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SistemasTrifásicos.ppt
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
EQUILIBRADOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCAS
Departamento de Engenharia Elétrica e Sistemas de Potência
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Caracterização das Fontes
Sistema Trifásico Equilibrado  Balanceado  Simétrico
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Caracterização das Cargas
Carga Trifásica Equilibrada  Balanceada  Simétrica
Natureza complexa
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Sequencia de Fase
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Sequencia de Fase
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Sequencia de Fase
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Geração de Tensões Trifásicas
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Geração de Tensões Trifásicas
CONTITUIÇÃO FÍSICA
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Geração de Tensões Trifásicas
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
Sistema trifásico equilibrado
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
2a Lei de Kirchhoff Malha NaAN
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Circuitos Trifásicos
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Potência Complexa
SistemasPolifásicos.ppt
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SISTEMAS POLIFÁSICOS
EQUILIBRADOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCAS
Departamento de Engenharia Elétrica
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
História
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Vantagens
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Evolução
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Definições
Sistema Polifásico Equilibrado  Balanceado  Simétrico
Sistema bifásico: desrespeita regra
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Propriedade Fundamental
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Propriedade Fundamental
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Aplicações
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
viN  Tensão de fase  Tensão fase-neutro  Tensão simples
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
vij  Tensão de linha  Tensão fase-fase  Tensão composta
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
Diagrama Fasorial
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
Cargas Polifásicas + Fontes Polifásicas
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Estrela
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Ligação em Malha
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Instantânea
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Instantânea
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Instantânea
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Complexa
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Sistemas Polifásicos Equilibrados
Potência Complexa
SistemasDesequilibrados.ppt
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SISTEMAS TRIFÁSICOS
DESEQUILIBRADOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCAS
Departamento de Engenharia Elétrica e Sistemas de Potência
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
Deslocamento do neutro das cargas com respeito ao neutro do sistema
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas
de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
 Técnicas de Circuitos
Abertura da fase A
Tensão na Carga
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Técnicas de Circuitos
CARGAS EM TRIÄNGULO
Conversão triângulo - estrela
RevisãoAC-Exercicio.pdf
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 
Exercício de Revisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Agosto/2015 
 
 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
2
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
1. Formulação do Problema 3
 
2. Modelagem Matemática 4
 
3. Parametrização do Modelo 5
 
4. Resolução do Problema de Tensão 6
 4.1 Corrente de Carga 6
 4.2 Tensão no Ramo de Magnetização 7
 4.3 Correntes no Ramo de Magnetização 8
 4.4 Corrente na Fonte 9
 4.5 Tensão na Fonte 10
 4.6 Potência no Sistema 11
 
5. Análise com Modelo Simplificado 17
 5.1 Simplificação do Modelo 17
 5.2 Análise Simplificada 18
 
6. Correção do Fator de Potência 22
 6.1 Ligação do Capacitor 22
 6.2 Dimensionamento do Capacitor 23
 6.2.1 - Carga do Tipo Potência Constante 23
 6.2.2 - Carga do Tipo Impedância Constante 28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
3
 
 
 
1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 
 
Uma das questões de engenharia costumeiramente tratadas nas empresas 
concessionárias de energia elétrica diz respeito à definição da tensão de suprimento das cargas 
industriais conectadas na rede de distribuição gerenciada pelas mesmas, de sorte a atender os 
critérios estabelecidos pelo órgão normativo do setor, no caso brasileiro a Agência Nacional 
de Energia Elétrica (ANEEL). De acordo com as normas definidas por essa agência, a tensão 
no ponto de consumo de cada carga não deverá situar-se fora de um intervalo de ±5% do valor 
especificado como nominal para cada carga. A satisfação desta exigência se constitui, pois, 
num problema de engenharia de responsabilidade da concessionária de energia. 
 
Em cada consumidor, por outro lado, o desafio é outro e consiste em manter o fator de 
potência da indústria nos patamares considerados satisfatórios pela agência reguladora 
ANEEL, no caso cosϕ=0,92. Um valor do fator de potência inferior ao limite estabelecido 
repercutirá diretamente na fatura de energia, através da cobrança de tarifas adicionais 
conforme prescreve a legislação vigente. Dessa maneira, corrigir o fator de potência da carga 
é um problema de engenharia de qualquer indústria que utilize a energia elétrica como insumo 
importante na formação de seus preços. 
 
Considerando que os temas acima descritos possibilitam uma revisão bastante 
satisfatória dos conceitos relacionados com os circuitos alimentados por corrente alternada, o 
estudo destes temas será orientado para uma configuração típica de alimentação industrial, 
ilustrada no diagrama unifilar da Figura 1. Embora, esse arranjo não apresente uma grande 
complexidade, exibe todos as nuances e aspectos relevantes das situações defrontadas por um 
analista de sistemas elétricos de potência. O sistema eleito para os estudos, Figura 1, consiste 
de uma carga indutiva suprida por um ramal oriundo de uma instalação da concessionária, a 
qual, por sua vez, recebe alimentação de uma fonte através de uma linha de transmissão 
munida de um transformador. 
 
 
 
Figura 1 
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
4
 
2. MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
A primeira etapa de qualquer estudo de engenharia consiste na modelagem matemática 
do problema elétrico proposto, que, para o caso em apreço, será elaborada adotando-se, para 
cada componente do sistema elétrico da Figura 1, uma representação simplificada, porém 
satisfatória, tal como mostra a Figura 2: 
 
ƒ A fonte será modelada pelo correspondente Equivalente de Thévenin, procedimento 
usual nas análises dos sistemas elétricos; 
ƒ A linha de transmissão e o ramal de alimentação utilizarão o modelo de parâmetros 
concentrados, representação costumeira das linhas consideradas curtas; 
ƒ O transformador empregará o denominado modelo de Steinmetz, o qual é 
frequentemente usado quando se pretende conferir maior precisão aos estudos de 
sistemas elétricos. 
 
Figura 3 
Figura 4 
Utilizando os modelos acima para o sistema proposto obtêm-se o circuito equivalente 
apresentado na Figura 3. A associação em série dos elementos de mesma natureza neste 
circuito resultará no circuito simplificado da Figura 4. 
Figura 2 
 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
5
 
 
3. PARAMETRIZAÇÃO DO MODELO 
 
Todos os parâmetros do circuito da Figura 4 são normalmente conhecidos dos 
analistas das concessionárias de energia, afinal, tratam-se das resistências e reatâncias de 
linhas e dos equipamentos instalados no sistema elétrico. Deste modo, para um exame 
numérico do problema, valores foram eleitos para tais parâmetros, a saber: 
 
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
Ω=
 
 
 
 
 
 
550
450
450
10
20
20
2
1
2
1
m
p
X
,X
,X
kR
,R
,R
 
 
 
Tais parâmetros encontram-se registrados no diagrama da Figura 5. 
 
Figura 5 
 
 
A carga também é um elemento conhecido do analista, sendo expressa pelos valores 
denominados nominais da mesma, ou seja, os valores das grandezas nos terminais da carga 
quando esta processa o máximo trabalho. No presente problema, esta condição será expressa 
em termos da tensão, potência e fator potência na carga, que, para o caso em estudo, 
assumirão os seguintes valores por fase: 
 
indutivo,cos
kVAS
VV
 
 
 
80
150
2400
2
2
=
=
=
ϕ
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
6
 
4. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE TENSÃO 
 
Uma vez parametrizado o circuito equivalente, a questão em pauta consistirá em 
definir o valor da tensão da fonte, V1 no diagrama da Figura 5, para atendimento das 
condições operacionais nominais da carga. Para tal, as seguintes etapas deverão ser 
cumpridas: 
 
a) Determinação da corrente na carga - I2 
b) Obtenção da tensão no ramo de magnetização - Em 
c) Cálculo das correntes no ramo de magnetização - Is , Im e Ip 
d) Estabelecimento da corrente na fonte - I1 
e) Cálculo da tensão na fonte - V1 
 
 
4.1 Corrente na Carga – A definição da potência aparente monofásica solicitada pela 
carga é dada por: 
 222 IVS ⋅= 
 
Deste modo, a magnitude da corrente solicitada pela carga poderá ser determinada 
imediatamente: 
A,.IIVS 562
2400
000150
2222 ==∴⋅= 
 
Tomando-se a tensão na carga na posição de referência, então o fasor representando esta 
tensão será: 
VV o024002 ∠=
r
 
 
Desde que o fator de potência é indutivo, a corrente estará em atraso com respeito à tensão 
exatamente do ângulo do fator de potência: 
 
o,,cos 836800 =∴= ϕϕ 
 
de modo que o fasor representando a corrente na carga será:
A,,I o8365622 −∠=
r
 
 
O diagrama fasorial correspondente é apresentado na Figura 6. 
 
