Física Experimental - Apostila 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica – CCEN
F´ısica Experimental 1
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
Resumo
Damos continuidade a` familiarizac¸a˜o com o conceito de erro experimental. Discutimos os
tipos de erro que podem influenciar um experimento, em especial erros sistema´ticos e aleato´rios.
Introduzimos gra´ficos tipo histograma como forma de analisar distribuic¸o˜es associadas a medidas
repetitivas. Fazemos a conexa˜o entre incerteza e distribuic¸o˜es estat´ısticas gaussianas.
Suma´rio
1 Acura´cia e precisa˜o 2
2 Tipos de erros experimentais 3
3 Ana´lise estat´ıstica de um conjunto de medidas 5
3.1 Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Desvio padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Distribuic¸a˜o Gaussiana 10
5 Associando paraˆmetros da gaussiana a grandezas f´ısicas 13
5.1 Valor mais confia´vel e incerteza estat´ıstica de uma grandeza . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Incerteza nos paraˆmetros de um histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Ana´lise estat´ıstica na presenc¸a de diversas fontes de erro 16
7 Dicas para confecc¸a˜o de gra´ficos e histogramas 17
F´ısica Experimental 1
1 Acura´cia e precisa˜o
A f´ısica cla´ssica pressupo˜e a existeˆncia de um valor verdadeiro para toda grandeza f´ısica, inde-
pendente de observac¸a˜o. A medida e´ uma forma de extrair essa informac¸a˜o dispon´ıvel no objeto.
O objetivo da medida e´ ser o mais fiel poss´ıvel na determinac¸a˜o desse valor. No entanto, di-
versas fontes de incerteza inexoravelmente afetam o resultado de medida. Fazemos aqui um estudo
sistema´tico das formas como isso pode ocorrer.
A figura 1 ilustra o que se busca obter com uma medida. Imagine, seguindo a figura, um alvo
simbolizando o valor verdadeiro da grandeza que se quer determinar, e medidas, representadas pelos
c´ırculos vermelhos da figura, como dardos a mirar o centro do alvo.
Figura 1: Ilustrac¸a˜o de diversos cena´rios de medidas com incerteza. (A) Baixas precisa˜o e acura´cia.
(B) Baixa precisa˜o e alta acura´cia. (C) Alta precisa˜o e baixa acura´cia. (D) Altas precisa˜o e acura´cia.
E´ poss´ıvel descrever cada conjunto de medidas dos quadros acima segundo dois crite´rios.
• A precisa˜o da medida diz respeito a` dispersa˜o do conjunto. Alta precisa˜o significa que medidas
independentes retornam valores similares se repetidas va´rias vezes.
• A acura´cia se refere ao quanto as medidas, tomadas como conjunto ou na˜o, se aproximam do
valor verdadeiro da grandeza.
Quatro cena´rios diferentes podem emergir nesse caso, ilustrados na Fig. 1.
Em (A), o conjunto de medidas retorna valores bem diferentes (baixa precisa˜o) e, quando consi-
derada sua me´dia (c´ırculo mais escuro), obtemos como resultado algo que ainda se desvia substanci-
almente do valor verdadeiro (baixa acura´cia). No outro extremo, o cena´rio (D) mostra uma se´rie de
medidas que concordam bem entre si (alta precisa˜o) e com o valor verdadeiro (alta acura´cia).
Dois outros cena´rios podem ocorrer ainda. Em (C), as medidas concordam bem entre si (alta
precisa˜o), mas divergem consideravelmente do valor verdadeiro (baixa acura´cia). Em (B), o oposto
2
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
ocorre, i.e. medidas com dispersa˜o maior (baixa precisa˜o), pore´m em me´dia bem pro´ximas do valor
verdadeiro buscado (alta acura´cia).
A precisa˜o de uma medida e´, portanto, algo relativamente simples de ser verificado, bastando
repetir a medida va´rias vezes. A acura´cia, pelo contra´rio, na˜o e´ simples de se determinar, pois o
valor verdadeiro da grandeza e´ em geral desconhecido.
A forma mais comum de se determinar a acura´cia de um instrumento ou procedimento e´ utiliza´-
lo para medir algo conhecido de antema˜o, numa espe´cie de calibrac¸a˜o. Outra forma consiste em
comparar os resultados de va´rios me´todos diferentes e, assumindo que como conjunto resultam numa
medida acurada, estimar a acura´cia de cada me´todo.
2 Tipos de erros experimentais
Diversas fontes de erro influenciam a incerteza de medida. Na Apostila 1, focamos na incerteza
instrumental. E embora va´rias dessas fontes possam ser previstas de antema˜o por bons experimen-
tadores, a quantificac¸a˜o de sua influeˆncia no resultado de medida so´ pode ser determinada pelo
experimento em si.
Erros experimentais podem ser classificados em treˆs categorias gerais: grosseiros, sistema´ticos
e aleato´rios.
Erros grosseiros sa˜o decorrentes de falhas humanas, como leitura errada de um instrumento de
medida, erros de ca´lculo, utilizac¸a˜o de equipamento desligado (muito comum!) e ate´ mesmo total
falta de noc¸a˜o sobre o experimento.
Esse tipo de erro vem muitas vezes acompanhado de vergonha e embarac¸o por parte do experimen-
tador, sendo por isso facilmente reconhec´ıvel! E´ aceita´vel que ocorra no in´ıcio do experimento, mas
se ocorrer tambe´m em outras etapas pode representar um pe´ssimo sinal acerca de sua compreensa˜o
das coisas.
Os erros grosseiros podem ser corrigidos repetindo-se o experimento com modificac¸o˜es adequa-
das (como ligar o equipamento na tomada...). Em casos recalcitrantes, e´ recomendada a troca do
experimentador. Bazinga.
Erros sistema´ticos sa˜o os mais frequ¨entes e requerem um estudo cuidadoso das condic¸o˜es ex-
perimentais, para que possam ser caracterizados e corrigidos.
Eles teˆm esse nome porque esta˜o sistematicamente associados a um determinado instrumento ou
te´cnica de medida, ou seja, ficam embutidos no pro´prio procedimento de medida, de forma que na˜o
podem ser reconhecidos pela simples repetic¸a˜o do experimento.
