=
1
N2
v (Y^ HH )
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Exemplo: Estimar total de animais numa área de 
100km2 que foi dividida em lotes com 1km de 
largura e com comprimento variável. Uma amostra 
de 4 lotes, com reposição, foi retirada. Os 
resultados estão na tabela abaixo:
Animais Probabilidade
60 0,05
60 0,05
14 0,02
1 0,01
1
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Caso particular: Probabilidade Proporcional ao 
Tamanho (PPT)
• Suponha que se tenha a informação sobre uma 
variável, X, que possa ser entendida como tamanho da 
unidade amostral
• Ex: valor do faturamento de uma empresa; número de 
pés de café de uma fazenda; área plantada de lavoura; 
número de alunos da escola; etc...
• Pode-se, então, associar probabilidades de seleção de 
cada unidade proporcionais a sua medida de tamanho 
(ou importância).
• No exemplo anterior tínhamos a área dos lotes
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Dessa maneira define-se:
• O estimador de HH para o total fica:
• A variância é dada por:
• Estimativa da variância:
1
, 1, 2,...,i ii N
i
i
X Xp i N
NXX
=
= = =
å
Y^ PPT=
N X¯
n ∑i=1
n y i
X i
v (τ^ PPT )=
1
n(n−1)∑i=1
n ( y iX i N X¯−Y^ PPT)
2
V ( y^PPT )=
1
nX∑i=1
N
X i(
Y i
X i
X−Y )
2
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Algoritmo para seleção:
– Acumular os tamanhos
– Determinar os intervalos de seleção
– Aleatório entre 1 e tamanho total
– Selecionar unidade correspondente ao intervalo onde caiu o 
aleatório
– Repetir 3 e 4 até selecionar n unidades
• Exemplo: Estimar a despesa total das fazendas, usando uma 
amostra de n=2
Area 
acumulada Inferior Superior
1 50 50 1 50 1/15 50
2 500 550 51 550 2/3 700
3 200 750 551 750 4/15 180
DespesaIntervaloFazenda Área pi
• Todas as amostras possíveis de tamanho 2
Amostragem com Probabilidades Desiguais
Amostras y1 y2 P(y1) P(y2) P(y1;y2) YPPT YPPT*P(y1;y2) (YPPT-Y)^2*P(y1;y2) YAAS
11 50 50 1/15 1/15 1/225 750,00 3,33 144,00 150,00
12 50 700 1/15 2/3 2/45 900,00 40,00 40,00 1 125,00
13 50 180 1/15 4/15 4/225 712,50 12,67 841,00 345,00
21 700 50 2/3 1/15 2/45 900,00 40,00 40,00 1 125,00
22 700 700 2/3 2/3 4/9 1 050,00 466,67 6 400,00 2 100,00
23 700 180 2/3 4/15 8/45 862,50 153,33 810,00 1 320,00
31 180 50 4/15 1/15 4/225 712,50 12,67 841,00 345,00
32 180 700 4/15 2/3 8/45 862,50 153,33 810,00 1 320,00
33 180 180 4/15 4/15 16/225 675,00 48,00 4 624,00 540,00
930,00 14 550,00 930,00
399 262,50
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Seleção sistemática
1- Acumular os tamanhos
2- Determinar os intervalos de seleção
3- Intervalo de amostragem:
4- Aleatório entre 1 e k
5- Selecionar a unidade correspondente ao aleatório
6- Somar k ao aleatório e selecionar a unidade 
correspondente até ter a amostra desejada
• Sistemática aleatorizada
1- Reordenar aleatoriamente as unidades (Hajek)
2- Proceder uma seleção sistemática
k Tamanho total acumulado
Tamanho da amostra
NX
n
 
Amostragem com Probabilidades Desiguais
Estimador de Horvitz-Thompson
• Pode ser utilizado para amostras retiradas com ou sem 
reposição
• Baseado na probabilidade de inclusão da unidade na 
amostra
• Seja i a probabilidade da unidade i ser incluída na amostra 
i = 1, 2, ..., N
• Estimador não viciado para o total populacional dado por:
• Onde  é o número de unidades não repetidas na amostra
Y^ HT=∑
i=1
v yi
πi
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Será o estimador de HT não viciado?
