Fisica Experimental - Experimento 2 -Colisões

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Cieˆncias Exatas e da Natureza
Departamento de F´ısica
F´ısica Experimental 1
Experimento 2: Coliso˜es
Informac¸o˜es sobre a Equipe
Nome:
Nome:
Nome:
Bancada: Turma: Data:
F´ısica Experimental 1
Objetivos
Neste experimento, voceˆ estudara´ a mais simples das coliso˜es: duas esferas r´ıgidas das
quais uma se encontra inicialmente em repouso. Voceˆ determinara´ os vetores momentos
lineares e a energia envolvidos na colisa˜o.
Coliso˜es tiveram e ainda teˆm papel fundamental no entendimento da natureza. A
estrutura atoˆmica foi descoberta por experimentos desse tipo, e ainda hoje aceleradores
de part´ıculas utilizam coliso˜es para estudar a mate´ria em seu n´ıvel mais fundamental.
O trabalho que voceˆ vai realizar aqui se assemelha muito ao que fazem os computadores
dos grandes aceleradores de part´ıculas contemporaˆneos, ao juntar ‘destroc¸os’ de coliso˜es
para entender como part´ıculas elementares surgem e desaparecem em altas energias.
Da mesma forma, e´ preciso entender os efeitos de coliso˜es tambe´m em a´reas mais
aplicadas do conhecimento.
Em engenharia, a seguranc¸a de ve´ıculos e o planejamento das mais diversas estruturas
levam em conta a possibilidade de coliso˜es, acidentais ou propositais. E por falar em
acidentes, a resposta sobre o condutor culpado numa colisa˜o de traˆnsito muitas vezes esta´
na forma final como os ve´ıculos (ou suas carcac¸as) se dispo˜em no espac¸o.
Uma aplicac¸a˜o ate´ ha´ poucos anos completamente imprevis´ıvel ocorre em cieˆncias da
computac¸a˜o. A simulac¸a˜o fiel da f´ısica nos mundos virtuais, tais como em jogos de massa,
e´ hoje condic¸a˜o necessa´ria para garantir a experieˆncia de inserc¸a˜o do usua´rio.
Material utilizado: Rampa com suporte, folha de cartolina, papel carbono, fita crepe,
re´gua, esquadro, transferidor, fio de prumo, bolinhas de ac¸o.
Lembretes
• Sempre leia o material teo´rico associado ao experimento antes de realiza´-lo.
• Justifique suas respostas sempre que necessa´rio.
• Organize sua bancada ao final do experimento.
• O material utilizado esta´ sob sua responsabilidade durante a aula.
• E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em
descobrir a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas!
2
Experimento 2: Coliso˜es
Utilizac¸a˜o do aparato de medida
O aparato experimental e´ representado na figura 1.
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Figura 1: Aparato experimental.
A ideia e´ colidir duas bolinhas na base da rampa. Uma das bolinhas (1) e´ posicionada
no topo da rampa, e a outra (2) no local onde ocorrera´ a colisa˜o. Ao liberar a bolinha 1,
sua queda e´ guiada pela calha para que colida com a bolinha 2 em repouso na base.
Apo´s a colisa˜o, as bolinhas sa˜o arremessadas em queda livre para fora da rampa,
ate´ que atingem a cartolina presa a` mesa. O impacto da queda sobre folha de papel
carbono marca a cartolina, registrando os pontos de aterrissagem. Reconstru´ımos a colisa˜o
investigando a disposic¸a˜o desses pontos.
1 Considerac¸o˜es iniciais
Para entender as coliso˜es propriamente, precisamos revisar conceitos de F´ısica Geral 1.
Alguns fatos e ideias se destacam.
O primeiro e´ o ‘palco’ onde ocorrem as coliso˜es. Por se movimentarem no espac¸o tridi-
mensional, a descric¸a˜o das part´ıculas em colisa˜o envolvem quantidades vetoriais: posic¸a˜o
~r, momento ~p, velocidade ~v, acelerac¸a˜o ~a, forc¸a ~F etc, em geral func¸o˜es do tempo.
Um vetor pode ser decomposto em treˆs componentes independentes, representando
cada qual uma direc¸a˜o do espac¸o, da forma ~r = xxˆ + yyˆ + zzˆ, em que xˆ, yˆ e zˆ sa˜o
versores no espac¸o, i.e. vetores de mo´dulo unita´rio (xˆ · xˆ = yˆ · yˆ = zˆ · zˆ = 1) e ortogonais
(xˆ · yˆ = yˆ · zˆ = zˆ · xˆ = 0).
