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ECI, EER e EMT - UNILA - 2016.1s As Propriedades dos Logaritmos. Pré-Cálculo - 18-maio-2016 (Sujeito a correções, alterações e melhorias ao longo deste século...) Resumo: Este opúsculo tem por objetivo demonstrar algumas das propriedades dos logaritmos e da função logaritmica. Resumé: Cette brochure vise à demontrer certaines propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique. 1 Resumen: Este folleto tiene como objectivo demostrar algunas de las propriedades de los logaritmos y de la función logarítmica. 2 Abstract: This booklet aims to demonstrate some of the properties of logarithms and of the logarithmic function. 3 1 Preliminares. Para este opúsculo é proveitoso lembrar a definição do logaritmo: Definição 71. Dados a, b ∈ R?+ onde a 6= 1 define-se o logaritmo de b na base a como sendo o número y ∈ R a cumprir loga b = y ⇔ ay = b Igualmente proveitoso é recordar a proposição 35 a qual trouxe propriedades básicas da função exponencial: Proposição 35. (Propriedades da função exponencial.) Seja a ∈ R?+ \ {1}. A função exponencial f : R → R x 7→ ax goza das seguintes propriedades: (i) se a > 1, então a f é crescente; (ii) se 0 < a < 1, então a f é decrescente; (iii) Im{f} = R?+. Os itens (i) e (ii) acima são demonstrados na referência ([IDM]). Corolário 35-1. Sob as hipóteses da proposição acima segue que a função exponencial é injetora. Este resultado decorre imediatamente do teorema 22. Os três resultados acima serão a todo o tempo citados ou empregados abaixo. 1 Texto sujeito a erros gramaticais. 2 Texto sujeito a erros gramaticais. 3 Texto sujeito a erros gramaticais. 1 2 Os resultados. 2.1 A proposição 36. Proposição 36. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades: (i) o logaritmo y = logab é único; (ii) loga 1 = 0; (iii) loga a = 1; (iv) aloga b = b; (v) loga b = loga c⇔ b = c; (vi) loga(bc) = loga b+ loga c; (vii) loga ( b c ) = loga b− loga c; (viii) se α ∈ R, então loga bα = α · loga b. Demonstração da proposição 36. (i) Supor que loga b = w ⇔ aw = b e supor que loga b = y ⇔ ay = b. Então aw = ay e, pela injetividade da função exponencial f(x) = ax (ver proposição 35), segue que w = y. � (ii) Sabe-se da função exponencial f(x) = ax que f(0) = 1; e como a função f é injetora somente 0 produz a0 = 1. Então, pondo loga 1 = y resulta que a y = 1 = a0 ⇒ y = 0. � (iii) Argumentando de modo semelhante ao feito em (ii) segue que loga a = y ⇔ ay = a = a1 ⇔ y = 1. � (iv) Decorre por simetria da definição loga b = y ⇔ ay = b⇔ aloga b = b. � (v) Segue: loga b = y = loga c⇔ ay = b ay = b ⇔ b = ay = c⇔ b = c � (vi) Sejam loga b = x, loga c = y e loga(bc) = z. Então ax = b ay = c az = bc ⇒ az = bc = axay = ax+y ⇒ z = x+ y conforme se queria demonstrar. � (vii) Sejam loga b = x, loga c = y e loga ( b c ) = z. Então ax = b ay = c az = b c ⇒ az = b c = ax ay = ax−y ⇒ z = x− y 2 conforme se queria demonstrar. � (viii) Sejam loga b = x e loga b α = y. Então ax = b ay = bα ⇒ ay = bα = (ax)α = axα ⇒ y = xα conforme se queria demonstrar. � Findada a demonstração da proposição 36 segue seu corolário (i.e., conseqüência): Corolário 36.1. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades: (i) loga 1 c = − loga c; (ii) loga n √ b = 1 n loga b. Em geral se faz a demonstração das assertivas de um corolário, mas neste caso não será feito por serem demasiadamente óbvias. 2.2 A proposição 37. Proposição 37. (Fórmulas de mudança de base.) Sejam a, c ∈ R?