Aula de DERIVADAS

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DERIVADAS
Prof. Ms. Patricia Klinkerfus de Campos
Introdução
O conceito de derivada, nas áreas de Administração e Economia, é utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas de variação de funções.
Consideremos uma função f(x) e sejam xo e x1 dois pontos de seu domínio; sejam f(xo) e f(x1) as correspondentes imagens.
Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de xo até x1, ao quociente:
Exemplo
Sejam a função f(x) = x², o ponto inicial de abscissa x0 = 1 e a variação = 2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:
Isso significa que se x variar 2 unidades (a partir de xo= 1) a variação de f será 4 vezes maior, pois =8, enquanto
 =2.
Derivada
Seja f(x) uma função e x0 um ponto de seu domínio. Chamamos derivada de f no ponto x0, se existir e for finito, o limite dados por:
Exemplo
Qual a derivada de f(x) = x2, no ponto x0 = 3?
Exemplo 2:
Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x0 = -2?
Exercícios
Para cada função f(x), determine a derivada f’(xo) no ponto xo indicado:
f(x) = x² xo = 4
f(x) = 2x + 3 xo = 3
f(x) = - 3x xo = 1
f(x) = x² - 3x xo = 2
f(x) = x² - 4 xo = 0
f(x) = 1/x xo = 2
f(x) = 1/x xo = 5
f(x) = x² - 3x + 4 xo = 6
Derivada da função Constante
Seja f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0, para todo x.
Demonstração:
Exemplo:
f(x) = 5 f’(x) = 0
f(x) = e² f’(x) = 0
Derivada da função potência
Derivada da função logarítmica
 
 
Propriedades Operatórias
As propriedades operatórias permitem achar as derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes de funções elementares. São elas:
(P1) Se f(x) = k.g(x), então f’(x) = k.g’(x)
(P2) Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)
(P3) Se f(x) = u(x) – v(x), então f’(x) = u’(x) – v’(x)
(P4) Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u(x) . v’(x) + u’(x) . v(x)
(P5) Se f(x) = u(x)/v(x), então f’(x) = 
Exemplos 
f(x) = 5 lnx f’(x) = 5 . 1/x
f(x) = x² + lnx f’(x) =2x + 1/x
f(x) = x² . lnx f’(x) = x² . 1/x + 2x . lnx = x + 2x lnx 
f(x) = x³/lnx 
Exercícios
Obtenha a derivada de cada função a seguir:
f(x) = 10				k) f(x) = 10lnx – 3x + 6
f(x) = x5				l) f(x) = x-3 + x-1 - 4
f(x) = 10 x5			m) f(x) = x . lnx
f(x) = ½ x²			n) f(x) = x³ . ln
f(x) = x² + x³			o) f(x) = x / x-1
f(x) = 10x³ + 5x²			p) f(x) = x-1 / x-2
f(x) =2x + 1
f(x) = 3x² - 6x – 10
f(u) = 5u³ - 2u² + 6u + 7
f(x) = 3lnx + 5
Função composta – Regra da Cadeia
Consideremos a função f(x) = (x² - 1)³. Poderíamos achar a derivada de f(x), desenvolvendo a expressão cubo de uma diferença. Todavia, poderíamos fazer u = x² - 1 e nossa função ficaria sob a forma de u³. Assim, para calcularmos uma imagem dessa função, procedemos em duas etapas:
Para um dado valor de x, uma primeira função calcula a imagem u = x² - 1.
Para o valor de u assim encontrado, uma segunda função calcula a imagem v = u³.
Dizemos que a função f(x) é uma composição dessas duas funções. Para o calculo da derivada de f(x), podemos usar o seguinte raciocínio intuitivo: 
Logo teremos:
f’(x) = 3u² . u’
 = 3(x² - 1)² . 2x
 = 6x (x² - 1)² 
Exemplos:
Obter a derivada das funções:
f(x) = ln (3x + 6)
 fazendo u = 3x + 6, teremos v = ln u, assim:
 
b) f(x) = (x² + 5x + 7)4
Fazendo u = x² + 5x + 7, teremos v = u4, assim:
 f(x) = (4u³) . u’ = 4(x² + 5x + 7)³ . (2x + 5) 
Exercícios
Obtenha a derivada das seguintes funções:
f(x) = (2x – 1)³
f(x) = (2x – 1)4
f(x) = (5x² - 3x + 5)6 
f(x) =
f(x) = ln(x² - 3x)