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13 Propriedades dos logaritmos PreCalc 2016 1s

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ECI, EER e EMT - UNILA - 2016.1s
As Propriedades dos Logaritmos.
Pré-Cálculo - 18-maio-2016
(Sujeito a correções, alterações e melhorias ao longo deste século...)
Resumo: Este opúsculo tem por objetivo demonstrar algumas das propriedades dos logaritmos e da
função logaritmica.
Resumé: Cette brochure vise à demontrer certaines propriétés des logarithmes et de la fonction
logarithmique.
1
Resumen: Este folleto tiene como objectivo demostrar algunas de las propriedades de los logaritmos
y de la función logarítmica.
2
Abstract: This booklet aims to demonstrate some of the properties of logarithms and of the logarithmic
function.
3
1 Preliminares.
Para este opúsculo é proveitoso lembrar a definição do logaritmo:
Definição 71. Dados a, b ∈ R?+ onde a 6= 1 define-se o logaritmo de b na base
a como sendo o número y ∈ R a cumprir
loga b = y ⇔ ay = b
Igualmente proveitoso é recordar a proposição 35 a qual trouxe propriedades básicas
da função exponencial:
Proposição 35. (Propriedades da função exponencial.) Seja a ∈ R?+ \ {1}. A
função exponencial
f : R → R
x 7→ ax
goza das seguintes propriedades:
(i) se a > 1, então a f é crescente;
(ii) se 0 < a < 1, então a f é decrescente;
(iii) Im{f} = R?+.
Os itens (i) e (ii) acima são demonstrados na referência ([IDM]).
Corolário 35-1. Sob as hipóteses da proposição acima segue que a função exponencial
é injetora.
Este resultado decorre imediatamente do teorema 22.
Os três resultados acima serão a todo o tempo citados ou empregados abaixo.
1
Texto sujeito a erros gramaticais.
2
Texto sujeito a erros gramaticais.
3
Texto sujeito a erros gramaticais.
1
2 Os resultados.
2.1 A proposição 36.
Proposição 36. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades:
(i) o logaritmo y = logab é único;
(ii) loga 1 = 0;
(iii) loga a = 1;
(iv) aloga b = b;
(v) loga b = loga c⇔ b = c;
(vi) loga(bc) = loga b+ loga c;
(vii) loga
(
b
c
)
= loga b− loga c;
(viii) se α ∈ R, então loga bα = α · loga b.
Demonstração da proposição 36. (i) Supor que loga b = w ⇔ aw = b e supor
que loga b = y ⇔ ay = b. Então aw = ay e, pela injetividade da função exponencial
f(x) = ax (ver proposição 35), segue que w = y. �
(ii) Sabe-se da função exponencial f(x) = ax que f(0) = 1; e como a função f é injetora
somente 0 produz a0 = 1. Então, pondo loga 1 = y resulta que a
y = 1 = a0 ⇒ y = 0.
�
(iii) Argumentando de modo semelhante ao feito em (ii) segue que loga a = y ⇔ ay =
a = a1 ⇔ y = 1. �
(iv) Decorre por simetria da definição loga b = y ⇔ ay = b⇔ aloga b = b. �
(v) Segue:
loga b = y = loga c⇔