3
F´ısica Experimental 1
A segunda ideia a lembrar e´ a conexa˜o feita por Newton para descrever a dinaˆmica: o
momento linear de um corpo, definido como ~p = m~v, e´ a quantidade que varia no tempo
sob ac¸a˜o daquilo que e´ definido como uma forc¸a ~F (2a lei de Newton).
Note que e´ o vetor ~p que varia pela ac¸a˜o de ~F , na˜o necessariamente seu mo´dulo! Pode
ocorrer simplesmente uma mudanc¸a de direc¸a˜o, como e´ o caso do movimento circular
uniforme, se a forc¸a for perpendicular ao momento.
Com base nisso, escreva a condic¸a˜o geral sobre as forc¸as agindo sobre o sistema
para que seu momento total na˜o mude no tempo, i.e. seja conservado.
A pergunta relevante e´: essa condic¸a˜o se aplica na colisa˜o de dois objetos (sistema)?
No instante da colisa˜o, forc¸as mu´tuas de contato atuam em cada objeto. Mas sabemos
se tratar de ‘forc¸as internas’, ou seja, causadas sobre a part´ıcula 1 pela ac¸a˜o da part´ıcula
2, ~F1(2), e vice-versa, ~F2(1). Newton tinha algo a dizer sobre esses pares de forc¸as. Escreva
abaixo a relac¸a˜o entre ~F1(2) e ~F2(1).
Portanto, forc¸as internas na˜o podem alterar o momento linear total do sistema.
Mas ainda resta pelo menos uma forc¸a externa sempre atuando sobre as part´ıculas e
que poderia ameac¸ar a ideia de que o momento total se conserva no processo de colisa˜o:
a forc¸a da gravidade.
Para podermos desconsiderar seu efeito sobre a conservac¸a˜o do momento, restringimo-
nos a olhar apenas as componentes do vetor momento linear paralelas ao plano horizontal,
i.e. perpendiculares a` forc¸a gravitacional externa.
Desenhe no quadro abaixo todas as forc¸as atuando sobre duas esferas durante a colisa˜o
e seus pontos de ac¸a˜o. Denote explicitamente que forc¸as possuem mesma magnitude.
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'$
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'$
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4
Experimento 2: Coliso˜es
Suponha duas esferas com massa m1 e m2. O momento inicial da esfera 1 e´ ~p0 e a
esfera 2 se encontra em repouso. Considere a projec¸a˜o da colisa˜o no plano horizontal.
Apo´s a colisa˜o, as esferas passam a apresentar momentos ~p1 e ~p2. Escreva no quadro
abaixo a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do momento total.
Respeitando a condic¸a˜o acima, desenhe no espac¸o abaixo uma configurac¸a˜o bidimen-
sional poss´ıvel para os vetores ~p0, ~p1 e ~p2 como vistos no plano de colisa˜o.
Voceˆ pode imaginar que existem va´rias possibilidades de configurac¸o˜es finais. De fato,
o que varia entre elas e´ tanto a forma como as bolinhas se atingem quanto a quantidade
de energia mecaˆnica perdida durante a colisa˜o.
A energia pode ser transformada em formas diferentes que na˜o teˆm relac¸a˜o direta com
a energia cine´tica das esferas, e por isso ser suprimida do movimento. Escreva abaixo
outras formas de energia produzidas na colisa˜o.
•
•
•
A energia mecaˆnica do sistema antes da colisa˜o e´ Ei = E0 = ~p0 ·~p0/(2m1) = p
2
0/(2m1).
Apo´s a colisa˜o, a energia final e´ Ef = E1 + E2, em que E1 = p
2
1/(2m1) e E2 = p
2
2/(2m2).
Numa colisa˜o ela´stica, a energia permanece em forma cine´tica, satisfazendo E0 =
E1+E2. Va´rias soluc¸o˜es para ~p1 e ~p2 sa˜o poss´ıveis, dependendo de como as esferas colidem.
Por exemplo, na colisa˜o frontal temos p1y = p2y = 0, pois as forc¸as mu´tuas internas se
encontram alinhadas a` direc¸a˜o do momento inicial.
Na situac¸a˜o oposta de colisa˜o totalmente inela´stica, permanece em forma cine´tica
apenas a energia mı´nima necessa´ria para a conservac¸a˜o do momento. As duas part´ıculas
se ‘grudam’ e se movimentam com a velocidade do centro de massa. Calcule a energia
cine´tica perdida nesse caso, ∆E = E0 − (E1 + E2), em func¸a˜o de p0, m1 e m2.