• Seja a variável aleatória z tal que:
•
• Então z tem distribuição Bernoulli
• Pode-se ver que o estimador HT é não viciado 
redefinindo-o:
E (zi)=P (zi=1)=π i
V ( zi)=π i (1−π i)
Cov (zi ,z j)=π ij−π i π j
Y^ HT=∑
i=1
N Y i
πi zi
z i={1,Se u_i pertence à amostra0,caso contrário 
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Pode-se ainda calcular a variância do estimador:
• Cujo estimador é:
• Problema sério: pode dar < 0 (!)
V (Y^ HT )=∑
i=1
N 1−π i
π i
Y i
2+∑
i=1
N
∑
j≠i
π ij−π i π j
π iπ j
Y iY j
v (Y^ HT )=∑
i=1
ν 1−π i
π i
2 yi
2+∑
i=1
ν
∑
j≠i
π ij−π i π j
π i π j
yi y j
π ij
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Estimador alternativo:
• Seja
• Então
• Pode-se estimar a variância de por
• Onde 
 
t i=v
yi
πi
Y^ HT=
1
v∑i=1
v
t i
Y^ HT ,
~v (Y^ HT)=
N−v
N
st
2
v
st
2= 1
v−1∑i
v
(t i−Y^ ht)
2
Amostragem com Probabilidades Desiguais
Uso do estimador de HT para seleção com reposição
• Já vimos que a probabilidade de seleção da unidade i é pi, i 
= 1, 2,..., N
• A probabilidade de inclusão da unidade i na amostra é:
• ... E a probabilidade de inclusão das unidades i e j 
simultaneamente:
• No caso geral (sem reposição) os valores de i não são 
simples de se obter a priori
• Nos livros de Cochran e de Thompson são citadas vária 
alternativas (complicadas) de tratar o problema 
π i=1−(1−pi)
n
π ij=πi+π j−[1−(1−p i−p j)n ]
Amostragem com Probabilidades Desiguais
• Exemplo: estimar o pessoal ocupado total 
usando amostragem PPT, onde a variável de 
tamanho é a Receita e tamanho da amostra 
n = 3 Empresa Pessoal ocupado Receita pi  i
1 25 800 0,0816 0,2255
2 35 1200 0,1224 0,3242
3 17 600 0,0612 0,1727
4 31 1000 0,1020 0,2759
5 16 500 0,0510
6 35 1800 0,1837 0,4560
7 38 1800 0,1837 0,4560
8 15 400 0,0408 0,1175
9 27 900 0,0918 0,2510
10 24 800 0,0816 0,2255
Empresa Pessoal Ocupado Receita
pi i
1 25 800 0,0816 0,2255
2 35 1200 0,1224 0,3242
3 17 600 0,0612 0,1727
4 31 1000 0,1020 0,2759
5 16 500 0,0510 0,1454
6 35 1800 0,1837 0,4560
7 38 1800 0,1837 0,4560
8 15 400 0,0408 0,1175
9 27 900 0,0918 0,2510
10 24 800 0,0816 0,2255
Total 263 9800
Empresa Pessoal ocupado Receita pi  i
1 25 800 0,0816 0,2255
2 35 1200 0,1224 0,3242
3 17 600 0,0612 0,1727
4 31 1000 0,1020 0,2759
5 16 500 0,0510
6 35 1800 0,1837 0,4560
7 38 1800 0,1837 0,4560
8 15 400 0,0408 0,1175
9 27 900 0,0918 0,2510
10 24 800 0,0816 0,2255
Empresa Pessoal Ocupado Receita
pi i
1 25 800 0,0816 0,2255
2 35 1200 0,1224 0,3242
3 17 600 0,0612 0,1727
4 31 1000 0,1020 0,2759
5 16 500 0,0510 0,1454
6 35 1800 0,1837 0,4560
7 38 1800 0,1837 0,4560
8 15 400 0,0408 0,1175
9 27 900 0,0918 0,2510
10 24 800 0,0816 0,2255
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