Erros sistema´ticos causam inacura´cia, erodindo a confianc¸a nos resultados de medida. Por isso,
erros sistema´ticos podem afetar de forma grave as concluso˜es do experimento. Alguns erros sis-
3
F´ısica Experimental 1
tema´ticos sa˜o muito comuns, sendo praxe adotarem-se alguns procedimentos anteriores ao in´ıcio do
experimento para evita´-los.
Por exemplo, um erro na calibrac¸a˜o da marcac¸a˜o do zero do instrumento levara´ a erro sistema´tico,
algo comum de se ocorrer no uso do microˆmetro: nesse caso, todas as medidas subestimara˜o ou
superestimara˜o por um mesmo valor constante as grandezas medidas. Para evita´-lo, basta checar o
aparato antes da medida, recalibrando a marcac¸a˜o do zero do instrumento.
Outro erro sistema´tico comum ocorre pela ma´ calibrac¸a˜o da escala do instrumento de medida,
tal como um termoˆmetro que indicasse as temperaturas 0oC na transic¸a˜o de fases so´lida-l´ıquida
para a´gua, e 110oC na transic¸a˜o l´ıquida-gasosa (supondo CNTP). Se utilizado para medir outras
temperaturas, esse termoˆmetro apresentaria valores que variariam sistematicamente de uma forma
linear com a temperatura em Celsius (em primeira aproximac¸a˜o). A u´nica maneira de eliminar esse
erro e´ recalibrar o instrumento.
Os erros sistema´ticos ocorrem frequentemente em experimentos. Na˜o ha´ um princ´ıpio geral de
como evita´-los. Somente a verificac¸a˜o criteriosa do procedimento e interpretac¸a˜o cuidadosa dos
resultados podem aponta´-los. A boa not´ıcia e´ que, por na˜o variarem no tempo, podem muitas vezes
ser removidos se bem caracterizados, mesmo a posteriori.
Erros aleato´rios sa˜o produzidos por variac¸o˜es imprevis´ıveis na situac¸a˜o experimental, regidas
pelo acaso. Essas podem ser causadas pelo pro´prio experimentador, e.g. ao introduzir erro varia´vel na
leitura ou manipulac¸a˜o do instrumento de medida, ou por causas externas, como vibrac¸o˜es mecaˆnicas,
variac¸o˜es da tensa˜o da rede ele´trica etc.
Contrariamente ao que ocorre com oserros sistema´ticos, os erros aleato´rios na˜o sa˜o reprodut´ıveis,
apresentando por definic¸a˜o igual probabilidade de aumentar ou reduzir o valor da grandeza f´ısica
medida1. Erros aleato´rios tendem a modificar a dispersa˜o das medidas como conjunto e, com isso,
afetar a precisa˜o da medida.
Se perfeitamente aleato´rios, observa-se que esses erros se distribuem segundo uma func¸a˜o univer-
sal, a distribuic¸a˜o gaussiana, tornando-se desse modo poss´ıvel o uso de me´todos estat´ısticos para
trata´-los e minimizar sua influeˆncia sobre os resultados de medida.
Um exemplo simples de erro aleato´rio pode decorrer do tempo humano de reflexo. Considere
um experimentador que busque medir o per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo simples observando seu
movimento perio´dico. O experimentador aciona o cronoˆmetro a cada vez que o peˆndulo atinge um
determinado ponto da oscilac¸a˜o. Se o movimento do peˆndulo for muito ra´pido (quanto comparado
ao tempo t´ıpico de reac¸a˜o do ser humano), o experimentador ira´ ora subestimar, ora superestimar,
o instante de acionamento do cronoˆmetro, introduzindo fonte de erro aleato´rio na medida.
Erros aleato´rios na˜o alteram de forma sistema´tica o valor me´dio do conjunto de medidas. Com
isso, obtemos uma forma estat´ıstica de reduzir seus efeitos tanto quanto queiramos : observando
propriedades de um conjunto de medidas e associando-as a`s grandezas de interesse.
1Caso na˜o seja assim, e o erro possua portanto vie´s num sentido, ele tambe´m possui componente sistema´tica.
4
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
3 Ana´lise estat´ıstica de um conjunto de medidas
A ana´lise estat´ıstica de dados se torna interessante quando o valor medido sofre erro
aleato´rio. Nesse caso, uma u´nica medida passa a ter um grau de confianc¸a claramente menor que
apenas instrumental. Imagine voceˆ tentando medir o comprimento de uma mesa com uma trena ao
mesmo tempo em que algue´m a chacoalha! Como aumentar o grau de confianc¸a dessa medida?
A resposta e´ buscar diminuir a influeˆncia de fontes de erros aleato´rios pela repetic¸a˜o de medidas.
Em vez de confiarmos no resultado de uma u´nica medida, passamos a pensar diferente e a querer
entender se existe algum comportamento geral em um conjunto de medidas.
Portanto, em vez de buscar medir o valor mais confia´vel diretamente, vamos tentar levantar a
distribuic¸a˜o estat´ıstica a que medidas repetitivas obedecem. Se a fonte de incerteza for verdadeira-
mente aleato´ria, esses valores seguem uma distribuic¸a˜o de probabilidade universal com caracter´ısticas
bem amiga´veis: a distribuic¸a˜o gaussiana.
Nesse caso, a missa˜o do(a) experimentador(a) passa a ser determinar com maior precisa˜o poss´ıvel
essa distribuic¸a˜o. Claro que nunca conseguiremos determina´-la perfeitamente: essa distribuic¸a˜o
cont´ınua so´ existe como um limite para um nu´mero infinito de medidas. Mas podemos chegar ta˜o
pro´ximos da distribuic¸a˜o verdadeira quanto necessa´rio, aumentando o nu´mero de medidas.
O passo final e crucial e´ associar quantidades dessa func¸a˜o aos objetos que queremos determinar:
valor mais confia´vel e incerteza. O valor mais confia´vel da grandeza passa a ser fornecido por alguma
propriedade da distribuic¸a˜o estat´ıstica, tal como a me´dia do conjunto ou o valor mais prova´vel da
distribuic¸a˜o. Sua incerteza esta´ associada a` dispersa˜o do conjunto das medidas, conforme veremos
de forma mais rigorosa a seguir.
O tratamento estat´ıstico traz uma nova forma de interpretar resultados de medida em geral, que
passam a ser entendidos em termos de distribuic¸o˜es de probabilidade.