 
Figura 6 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
7
 
4.2 Tensão no Ramo de Magnetização – O trecho do circuito que interessa a 
essa etapa está ilustrado no diagrama da Figura 7, onde as tensões nos terminais do resistor e 
do indutor do ramal estão assinaladas de conformidade com a convenção passiva. 
Figura 7 
 
A aplicação da Lei de Kirchhoff das Malhas a esse circuito e o uso da Lei de Ohm para as 
tensões nos elementos proporcionam: 
 
( ) 222222222222 IjXRVIjXIRVVVVE XRm rrrrrrrrr ++=++=++= 
 
 
Substituindo os valores numéricos nessa expressão obtêm-se: 
 
( ) oom ,,,j,E 8365624502002400 −∠++∠=r 
 
V,E om 3502427∠=
r
 
 
Acrescentando este fasor ao diagrama da Figura 6 obtêm-se o diagrama da Figura 8. 
 
 
 
Figura 8 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
8
 
 aplicação da Lei de Ohm ao ram proporciona para a corrente no mesmo: 
4.3 Correntes no Ramo de Magnetização – O trecho de interesse do circuito 
 
para esses cálculos encontra-se representado na Figura 9. 
A o resistência Rp
 
A,,
.
,
R
E
I
IRE
o
o
p
m
p
ppm
350240
00010
3502427 ∠=∠==
=
rr
rr
 
 
 
ocedendo da mesma maneira para o ramo da reatância Xm têm-se: Pr
A,,
j
,
jX
E
I
IjXE mmm =
o
o
m
m
m 65895611550
3502427 −∠=∠==
rr
rr
 
 
 
 corrente total no ramo de magnetização Is será, pois: A
 
A,,,,,,III ooomps 90805816589561350240 −∠=−∠+∠=+=
rrr
 
 
 diagrama fasorial correspondente está ilustrado na Figura 10. 
 
Figura 9 
 O
Figura 10 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
9
 
.4 Corrente na Fonte – O circuito para a determinação da corrente na fonte é 
e acordo com a Figura 11, a corren Lei dos Nós de 
4
mostrado na Figura 11. 
 
Figura 11 
 
 
D te na fonte I1 será dada pela aplicação da 
Kirchhoff ao nó superior do ramo de magnetização, a qual proporciona: 
 
 
A,,,,,,,III ooos 85376563908056581183656221 −∠=−∠+−∠=+=
rrr
 
 
 diagrama fasorial da Figura 12 expressa a operação acima para obtenção da corrente na 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
fonte. 
 
Figura 12 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
10
 
.5 Tensão na Fonte – O circuito de interesse nesse caso é apresentado na Figura 13, 
nde as tensões no resistor e no indutor estão assinaladas de acordo com a convenção passiva. 
 aplicação da Lei de Kirchhoff das Malhas e da Lei de Ohm para as tensões nos elementos 
dividuais resulta: 
4
o
 
Figura 13 
 
A
in
 
( ) 1111111111 IjXREIjXIREVVEV mmXRm rrrrrrrrr ++=++=++= 
 
Utilizando os valores numéricos nessa expressão obtêm-se: 
 
( ) oo ,,,j,,V 853765634502035024271 −∠++∠=r 
 
oV,V 7024551 ∠=
r
 
O diagrama fasorial corresponde à operação acima está ilustrado na Figura 14. 
 
 
 
 
Figura 14 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
11
 
4.6 Potência no Sistema – O conhecimento da tensão e da corrente em todos os 
omponentes do sistema elétrico possibilita a determinação da potência aparente, ativa e 
onversão para 
r os 
onceitos relacionados de tais grandezas, vários procedimentos serão empregados nos 
álculos. 
c
reativa em cada um. Tais grandezas serão calculadas por fase, de modo que a c
alores trifásicos será obtida pela multiplicação por três. Também, com o intuito de revisav
c
c
 
 
Potência na Carga – O valor da potência aparente e o fator de potência na carga foram 
fornecidos como dados de entrada do problema: 
 
kVAS 1502 = 
 
de modo que, de acordo com o triângulo de potência, Figura 15, tem-se: 
 
senSQ 906000015022 =×==
 
,.cosSP 1208000015022
vark,.
kW=×==
ϕ
ϕ
 
 
Uma outra forma para o cálculo dessas mesmas grandezas é fazer uso do 
complexa, obtida a partir do fasor da tensão e da corrente: 
 
 
Figura 15 
conceito de potência 
( )( ) 0009000012083656202400222 .j.,,IVSˆ oo +=−∠∠=⋅= ∗∗rr 
 
Como: 
222 QˆjPˆSˆ += 
 
então: 
varkQ
kWP
 
 
90
120
2
2
=
=
 
 
Ainda uma outra forma para realizar essa mesma operação consistira em utilizar o diagrama 
fasorial, Figura 16, e determinar as componentes da corrente em fase e em quadratura com a 
tensão, como mostra o diagrama. Nesse caso tem-se: 
 
senIVQ
cosIVP
222
222
= kW,,
kW,,
 
 
90605622400
120805622400
=⋅⋅=
=⋅⋅==
ϕ
ϕ
 
 
 Figura 16 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
12
 
 
otência na Fonte – A potência complexa na fonte será dada por: P
 ( )( ) 3819720612285376563702455111 .j.,,,IVSˆ oo +=−∠∠=⋅= ∗∗rr 
 
 
Então, a potência ativa e reativa será: 
 
 21221 kW,P =
vark,Q 4971 =
 
plexa: 
 
 
Já a potência aparente poderá ser determinada pelo módulo da potência com
 
k VA,..QPS 315638197206122 2221
2
11 =+=+= 
 
ssas mesmas potências poderão, também, ser calculadas utilizando o diagrama fasorial da 
nsão e da corrente, Figura 17, tal como foi efetuado para a carga. Um exame deste diagrama 
sorial aponta que a defasagem entre a tensão e a 
 
E
te
fa
corrente na fonte será: 
 
 ( ) ooo ,,, 5538853770 =− IV 111 =∠−∠= rrϕ
 
 potência ativa e reativa será, pois: 
 
 
 2122780656324551111
 
 
A
Figura 17 
,,cosIVP = ϕ = ⋅ ⋅ = kW,
vark,,,senIVQ 497620656324551111 =⋅⋅== ϕ
 
A potência aparente será obtida pelo produto das magnitudes da tensão e da corrente: 
 
 
 
 
kVA,,IVS 315665632455111 =⋅=⋅= 
 
 
 
 
 
 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
13
 
otência no Ramo de Magnetização – A potência nesse ramo será dada, quando 
se utiliza o conceito de potência complexa, por: 
P
 ( )( ) 1379035839805813502427 ,j,,,,IESˆ oosmm +=−∠∠=⋅= ∗∗rr 
 
 A potência ativa e reativa será, então:
 
var,Q
W,P
m
m
 
 
13790
3583
=
=
 
 
A potência aparente será determinada pelo módulo da potência complexa: 
 
 
VA,,,QPS mmm 73834137903583
2222 =+=+= 
 
ma outra alternativa para o cálculo dessas potências consistirá em obter a potência associada 
om cada um dos elementos do ramo de magnetização. A potência dissipada no ramo do 
sistor fornecerá a potência ativa, sendo dada por: 
 
U
c
re
 
 
ou
W,,.IRP ppm
 
 358324000010 22 =⋅==
W,
.R
E
P
p
m
m 358300010
242722 ===
 
Já a potência reativa está relacionada com o ramo do indutor, de sorte que tem-se: 
 
 
 
 
ou 
var,
.X
E
Q
var,,.IXQ
p
m
m
pmm
 
 
13790
501
2427
137905615501
22
22
===
=⋅==
 
 potência aparente será obtida pelo produto das magnitudes da tensão e da corrente: 
 73834
5
 
A
 
 
,IES smm 5612427 VA, ⋅=⋅= =
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
14
 
Potência na Linha de Transmissão – Procede-se como acima, determinando-se a 
potência dissipada no resistor, componente ativa, e no indutor, com e reativa. Assim: 
 
inada pela hipotenusa do triângulo de potência: 
 
 
ponent
var,,,IXQ
W,,,IRP
LT
LT
 
 
118236563450
3810656320
22
11
22
11
=⋅==
=⋅==
 
 
 
A potência aparente será determ
VA,,,QPS LTLTLT 11995118233810
2222 =+=+= 
 
 
 obtenção através da potência complexa requereria o cálculo da tensão entre os terminais da 
nha, o que exigiria o uso da Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito da Figura 13, 
=∠−∠=−=
A
li
resultando em: 
 
 
V,,,,EVV ooomLT 1928343135024277024551
r r r
 ∠
 
 
Como a corrente circulando na linha de transmissão é a mesma da fonte, I1, então a potência 
complexa será dada por: 
 ( )( )
118233810046611995
85376563192834311
,j,,,Sˆ
,,,,IVSˆ
o
LT
oo
LTLT
+=∠=
−∠∠=⋅= ∗∗rr
 
 
Portanto, a potência aparente será o módulo da potência complexa: 
 
VA,SLT 11995= 
 
A potência ativa é a parte real da potência complexa: 
 
