Solução de Equações Diferenciais Ordinárias

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Uma Equação Diferencial Ordinária nas variáveis x e y pode ser escrita na forma F(x, y, y', y'', ..., yn) = 0.
Chamamos de Solução da Equação Diferencial Ordinária num intervalo à função que satisfaz a Equação 
para todo .
Seja, por exemplo, a Equação Diferencial:
 
 
 (1)
Podemos verificar que é uma solução desta equação, pois:
 
 
 e 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
Podemos verificar também que é outra solução desta equação, pois:
 
 
 e 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
Porém, podemos mostrar que , com , também é solução da equação.
 
 
 e 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
A solução é chamada de Solução Geral da Equação Diferencial 
 
 
 .
As soluções e são chamadas de Soluções Particulares da Equação.
Portanto, a Solução Geral de uma Equação Diferencial Ordinária nas variáveis x e y é uma função do tipo que 
contém tantas constantes arbitrárias essenciais quanto o número que mede a sua ordem.
Observações:
O1: Algumas Equações Diferenciais têm Solução Geral, porém podem ter soluções que não nascem da Solução Geral. 
Essas soluções são chamadas de Singulares.
Seja, por exemplo, a Equação Diferencial:
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1)
Podemos verificar que é solução geral desta Equação.
Verificação:
 
 
 
Substituindo em (1):
 
Porém, podemos verificar também que a função 
 
 
 é solução desta Equação, pois:
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
quinta-feira, 24 de outubro de 2013 19:02
 Página 1 de MAT007 - Fundamentos Matemáticos p Informática II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, está é uma Solução Singular da Equação dada.
O2: A Solução Geral de uma Equação Diferencial representa geometricamente uma família de curvas.
Para cada conjunto de valores dados às constantes arbitrárias essenciais, obtemos uma curva dessa família, chamada 
Curva Integral.
Por exemplo, seja a Equação 
 
 
 
A sua Solução Geral é , que representa uma família de parábolas.
Mostre que 
 
 é Solução Geral da Equação Diferencial 
 
 
 
 
 
 . (1)1)
Aplicações:
Solução
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que é Solução Geral da Equação Diferencial
 
 
 (1) e, em seguida, achar uma
Solução Particular satisfazendo a condição .
2)
Solução
 
 
 
Substituindo em (1):
 
 
Solução Particular:
Da Solução Geral: 
Para 
Então, a Solução Particular é .
C=1
C=0
C=-2
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Mostrar que , com , é Solução Particular da Equação Diferencial:3)
 (1)
Solução:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (1):
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propostas:
 
 
 
 , com , é Solução Geral da Equação Diferencial
 
 
 
 
 
 1)
 é Solução Particular da Equação Diferencial 
 
 
 
 
 
 .2)
Mostre que:
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