3.1 Me´dia
Considere um conjunto de valores mk (k = 1, 2, . . . , N) obtidos a partir de N medidas indepen-
dentes. Uma forma de estimar o valor mais confia´vel M da grandeza e´ utilizar todas as medidas
realizadas, atribuindo-lhe a me´dia simples das mesmas,
M =
m1 +m2 + · · ·+mN
N
=
1
N
N∑
k=1
mk = 〈m〉, (1)
em que a notac¸a˜o 〈m〉 denota a me´dia das medidas mk. Tambe´m e´ comum utilizar a notac¸a˜o
m = 〈m〉.
Se o nu´mero de medidas se torna muito grande (N → ∞), M converge ao valor verdadeiro da
grandeza se apenas erros aleato´rios estiverem presentes.
5
F´ısica Experimental 1
3.2 Desvio padra˜o
A dispersa˜o do conjunto de medidas esta´ relacionada ao desvio δmk de cada ponto com relac¸a˜o
a` me´dia, dado por
δmk = mk − 〈m〉. (2)
Definir a dispersa˜o como a me´dia dos desvios na˜o funcionaria, pois 〈δmk〉 = 0 por construc¸a˜o, uma
vez que
〈δm〉 = 1
N
N∑
k=1
(mk − 〈m〉) = 1
N
N∑
k=1
mk − 〈m〉 1
N
N∑
k=1
1 = 〈m〉 − 〈m〉 1
N
·N = 0, (3)
em que tiramos constantes como 〈m〉 de dentro do somato´rio e usamos tanto a igualdade∑Nk=1 1 = N
quanto a Eq. (1) para definic¸a˜o da me´dia.
Uma forma de evitar esse problema e´ tomar os quadrados dos desvios, obtendo apenas nu´meros
positivos, e somente apo´s esse passo tomar a me´dia. Com isso, obtemos a variaˆncia σ2 do conjunto
como um quantificador da dispersa˜o,
σ2 = 〈δm2〉 = 1
N
N∑
k=1
(mk − 〈m〉)2 . (4)
A fim de comparar esse quantificador com a me´dia, devemos tomar sua raiz quadrada, ate´ mesmo
por motivos de compatibilizar unidades de medida. Definimos assim o desvio quadra´tico me´dio
ou desvio padra˜o σ do conjunto de valores mk.
A variaˆncia e´, portanto, igual ao quadrado do desvio padra˜o.
A expressa˜o para a variaˆncia pode ainda ser escrita de outra forma. Calculando explicitamente
o quadrado que aparece no segundo membro da Eq. (4), obtemos
σ2 =
1
N
N∑
k=1
(
m2k − 2〈m〉mk + 〈m〉2
)
=
1
N
N∑
k=1
m2k − 2〈m〉
1
N
N∑
k=1
mk + 〈m〉2 1
N
N∑
k=1
1
= 〈m2〉 − 2〈m〉〈m〉+ 〈m〉2, (5)
Obtemos finalmente
σ2 = 〈m2〉 − 〈m〉2. (6)
Essa forma de expressar a variaˆncia mostra que ela pode ser calculada como a diferenc¸a entre a
me´dia dos quadrados das medidas individuais e o quadrado da me´dia. Para conjuntos com me´dia nula,
como e´ o caso dos desvios δmk, a variaˆncia e´ simplesmente a me´dia dos quadrados, σ
2 = 〈(δm)2〉,
conforme dado pela Eq. (4).
6
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
Para conjuntos de medidas compostos por alguns poucos valores, portanto muito distantes da
idealizac¸a˜o estat´ıstica do limite N → ∞, e´ conveniente estimar a dispersa˜o pelo desvio padra˜o
amostral σA, definido atrave´s da variaˆncia amostral σ
2
A como
σ2A =
1
N − 1
N∑
k=1
(mk − 〈m〉)2 . (7)
A u´nica diferenc¸a com relac¸a˜o ao desvio padra˜o ‘normal’ e´ a subtrac¸a˜o de 1 no denominador, de
forma a quantificar mais adequadamente a dispersa˜o de amostras pequenas. Ambas as expresso˜es
fornecem o mesmo resultado para um conjunto com grande nu´mero de amostras (N →∞).
Daqui em diante nos referiremos a σA e σ de forma indistinta como provendo a dispersa˜o do
conjunto de medidas, ficando a seu crite´rio utilizar a definic¸a˜o mais apropriada a` sua situac¸a˜o expe-
rimental.
3.3 Histograma
O gra´fico em histograma e´ uma forma de representar a frequeˆncia de medidas com valores simi-
lares a fim de extrair significado estat´ıstico do conjunto. O histograma e´ uma ferramenta de
visualizac¸a˜o. Seu objetivo e´ desvendar o perfil da distribuic¸a˜o aleato´ria de valores medidos.
Nesse tipo de gra´fico, representamos no eixo x intervalos compat´ıveis com valores do conjunto
de medidas, e no eixo y a frequeˆncia com que aparecem. O procedimento para a confecc¸a˜o de um
histograma segue os seguintes passos:
• Escolhemos um intervalo do eixo x capaz de conter todos os valores medidos e o dividimos em
n intervalos menores de igual tamanho, chamados “caixas” (ou “ce´lulas” ou “bins”).
• O nu´mero n e´ tipicamente escolhido como ‘algumas vezes menor’ que o nu´mero N de medidas
no conjunto. A ideia e´ que cada caixa contenha um nu´mero aprecia´vel de medidas, evitando aocorreˆncia de caixas vazias no meio do intervalo.
• Organizamos o conjunto de dados contabilizando quantos eventos do conjunto se enquadram
em cada caixa. Esse nu´mero f e´ a chamada frequeˆncia absoluta de ocorreˆncia associada a
cada intervalo, denotada no eixo y do histograma.
Assim, o histograma e´ um gra´fico composto por retaˆngulos justapostos em que a base de cada
um corresponde a` caixa e a altura, a` frequeˆncia (Fig. 2). O histograma e´ um importante indicador
da distribuic¸a˜o de dados.
Tomemos um exemplo. Consideremos uma classe com N = 21 estudantes da qual se queira
inferir algo sobre o n´ıvel de entendimento da turma sobre a mate´ria dada, e que uma prova com nota
ma´xima igual a 3 seja aplicada para ‘medir’ isso.