W,PLT 3810= 
 
 
A potência reativa é dada pela parte imaginária da potência complexa: 
 
var,QLT 11823= 
 
 
 
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 Exercício de Revisão 
15
 
s através do mesmo procedimento empregado para a linha de 
ansmissão. A potência ativa é dada pela dissipação no resistor do ramal: 
 
 
 
 ramal: 
 
 81757562450 22
Potência no Ramal de Alimentação – As potências no ramal de alimentação da 
carga serão estabelecida
tr
W,,,IRPRA 378156220
22
22 =⋅== 
 
A potência reativa corresponde à potência armazenada no indutor do
 
var,,,IXQRA 2 =⋅== 
A potência aparente será determinada pelo triângulo de potência: 
2
 
 
 
 
VA,,,QPS 61923817573781 2222 =+=+= RARARA 
ma outra forma para a mesma determinação faz uso da tensão nos terminais do ramal, que 
e acordo com o circuito da Figura 7, será dada por: 
 
 
U
d
 
 
V,,,VEV ooomRA 812878300240035024272 ∠=∠−∠=−=
rrr
 
 
 
Desde que a corrente circulando no ramal de alimentação é idêntica a da carga, I2, então a 
potência complexa será dada por: 
 ( )( )836562812878302 ,,,,IVSˆ ooRARA −∠∠=⋅= ∗∗r r
817573781616561923 ,j,,,Sˆ oRA +=∠=
 
ssim, a potência aparente será: 
 
A
VA,SRA 61923= 
 
A potência ativa será: 
W,PRA 3781= 
 
A potência reativa será: 
var,QRA 81757= 
 
 
 
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 Exercício de Revisão 
16
 
Balanço de Potência no Sistema (Tellegen) – No sistema elétrico sob exame, 
penas a fonte de suprimento é responsável pelo fornecimento da potência para todos os 
utros elementos que compõem o sistema. Assim, a potência fornecida aos mesmos será: 
a
o
 
 
vark,Q
kW,P
fornecida
fornecida
 
 
497
2122
=
=
 
 
 
s potências, ativa e reativa, associadas a cada um dos elementos constituintes do sistema 
vantamento do consumo total do sistema. Procedendo esta 
soma para a potencia ativa se obtém: 
PPPPP LTmRAconsumida
 2122810305833078130120
2
=+++=
A
deverão ser adicionadas para o le
 
 
+ + +
Pconsumida kW,,,,
=
 
 adição das potências reativas solicitadas atinge: 
consumida 49782311790137578190 =+++=
 
 
A
 
 
QQQQQ LTmRAconsumida 2 +++=
 
kW,,,,Q
 
 
Comparando as potências fornecidas e consumidas constata-se a igualdade entre as mesmas: 
 
kW,PP
consumiidaa 
 
497
2122
 
vark,QQ fornecid
consumidafornecida
==
==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Exercício de Revisão 
17
 
5. ANÁLISE COM MODELO SIMPLIFICADO 
 
5.1 Simplificação do Modelo – Uma das etapas importantes dos estudos de 
ngenharia é a construção de modelos matemáticos precisos para uma resolução adequado dos 
roblemas de interesse. Essa exigência, todavia, não importa no emprego de modelos 
e 
No caso sob exame, os modelos utilizados para a fonte (Equivalente de Thévenin) e 
ara os ramais (Modelo para linhas curtas) foram os mais simplificados dentre os oferecidos 
pela literatura especializada. Contudo, o modelo do transformador exibiu, como foi 
mencionado anteriormente, uma certa sofisticação, de vez que incluiu o ramo de 
magnetização, geralmente ignorado nas representações mais simples. Esse fato, no entanto, 
a elevação significativa na precisão dos resultados, apesar de tornarem os 
rocedimentos de cálculo mais intricados. 
Como foi mostrado, o ramo de magnetização apenas contribui para elevar a corrente 
emandada pela fonte, como foi indicado no tópico 4.4 e registrado na Figura 11: 
e
p
complexos para os componentes do sistema, pois, estes, muitas vezes, dificultam ao invés d
uxiliar a análise. a
p
não assegura um
p
d
 
o
s
o
s
o
,,IIIfontedaCorrente
A,,IãomagnetizaçdeCorrente
A,,IaargcdeCorrente
85376563
9805811
836562
21
2
−∠=+=→
−∠=→
−∠=→
rrr
r
r
 
 
 
 
 
Nesse caso, a consideração do ramo de magnetização elevou a acorrente da fonte em 1,84% 
o não deverá afetar 
o. A tensão na fonte será, pois: 
 
apenas (62,5A → 63,65A), de sorte que ignorar esse ram
significativamente o valor da tensão requerida da fonte, ao passo que proporcionará uma 
simplificação importante para a análise. Removendo-se esse ramo, o modelo para o estudo 
reduz-se ao mostrado na Figura 18, após a associação em série 
das resistências e das reatâncias da linha de transmissão e do 
ramal de alimentaçã
 
( ) ( )
V,V
,,,j,Ij,VV
o
oo
 702454
836562904002400940
1
221
∠=
−∠++∠=++=
r
rrr
 
 
 
 
Nos cálculos anteriores utilizando-se o modelo mais sofisticado do transformador,
Figura 18 
 tópico 4.5, 
 tensão na fonte atingiu: a
V,V o7024551 ∠=
r
 
 
1 V acima do valor obtido no modelo simplificado, ou seja, a redução foi insignificante de 
apenas 0,04%. 
Os resultados acima autorizam, portanto, o uso do modelo simplificado, qual seja, sem 
o ramo de magnetização do transformador. 
 
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 Exercício de Revisão 
18
 
 
 
 
±
is 
ntribui para a elevação da tensão na fonte é a reatância dos elementos conectados entre a 
nte necessária para atendimento da carga. Ora, como é sabido, um 
capacitor exibe uma impedância indutiva negativa, de m do que associado em série com um 
dutor provocará a redução dessa grandeza no circuito: 
 
5.2 Análise Simplificada – O modelo simplificado do sistema, para efeito desta 
análise, será reduzido àquele da Figura 19, a qual também apresenta o diagrama fasorial 
relacionando as tensões da fonte e da carga. 
Figura 19 
Uma análise do diagrama fasorial acima mostra que a magnitude da tensão na fonte se elevará 
além do valor vigente na carga, sempre que esta exibir um caráter indutivo. Embora, no 
exemplo apresentado, tal elevação seja bastante reduzida, aproximadamente 2,25% (2400V →
2454V), na prática valores muito maiores poderão ser observados. Considerando-se que a 
possibilidade de regulação
das fontes de suprimento dos sistemas elétricos é bastante estreita,
5% da tensão nominal, situações inviáveis poderão ser atingidas. Nesses casos, a tensão 
requerida da fonte para atender satisfatoriamente as condições de suprimento da carga estará 
além dos valores exeqüíveis, o que demandará a adoção de medidas adicionais. 
Como é evidente desse diagrama e dos cálculos do tópico anterior, o componente que ma
co
fonte e a carga, pois, para os sistemas em geral, essa grandeza é cerca de 100 vezes superior à 
resistência. A redução de tal grandeza é, pois, uma das medidas capazes de minimizar a 
magnitude da tensão da fo
o
in
 ( )cLliquida XXjjX = − 
istema obtêm-se o circuito da Figura 20, a qual 
mbém registra o diagrama fasorial correspondente.. 
 
e um capacitor for inserido em série no sS
at
Figura 20 
 
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 Exercício de Revisão 
19
 
ara o circuito do problema em foco, Figura 18, as condições operacionais são: 
 
De conformidade com esse diagrama fasorial, a “ponta” do fasor V1, tensão na fonte, poderá 
assumir qualquer posição na reta tracejada, dependendo do valor eleito para Xc. Partindo-se, 
por exemplo, de um valor nulo de Xc, o fasor V1 ocupará a posição 1, passando para a posição 
2 caso Xc seja elevado e atingindo a posição 3, quando Xc=X1. Para valores de Xc>X1, o fasor 
V1 deslocar-se-á ainda mais na direção para baixo, como mostra a posição 4. Para cada nova 
posição ocupada, a magnitude de V1 tornar-se-à cada vez menor, podendo, em princípio, 
assumir qualquer valor. 
P
V,.V,A,,I,V.V ooo 70454283656204002 122 ∠=−∠=∠=
rrr
 
 
Caso a fonte somente possa fornecer uma magnitude de tensão inferior ao valor acima, um 
apacitor deverá ser introduzido em serie, tal como mostra a Figura 20. O uso de um 
a 21. 
 
