Energia relativística

Prévia do material em texto

Relatividade Restrita (E = mc2)
1. introdução:
Nesta seção, tentaremos deduzir matematicamente a expressão E = mc², que talvez seja a 
equação mais popular da Física. Para tanto, primeiramente, vamos supor que já é bem conhecido do 
leitor as transformações de Lorentz, e a diferença entre massa inercial e massa gravitacional.
2. As Transformações de Lorentz:
Não deduziremos aqui as Transformações de Lorentz, mas, vamos relembrar a sua forma e a sua 
utilidade. As Transformações de Lorentz são utilizadas para mostrar como dois observadores 
diferentes, em referenciais diferentes S e S', que se movem à velocidade v, um com relação ao 
outro. 
 
(1) 
Resolvendo o sistema (1) em função de x, y, z e t, teremos as Transformações de Lorentz 
inversa, que é:
(2) 
As expressões (1) e (2) também são conhecidas como Transformações de Lorentz especial, pois 
são deduzidas a partir da consideração de que para um dos referenciais haja movimento apenas na 
direção do eixo x, por isso que y e z não se transformam, sendo iguais, respectivamente a y' e z'. 
3. Mecânica Relativística:
A mecânica desenvolvida por Isaac Newton, conhecida como Mecânica Newtoniana é um grande 
marco do pensamento racional e de toda a ciência ocidental. Pois, com ela, se pôde associar os mais 
diversos movimentos em um número bastante reduzido de leis. É possível se estudar de maneira 
bastante parecida tanto o movimento da Lua em volta da Terra quanto uma maçã que cai na 
superfície do planeta. Mas, esta teoria é incompatível com a teoria eletromagnética de Maxwell. E, 
para conciliar as duas teorias mais bem elaboradas que a humanidade já criou, foi preciso se 
desenvolver uma outra teoria: a teoria da relatividade. 
A teoria da relatividade, na verdade, é dividida em duas: a relatividade restrita e a relatividade 
geral. Nos será de maior interesse no momento a relatividade restrita, pois é a partir dela que 
começa a acontecer a grande reformulação da mecânica de Newton. Como já foi dito anteriormente, 
não pretendemos entrar em detalhes nos conceitos abordados pela teoria da relatividade; no 
entanto, mostraremos que ela reduz a mecânica de Newton a um caso particular de um principio 
físico mais geral.
x '= x−vt
1− v2c2
y '= y
z '=z
t '=
t− xv
c2
1− v2c2
x= x 'vt '
1− v2c2
y= y '
z= z '
t=
t 'x '
c2
1− v2c2
Albert Einstein, criador da teoria da relatividade, mostrou que há duas formas distintas de massa 
e que é preciso que se diferencie uma da outra. Uma ele chamou de massa inercial e a outra de 
massa gravitacional. Quando a velocidades pequenas comparadas com velocidade da luz, ambas 
tendem a serem iguais. Não é uma tarefa difícil se deduzir a expressão matemática para a massa 
inercial, já que a mesma depende da velocidade. E ela é:
(3)
A expressão (3) dar mais consistência aos postulados que Einstein criou para conseguir chegar a 
teoria da relatividade. Observe o que acontece quando v tende para c.
 (4) 
A relação v2/ c2 tenderá para 1, então, o termo no interior da raiz quadrada tenderá para 0. 
como:
 (5) 
Então, teremos que m(v) será uma indeterminação. Fisicamente, poderíamos dizer que m(v), a 
massa relativística, seria infinita se a velocidade da partícula fosse igual a velocidade da luz. E, se a 
velocidade da partícula fosse superior a velocidade da luz, teríamos um números complexo puro. 
Isso justifica um dos postulados da teoria da relatividade, que diz que nada que tenha massa pode 
alcançar a velocidade da luz. 
Mas, a relatividade ainda conserva alguns conceitos que são comuns à mecânica newtoniana, 
como por exemplo a quantidade de movimento, p, e a força F, que são definidos, respectivamente 
como:
p≡mv (6) e F≡dpdt (7) 
Onde v é a velocidade da partícula e a é a aceleração da mesma.
Ainda na mecânica newtoniana temos que: 
(8) 
Onde T é o trabalho realizado pela força para mover um corpo na distância dx.
Agora nós já temos as ferramentas necessárias para deduzir a equação de Einstein. 
4. A equação de Einstein:
Primeiramente utilizamos a expressão (8), e substituímos F pela expressão (7):
 (9) 
Sabemos que a velocidade é definida como: v≡ dxdt (10) 
Substituindo (10) em (9), temos:
(11) 
Nosso próximo passo é resolver a integral da expressão (11). Essa integral é resolvida 
facilmente se usarmos o método de integração por partes. Relembraremos como é utilizado este 
método:
∫udk = uk−∫ kdu , o que resulta em: (12)
Utilizando agora a expressão (6), para substituir na expressão (12) 
m v=
m0
1− v2c2
lim
vc
m0
1− v2c2
lim
m0
m0
0
=∞
T=∫
0
x
F dx
T=∫
0
x dp
dt
dx
T=∫
0
p
vdp
T=[vp ]0
v−∫
0
v
pdv
T=vmv 0
v−∫
0
v
mvdv (13) 
Substituiremos agora a expressão (3) na expressão (13), pois necessitaremos da massa 
relativística. Pela primeira vez, sairemos da mecânica newtoniana, para dizermos que a massa é 
uma função da velocidade. Como já deu para perceber a integral será de uma forma um pouco mais 
complicada de se resolver.
 (14) 
Nos concentraremos no momento em resolver a segunda parte da expressão (14), que é resolver 
a integral definida. Esta integral não deve ser muito difícil de ser resolvida, pois, ela se integra com 
v e este mesmo termo é encontrado elevado ao quadrado e elevado à primeira potência. Tentaremos 
resolvê-la por substituição, fazendo:
u=1−v2/c2 e du=−2v
c2
dv Logo: vdv=−c
2
2
du
Fazendo todas as substituições necessárias, podemos escrever agora a integral da seguinte 
forma:
Substituímos agora a expressão acima em (14), no lugar da integral, temos:
T= m0 v
2
1− v2c2
m0c
21− v2c2 
0
v
 (15) 
Colocando m0c2 em evidência, temos:
 (16) 
Podemos simplificar mais ainda as expressões no interior dos parênteses, reduzindo-a a uma 
única expressão:
 (17) 
 