7
F´ısica Experimental 1
Suponhamos que muitas varia´veis fora de nosso controle afetem o desempenho dessa turma to-
talmente hipote´tica, e que portanto o medidor de compreensa˜o da classe possua grande dispersa˜o.
Ao final da prova, o conjunto de notas da Tab. 1 e´ obtido.
2,65 2,55 1,70 1,70 1,75 1,45 0,45 2,30 1,08 1,39 2,30
1,70 1,38 2,13 1,73 1,23 2,00 2,13 1,53 1,40 1,70
Tabela 1: Conjunto de notas dos 21 estudantes da turma.
Podemos esperar uma distribuic¸a˜o de notas com va´rios estudantes concentrados em torno de
uma nota t´ıpica e alguns poucos sobressaindo-se (tanto no sentido negativo quanto positivo). Para
representar essa distribuic¸a˜o em forma de histograma, buscamos discretizar intervalos com o obje-
tivo de tornar bem evidente o formato global da distribuic¸a˜o. Isso certamente na˜o sera´ verdade se
escolhermos caixas muito pequenas, caso em que havera´ apenas uma nota por caixa; o mesmo vale
para caixas muito grandes, pois enta˜o todos os estudantes pertencera˜o a` mesma caixa.
Intervalo Valor mediano xj Frequeˆncia absoluta fj Probabilidade pj = fj/N
[0,05; 0,45[ 0,25 0 0,00
[0,45; 0,85[ 0,65 1 0,05
[0,85; 1,25[ 1,05 2 0,10
[1,25; 1,65[ 1,45 5 0,24
[1,65; 2,05[ 1,85 7 0,33
[2,05; 2,45[ 2,25 4 0,19
[2,45; 2,85[ 2,65 2 0,10
[2,85; 3,25[ 3,05 0 0,00
Tabela 2: Notas da tabela 1 organizadas para construc¸a˜o do histograma da figura 2.
Para encontrar o melhor tamanho de caixa, consideremos primeiramente tanto a maior quanto a
menor nota do conjunto, e escolhamos valores nessas proximidades. Por exemplo, tomemos xmin =
0,45 e xmax = 2,85 como intervalo total de existeˆncia do histograma.
O passo mais delicado consiste na escolha do tamanho de cada caixa ou, equivalentemente, do
nu´mero n de caixas. Tomemos como base o nu´mero total de dados N = 21, que nos fornece
grosseiramente um limite superior para o nu´mero de caixas, para escolher o nu´mero me´dio de entradas
por caixa em torno da unidade. Escolhendo o nu´mero de caixas como n = 8, de forma a termos algo
como 2 entradas por caixa em me´dia. Nesse caso, o intervalo ∆x ocupado por cada caixa deve ser
∆x = (xmax − xmin)/n = 0,4.
8
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
E´ interessante escolher ∆x como um nu´mero de fa´cil memorizac¸a˜o, para facilitar a
compreensa˜o visual do histograma: ele e´ uma ferramenta voltada a humanos!
A tabela 2 mostra em sua primeira coluna os intervalos resultantes dessas escolhas. O primeiro
intervalo, por exemplo, e´ [0,05; 0,45[, em que a notac¸a˜o indica ser o intervalo fechado a` esquerda e
aberto a` direita (i.e. medida com valor no extremo inferior e´ contada dentro do intervalo, enquanto
no valor extremo superior, na˜o).
A contagem do nu´mero de entradas da tabela 1 dentro de cada intervalo nos fornece as frequeˆncias
absolutas fj (j = 1, 2, . . . , n) denotadas na Tab. 2. O histograma resultante e´ mostrado na figura 2.
Vemos que o intervalo de notas com maior frequeˆncia, entre 1,65 e 2,05, conte´m 7 estudantes. Ale´m
disso, apenas 2 estudantes obtiveram nota entre 2,45 e 2,85, e nenhum obteve nota superior a 2,85
(sim, de fato uma situac¸a˜o vergonhosa para a turma).
A representac¸a˜o gra´fica em histograma nos permite visualizar propriedades estat´ısticas
gerais do conjunto de medidas, como me´dia e dispersa˜o, e tambe´m analisar seu perfil,
se compat´ıvel ou na˜o com uma distribuic¸a˜o gaussiana.
Figura 2: Histograma de notas constru´ıdo a partir do conjunto da tabela 1.
Podemos utilizar os valores do histograma tambe´m para facilitar ca´lculos de me´dia e variaˆncia
de forma ponderada. Definimos para isso a frac¸a˜o de medidas que recai em cada intervalo, i.e. a
frequeˆncia relativa ou probabilidade pj = fj/N . Note que 0 ≤ pj ≤ 1.
Os valores pj do exemplo acima aparecem na u´ltima coluna da Tab. 2. Note que
∑
j pj = 1 dentro
da precisa˜o permitida pelo nu´mero de pontos.
Para representar o valor aproximado de cada intervalo em ca´lculos estat´ısticos, utilizamos o valor
mediano xj, representado na segunda coluna da tabela. Realizamos por fim os ca´lculos utilizando pj
como pesos para ponderac¸a˜o.
9
F´ısica Experimental 1
A me´dia ponderada calculada da forma como voceˆ deve conhecer,
〈x〉 = f1 · x1 + f2 · x2 + · · ·+ fn · xn
N
=
1
N
n∑
j=1
fj · xj. (8)
tambe´m pode ser calculada diretamente pelas probabilidades,
〈x〉 = p1 · x1 + p2 · x2 + · · ·+ pn · xn =
n∑
j=1
pj · xj. (9)
O ca´lculo da variaˆncia segue a mesma lo´gica. Utilizando a Eq. (9), pore´m com x2j no lugar de xj,
uma vez que queremos determinar 〈x2〉, obtemos
〈x2〉 = 1
N
n∑
j=1
fj · x2j =
n∑
j=1
fj
N
· x2j =
n∑
j=1
pj · x2j . (10)
O desvio padra˜o, dado pela Eq. (6), e´ calculado como σ =
√
〈x2〉 − 〈x〉2.