ay = b
ay = b
⇔ b = ay = c⇔ b = c �
(vi) Sejam loga b = x, loga c = y e loga(bc) = z. Então
ax = b
ay = c
az = bc
⇒ az = bc = axay = ax+y ⇒ z = x+ y
conforme se queria demonstrar. �
(vii) Sejam loga b = x, loga c = y e loga
(
b
c
)
= z. Então
ax = b
ay = c
az = b
c
⇒ az = b
c
=
ax
ay
= ax−y ⇒ z = x− y
2
conforme se queria demonstrar. �
(viii) Sejam loga b = x e loga b
α = y. Então
ax = b
ay = bα
⇒ ay = bα = (ax)α = axα ⇒ y = xα
conforme se queria demonstrar. �
Findada a demonstração da proposição 36 segue seu corolário (i.e., conseqüência):
Corolário 36.1. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades:
(i) loga
1
c
= − loga c;
(ii) loga
n
√
b = 1
n
loga b.
Em geral se faz a demonstração das assertivas de um corolário, mas neste caso não será
feito por serem demasiadamente óbvias.
2.2 A proposição 37.
Proposição 37. (Fórmulas de mudança de base.) Sejam a, c ∈ R?+ \ {1} e
b ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades:
(i) loga b =
logc b
logc a
;
(ii) loga b = logc b · loga c.
Demonstração da proposição 37. (i) Sejam loga b = x, logc b = y e logc a = z.
Observar inicialmente que z 6= 0; com efeito, supondo o contrário, que z = 0 sucede
que: z = logc a = 0⇔ 1 = c0 = a, que é contradição, pois foi tomado a 6= 1.
Então: 
ax = b
cy = b
cz = a
⇒ cz = a⇒ (cz)x = ax = b = cy ⇒
⇒ cxz = cy ⇒ xz = y ⇒ x = y
z
conforme se queria demonstrar. �
(ii) Segue imediatamente do item (i) anterior:
logc b =
loga b
loga c
⇒ logc b · loga c = loga b
conforme se queria demonstrar. �
3
Findada a demonstração da proposição 37 segue seu corolário (i.e., conseqüência):
Corolário 37.1. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades:
(i) loga c =
1
logc a
;
(ii) se β ∈ R?, então logaβ b = 1β loga b.
Demonstração do corolário 37.1. (i) Das proposições 36 e 37 segue que:
loga c =
logc c
logc a
=
1
logc a
conforme se queria demonstrar. �
(ii) A demonstração é separada em dois casos: inicialmente com b = 1: tem-se 0 =
logaβ b enquanto que
1
β
· loga b = 1β · 0 = 0; portanto, neste caso vale a igualdade
logaβ b =
1
β
loga b.
Agora é suposto b 6= 1. Então, pelo item (i) deste corolário e pela proposição 36, sucede
que:
logaβ b =
1
logb a
β
=
1
β logb a
=
1
β
· 1
logb a
=
1
β
loga b
conforme se queria demonstrar. �
2.3 A proposição 38.
Proposição 38. (Propriedades da função logaritmica.) Seja a ∈ R?+ \ {1}. A
função logaritmica
f : R?+ → R
x 7→ loga x
goza das seguintes propriedades
4
:
(i) a f é injetora;
(ii) a f é inversível e sua inversa é
f−1 : R → R?+
x 7→ ax
(iii) Im{f} = R;
(iv) se a > 1, então a f é crescente;
(v) se 0 < a < 1, então a f é decrescente.
Demonstração da proposição 38. (i) f(x1) = f(x2)⇒ loga x1 = loga x2 ⇒ x1 = x2
conforme atesta a proposição 36(v). �
4
As propriedades da função logaritmica foram elencadas desta forma a fim de poder melhor apro-
veitar a estrutura de proposições já dadas em aula ou em livretos como este nas demonstrações.
4
(ii) Para mostrar que a f é inversível basta mostrar que a função g(x) = ax, x ∈ R,
cumpre a definição de inversa de f . Com efeito:
(1) tomando x ∈ R, então
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = loga(g(x)) = loga ax = x loga a = x = IdR(x)
(2) tomando x ∈ R?+, então
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = aloga x = x = IdR?+(x)
Portanto, a f é inversível e f−1 = g. �
(iii) Sendo a f inversível segue da proposição 24 que f é uma bijeção. Sendo bijetora
é, então, sobrejetora, donde f(R?+) = R. �
(iv) Sejam x1, x2 ∈ R?+ tais que x1 < x2. Supor, por um momento, que f(x1) ≥ f(x2)
(i.e., que f é não-crescente). Seja g(x) = ax (a inversa de f). Sabe-se da proposição
35 (estudada em aula) que g é crescente5, então
f(x2) ≤ f(x1)⇒ loga x2 ≤ loga x1 ⇒ g(loga x2) ≤ g(loga x1)⇒ x2 ≤ x1
que contradiz a tomada de x1 e x2. Logo, a f é crescente.
6
(v) Análoga à anterior.
3 Fontes bibliográficas.
Todas as referências aqui citadas, sempre no formato ([AAA]), referem-se a:
[IDM] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - LOGA-
RITMOS, volume II. Editora Atual, 8
a
edição, 1994.
[LCWM1] LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A MATEMÁTICA DO EN-
SINO MÉDIO, volume I. Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do Professor de Matemática, 5
a
edição, 2001.
Qualquer sugestão de melhoria ou qualquer correção pode ser encaminhada ao email silvamelo@gmail.com .
5
Esta menção à proposição 35 atesta sua importância. Embora sua prova não foi desenvolvida em
aula recomenda-se fortemente a leitura da obra [IDM] para conhecê-la.
6
Notar que esta demonstração prova algo mais geral: a inversa de uma função crescente é crescente,
i.e., foi provada a proposição 27.
5

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