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F´ısica Experimental 1
Para minimizar a perda de energia na colisa˜o, deve-se escolher qual esfera inicialmente
em repouso, a mais massiva ou a menos massiva?
Resposta:
No caso mais geral e realista, a colisa˜oe´ parcialmente inela´stica, permanecendo
uma frac¸a˜o de energia α = (E1 + E2)/E0 em forma cine´tica.
2 Atividades
Neste experimento, mediremos os paraˆmetros de uma colisa˜o, estudada em duas partes:
caracterizando bem suas condic¸o˜es iniciais e sua configurac¸a˜o final.
Seu objetivo e´ determinar experimentalmente as componentes xˆ e yˆ dos
vetores momento de duas bolinhas (ver figura 1) antes e depois do impacto.
Para atingir esse objetivo indiretamente, voceˆ realizara´ medidas diretas de:
• posic¸o˜es dos pontos de queda das bolinhas no plano Oxy, para obter as distaˆncias
percorridas nesse plano durante a queda, e
• altura de queda, para determinar o tempo de queda livre.
Juntas, essas informac¸o˜es fornecem as velocidades das bolinhas. Medindo tambe´m
suas massas, obte´m-se finalmente seus momentos lineares.
Posicione a cartolina e prenda-a na mesa com fita crepe. Fixe o aparato em posic¸a˜o.
Na˜o deixe a posic¸a˜o relativa entre o aparato e a cartolina variar durante o experimento!
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Experimento 2: Coliso˜es
2.1 Medida da velocidade inicial de colisa˜o
Vamos determinar primeiramente o momento linear inicial da colisa˜o, ou seja, o
momento linear da bolinha 1 logo antes de atingir a bolinha 2 em repouso.
Utilize em suas medidas o sistema de coordenadas Oxyz da figura 1. Nesse sistema, a
mesa se encontra no plano z = 0 e a sa´ıda da calha demarca a origem (x = 0, y = 0) no
plano. Utilize o prumo para marcar a posic¸a˜o do ponto de origem na cartolina.
Comece pelo mais simples: mec¸a as massas m1 e m2 das bolinhas.
m1 =
m2 =
Vamos agora medir o valor experimental da velocidade inicial v0, usando para
tanto a queda livre da bolinha ate´ a mesa. Pegue a bolinha 1 e escolha o ponto no
topo da rampa onde posiciona´-la para a colisa˜o. Marque esse ponto e anote
sua altura h com relac¸a˜o a` base da rampa (ver Fig. 1).
h =
Para obter resultados experimentais melhores, essa bolinha deve ser a mais massiva
ou a menos massiva? Fac¸a o teste! Posicione enta˜o a bolinha no local marcado no
topo da rampa e arremesse-a sozinha algumas vezes, observando o resultado.
Com base em suas observac¸o˜es, defina na cartolina o eixo x, desenhando uma
linha que ligue a origem a` regia˜o de queda da bolinha.
Cite cuidados a tomar para evitar erros sistema´ticos na velocidade inicial.
•
•
Voceˆ deve ter notado que ocorre certa flutuac¸a˜o aleato´ria no local de pouso da bolinha,
o que dificulta definir sua posic¸a˜o ‘exata’. Aponte poss´ıveis fontes de erro aleato´rio.
•
•
Para diminuir o efeito de erros aleato´rios, e´ preciso obter estat´ıstica. Arremesse 10
vezes a bolinha, medindo as coordenadas do ponto ~r0 = (x0, y0) no plano na mesa.
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F´ısica Experimental 1
Posicione o papel carbono sobre a cartolina na regia˜o de contato para marcar
o ponto de queda. Na˜o se esquec¸a de sempre denotar a incerteza de cada medida!1
x0 y0 x0 y0
Os conjuntos de dados acima devem nos ajudar a determinar o ponto me´dio (X0, Y0)
de pouso da bolinha. Calcule propriedades estat´ısticas desses conjuntos de dados: os
valores me´dios 〈x0〉 e 〈y0〉, os desvios padra˜o σx0 e σy0 do conjunto, e os desvios padra˜o
σ〈x0〉 e σ〈y0〉 dos valores me´dios.
〈x0〉 σx0 σ〈x0〉
〈y0〉 σy0 σ〈y0〉
Marque na cartolina o ponto com coordenadas (〈x0〉, 〈y0〉). Desenhe uma
elipse com semi-eixos σx0 e σy0 centrada nesse ponto. Desenhe uma elipse com
semi-eixos σ〈x0〉 e σ〈y0〉 centrada nesse ponto. O que as elipses representam?