Para a me´dia de qualquer func¸a˜o f(x), as expresso˜es acima se generalizam como
〈f(x)〉 = p1 · f(x1) + p2 · f(x2) + · · ·+ pn · f(xn) =
n∑
j=1
pj · f(xj). (11)
Para o ca´lculo de 〈x〉, tomamos f(x) = x; para o ca´lculo de σ2, f(x) = (x−〈x〉)2, e assim por diante.
Para o exemplo da tabela 2, obtemos 〈x〉 = 1,73 e σ = 0, 53. Esses valores sa˜o denotados
graficamente no histograma da Fig. 2. A posic¸a˜o do valor me´dio no histograma, demarcada pela
linha vertical, fornece seu ‘centro de gravidade’.
A regia˜o denotada por setas e delimitada por linhas verticais representa a frac¸a˜o das notas que
distam menos de 1 desvio padra˜o da me´dia, i.e. notas xj tais que 〈x〉 − σ < xj < 〈x〉 + σ. Aproxi-
madamente 70% dos estudantes da turma se encontram nessa regia˜o. Vejamos o porqueˆ.
4 Distribuic¸a˜o Gaussiana
A ta´tica de repetir medidas para diminuir a influeˆncia de erros aleato´rios pode ser levada ao
extremo. Consideramos agora o que ocorreria se o nu´mero de medidas aumentasse enormemente,
tendendo ao limite matema´tico do infinito.
Nesse limite, o tamanho da caixa do histograma pode tender a zero sem o risco de ficar va-
zia, tornando-se cont´ınua a distribuic¸a˜o de frequeˆncias. A func¸a˜o assim obtida recebe o nome de
densidade de probabilidade, e fornece a frac¸a˜o de medidas que resulta dentro de um intervalo
infinitesimal de valores.
10
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
O objetivo de tomar um conjunto de medidas e´ obter uma boa aproximac¸a˜o discreta (histograma)
dessa func¸a˜o cont´ınua, para dela extrair informac¸a˜o sobre as grandezas f´ısicas de interesse. Feliz-
mente, essa func¸a˜o na˜o possui um formato qualquer; se assim fosse, a possibilidade de determina´-la
com um nu´mero finito de medidas seria bem baixa.
Um importante teorema matema´tico, chamado ‘teorema central do limite’, nos garante que, para
processos totalmente aleato´rios e independentes, a func¸a˜o densidade de probabilidade do processo
tendera´ sempre a uma distribuic¸a˜o gaussiana para N →∞.
Figura 3: Distribuic¸a˜o gaussiana G(x), com a´reas abarcadas por mu´ltiplos de σ realc¸adas.
Voceˆ talvez ja´ tenha visto a func¸a˜o gaussiana aparecer em outros contextos da f´ısica ou da
matema´tica. No contexto de uma distribuic¸a˜o de probabilidade, sua expressa˜oe´
G(x) =
1√
2piσ2
exp
(
−(x− 〈x〉)
2
2σ2
)
. (12)
Nesse caso, G(x)dx fornece a probabilidade de se obter como resultado de uma medida um valor
entre x e x+ dx.
O nome ‘densidade de probabilidade’ adve´m do fato de que essa func¸a˜o precisa ser multiplicada
por dx para fornecer uma probabilidade leg´ıtima. Assim, a probabilidade infinitesimal dP (x) de se
obter um valor entre x e x+ dx se escreve como dP (x) = G(x)dx. Para intervalos na˜o infinitesimais,
a probabilidade P (x1, x2) de se obter um valor entre x1 e x2 se calcula somando os dP (x) a partir
da integral,
P (x1, x2) =
∫ x2
x1
dP (x) =
∫ x2
x1
G(x) dx, (13)
expressa˜o que na maioria das vezes so´ pode ser resolvida numericamente.
Em especial, como todas as medidas sa˜o obrigadas a fornecer valores no intervalo de −∞ a ∞, a
distribuic¸a˜o de probabilidade obedece a` condic¸a˜o∫ ∞
−∞
G(x)dx = 1. (14)
11
F´ısica Experimental 1
A normalizac¸a˜o escolhida na Eq. (12) garante a validade dessa expressa˜o (verifique!).
Ale´m da normalizac¸a˜o correta, a forma da Eq. (12) conte´m tambe´m a me´dia e a variaˆncia da
distribuic¸a˜o denotadas explicitamente.
Para ver isso, generalizamos primeiro o ca´lculo de me´dias, dado pela Eq. (11), para distribuic¸o˜es
cont´ınuas. No lugar dos pesos pj do caso discreto, utilizamos agora as probabilidades dP (x) como
peso para cada valor x poss´ıvel de medida. Por exemplo, a me´dia de x ponderada pelo ‘peso’ dP (x)
fica
〈f(x)〉 =
∫ ∞
−∞
x dP (x) =
∫ ∞
−∞
xG(x) dx. (15)
Com isso, podemos mostrar usando a Eq. (12) as relac¸o˜es
〈x〉 =
∫ ∞
−∞
xG(x) dx, (16)
σ2 =
∫ ∞
−∞
(x− 〈x〉)2G(x) dx. (17)
Os paraˆmetros 〈x〉 e σ sa˜o, na verdade, os u´nicos necessa´rios para determinar a distribuic¸a˜o gaussiana.
Momentos de mais alta ordem (e.g. 〈x4〉), sa˜o func¸o˜es destes (demonstre!).
O desvio padra˜o σ da gaussiana determina a regia˜o no entorno da me´dia na qual ≈ 68% da
a´rea da gaussiana se encontra. Isso significa que a probabilidade de uma medida fornecer valor no
intervalo de 1σ em torno da me´dia e´ ≈ 68%. De forma matema´tica, isso se expressa como
P (〈x〉 − σ, 〈x〉+ σ) =
∫ 〈x〉+σ
〈x〉−σ
G(x)dx ≈ 0,68. (18)
Para o intervalo de 2σ em torno da me´dia, a probabilidade aumenta para 95%. Ja´ para 3σ,
a chance de estar no interior da regia˜o e´ de 99,7%. Assim, para conjuntos pequenos (N ≤ 100)
espera-se a totalidade das medidas dentro de 3σ.