Aplicando agora os limites de integração, temos:
T=m0 c
2 11− v2c2 −
1
1−02c2  ⇒ T=m0 c
2 11− v2c2 −1 (18) 
Simplificando para eliminar os parênteses, temos:
T=
m0 c
2
1− v2c2
−m0 c
2
 (19) 
 
T=m0 c
2 v
2
c2
1− v
2
c2
1− v2c2 0
v
⇒ T=m0 c
2 11− v 2c2 0
v
−m0∫
0
v
−c2/2
u
du ⇒
m0 c
2
2 ∫0
v
u−1/2du ⇒ m0 c22 .21− v2c2 
1 /2
0
v
T=m0 c
2 v2/c21− v2c2 1−
v2
c2 
0
v
T= m0 v
2
1− v2c2 0
v
−∫
0
v m0 v
1− v2c2
dv
 O teorema da conservação da energia diz que o trabalho total executado sobre uma partícula é 
igual a sua energia cinética. Por isso, deixaremos de usar T, para usar E, pois, desde o início que 
estamos tratando de energia. Nossa expressão então será:
E=
m0 c
2
1− v2c2
−m0 c
2
 (20) 
Esta expressão (20) também pode ser escrita da seguinte forma:
E=m0c
2[1− v2c2 
−1 /2
−1] (21) 
Devido a forma do termo entre parênteses, a expressão (21) pode ser expandida na forma de uma 
expansão binomial. Lembrando que de maneiragenérica, uma expansão binomial pode ser assim 
escrita:
1x n=1nx
1!