Resposta:
Analise as propriedades estat´ısticas de cada conjunto de dados e associe essas quan-
tidades ao valor mais confia´vel e incerteza da grandeza de interesse. Enuncie abaixo
seus resultados para as coordenadas (X0, Y0) e suas incertezas σX0 e σY0 .
X0 =
1Caso todas as medidas de uma tabela possuam a mesma incerteza, especifique-a no t´ıtulo da tabela.
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Experimento 2: Coliso˜es
Y0 =
Escreva a expressa˜o para a incerteza σX0 em func¸a˜o da propriedade estat´ıstica apro-
priada e da incerteza instrumental σi.
Nosso pro´ximo passo e´ determinar a velocidade ~v0 com que a bolinha deixa a base da
rampa. Como ja´ medimos a projec¸a˜o da distaˆncia percorrida no plano Oxy, so´ nos resta
conhecer o tempo t0 em que ocorre a queda. Mec¸a a altura z0 de queda (ver Fig. 1).
z0 =
Obtenha a expressa˜o para o tempo t0 de durac¸a˜o da queda livre em func¸a˜o de z0 e da
magnitude da acelerac¸a˜o da gravidade g.
Escreva abaixo a expressa˜o para a incerteza σt0 .
Utilize suas medidas para determinar o valor de t0. Utilize g = 9,781 m/s
2.
t0 =
A partir de X0, Y0 e t0, determine as componentes v0x e v0y da velocidade.
v0x =
v0y =
Escreva abaixo a expressa˜o utilizada no ca´lculo da incerteza σv0x .
Calcule a magnitude v0 da velocidade.
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F´ısica Experimental 1
v0 =
Escreva abaixo a expressa˜o utilizada no ca´lculo da incerteza σv0 .
Utilize seus dados para determinar a energia cine´tica E0 da bolinha na base da rampa.
E0 =
Escreva no espac¸o abaixo a expressa˜o utilizada no ca´lculo da incerteza σE0 .
Utilizando seus dados, escreva os valores das componentes do momento inicial.
p0x =
p0y =
Escreva no espac¸o abaixo a expressa˜o utilizada para ca´lculo da incerteza σp0x .
Enuncie seu valor experimental para o vetor momento inicial da bolinha 1.
~p0 =
2.2 Medida de colisa˜o bidimensional
Vamos agora finalmente realizar coliso˜es de verdade. Coloque a segunda bolinha
sobre o rebaixo localizado na base da rampa. Observe algumas coliso˜es.
Importante: Na˜o realize coliso˜es unidimensionais nem utilize bolinhas de
mesma massa! Essas coliso˜es na˜o teˆm grac¸a.
Posicione as folhas de papel carbono nas regio˜es de pouso das bolinhas. Mec¸a os
pontos ~r1 = (x1, y1) e ~r2 = (x2, y2) de queda das bolinhas no plano da mesa.
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Experimento 2: Coliso˜es
Realize o experimento 10 vezes e anote seus dados na tabela abaixo.
x1 y1 x2 y2
Forte sugesta˜o: voceˆ deve ter completado todas as atividas propostas
ate´ aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento
Calcule propriedades estat´ısticas dos quatro conjuntos de dados acima.
〈x1〉 σx1 σ〈x1〉
〈y1〉 σy1 σ〈y1〉
〈x2〉 σx2 σ〈x2〉
〈y2〉 σy2 σ〈y2〉
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F´ısica Experimental 1
Marque na cartolina os pontos me´dios (〈x1〉, 〈y1〉) e (〈x2〉, 〈y2〉). Desenhe uma
elipse com semi-eixos σx1 e σy1 centrada no ponto 1. Desenhe uma elipse com
semi-eixos σ〈x1〉 e σ〈y1〉 centrada no ponto 1. Fac¸a o mesmo para o ponto 2.
Com base em suas medidas, enuncie seus valores experimentais para os pontos mais
confia´veis (X1, Y1) e (X2, Y2) de queda das bolinhas.
X1 =
Y1 =
X2 =
Y2 =
O tempo t0 de queda medido anteriomente e´ o mesmo nesta situac¸a˜o? Justifique.
Resposta:
Obtenha as componentes v1x, v1y, v2x e v2y das velocidades das bolinhas apo´s a colisa˜o.
v1x =
v1y =
v2x =
v2y =
Determine os mo´dulos v1 e v2 dessas velocidades.
v1 =
v2 =
Determine as energias cine´ticas E1 e E2 apo´s a colisa˜o.
E1 =
E2 =
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Experimento 2: Coliso˜es
Escreva abaixo seu valor para a energia cine´tica final Ef = E1 + E2.
