Tecnologia da Amostragem - Amostragem de Bernoulli e Poisson (Prof. Vermelho)

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Amostragem de Bernoulli
• Método de seleção com probabilidades iguais
• Amostragem sem reposição
• Seja uma população PN, da qual se deseja 
selecionar uma amostra com tamanho 
esperado n, e seja: 
• Selecione números aleatórios ai, i=1, 2,..,N, 
correspondentes à cada unidade Ui de PN, e 
inclua na amostra todas as unidades para as 
quais ai<.
π= nN
Amostragem de Bernoulli
• Seja Ii a variável indicadora da presença de Ui 
na amostra:
• Portanto I1, I2, …, IN, são variáveis aleatórias 
iid, com distribuição de Bernoulli, tal que:
• Segue que as probabilidades de inclusão são 
dadas por: 
I i={1, seU i for selecionada 0, se U i não for selecionada}
P(I i=1)=π e P (I i=0)=1−π
π i=π, i=1,2,. .. ,N 
π ij=π
2 , i≠ j
Amostragem de Bernoulli
• O tamanho real da amostra, ns, é uma variável 
aleatória com distribuição Binomial de 
parâmetros N e .
• Portanto o valor esperado e a variância para o 
tamanho da amostra são dados por:
• Como as probabilidades de inclusão são 
perfeitamente conhecidas podemos utilizar o 
estimador de Horvitz-Thompson
EAB (ns)=Nπ=n e V AB(ns)=Nπ (1−π )
Amostragem de Bernoulli
• Estimador para o total populacional:
• A variância do estimador HT para o total se 
reduz a:
• Um estimador não viciado para a variância do 
estimador do total é dado por:
Y^ AB=
1
π∑i=1
ns
yi
V (Y^ AB)=( 1π−1)∑i=1
N
Y i
2
v (Y^ AB)=1π ( 1π−1)∑i=1
ns
yi
2
Amostragem de Bernoulli
• Um estimador mais eficiente para o total amostral 
pode ser dado por:
• A variância desse estimador pode ser aproximada 
por:
• E estimada por:
Y^ alt=
N
ns
∑
i=1
ns
yi =N { y¯
s
= n
ns
Y AB¿
V (Y^ alt ) N≃ (1π−1)S2 =N 2 (1−f ) S
2
n
=N2 (1−π ) S
2
n
, onde f= n
N
=π
v (Y^ alt )=N( 1π −1)s2 =N 2 (1−f ) s
2
n
=N 2 (1−π ) s
2
n
Amostragem de Bernoulli
• Esse estimador tem variância menor que o 
estimador de Horvitz-Thompson, apesar de 
não ser não viciado
• Com amostras “grandes” o vício tende a zero
• O estimador alternativo é uma espécie de 
correção do estimador de Horvitz-Thompson
• A correção é menor quanto mais próximo ns 
for de seu valor esperado, n.
Amostragem de Bernoulli
• Exemplo: um professor tinha 600 provas para 
corrigir e decidiu fazer uma sondagem 
preliminar sobre o número de aprovados 
através de uma amostra. Para cada uma das 
provas ele lançou um dado e colocou na 
amostra a prova quando deu o número 6. 
Assim ele selecionou 90 provas, corrigiu, e, 
destas, 60 foram aprovadas. Construa um IC95% 
para o total de estudantes aprovados.
Amostragem de Poisson
• Método de seleção com probabilidades 
distintas
• Seleção sem reposição
• Generalização da amostragem de Bernoulli
• As probabilidades de inclusão são diferentes 
para cada unidade da população
• Definição da probabilidades de inclusão
P(U i∈s)=π i ,P(U i∈s,U j∈s)=π ij=π i π j ,i=1,2,. .. ,N,j= 1,2,. .. ,N
∑
i=1
N
π i =n
Amostragem de Poisson
• O tamanho da amostra, ns, é uma variável 
aleatória com valor esperado:
• E variância:
• Como os valores das probabilidades de 
inclusão estão perfeitamente definidos, o 
estimador de Horvitz-Thompson é um 
estimador não viciado para o total
V (ns)=∑
i=1
N
π i(1−π i)
V (ns)=∑
i=1
N
π i =n
Amostragem de Poisson
• Estimador para o total populacional:
• Com variância dada por:
• Estimador da variância:
Y^ PO=∑
i=1
ns y i
π i
V (Y^ PO )=∑
i=1
N
( 1π i−1)Y i2
v (Y^ PO)=∑
i= 1
ns 1
π i ( 1π i−1) y i2
Amostragem de Poisson
• Um estimador alternativo, geralmente de 
menor variância é dado por:
• Com variância aproximada por:
• Estimador da variância:
V (Y^ Alt )≈∑
i=1
N (Y i−Y¯ )
2
π i
−NS2
v (Y^ Alt )≈∑
i= 1
ns ( yi− y¯s)
2
π i
−Ns2
Y^ alt=
N
N^ ∑i=1
n s yi
πi , onde N^=∑i=1
n s 1
πi
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