Para obter-se uma tensão na fonte de mesma magnitude da carga, o capacitor deverá satisfazer 
a equação fasorial: 
 
c
capacitor com reatância exatamente igual ao valor da rede, 0,90 Ω, proporcionará para tensão 
na fonte: 
 
V,,,,I,VV ooo 3502420836562400240040 221 −∠=−∠⋅+∠=+=
rrr
 
 
A queda nessa tensão será de 34 V, inferior, portanto, aos 54 V na ausência do capacitor. O 
circuito equivalente e o diagrama fasorial dessa situação estão indicados na Figur
 
Figura 21 
( )
( )[ ]
( ) ( cc
o
c
o
c
X,,jX,,senjcos
,,X,j,
IX,jI,VV
05003053775245324002400
8365629040024002400
9040 2221
−+−=+
−∠⋅−++∠=∠
−++=
θθ
θ 
 
)
rrrr
 
 
Igualando as partes reais e imaginárias dessa equação: 
 
c
c
X,,sen
X,,cos
0500302400
5377524532400
−=
−=
θ
θ
 
 
 
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 Exercício de Revisão 
20
 
ado 
a Figura 22. As equações derivadas destas projeções são: 
o
⋅−⋅=
⋅+⋅+=
21211
212121
 
 
 
 
Essas mesmas equações poderão ser obtidas diretamente de um exame do diagrama fasorial 
da Figura 19, quando se toma as projeções horizontal e vertical dos fasores, tal como indic
n
 
 
ojeçãPr
ϕϕθ
ϕϕθ
senIRcosIXsenV
verticaleixonoojeçãoPr
senIXcosIRVcosV
horizontaleixono 
 
 
 
 substituiç esmas 
xpressões indicadas anteriormente. Deve-se registrar que, na Figura 22 e nas expressões 
cima, a reatância X1 representa o valor resultante da combinação em série da reatância 
indutiva da linha de transmissão com a reatância do capacitor: 
 
 
 
 
 
Figura 22 
A ão dos valores das grandezas nestas equações resultará exatamente nas m
e
a
ccapacitorLT X,XXX −=−= 901 
 
ste é, certamente, um procedimento mais simples para tratar o problema em foco do que 
quele mostrado anteriormente, onde foi utilizada a equação fasorial proporcionada pela 
aplicação da Lei de Kirchhoff das Malhas ao circuito. Ainda mais, o uso do diagrama fasorial 
possibilita uma visão muito mais consistente do que ocorre e poderá ocorrer no circuito, 
ensejando interpretações mais abrangentes da questão. 
 
 
 
E
a
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 Exercício de Revisão 
21
 
 solução do sistema de equações acima é obtida elevando-se ambas ao quadrado e somando-
 esses resultados: 
A
se
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0844427
0500305377524532400
05003053775245324002400
2
222
=+−
−+−=
,X,X
X,,X,,
X,,X,,sencos
cc
cc
cc
 
 
2222 −+−=+ θθ
As soluções da equação do segundo grau acima são: 
 
 
Qualquer dos valores de reatância acima satisfará a exigência estipulada; tensão na fonte com 
módulo igual à tensão na carga, como mostra o diagrama fasorial da Figura 23. 
 
 uma medida usual em sistemas de potência, especialmente nas redes 
elétricas de extra-alta tensão. Nas redes de média e baixa tensão, o recurso geralmente 
empregado consiste em modificar a posição do comutador de derivações do transformador. 
Nesse caso, para alcançar o objetivo desejado, procura-se uma relação que reduza a tensão no 
lado da fonte. 
bserve como a simplificação introduzida no modelo facilitou a análise, sem comprometer 
bsolutamente a precisão dos resultados. Esse é um procedimento comum do analista de 
a análise criteriosa dos elementos 
 fato, interferem significativamente nos 
sultados, abandonando aqueles que pouco contribuem, como foi o caso relatado. 
 
 
 
 
 
 
Ω=
Ω=
 
 
6525
751
,X
,X
b
c
c 
a
Figura 23 
 
 
Quando se faz uso do recurso acima, diz-se que uma compensação série foi introduzida no 
sistema, sendo essa
O
a
sistemas elétricos, o qual sempre é instigado a proceder a um
o modelo com vistas a identificar aqueles que, ded
re
 
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 Exercício de Revisão 
22
 
. CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
citores. Para 
so, duas questões deverão ser equacionadas: 
ƒ Tipo de ligação do capacitor; 
A conexão do capacitor em paralelo não causa qualquer transtorno à carga, uma vez que a 
tensão aplicada à mesma não experimentará qualquer alteração, mantendo-se no mesmo valor 
anterior à instalação. Por outro lado, na ligação em série do capacitor, a tensão na carga será 
afetada, pois como mostra a Figura 24, a nova tensão de alimentação da carga será: 
 
6
 
A carga possui um fator de potência (0,80) inferior ao valor normalizado (0,92), e, como o 
mesmo é indutivo, a correção deverá ser efetuada mediante o emprego de capa
is
 
 
ƒ Dimensionamento do capacitor. 
 
6.1 Ligação do Capacitor – Em princípio, o capacitor necessário à correção do fator 
de potência poderá ser conectado em série ou em paralelo com a carga, tal como mostra a 
Figura 24. 
 
Figura 24 
( ) 222222 IjXVIjXVVVV ccc' rrrrrrrr +=−−=−= 
 
O diagrama fasorial espelhando a equação acima está ilustrado na Figura 25 e indica que a 
tensão da carga será elevada do valor existente nos terminais do capacitor e, portanto, 
dependerá da intensidade da corrente solicitada pela carga. 
 
inda que a concessionária mantivesse a tensão de alimentação V constante, a carga seria 
omenda, pois, o emprego da ligação em derivação como a mais aconselhável 
para a correção do fator de potência de cargas. 
 
Figura 25 
A 2
submetida a um regime de tensão variável, o que se constituiria
numa condição indesejável 
para o funcionamento da mesma. Esse comportamento insatisfatório da ligação em série do 
capacitor rec
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 Exercício de Revisão 
23
 
.2 Dimensionamento do Capacitor - A especificação do capacitor para correção 
ƒ Carga do tipo impedância constante; 
 
ermanentemente com 
nsão constante, sendo esta a prática comum no setor. Nessa situação, a potência consumida 
ermanecerá inalterada após a instalação do capacitor e dependendo das grandezas 
conhecidas na carga, o dimensionamento poderá ser efetuado: 
 
ƒ Utilizando o triângulo de potência, caso as potências sejam conhecidas; 
 
ƒ Através do diagrama fasorial quando a tensão e a corrente estão disponíveis. 
 
 
Triângulo de Potência Figura 26, onde, 
Pretende-se elevar o fator 3,07º), pela instalação de 
capacitores em paralelo com rir a potência solicitada 
pela carga acrescida da parcela dem
mesma antes e após a colocação dos capacitores, de modo que a fonte deverá suprir o mesmo 
valor dessa grandeza, ou seja, P2=120 kW. 
No tocante a potência reativa, a fonte fornecerá o valor Q2=90 kvar para atender a carga 
reduzida do valor Qc devida ao capacitor: 
 
' Q.Q −= 000902
 
O triângulo de potência da carga modificar-se-á com a 
stalação do capacitor para aquele mostrado na Figura 27, 
e onde se deduz que: 
6
do fator de potência dependerá das condições operacionais impostas ou apresentadas pela 
carga. Duas alternativas serão apreciadas nessa análise: 
 
ƒ Carga do tipo potência constante; 
 
6.2.1 - Carga do Tipo Potência Constante - Usualmente, uma das condições 
exigidas pela agencia reguladora (ANEEL) é que a tensão de suprimento da carga mantenha-se 
durante todo o tempo numa faixa bastante estreita em torno do valor nominal (±5%). Nessas 
ircunstâncias, é suficientemente preciso admitir-se que a carga opera pc
te
pela carga p
 - O triângulo de potência da carga é mostrado na 
para o caso em estudo: 
. 
varkQ
kWP
kWS
90
120
150
2
2
=
=
=
 
 
 
 
o,836
2
=ϕ
 Figura 26 
 
de potência para cosϕ‘=0,92 (ϕ‘=2
 a carga. A fonte deverá, portanto, sup
andada pelo capacitor. A potência ativa na carga será a 
c 
in
d
 
 
vark,,tg.tgPQ o'' 1151072300012022 =⋅== ϕ 
 
Figura 27 
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 Exercício de Revisão 
24
 
Caso a capacitor 
será: 
Portanto, a potência do capacitor será, de acordo com a equação acima: 
 
vark,Q.Q 'c 93800090 2 =−= 
 
 tensão de trabalho da carga permaneça constante em 2.400 V, a reatância do
Ω===∴= 1148
88938
4002 222 22 ,
.
.
Q
VX
X
VQ cc 
ncia de operação é de 60 Hz, a cap
 
cc
 
Supondo-se que a freqüê acitância requerida alcançará: 
F,
,fX
C
fC
X
c
c μπππ 91171148602
1
2
1
2
1 =⋅⋅==∴= 
 
Por outro lado, se a tensão da carga modificar-se com a introdução do capacitor, ainda que a 
nsumida pela mesma permaneça invariável, o cálculo da reatância do capacitor e, 
onsequentemente da capacitância do mesmo, exigirá a determinação desta tensão de 
 24551
potência co
c
trabalho. Ora, se a tensão na carga se modifica com a introdução do capacitor, a única 
hipótese plausível é de que a tensão da fonte permaneceu constante no valor estabelecido 
antes da correção e não foi reajustada para esta nova condição, ou seja, a fonte é do tipo barra 
infinita. Nessa situação, admitir-se-á para a solução do problema: 
 