Essa nomenclatura em termos de ‘distaˆncias σ’ e´ muito utilizada no contexto de f´ısica experimental
de part´ıculas e altas energias. A descoberta de uma nova part´ıcula num acelerador de part´ıculas
so´ ocorre por definic¸a˜o se a incerteza estat´ıstica no resultado ultrapassar a marca de 5σ, i.e. a
probabilidade de ser um evento real deve ser maior do que 99,99994% (ou 0,00006% de chance de ser
um evento ao acaso).
Outro contexto em que ela e´ utilizada e´ no controle de qualidade de componentes industriais. Por
exemplo, chips eletroˆnicos vitais para a seguranc¸a de um automo´vel precisam ser confia´veis dentro de
6σ, i.e. funcionar perfeitamente em mais do que 99,9999998% das vezes; assim, a toleraˆncia ma´xima
de falha e´ de 1 em 500 milho˜es de componentes.
A func¸a˜o gaussiana e´ portanto bem localizada em torno de seu valor me´dio. O motivo disso e´ seu
decre´scimo de forma exponencial a partir desse valor. Outra caracter´ıstica importante da gaussiana
e´ o fato de que seu valor me´dio coincide com seu valor mais prova´vel, i.e. o ma´ximo de G(x) ocorre
no ponto xmax = 〈x〉 (demonstre!).
12
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
5 Associando paraˆmetros da gaussiana a grandezas f´ısicas
Vimos que na presenc¸a de erros aleato´rios, a ta´tica do bom experimentador muda: em vez de
acreditar que cada medida lhe fornec¸a o valor mais confia´vel da grandeza de interesse, ele passa a
buscar determinar a forma da curva que lhe da´ a probabilidade de obter certo valor de medida.
Nessa forma de pensar, um histograma e´ apenas uma aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o gaussiana
subjacente ao processo aleato´rio. A expectativa ta´cita e´: repetindo-se a mesma medida de forma
independente e por um nu´mero suficiente de vezes, pode-se sempre determinar essa gaussiana com
precisa˜o arbitra´ria.
Determinar a gaussiana significa obter seus paraˆmetros (me´dia e desvio padra˜o) a partir do
conjunto de valores medidos. Vamos agora atribuir interpretac¸a˜o f´ısica a esses paraˆmetros para
relaciona´-los a` grandeza f´ısica de interesse e sua incerteza.
5.1 Valor mais confia´vel e incerteza estat´ıstica de uma grandeza
Lembremos: o valor mais confia´vel de uma grandeza e´ aquele com maior probabilidade de ser igual
ao valor verdadeiro. Existem va´rias formas de se estimar o valor mais confia´vel a partir de medidas
apresentando erro aleato´rio. Vejamos duas formas mais comuns.
Utilizac¸a˜o do conjunto completo de dados
Se a ideia e´ utilizar toda a informac¸a˜o do conjunto de dados, podemos interpretar suas propriedades
estat´ısticas, em especial a me´dia e o desvio padra˜o, como estimadores da gaussiana ideal subjacente
ao processo aleato´rio, e dela estimar a grandeza de interesse e sua incerteza.
Por serem propriedades do conjunto, e na˜o de medidas individuais, essas quantidades devem
atingir maior grau de precisa˜o. Da´ı a vantagem em utilizar a ana´lise estat´ıstica.
Para distribuic¸o˜es gaussianas, existe a simplificac¸a˜o de que o valor mais prova´vel da distribuic¸a˜o
e´ igual a seu valor me´dio. Por isso, podemos diretamente adotar a me´dia dos valores medidos
como o valor mais confia´vel da grandeza de interesse. Nesse caso, a incerteza da grandeza
sera´ igual a` incerteza do pro´prio valor me´dio. Escrevemos:
x = 〈x〉 ± σ〈x〉, (19)
em que X = 〈x〉 e´ o valor mais confia´vel da grandeza x e σ〈x〉, a incerteza da me´dia do conjunto.
Lembremos que a distribuic¸a˜o gaussiana associada a um conjunto de medidas com erros aleato´rios
pode ser determinada de forma perfeita no limite ideal de infinitas medidas. Isso significa que a
incerteza em seus paraˆmetros (me´dia e desvio padra˜o) deve depender do nu´mero N de medidas no
conjunto, e tender a zero para N →∞.
13
F´ısica Experimental 1
Para estimar a incerteza do valor me´dio 〈x〉, utilizamos o mesmo tipo de racioc´ınio estat´ıstico.
Consideramos um conjunto de distribuic¸o˜es gaussianas obtidas pela repetic¸a˜o de conjuntos indepen-
dentes de medidas e buscamos determinar a dispersa˜o de seus paraˆmetros (me´dia e desvio padra˜o).
A resposta encontrada apo´s ca´lculos formais e´ que os pro´prios paraˆmetros da gaussiana obedecem
a distribuic¸o˜es gaussianas (consequeˆncia do ‘teorema central do limite’). A dispersa˜o t´ıpica σ〈x〉
dessas distribuic¸o˜es depende do nu´mero N de medidas de cada conjunto da seguinte forma:
σ〈x〉 =
σ√
N
, (20)
ou seja, a dispersa˜o da me´dia dos valores no conjunto e´ menor que a dispersa˜o σ esperada
para cada valor por um fator
√
N .
Vemos que a dispersa˜o na me´dia tende a zero no limite N → ∞, conforme espera´vamos. Ale´m
disso, ela depende diretamente da dispersa˜o σ do conjunto de valores medidos. Quanto menor a
dispersa˜o da distribuic¸a˜o, proporcionalmente menor a dispersa˜o σ〈x〉 em sua me´dia.
Utilizac¸a˜o de uma u´nica medida
Existe outra forma de se estimar o valor mais confia´vel da grandeza de interesse, utilizando uma
u´nica medida.
Como vimos, a ideia de incerteza de umamedida individual xi e´ apontar a magnitude do desvio
t´ıpico entre o valor obtido e o valor verdadeiro. Para um conjunto de medidas, esse desvio ja´ e´ o
pro´prio desvio padra˜o σ, pois nos fornece o valor t´ıpico de dispersa˜o de cada medida. Escrevemos
nesse caso:
x = xi ± σ. (21)
em que X = xi e´ o valor mais confia´vel obtido a partir de uma u´nica medida e σ, o desvio padra˜odo conjunto.
Ainda que utilizemos apenas 1 medida, e´ sempre necessa´rio levantar a distribuic¸a˜o
estat´ıstica associada ao erro aleato´rio, para determinarmos σ.