Ef =
Escreva abaixo a expressa˜o utilizada no ca´lculo da incerteza σEf .
Finalmente, obtenha os valores experimentais para as componentes p1x, p1y, p2x e p2y
dos momentos.
p1x =
p1y =
p2x =
p2y =
Enuncie os vetores momentos das bolinha apo´s a colisa˜o.
~p1 =
~p2 =
3 Ana´lise de dados: Verificac¸a˜o das leis de conservac¸a˜o
A ana´lise dos dados nos permite investigar leis de conservac¸a˜o na colisa˜o realizada.
Primeiramente, verifique a consisteˆncia dos valores medidos. No in´ıcio do experimento,
voceˆ mediu a altura h de lanc¸amento da bolinha 1 pela rampa. Utilize essa informac¸a˜o
para calcular a magnitude da velocidade inicial esperada vesp0 na colisa˜o (note quea bolinha
gira!)
vesp0 =
Utilize esse valor para calcular a energia inicial Eesp0 e a magnitude do momento inicial
pesp0 esperados.
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F´ısica Experimental 1
Eesp0 =
pesp0 =
Cite idealizac¸o˜es assumidas para deduzir os valores acima.
Resposta:
Compare os valores ideais acima com os valores medidos de fato. Os valores medidos
possuem algum problema o´bvio, ou voceˆ diria que parecem consistentes? Explique.
Resposta:
Passemos agora a` interpretac¸a˜o de suas medidas. Verifique se a energia de movimento
e´ conservada. Escreva seu valor experimental para a variac¸a˜o de energia ∆E = Ef − Ei.
∆E =
Com base em seus resultados, determine a frac¸a˜o α de energia mantida no movimento,
definida como α = (E1 + E2)/E0.
α =
Escreva no espac¸o abaixo a expressa˜o utilizada para ca´lculo da incerteza σα.
Classifique a colisa˜o como ela´stica, totalmente inela´stica ou parcialmente inela´stica,
justificando sua resposta.
Resposta:
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Experimento 2: Coliso˜es
Verifique se o momento total e´ conservado na colisa˜o. Calcule para isso a variac¸a˜o da
componente x do momento total ∆px = p1x + p2x − p0x, e da componente y, dada por
∆py = p1y + p2y − p0y.
∆px =
∆py =
• Gra´fico 1: Numa folha de papel milimetrado, desenhe os vetores veloci-
dade ~v0, ~v1 e ~v2 sobre o mesmo ponto. Denote as incertezas nos vetores como
elipses com semi-eixos dados pelas incertezas nas suas componentes.
• Gra´fico 2: Numa folha de papel milimetrado, desenhe os vetores mo-
mento ~p0, ~p1 e ~p2 sobre o mesmo ponto. Denote as incertezas nos vetores como
elipses com semi-eixos dados pelas incertezas nas suas componentes. Desenhe o
paralelogramo conveniente para investigar graficamente a conservac¸a˜o do momento.
• Gra´fico 3: Numa folha de papel milimetrado, esboce distribuic¸o˜es gaus-
sianas de probabilidade para Ei(= E0), Ef , E1, E2 e ∆E com me´dias e
desvios padra˜o encontrados em seu experimento. Represente as cinco dis-
tribuic¸o˜es nos mesmos pares de eixos, para facilitar a comparac¸a˜o visual. Na˜o e´
preciso normalizar suas a´reas (ou seja, ignore a escala do eixo das ordenadas).
Analisando seu gra´fico 1, o que seus resultados permitem concluir sobre a conservac¸a˜o
do vetor velocidade linear na colisa˜o? Justifique.
Resposta:
Analisando seu gra´fico 2, qual e´ sua conclusa˜o sobre a conservac¸a˜o do vetor momento
linear na colisa˜o? Justifique, apontando eventuais fontes de perda de momento.
Resposta:
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F´ısica Experimental 1
Analisando seu gra´fico 3, voceˆ escolheria entre qual opc¸a˜o para enunciar seu resultado
sobre a conservac¸a˜o de energia: ∆E = 0, ∆E < 0 ou ∆E > 0? Justifique, mencionando
uma margem de confianc¸a para sua conclusa˜o se poss´ıvel.
Resposta:
Suponha que voceˆ queira desenvolver uma caixa de protec¸a˜o contra coliso˜es (e.g. colete
a` prova de balas, carro de corrida etc). Considerando suas concluso˜es, que tipo de soluc¸a˜o
voceˆ utilizaria para dispersar tanto a energia quanto o momento da colisa˜o, de forma a
proteger o conteu´do da caixa?
Resposta:
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