ƒ Tensão na fonte constante, dada pelo valor calculado no tópico 4.5: 
 
V V= 
ƒ Potência da carga permanecerá constante no valo
 
 
r corrigido pelo capacitor: 
vark,,,Q
kW,P
 
 
1519003800090
0120
2
2
=−=
=
 
 
 Figura 28 mostra o modelo simplificado juntamente com o diagrama fasorial 
a em questão, onde, conforme calculado anteriormente, Figura 18: 
 
A
correspondente ao problem
Ω=Ω= 9040 11 ,Xe,R 
 
Figura 28 
 
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 Exercício de Revisão 
 
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25
Fazendo uso do mesmo procedimento empregado no tópico 5.2, a projeção dos fasores do 
diagrama nos eixos horizontal e vertical proporcionará: 
 
ϕϕθ
ϕϕθ
senI,cosI,sen
senI,cosI,Vcos
22
222
40902455
90402455
−=
++=
 
 
Multiplicando as duas equações acima pelo módulo de V2, obtêm-se: 
 
ϕϕθ
ϕϕθ senIV,cosIV,VcosV 22222
senIV,cosIV,senV 22222
2
40902455
 
 
Nas expressões acima: 
222
==
2 90402455
−=
++=
vark,senIVQ
kW,cosIVP
 
 
151
0120= =ϕ
ϕ222 
 
Substit esses valores nas equações: 
 
2
2
2
22 .V..VcosV. +=++=θ 
uindo
9909399045000484552
560874400001084552 2 ...senV. =−=θ
 
levando-se as equações acima ao quadrado e somando-se: 
20
E
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0700
560879909345524552
873508160458395
56087990934552
2
2
222
2
2
222
2
2
2
2
2
=
++=+
.
..VsenV.cosV. θθ
Resolvendo essa equação biquadrada obtêm-se: 
 
 1753⎧
Daí: 
 
2
+−
++=
..V..V
..VV.
4
2 
 
 
V,.V
V,.
V 
 
84152
84152 22
=⇒⎩⎨= 
V,
 
Ω=== 1150
88938
84152 222 ,
.
,.
Q
VX
c
c 
 
Na freqüência de operação de 60 Hz, a capacitância será: 
 
F,
,fX
C
fC
X
c
c μπππ 67171150602
1
2
1
2
1 =⋅⋅==∴= 
 
 
 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
26
 
Diagrama Fasorial – A tensão e a corrente na carga antes da correção do fator de potência 
são, como mostra o diagrama fasorial da Figura 29: 
 
A,,I
V.V
o
o
836562
04002
2
2
−∠=
∠=
r
r
 
 
nde o fator de potência é de cosϕ=0,80 (ϕ=36,87º). 
lelo com a carga e na hipótese de que a tensão 
rir 
ente a mesma corrente solicitada pela carga 
anteriormente. Após a instalação do capacitor, além dessa 
corrente, a fonte também deverá atender a demanda do 
apacitor, cuja corrente encontra-se π/2 radianos em avanço 
ial 
a Figura 30. 
Ora, a corrente solicitada pelo capacitor somente interage com 
a componente da corrente de carga em quadratura com a 
tensão, I2 senϕ, responsável pela solicitação 
de potência reativa, de modo que somente 
ireção ocorrerão as modificações, 
se com a tensão V2, I2 cosϕ, relacionada 
com a potência ativa da carga, não 
experimentará qualquer modificação, como 
ostra claramente o diagrama fasorial desta 
. Desse diagrama deduz-se que: 
o
Com a instalação do capacitor em para
ermanecerá imutável neste elemento, a fonte deverá supp
exatam
c
em relação a tensão V2, tal como assinala o diagrama fasor
d
Figura 30 
nessa d
como assinala o diagrama fasorial da Figura 
31 A componente da corrente de carga em 
fa
m
Figura 31 figura
 
'
c
c' tgcosIsenII
cosI
IsenItg ϕϕϕϕ
ϕϕ ⋅−=∴−= 22
2
2 
0723873652 == ϕϕ , 
obtêm-se: 
,,Ic 60562
 
 o'o ,,,,A,Utilizando os valores calculados anteriormente; I 62 =
A,,, 1643080562 =⋅⋅ −⋅=
 
 reatância do capacitor será: A
Ω= 150==
16
24002
c I
VX 
cc 2
c
e a potência: 
vark,IVQ 438162400 =⋅== 
Figura 29 
 
e a capacitância do mesmo em 60 Hz será:
F,
fX c ππ 1506022 ⋅⋅C μ 6817
11 === 
© Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
27
 
 do tipo potência constante. 
Esta metodologia somente poderá ser utilizada se a tensão de alimentação da carga 
permanecer inalterada após a instalação do capacitor, pois se essa
a corrente solicitada pela carga sofrerá alteração, já que a mesma é
Nesse caso: 
 
 condição não for observada, 
⎪⎩
⎪⎨⎧==∴= 2
22
2
2222
000150
VSe
VSe
V
.
V
SIIVS
 
 
 ↑⇒↓
↓⇒↑
22
2
I
I
 
 
 
lecido com base na constância da corrente da 
rísticas do capacitor (potência, reatância e 
r de potência da carga, serão igualmente 
manterá invariável, se a tensão da fonte for 
 o capacitor 
, esta tensão será dada por: 
 
 
Ora, o dimensionamento do capacitor foi estabe
carga, como mostra o diagrama fasorial da 
experimentar qualquer modificação, as caracte
capacitância), apropriadas para corrigir o fato
alteradas. 
Por outro lado, a tensão da carga somente se 
ajustada adequadamente para esta nova condição operacional, ou seja, com
presente. De acordo com o diagrama da Figura 38
 
Figura 31. Assim, se a corrente da carga 
( ) ´I,j,VV1 0 22 904 rrr + 
 
O módulo da corrente da carga após a correção será obtido a partir das componentes indicadas 
Figura 31 e dos valores das grandezas já calculados: 
)
+=
 
na 
 
( ) ( 222´ IcosII += ϕ
 
22 cIsen −ϕ 
( ) ( ),,,,I´ 166056280562 222 =−⋅+⋅=
Fasorialmente, esta corrente será dada por: 
 
A,4354 
 
A,,I o´ 072343542 −∠=
r
 
 
ubstituindo na equação da tensão: 
86032439072343549040024001 ∠=−∠++∠= 
 
Portanto, como a tensão na fonte antes da instalação do capacitor alcançava 2455 V, a mesma 
rática, a exigência da ANEEL consiste em manter a tensão dos consumidores 
a do valor nominal, como foi mencionado no item 1, o que ratifica o uso deste 
procedimento. 
S
 
or ( ) V,,,,,j,V oo
deverá ser reduzida para 2439,3 V para manter a tensão na carga com o valor nominal de 2400 
V. Se tal operação for admitida na resolução do exercício, ou seja, se no enunciado da questão 
for assumida a hipótese de que a fonte será sempre reajustada para manter a tensão na carga 
constante, então a resolução apresentada via o uso do diagrama fasorial será perfeitamente 
álida. Na pv
próxim
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 Exercício de Revisão 
28
 
.2.2 - Carga do Tipo Impedância Constante – As possibilidades de 
ndo a impedância da carga não é 
rnecida diretamente, a determinação da mesma poderá ser efetuada a partir do 
conhecimento da tensão e da corrente solicitada pela mes a. Partindo-se dos dados 
rnecidos pelo problema em foco: 
 impedância para o modelo em série será: 
 
6
representação de uma carga indutiva do tipo impedância constante são apresentadas na 
Figura 32, consistindo de elementos em paralelo ou em série. 
 
eterminação da Impedância da Carga – Qua
Figura 32 
A,,I
V.V
o
o
836562
040022
−∠=
∠=
r
D
fo
m
fo
r
2
 
a
o
o
o
s I
Zˆ 2= r ,,
,,
V 836438
836562
02400
2
∠=−∠
∠=
r
 
 
Desde que: 
sss jXRZˆ += 
então: 
Ω=
Ω=
 
 
023
7530
,X
,R
s
s 
 
Na configuração com elementos em paralelo, pode-se utilizar mais de uma maneira para 
determinação da impedância e uma delas consiste em obter-se a potência aparente da carga, 
que, no caso, será: 
 ( )( ) 0009000012083656202400222 .j.,,IVSˆ oo +=−∠∠=⋅= ∗∗rr 
 
A potência ativa é inteiram
 
ente produzida no ramo do resistor, assim: 
Ω===∴= 48
000120
4002 2
2
2
2
2
2
2 .
.
P
VR
R
VP p
p
 
pela potência reativa, daí: 
 
Já o indutor é o responsável 
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 Exercício de Revisão 
29
 
 
Ω===∴= 64
00090
4002 2
2
2
2
2
2
ma outra forma para determinação dos elementos em paralelo utiliza o diagrama da carga, 
corrente em fase com a tensão circula exatamente 
o ramo do resistor e a componente em quadratura no ramo do indutor. Assim, como: 
 
2 .
.
Q
VX
X
VQ p
p
 
 
U
mostrado na Figura 33. A componente da 
n
537508365622 ,jA,,I
o +=−∠=r 
 
tem-se que: 
Ω===
Ω===
 
 
64
537
4002
48
50
4002
2
2
2
2
,
.
senI
VX
.
cosI
VR
p
p
ϕ
ϕ
 
 potência a partir do 
ento da impedância da carga também pode ser efetuada de diferentes modos, 
iniciando-se pelo uso do diagrama fasorial. Qualquer que seja a rep
diagrama fasorial da mesma será sempre o mesmo e idêntico àquele da Figura 33. Para 
duzir o ângulo de fase da corrente com respeito à tensão, ou seja, elevar o fator de potência 
 a carga, como mostra as 
uas situações retratadas na Figura 34. 
 