n n−1 x2
2!
... (22) 
 Expandido (21), fica:
E=m0c
2[112 . v2c21/2 1 /2−12! . v2c2 
2
−1] (23) 
Estamos interessados apenas nos termos de potência inferior, pois, se considerarmos que v << c, 
cada vez que v2/c2 for elevado a uma potência maior, o termos será menor, se tornando irrelevante 
no que desejamos observar. Mas, é claro que não teremos mais uma exatidão, somente uma 
aproximação. Mas, esta aproximação é muito boa para os nossos parâmetros físicos, pois, não temos 
nenhum aparelho de medida que meça uma grandeza qualquer com infinita precisão, somente 
aproximadamente. Então, a expressão (23) toma a seguinte forma:
E≈m0 c
2[ 12 . v
2
c2 ] (24) 
Simplificando, fica:
E≈1
2
mv2 (25) 
Que é a nossa conhecida expressão para a energia cinética, que é proveniente da Mecânica 
Clássica. Este resultado é uma das provas que a Teoria da Relatividade está de acordo com a 
mecânica Newtoniana, sendo mais uma generalização do que uma contradição quanto à teoria 
clássica. Pois, na mecânica de Newton, todos os movimentos ocorrem em pequenas velocidades 
comparadas à velocidade da luz. 
Para calcularmos a energia relativística total Et de uma partícula, devemos somar a energia dessa 
partícula, quando em movimento com a energia dessa partícula quando em repouso. Ou seja:
Et = E(v) + E(0), onde E(v) é a energia cinética da partícula e E(0) é a energia de repouso da 
partícula. Logo:
E t=E v E 0 ⇒ E t=
m0 c
2
1− v2c2

m0 c
2
1−02c2
⇒ E t=
m0 c
2
1− v2c2
m0c
2
 (26) 
Então, a energia cinética relativística de uma partícula é dada por e a energia de 
repouso é simplesmente E(0) = mc2.
E v =
m0 c
2
1− v2c2
Da expressão (3), podemos simplificar ainda mais a (26), que fica:
Et = mc2 + m0c2 (27) 
Podemos ainda escrever: mc2 = Et - m0c2. E quando temos uma partícula presa por um poço de 
potencial U, podemos generalizar mais ainda a expressão da energia dessa partícula. Da expressão 
(19), temos que:
 E(v) = mc2 - m0c2 Ou seja: mc2 = E(v) + m0c2 . Logo, a expressão completa fica:
mc2 = E(v) + U + m0c2 (28) 
Com isso, agora podemos dizer que a massa relativística é uma medida direta do conteúdo total 
de energia de uma partícula. Qualquer coisa que aumente, de alguma forma, a energia de uma 
partícula, também aumentará a sua massa relativística mc2.
5. Conclusão:
Com este trabalho, conseguimos mostrar um caminho bastante razoável para se chegar à equação 
mais popular da Física: E = mc2. Para isso, utilizamos um caminho bem mais matemático, e, talvez 
um pouco mais tortuoso do que era de se esperar. Na verdade, a matemática utilizada pela 
relatividade restrita é bem simples, o que há de mais difícil nesta teoria é se entender as aparentes 
contradições que surgem quando estamos aprendendo a relatividade. Mais tarde, nos acostumamos 
e percebemos que ela é uma teoria bastante natural e de uma simplicidade incrível. Há outras 
formas de se chegar à mesma expressão. Mas, o que importa não é a forma de se chegar à 
expressão, mas sim o significado físico dela. Enquanto que na mecânica de Newton, um corpo em 
repouso só pode ter energia potencial, já que a mesma é uma forma de energia associada ao campo 
no qual a partícula se encontra; na mecânica relativística, um corpo em repouso tem uma energia 
intrínseca, a energia de repouso E = mc2. 
6. Bibliografia:
* Eisberg, Robert Martin. Fundamentos da Física Moderna. 
* Nussenzveig, Moysés. Física Básica IV. 
Este trabalho foi elaborado por Maroívo P. Caldeira, estudante de graduação em Física da 
Universidade Federal da Bahia (UFBA). Espero que ele ajude a muitas pessoas na sua caminhada 
acadêmica. Qualquer dúvida, sugestão ou erro encontrado neste trabalho que alguém queira me 
comunicar, por favor entre em contato:
e-mail: isaacnewton@ig.com.br
	A relação tenderá para 1, então, o termo no interior da raiz quadrada tenderá para 0. como:
	 (5) 
	Primeiramente utilizamos a expressão (8), e substituímos F pela expressão (7):