Pode parecer um contra-senso se dar ao trabalho de medir todo um conjunto de medidas para,
ao final, utilizar apenas 1 delas para estimar o valor mais confia´vel da grandeza. Na verdade, essa
situac¸a˜o pode ocorrer quando queremos estudar a dependeˆncia da grandeza com algum paraˆmetro
controla´vel que na˜o influencie o erro estat´ıstico.
Por exemplo, suponha que uma experimentadora queira estudar a relac¸a˜o entre o per´ıodo de um
peˆndulo e seu comprimento. Se o erro estat´ıstico depende simplesmente de seu tempo de reac¸a˜o no
momento de ligar e desligar o cronoˆmetro, e´ de se esperar que ele na˜o dependa do per´ıodo em si.
A experimentadora separa enta˜o o problema em duas partes: na primeira, ela repete va´rias
medidas de per´ıodo (para um comprimento qualquer do peˆndulo) a fim de determinar a dispersa˜o
t´ıpica do conjunto, e com isso o valor de σ. Na segunda parte, ela varia o comprimento do peˆndulo
14
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
e realiza apenas 1 medida de per´ıodo por valor de comprimento, e lhe atribui incerteza σ. Com isso,
a experimentadora evita a repetic¸a˜o de um grande conjunto de medidas para cada comprimento do
peˆndulo, simplificando o processo de medida.
Erro estat´ıstico e desvio padra˜o
Tomar o desvio padra˜o como exatamente igual ao erro e´, no fundo, mera convenc¸a˜o. Devemos
sempre nos ater ao sentido do que se quer comunicar. Ao se escolher σ como igual ao erro estat´ıstico,
estamos implicitamente sugerindo um processo gaussiano com as propriedades discutidas.
E´ poss´ıvel ainda escolher crite´rio diferente para quantificar o erro estat´ıstico, se igual a 2σ, 3σ
etc. Em certas aplicac¸o˜es, pode ser conveniente adotar margem de confianc¸a altamente conservadora,
aumentando a definic¸a˜o de erro para 5σ ou mesmo 6σ. O mais comum na literatura e´ toma´-la como
1σ ou 3σ.
Devemos lembrar, no entanto, que sempre havera´ alguma chance de erro, ainda que infinitesimal.
De fato, argumentos estat´ısticos podem ser invocados para defender que um macaco-prego batendo
teclas ao acaso poderia ser o verdadeiro autor de grandes obras da literatura brasileira como “Dom
Casmurro” ou “Brejal dos Guajas”. Voceˆ saberia estimar essas probabilidades? Voceˆ vera´ que sa˜o
quase sempre desprez´ıveis, embora na˜o-nulas. No final, fica a crite´rio do leitor decidir.
5.2 Incerteza nos paraˆmetros de um histograma
O histograma e´ constru´ıdo com nu´mero finito de medidas, e, por isso, esperamos que as pro´prias
frequeˆncias de cada caixa apresentem flutuac¸o˜es aleato´rias. Em outras palavras, repetir o conjunto
de medidas deve fornecer novo histograma ligeiramente diferente do primeiro.
Qua˜o diferente? Como vimos acima, flutuac¸o˜es estat´ısticas em quantidades coletivas de um
conjunto de medidas tendem a ser
√
N menores do que flutuac¸o˜es a afetar apenas uma u´nica medida.
Utilizamos esse princ´ıpio para estimar a flutuac¸a˜o da frequeˆncia de cada caixa.
Por exemplo, vimos que para N →∞ esperamos que um nu´mero ≈ 0,68N de pontos se encontre
dentro do intervalo 1σ no entorno da me´dia. O nu´mero ≈ 68% representa o valor mais prova´vel da
frac¸a˜o de medidas que deve pertencer a esse intervalo caso construamos muitos histogramas a partir
de va´rios conjuntos independentes de medidas.
Para apenas 1 histograma, podemos esperar um desvio t´ıpico de ≈ √0,68N desse valor. Ou seja,
para N medidas, teremos tipicamente ≈ 0,68N ± √0,68N valores nesse intervalo. Para N = 100,
isso daria 68 medidas tipicamente, sendo facilmente tolera´vel que algo entre 60 e 74 medidas tenham
na verdade sido a´ı observadas, pois
√
68 ≈ 8.
Esse racioc´ınio vale para qualquer intervalo. Portanto, o nu´mero de medidas Ni observadas em
uma caixa do histograma deve ser entendido como algo do tipo ≈ Ni±
√
Ni. Por exemplo, se apenas
15
F´ısica Experimental 1
Ni = 10 medidas sa˜o observadas numa caixa, isso significa que esse valor poderia ser facilmente algo
entre 7 e 13 se repet´ıssemos o conjunto de medidas, pois
√
10 ≈ 3.
Note que a incerteza relativa no nu´mero de medidas em determinado intervalo decresce com N ,
pois
√
N/N = 1/
√
N . Para N →∞, cada caixa do histograma (quando normalizado), tornada cada
vez mais estreita, deve tender ao valor prescrito pela gaussiana.
6 Ana´lise estat´ıstica na presenc¸a de diversas fontes de erro
Na maioria das situac¸o˜es experimentais, fontes aleato´rias de erro se combinam ao erro instrumental
para formar a incerteza total da medida. Veremos nessa sec¸a˜o como compor essas duas fontes de
incerteza.
Analisemos primeiramente o que esperar de casos extremos. Quando uma fonte de erro for muito
mais importante em magnitude que a outra, vimos anteriormente que a incerteza total deve provir
essencialmente da mesma, seja ela instrumental ou estat´ıstica.
A diferenc¸a principal entre esses tipos de erro e´ que o erro estat´ıstico pode ser tornado ta˜o
pequeno quanto se queira. O mesmo na˜o vale para o erro instrumental, por conta de seu significado:
o instrumento e´ incapaz de medir com maior precisa˜o do que sua construc¸a˜o permite. Seu erro e´
herdado por toda medida tomada com ele.
Tomemos um exemplo. Queremos medir a espessura de uma placa usando uma re´gua milimetrada,
com incerteza instrumental σinstr = 0,5 mm. A medida e´ tomada por N = 5 vezes em pontos
diferentes, e a cada vez encontra-se o mesmo valor L = 12,7 ± 0, 5 mm. Podemos dizer que a
incerteza na me´dia do conjunto e´ σ = σinstr/
√
N = 0,5/
√
5?