 
 
orreção pelo Diagrama Fasorial – A correção do fator de
Figura 33 
C
conhecim
resentação da carga, o 
re
para o valor desejado, será instalado um capacitor em paralelo com
d
Figura 34 
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Circuitos em Corrente Alternada 
 Exercício de Revisão 
30
 
Figura 35 
A corrente solicitada pelo capacitor Ic situa-se 90º à frente da tensão da carga, de modo que o 
diagrama fasorial após essa instalação será aquele da Figura 35, portanto, idêntico ao 
diagrama mostrado anteriormente, Figura 31. Desse modo, o mesmo procedimento descrito 
naquela ocasião poderá ser utilizado para a especificação do capacitor adequado para a função 
desejada. 
quando a tensão permanece constante na carga não procede para o caso da carga exibir o 
comportamento de uma impedância constante. Para certificar-se deste fato, basta tomar a 
expressão da corrente do capacitor: 
 
 
e substituir a corrente pela quociente da tensão pela impedância correspondente: 
 
 
A questão levantada anteriormente de que o uso do diagrama fasorial somente é válido 
'
c tgcosIsenII ϕϕϕ ⋅−= 22 
'
ppc
'
p
c
p
c
c RXXRXX
c tgtgVVV ϕϕ ⋅−=∴⋅−= 111 
incula-se à impedância constante da carga. 
essa impedância fornece exatamente a defasagem entre a 
nsão e a corrente na carga e, portanto, o ângulo do fator de potência. 
No caso do modelo em série da carga, a impedância equivalente será o resultado do paralelo 
entre -jXc e Z2, que, segundo os dados já conhecidos torna-se : 
 
 
Como se observa o cálculo da reatância do capacitor independe da tensão de trabalho da carga 
e apenas v
 
Correção pela Impedância da Carga – A metodologia acima é útil quando a tensão ou a 
corrente da carga for conhecida, por outro lado, se apenas a impedância estiver disponível, o 
procedimento consistirá em determinar-se a impedância equivalente do paralelo entre carga e 
capacitor. Como é sabido, o ângulo d
te
( )( )
( )
( )( )
( )c
oo
c
css
o
c'
Xj,
,,X
XXjR
ZˆX
Zˆ −+
∠−∠=−+
−∠=
237530
8364389090 2
2 
 
( ) ( )22
2
22
2
2
237530
4214750423
237530
7230
c
cc
c
c'
X,
X,X,j
X,
X,Zˆ −+
−+−+= 
 
A tangente do ângulo dessa impedância será dada por: 
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 Exercício de Revisão 
31
 
 
27230 cX,
tg =ϕ 
2 4214750423 cc' X,X, −
Desde que o fator
de potência de potência pretendido é de 0,92, então: 
 
 
( ) 430920 ,,arccostg = 
 
que substituído na equação proporciona, como já era esperado: 
 
Ω= 150cX 
 
No caso do modelo em paralelo da carga, basta fazer o paralelo da reatância capacitiva Xc 
com a reatância indutiva Xp da carga: 
 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) occoc
oo
c
cp
o
p
o
c'
X
X
X
X
XXj
XX
X 90
64
64
9064
9064909090
2 −∠−=∠−
∠−∠=−
∠−∠= 
 
e finalmente o paralelo desta reatância com a resistência da carga Rp: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−
2
222
64
64
4864
64
64
4864
c
c
c
c
c
c
c X
X
X
X
X
X
 
Fazendo a tangente do ângulo dessa im
 
−=
2
2
2
456147608196 c' X.jX.Zˆ
 −
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −∠−=2
64
64
48
4890
64
64
c
c
o
c
c
'
X
Xj
X
X
Zˆ 
 
pedância igual a 0,43 obtêm-se: 
( )
430
608196 X. c
64456147
2 ,
XX. cc =−− 
a têm-se: 
 
 
Resolvendo a equação acim
Ω= 150cX 
 
Esse é um valor esperado, pois qualquer que seja a forma como a carga estiver representada, 
onfiguração série ou paralela, a reatância do capacitor de correção do fator de potência não 
deverá sofrer alteração. 
c
 
 
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 Exercício de Revisão 
32
 
Potência do Capacitor de Correção – A determinação da potência do capacitor de 
orreção do fator de potência requer o conhecimento da tensão de alimentação da carga após a c
instalação do capacitor. Quando a tensão de trabalho da carga permanece invariável, a 
potência será dada por: 
 
c
c X
VQ
2
2= 
 
upondo-se ser este o caso do problema, desde que a tensão é de 2.400 V, a potência será: S
 
var..Qc 40038150
4002 2 == 
 
Caso a tensão sofra modificações com a introdução do capacitor, o que ocorrerá, por exemplo, 
se a tensão na fonte não for modificada para ter em conta o processo de correção do fator de 
potência, a nova tensão de trabalho da carga deverá ser determinada. Adotou-se, para isso, a 
mesma hipótese do procedimento anterior, qual seja, que a tensão na fonte permanecerá 
constante no valor calculado no tópico 4.5: 
 
VV 24551 = 
 
Nestas circunstâncias, a condição operacional será a mesma retratada na Figura 36, de modo 
a nos eixos que valem as mesmas equações deduzidas para a projeção dos fasores do diagram
horizontal e vertical: 
ϕϕθ
ϕϕθ
senI,cosI,sen
senI,cosI,Vcos
22
222
40902455
90402455
−=
++=
 
 
Utilizando a modelagem paralela para a
presença do capacitor, a componente 
 carga, mostrada na Figura 36, e tendo em conta a 
da corrente de carga em fase com a tensão será definida 
elo ramo resistivo: p
48
2
2
VcosI =ϕ 
 
 a componente em quadratura será determinada pela diminuição das correntes nos ramos 
Figura 36 
Já
indutivo e capacitivo: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−=
4800
43
15064 2
22
2 V
VVsenI ϕ 
 
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 Exercício de Revisão 
33
 
ubstituindo esses valores nas equações acima obtêm-se: 
 
levando ao quadrado e adicionando as equações acima resulta em: 
S
 
 
22 015204800
434
48
V,V, =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎠⎝
2
22
2
2
0902455
01641
4800
4390
48
402455
V,sen
V,V,V,Vcos
−⎟⎞⎜⎛=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
θ
θ
E
 
V,VV,.. 122415033310250276 2
2
2
A potência do capacitor será, portanto: 
 
=∴= 
 
var,.
X
Q
c
c 488538150
,V 122415 222 === 
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CadernoExercicios(CircuitosII).pdf
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II (EL-415) 
 
Caderno de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período 2015-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÚMARIO 
 
 
Introdução.............................................. 3 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo I ........................ 4 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo II....................... 13 
 
 
 
 
Exercícios do Módulo III.......................24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
Prezados 
 
 
 
Os livros textos adotados para a disciplina EL-415, Circuitos 
Elétricos II apresentam uma lista bastante ampla de 
exercícios e possibilitam um aprendizado considerado básico 
para a disciplina. No caso particular da Engenharia Elétrica, 
contudo, exige-se um conhecimento bem mais aprofundado 
dos Circuitos Elétricos, uma vez que esta disciplina se 
constitui num dos pilares fundamentais para todos os demais 
componentes da grade curricular em vigor no DEE. 
O objetivo deste Caderno de Exercícios é, pois, prestar-se 
como um complemento aos problemas constantes dos livros 
textos, preparando o aluno para o tratamento de questões 
que serão, certamente, abordadas mais pormenorizadamente 
nas disciplinas dos períodos letivos vindouros. 
Por outro lado, considerando-se que a formação educacional 
brasileira apresenta, na atualidade, disparidades bastante 
acentuadas, as quais repercutem, inevitavelmente, no nível 
alcançado por cada aluno, este Caderno de Exercícios será 
sempre atualizado tendo em vista suprir as eventuais 
necessidades observadas em sala de aula. 
Os exercícios estão agrupados de conformidade com os 
módulos que compõem a disciplina e, dentro de cada 
módulo, classificados por temas específicos . 
 