+ \ {1} e b ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades: (i) loga b = logc b logc a ; (ii) loga b = logc b · loga c. Demonstração da proposição 37. (i) Sejam loga b = x, logc b = y e logc a = z. Observar inicialmente que z 6= 0; com efeito, supondo o contrário, que z = 0 sucede que: z = logc a = 0⇔ 1 = c0 = a, que é contradição, pois foi tomado a 6= 1. Então: ax = b cy = b cz = a ⇒ cz = a⇒ (cz)x = ax = b = cy ⇒ ⇒ cxz = cy ⇒ xz = y ⇒ x = y z conforme se queria demonstrar. � (ii) Segue imediatamente do item (i) anterior: logc b = loga b loga c ⇒ logc b · loga c = loga b conforme se queria demonstrar. � 3 Findada a demonstração da proposição 37 segue seu corolário (i.e., conseqüência): Corolário 37.1. Sejam a ∈ R?+ \ {1} e b, c ∈ R?+. Valem as seguintes propriedades: (i) loga c = 1 logc a ; (ii) se β ∈ R?, então logaβ b = 1β loga b. Demonstração do corolário 37.1. (i) Das proposições 36 e 37 segue que: loga c = logc c logc a = 1 logc a conforme se queria demonstrar. � (ii) A demonstração é separada em dois casos: inicialmente com b = 1: tem-se 0 = logaβ b enquanto que 1 β · loga b = 1β · 0 = 0; portanto, neste caso vale a igualdade logaβ b = 1 β loga b. Agora é suposto b 6= 1. Então, pelo item (i) deste corolário e pela proposição 36, sucede que: logaβ b = 1 logb a β = 1 β logb a = 1 β · 1 logb a = 1 β loga b conforme se queria demonstrar. � 2.3 A proposição 38. Proposição 38. (Propriedades da função logaritmica.) Seja a ∈ R?+ \ {1}. A função logaritmica f : R?+ → R x 7→ loga x goza das seguintes propriedades 4 : (i) a f é injetora; (ii) a f é inversível e sua inversa é f−1 : R → R?+ x 7→ ax (iii) Im{f} = R; (iv) se a > 1, então a f é crescente; (v) se 0 < a < 1, então a f é decrescente. Demonstração da proposição 38. (i) f(x1) = f(x2)⇒ loga x1 = loga x2 ⇒ x1 = x2 conforme atesta a proposição 36(v). � 4 As propriedades da função logaritmica foram elencadas desta forma a fim de poder melhor apro- veitar a estrutura de proposições já dadas em aula ou em livretos como este nas demonstrações. 4 (ii) Para mostrar que a f é inversível basta mostrar que a função g(x) = ax, x ∈ R, cumpre a definição de inversa de f . Com efeito: (1) tomando x ∈ R, então (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = loga(g(x)) = loga ax = x loga a = x = IdR(x) (2) tomando x ∈ R?+, então (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = aloga x = x = IdR?+(x) Portanto, a f é inversível e f−1 = g. � (iii) Sendo a f inversível segue da proposição 24 que f é uma bijeção. Sendo bijetora é, então, sobrejetora, donde f(R?+) = R. � (iv) Sejam x1, x2 ∈ R?+ tais que x1 < x2. Supor, por um momento, que f(x1) ≥ f(x2) (i.e., que f é não-crescente). Seja g(x) = ax (a inversa de f). Sabe-se da proposição 35 (estudada em aula) que g é crescente5, então f(x2) ≤ f(x1)⇒ loga x2 ≤ loga x1 ⇒ g(loga x2) ≤ g(loga x1)⇒ x2 ≤ x1 que contradiz a tomada de x1 e x2. Logo, a f é crescente. 6 (v) Análoga à anterior. 3 Fontes bibliográficas. Todas as referências aqui citadas, sempre no formato ([AAA]), referem-se a: [IDM] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - LOGA- RITMOS, volume II. Editora Atual, 8 a edição, 1994. [LCWM1] LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A MATEMÁTICA DO EN- SINO MÉDIO, volume I. Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do Professor de Matemática, 5 a edição, 2001. Qualquer sugestão de melhoria ou qualquer correção pode ser encaminhada ao email silvamelo@gmail.com . 5 Esta menção à proposição 35 atesta sua importância. Embora sua prova não foi desenvolvida em aula recomenda-se fortemente a leitura da obra [IDM] para conhecê-la. 6 Notar que esta demonstração prova algo mais geral: a inversa de uma função crescente é crescente, i.e., foi provada a proposição 27. 5
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