Na˜o! Essa regra so´ vale para incertezas de origem estat´ıstica! Como podemos ver, o
conjunto de medidas possui desvio padra˜o nulo, ou seja, incerteza de origem estat´ıstica igual a zero.
Como o erro aleato´rio de medida na˜o esta´ presente, na˜o e´ poss´ıvel diminuir a incerteza experimen-
tal por repetic¸a˜o da medida. Cada medida possui incerteza dada apenas pela precisa˜o do instrumento,
assim como o conjunto como um todo.
A forma correta de interpretar o conjunto de medidas acima e´ notar que o erro instrumental e´
ta˜o grande que na˜o permite verificar a existeˆncia de qualquer fonte de erro estat´ıstico σest. Se ela
existir, seu desvio padra˜o deve ser muito menor que a precisa˜o instrumental, e por isso aparece como
nulo a esse instrumento grosseiro.
A incerteza total da medida deve ser nesse caso igual a` instrumental, sendo o erro estat´ıstico
desprovido de contribuic¸a˜o para a incerteza total: a espessura da placa parece perfeitamente uniforme
se medida com uma re´gua.
Utilizemos agora um paqu´ımetro na medida, com incerteza instrumental σinstr = 0,05 mm. Nesse
16
Apostila 2: Incerteza e estat´ıstica
caso, variac¸o˜es entre medidas diferentes passam a ser observadas. Apo´s 5 medidas, chega-se a um
conjunto com me´dia L = 12,75 mm e desvio padra˜o σ = 0,16 mm. A incerteza na me´dia estat´ıstica
e´ nesse caso σL = σ/
√
5 = 0,07 cm.
Devemos enta˜o incluir a incerteza instrumental a essa fonte aleato´ria de incerteza, pois afeta todos
os dados. Para tanto, podemos escrever o resultado de medida como L = 12,75 ± 0,05 ± 0,07 mm,
em que as fontes independentes de erro sa˜o colocadas de forma expl´ıcita.
Alternativamente, podemos usar a regra de propagac¸a˜o de incertezas independentes para escrever
um u´nico erro total σtot no valor mais confia´vel, composto pelos erros intrumental σinst e estat´ıstico
σest pela regra ja´ conhecida
σtot =
√
σ2
inst
+ σ2est, (22)
com o que obtemos L = 12,75± 0,09 mm.
A Eq. (22) implica que o erro total na˜o pode ser menor do que o erro instrumental, uma vez que
apenas a parte aleato´ria do erro pode ser anulada pela repetic¸a˜o de medidas.
O motivo paraa impossibilidade de eliminac¸a˜o do erro instrumental e´ o fato de que esse tipo de
incerteza afeta a distribuic¸a˜o estat´ıstica encontrada como um todo com erro de origem desconhecida,
podendo ser inclusive sistema´tica: a precisa˜o e a acura´cia do instrumento limitam em u´ltima instaˆncia
a confianc¸a em qualquer paraˆmetro obtido numa medida ou em seu conjunto.
7 Dicas para confecc¸a˜o de gra´ficos e histogramas
O objetivo do gra´fico e´ transmitir informac¸a˜o de forma simples e direta, tambe´m para outras
pessoas, auxiliando a ana´lise do conjunto de dados. Seguem abaixo algumas regras ba´sicas para
aumentar a clareza de gra´ficos experimentais.
• Em um espac¸o livre, na parte superior da folha, escreva o t´ıtulo do gra´fico.
• Escreva o nome ou letra a denotar a grandeza em cada eixo. Coloque entre pareˆnteses a
unidade correspondente.
• Deve-se tentar distribuir bem os pontos experimentais dentro do espac¸o dispon´ıvel para
o gra´fico, mediante escolha de uma escala adequada. Evite amontoar todos os pontos num
espac¸o pequeno de dif´ıcil leitura.
• A escala deve ser simples e de fa´cil leitura. Procure adotar mu´ltiplos de nu´meros inteiros
que sejam bons divisores. Exemplos de escalas deseja´veis sa˜o 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 ; 20 ; 50
etc. Evite a utilizac¸a˜o de nu´meros primos como 3, 7, 11 etc.
• Ao trabalhar com nu´meros muito grandes ou pequenos, use notac¸a˜o cient´ıfica. Denote
poteˆncias de 10 juntamente com as unidades entre pareˆnteses.
17
F´ısica Experimental 1
• O intervalo dos eixos pode ser escolhido tambe´m por razo˜es teo´ricas. Por exemplo, se os
dados experimentais precisam ser comparados com um modelo que preveˆ um valor de grande
importaˆncia (por exemplo, o ponto triplo da a´gua), o gra´fico deve apresentar esse ponto mesmo
que os dados experimentais na˜o cubram essa regia˜o.
• Os pontos experimentais devem ser marcados no gra´fico usando s´ımbolos de fa´cil visua-
lizac¸a˜o. Nada de corac¸o˜ezinhos ou smileys.
• Apo´s a colocac¸a˜o dos pontos no gra´fico, na˜o escreva nos eixos os valores relativos a cada
ponto. Isso afeta a clareza do gra´fico ao tumultuar sua leitura.
• Para ajustar visualmente uma curva aos pontos experimentais, tente fazeˆ-la de forma suave e
cont´ınua. A curva de ajuste na˜o precisa tocar nenhum ponto experimental espec´ıfico, bastando
ajustar bem o conjunto inteiro.
• Na˜o una pontos do gra´fico por linhas sem significado! Cada detalhe do que se apresenta
num gra´fico deve possuir significado claro ao leitor.
• Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem tamanho de 280 mm por 180 mm, sendo que
podemos usa´-la na posic¸a˜o ‘retrato’ ou ‘paisagem’. A escolha deve ter como objetivo otimizar
a visualizac¸a˜o do gra´fico.
• Para quaisquer du´vidas que possam surgir na apresentac¸a˜o do gra´fico, lembre-se do objetivo
do gra´fico: servir como s´ıntese visual dos resultados experimentais.
Questo˜es sobre o material dida´tico devem ser enderec¸adas no momento ao Prof. Alessandro S.
Villar, no e-mail villar@df.ufpe.br.
18