Recife, Agosto de 2014 
 
Prof. Luiz Antônio Magnata da Fonte 
 
 
 
 3
 
 
MÓDULO I 
 
Sistemas Polifásicos 
 
 
Este módulo da disciplina aborda o regime permanente 
senoidal dos Sistemas Polifásicos Equilibrados de um modo 
geral com uma ênfase particular nos Sistemas Trifásicos. 
Também será objeto deste módulo, o estudo dos 
desequilíbrios provocados nos Sistemas Trifásicos pela 
ocorrência de falhas, sempre em estado estacionário. Os 
exercícios deste módulo estão, pois, agrupados conforme os 
tópicos apresentados a seguir: 
 
• Sistemas Polifásicos Equilibrados; 
 
• Sistemas Trifásicos Equilibrados (Correção do 
Fator de Potência e Regulação de Tensão); 
 
• Sistemas Trifásicos Desequilibrados (Resolução 
pelas Técnicas Clássicas, Deslocamento do Neutro 
e Componentes Simétricas); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Sistemas Polifásicos Equilibrados 
 
1) Um engenheiro pretende utilizar um gerador pentafásico, senoidal e balanceado 
como uma fonte de seqüência positiva, porém não dispõe do diagrama de ligações dos 
seus enrolamentos. Determinou, com base em ensaios de continuidade, os terminais de 
cada bobina do gerador e numerou os mesmos numa seqüência crescente; 1-2 
(bobina#1), 3-4 (bobina#2) e assim por diante. Em seguida reuniu os terminais 2-4-6-7-
10 num ponto comum e procedeu às seguintes leituras de tensão com o gerador girando 
na velocidade nominal: 
 
TERMINAIS TENSÃO (Volts) 
1-2 100,00 
1-3 61,80 
1-5 190,21 
1-8 117,56 
1-9 161,80 
5-8 117,56 
 
 
a) Com base nessas leituras, determine as possíveis ligações dos enrolamentos 
do gerador para que se obtenha um sistema pentafásico de tensões em 
estrela. 
 
b) Descreva que teste adicional será necessário para estabelecer dentre as 
possibilidades
levantadas no item anterior, aquela desejada pelo engenheiro. 
 
 
 
2) Um sistema pentafásico de fontes de 200 V cada uma deverá operar com uma 
ligação em malha, figura ao lado, porém apenas duas delas encontram-se interligadas 
corretamente em série, como também mostra a figura ao lado. Desde que se dispõe 
apenas de um voltímetro, estabeleça que medições permitirão a identificação das 
demais fontes para uma conexão correta do conjunto. 
 
 
 
 
 
 5
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Correção do Fator de Potência 
 
 
 
1) Uma carga industrial é especificada para consumir 5 kVA com um fator de potência 
de 0,8 indutivo quando alimentada por uma tensão de linha de 2400 V. A 
concessionária de energia supre essa carga através de um alimentador com uma 
reatância indutiva de 2 Ω. Considerando-se que: 
ƒ A tensão de linha na fonte de alimentação da concessionária está fixada em 2400 V; 
ƒ A potência ativa consumida pela carga permanece constante no valor nominal 
especificado; 
pede-se determinar a potência de um banco de capacitores que corrija o fator de 
potência da carga para o valor unitário, quando a mesma é suprida pela concessionária. 
 
 
 
2) A rede elétrica de uma concessionária de energia supre na freqüência de 60 Hz uma 
indústria por intermédio de uma linha de transmissão que apresenta, por fase, uma 
impedância formada por uma resistência de 0,1 Ω e uma indutância de 0,1326 mH. 
Essa rede elétrica pode ser considerada do tipo barra infinita, sendo representada por 
uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro aterrado por uma 
impedância de 10+j50 Ω. A indústria, por seu turno, possui uma carga equilibrada do 
tipo potência constante, ou seja, qualquer que seja a tensão de alimentação, as 
potências ativa e reativa solicitadas serão sempre as mesmas. Uma medição efetuada 
num determinado dia do ano constatou que, quando a tensão de linha na fonte era de 
380 V, a indústria operava com um fator de potência 0,7 indutivo e a tensão de fase na 
mesma era de 200 V. Pede-se: 
a)Determinar a potência de um banco trifásico de capacitores, conectados em 
triângulo, que instalado na indústria eleve o fator de potência da mesma para 0,92 
indutivo, valor prescrito pelas normas da ANEEL. 
b)Calcular a tensão de alimentação da indústria antes e após a instalação do banco 
de capacitores. 
c)Comparar as perdas na linha de transmissão antes e depois da instalação do banco 
de capacitores. 
 
 
 
3) Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante 
conectada em estrela e que consome uma potência ativa de 16 kW sob um fator de 
potência de 0,8 indutivo, quando alimentada por uma tensão de linha de 380 V. 
Sabendo-se que uma fonte trifásica equilibrada de seqüência de fase positiva supre essa 
carga com uma tensão de linha de 400 V e 60 Hz, e considerando-se que a indústria 
dispõe de 3 capacitores de 32 μF cada um, pede-se determinar se o fator de potência 
dessa carga poderá ser elevado para 0,92 indutivo com o uso desses capacitores. 
 
 6
4) A rede elétrica de uma concessionária de energia supre com uma tensão de linha de 
380 V uma indústria por intermédio de uma linha de transmissão que apresenta, por 
fase, uma impedância formada por uma resistência de 0,1 Ω e uma reatância de 0,5 Ω. 
Essa rede elétrica pode ser considerada do tipo barra infinita, sendo representada por 
uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro aterrado. A indústria, 
por seu turno, possui uma carga equilibrada do tipo potência constante, ou seja, 
qualquer que seja a tensão de alimentação, as potências ativa e reativa solicitadas serão 
sempre as mesmas. Uma medição efetuada num determinado dia do ano constatou que 
a indústria operava com um fator de potência 0,8 indutivo e a tensão de fase na mesma 
era de 200 V. Pede-se: 
a) Determinar a potência de um banco trifásico de capacitores, que instalado 
na indústria eleve o fator de potência da mesma para 0,92 atrasado; 
b) Comparar as perdas na linha de transmissão antes e depois da instalação 
do banco de capacitores admitindo-se que a potência da carga corrigida 
permanece constante. 
 
 
5) Uma fonte trifásica de 60 Hz, seqüência positiva e conectada em estrela com o 
neutro aterrado alimenta, através de uma linha de transmissão com resistência de 0,1 Ω 
e reatância de 0,2 Ω, três cargas trifásicas assim discriminadas: 
Carga A – Consome uma potência de 150 kVA com fator de potência de 0,8 indutivo 
quando suprido por uma tensão de linha de 220 V. Essa carga comporta-se como uma 
impedância constante em qualquer tensão de trabalho. 
Carga B – Conectada em triângulo e cuja impedância atingiu 8∠-50º quando uma 
tensão de linha de 220 V foi aplicada. Essa carga consome sempre a mesma potência, 
ativa e reativa, qualquer que seja a tensão de alimentação da mesma. 
Carga C – Conectada em estrela, demanda na tensão de linha de 220 V uma potência 
de 38 kVA por fase com fator de potência de 0,6 indutivo. Essa carga mantém o mesmo 
consumo de potência ativa em qualquer tensão de operação, porém a potência reativa 
solicitada pela mesma varia linearmente com o quadrado da tensão. 
Quando a tensão de linha nessas cargas for de 200 V, pede-se determinar: 
a)A potência ativa, reativa e aparente consumida pelas três cargas; 
b)A potência do banco de capacitores que eleve o fator de potência das três cargas 
para 0,92 indutivo, considerando-se que a tensão de linha permanecerá inalterada; 
c)Na tabela abaixo, as características de três capacitores são fornecidas na tensão 
de 220 V. Pede-se selecionar as unidades que comporão o banco de capacitores 
especificado no item anterior quando os mesmos forem conectados em estrela e em 
triângulo. 
POTÊNCIA 
(kvar) 
CAPACITÂNCIA 
(μF) 
1,67 91,5 
2,50 137,0 
3,33 182,5 
 
d)A tensão, potência ativa, reativa e aparente na fonte de alimentação, bem como 
as perdas na linha de transmissão antes e após a instalação do banco de 
capacitores supondo-se que a tensão de linha na carga permanecerá constante em 
200 V. 
 7
6) Uma carga trifásica equilibrada, representada por um resistor de resistência 
constante em série com um indutor de reatância também constante, consome uma 
potência de 500 kVA com um fator de potência 0,8 indutivo quando alimentada por 
uma tensão de fase de 1000 V. Essa carga é suprida por uma fonte trifásica equilibrada 
e com seqüência de fase positiva através de uma linha de transmissão com reatância de 
2 Ω por fase. Sendo a tensão de fase da fonte de 1000 V, pede-se determinar a potência 
de um banco de capacitores capaz de elevar o fator de potência da carga para 0,92 
indutivo. 
 
 
7)Uma fonte trifásica equilibrada com tensão de linha de 13800 V, conectada em 
estrela com o neutro solidamente aterrado e do tipo barra infinita, supre uma carga 
através de uma linha de transmissão simétrica com impedância de 0,67+j8,72 Ω. 
Medições efetuadas nessas condições operacionais apontam que a carga é composta em 
cada fase por uma resistência de 35 Ω em série com um banco de capacitores de 26 Ω 
quando conectada em estrela com o neutro também aterrado diretamente. Essa carga 
demanda sempre a mesma potência ativa para qualquer tensão de trabalho e a reatância 
da mesma pode ser considerada constante. Com base nessas informações: 
a)Pede-se determinar o tipo e o valor da impedância de um elemento de circuito 
que conectado em paralelo com a carga reduza a magnitude da tensão de trabalho 
da carga em 5% e eleve o fator de potência da mesma para 0,90; 
b) Verifique se, de fato, o elemento acima especificado produzirá a redução 
esperada na tensão do sistema, promovendo, se necessário, ajustes nas condições 
operacionais
8
Sistemas Trifásicos Equilibrados 
Regulação de Tensão 
 
 
1) Uma carga trifásica equilibrada do tipo impedância constante possui os seguintes 
valores nominais: 
 Tensão de linha = 380 V 
 Potência ativa = 10 kW 
 Potência reativa capacitiva = 10 kvar 
Essa carga é suprida por intermédio de uma linha de transmissão com impedância por 
fase de 1+j2 Ω alimenta por uma fonte trifásica equilibrada que oferece uma tensão de 
linha de 380 V. Pede-se determinar a reatância de um indutor que conectado em 
paralelo com a carga reduza a tensão de trabalho da mesma em 5%. 
 
 
2) Uma carga trifásica do tipo potência constante absorve 15 kVA com fator de 
potência 0,8 atrasado quando alimentada por uma tensão de linha de 200 V. Esta carga 
foi suprida por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva com 380 V de 
tensão de linha, através de uma linha de transmissão com impedância de 1+j4 Ω. 
Nessas condições, a queda de tensão observada na linha foi considerada exagerada e 
decidiu-se introduzir um banco de capacitores em série com a linha para reduzir em 
10% a magnitude desta grandeza. Considerando-se que a tensão na carga permanecerá 
no mesmo valor verificado antes da introdução dos capacitores, pede-se determinar a 
reatância e a potência deste banco de capacitores. 
 
3) Uma carga trifásica, equilibrada e conectada em triângulo consome uma potência de 
250 kVA por fase com fator de potência 0,96 atrasado quando alimentada por uma 
tensão de fase de 2.000 V. A fonte de suprimento desta carga é trifásica, equilibrada de 
seqüência positiva e conectada em estrela com neutro aterrado, gerando uma tensão de 
fase de 2.500 V e 60 Hz. O ramal de ligação desta fonte para a carga exibe uma 
impedância de 1+j8 Ω. A tensão na carga, quando alimentada da forma acima descrita 
(Fonte+ramal), apresenta um valor considerado insuficiente, Pede-se determinar o tipo, 
a impedância e a potência do elemento que, conectado em série com a carga, eleve a 
magnitude da sua tensão para o mesmo valor da fonte. Assuma que a carga é do tipo 
potência constante. 
 
4) Uma indústria possui uma carga trifásica equilibrada de impedância constante que 
consome em 2400 V, tensão de linha, uma potência de 500 kVA com fator de potência 
atrasado de 0,8. A alimentação dessa carga provém de um sistema trifásico equilibrado 
formado por uma linha de transmissão com impedância 0,2 +j2Ω conectada a um 
gerador trifásico do tipo barra infinita que mantém uma tensão de linha de 2400 V nos 
terminais. Como a queda de tensão na linha de transmissão tem sido a causa de 
inúmeros problemas na indústria, deliberou-se instalar em paralelo com a carga um 
banco de capacitores capaz de elevar a tensão na mesma para o valor da fonte, 2400 V. 
Pede-se determinar a potência desse banco de capacitores para que, na plena carga da 
indústria, esse valor de tensão seja alcançado 
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Sistemas Trifásicos Desequilibrados 
Resolução pelas Técnicas Clássicas 
(Tensão de Nó ou Corrente de Malha) 
 
 
1) Uma fonte trifásica equilibrada, conectada em estrela, alimenta diretamente na 
tensão de linha de 400 V duas cargas: 
Carga A – trifásica equilibrada, conectada em estrela com neutro interligado por 
uma impedância resistiva de 100 Ω ao neutro da fonte e que está especificada para 
consumir 20 kVA com fator de potência 0,8 indutivo quando alimentada por uma 
tensão de linha de 380 V; 
Carga B – trifásica equilibrada, conectada em triângulo e consumindo 30 kVA com 
fator de potência 0,65 indutivo quando suprido por uma tensão de linha de 380 V. 
Sendo a fase C da fonte aberta em decorrência de um defeito, pede-se determinar: 
a) As correntes e as tensões em cada uma das fases das duas cargas; 
b) A tensão e a corrente entre os neutros da fonte e da carga A. 
 
 
 
2) Uma carga trifásica é formada por três impedâncias exatamente iguais conectadas 
em delta, sendo a resistência da mesma de 3 Ω e a reatância indutiva de 15 Ω. Essa 
carga está conectada aos terminais de uma linha de transmissão perfeitamente 
equilibrada e com impedância de 1 Ω. A fonte que alimenta essa linha exibe tensões de 
fase desequilibradas dadas por: 
o
aV 90200 −∠=
r
 
o
bV 180100∠=
r
 
o
cV 60100∠=
r
 
Pede-se determinar utilizando as técnicas clássicas de resolução de circuitos elétricos: 
a)As correntes nas três fases da linha de transmissão; 
b)As correntes nas três fases da carga; 
c)A tensão nos terminais da carga; 
d)A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela carga; 
e)A potência ativa, reativa e aparente fornecida pela fonte; 
f)A potência ativa, reativa e aparente solicitada pela linha de transmissão. 
 
 
3) A rede elétrica tratada no exercício 2 do tópico Sistemas Trifásicos Equilibrados – 
Correção do Fator de Potência, após a correção da carga com a instalação do banco de 
capacitores experimentou um defeito na indústria, o qual não somente colocou as fases 
B e C em curto-circuito, como também levou a fase C diretamente para a terra. Para 
essas condições do defeito, pede-se determinar as correntes nas fases A, B e C da fonte 
e da carga. 
 
 
 
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4) Uma carga trifásica composta por um capacitor, um indutor e um resistor 
conectados em estrela é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de seqüência 
ABC e que apresenta uma tensão de fase de 220 V. Assumindo: 
Ω=== 10
3
RXX CL
))
 
a) Determine a tensão e a corrente em cada uma das fases da carga e a tensão 
existente entre o neutro da carga e o neutro da fonte de alimentação. Esboce o 
diagrama fasorial correspondente a essa situação operacional. 
b) Considere que o capacitor da fase B da carga é desconectado da fonte, 
permanecendo o resistor e o indutor alimentados pela mesma. Determine as 
grandezas solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial dessa nova 
condição operativa da carga. 
c) Considere, agora, que, além do desligamento do capacitor, também o resistor da 
carga é desconectado da fonte de alimentação. Determine as mesmas grandezas 
solicitadas no item anterior e trace o diagrama fasorial correspondente. 
 
5) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com tensão de linha de 220 V 
alimenta uma carga formada por três resistores iguais de 127 Ω ligados também em 
estrela e com neutros interligados. A carga possui três chaves instaladas nas posições 
indicadas na figura abaixo.Calcule as tensões de linha e de fase e as correntes de fase e 
de neutro na carga, e esboce o diagrama fasorial correspondente para cada uma das 
seguintes configurações operativas: 
a) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta. 
b) Chaves 1 e 2 abertas e chave 3 fechada. 
c) Chaves 1, 2 e 3 abertas. 
d) Chaves 1 e 2 fechadas e chave 3 aberta. 
e) Chaves 1 e 3 fechadas e chave 2 aberta, porém com a resistência da fase 
A substituída por um capacitor com reatância de mesma magnitude. 
6) Uma fonte trifásica equilibrada de seqüência de fase negativa, ligada em estrela com 
neutro aterrado diretamente, alimenta uma carga formada pelas seguintes 
impedâncias; Ω= 101 jZˆ , Ω−= 102 jZˆ e Ω= 103Zˆ . Essa carga encontra-se 
conectada em estrela com neutro aterrado também diretamente. Sabendo-se que a 
impedância 1Zˆ é suprida pela fase A da fonte e que consome 5 A e que uma medição 
ada corrente no neutro da fonte alcançou 13,7 A, pede-se identificar: 
a)Quais as fases da fonte que suprem as impedâncias 32 ZˆeZˆ ; 
b)Se a seqüência de fase da fonte for positiva, que modificação experimentará a 
resposta anterior. 
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7) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela aterrada com tensão de linha de 
220 V alimenta uma carga formada por três