Transformções Lineares no Plano

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Curso de Álgebra Linear 
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - 
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis 
 Resumo Teórico 10 - Transformações Lineares no Plano e no Espaço 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES GEOMÉTRICAS NO PLANO 
 
As Transformações Lineares Geométricas no Plano são Aplicações de IR2→ IR2 (plano) e tem 
utilidade, entre outras áreas, em computação Gráfica. A seguir relacionamos algumas destas: 
 
I. Reflexões: 
 
a) No eixo das Abscissas: y=0: F(x,y) = (x,-y); ∀ x, y ∈ IR 
 
 y 
 
 (x,y) 
 y • 
 
 
 x 
 x 
 
 -y • 
 (x,-y) 
 
b) No eixo das Ordenadas: x = 0: F(x,y) = (-x,y); ∀ x, y ∈ IR 
 
 y 
 
 
 (-x,y)• •(x,y) 
 y 
 
 x 
 -x x 
 
 
 
 
c) Na 1a Bissetriz y = x: F(x,y) = (y,x); ∀ x, y ∈ IR 
 
 
 
 y 
 (y,x) 
 y • 
 
 
 y •(x,y) 
 x 
 x x 
 
 
 
d) Na 2a Bissetriz y = -x: F(x,y) = (-y,-x); ∀ x, y ∈ IR 
 
 y 
 
 
 
 y •(x,y) 
 x 
 -x 
 
 
 (-y,-x) • -y 
 
e) Na Origem do Sistema de Coordenadas: F(x,y) = (-x,-y); ∀ x, y ∈ IR 
 y 
 
 
 y •(x,y) 
 
 y 
 x 
 -x x 
 
 (-x,-y) • 
 -y 
 
II. Homotetias (Semelhanças): 
Uma Homotetia é definida pela Transformação Linear F(x,y)= k (x , y); ∀ x, y ∈ IR e ∀ k≠0 ∈ IR. 
Esta transformação leva a cada vetor (x,y) do plano num vetor de mesma direção de mesmo ou 
oposto sentido e de módulo igual, maior ou menor, conforme o valor atribuído ao real k. 
 
a) Se k > 1 teremos uma Ampliação ou Dilatação; 
 y 
 (kx,ky) 
 ky • 
 
 
 y •(x,y) 
 
 
 x 
 x kx 
 
b) Se 0< k < 1 teremos uma Redução ou Contração; 
 y 
 (x,y) 
 y • 
 
 
 ky •(kx,ky) 
 
 
 x 
 kx x 
 
c) Se k < 0 teremos uma Inversão; 
 y 
 
 y •(x,y) 
 
 
 x 
 kx x 
 
 • ky 
 (kx,ky) 
 
 
III. Rotações: 
Uma Rotação é definida pela Transformação Linear F(x,y)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ); 
∀ x, y ∈ IR. O ângulo θ , por convenção tem orientação positiva, no sentido anti-horário. 
 y 
 
 
 θ 
 
 F(x,y) • y •(x,y) 
 
 
 x 
 x 
 
IV. Cisalhamentos: 
a) Horizontal: F(x,y)=(x+ay,y); ∀ a ≠0 ∈ IR b) Vertical: F(x,y)=(x, bx+y); ∀ b ≠0 ∈ IR. 
 y y 
 
 (x,y) (x+ay,y) (x, bx+y) 
 y • • bx+y • 
 
 
 y • (x,y) 
 x x 
 x x+ay x 
 
 
 
V. Translação: 
Uma Translação é definida pela Aplicação F(x,y)= (x+a , y+b). 
Observamos que esta Aplicação é uma Transformação Linear apenas para o caso em que a=b. 
 y y 
 
 (x,y) (x+a,y+b) (x+a, y+a) 
 y+b • y+a • 
 
 y • 
 y • (x,y) 
 x x 
 x x+a x x+a 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES GEOMÉTRICAS NO ESPAÇO 
As Transformações Lineares Geométricas no Espaço são Aplicações de IR3→ IR3. 
A seguir relacionamos algumas destas: 
 
I. Reflexões: 
a) Reflexões em relação aos Planos Coordenados. 
A Reflexão em relação, por exemplo, ao plano xOy é a Transformação Linear F: IR3→ IR3 , que 
leva cada ponto (vetor) (x,y,z) na sua imagem (x, y, -z): F(x,y,z) = (x, y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR. 
 Plano xOy. Sua matriz canônica é: 
 z 
 1 0 0 
 
 z •(x, y, z) 0 1 0 
 
 y 0 0 -1 
 y 
 
 
 x • 
 
x •(x, y ,-z) 
As reflexões em relação aos planos xOz F(x, y, z)= (x, -y, z); ∀ x, y, z ∈ IR e 
yOz F(x, y, z)= (-x, y, z); ∀ x, y, z ∈ IR tem as seguintes matrizes Canônicas: 
 Plano xOz Plano yOz 
 
1 0 0 -1 0 0 
 
0 -1 0 0 1 0 
 
0 0 1 0 0 1 
 
b) Reflexões em relaçãoaos Eixos Coordenados. 
A Reflexão em relação, por exemplo, em torno do eixo x, é o Operador Linear F: IR3→ IR3 . 
F(x, y, z) = ( x, - y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR, cuja matriz canônica é: 
 z 
 1 0 0 
 
 0 -1 0 
 z •(x, y, z) 
 y 0 0 -1 
 y 
 x • 
 
 •(x,-y,-z) 
 
 
 x 
De forma análoga F(x,y,z)= (-x,y,-z) define as reflexões ao eixo Oy e F(x,y,z) = (-x,-y, z), 
define as reflexões ao eixo Oz. 
 
 - 1 0 0 -1 0 0 
Matriz para o eixo Oy ⇒ 0 1 0 Matriz para o eixo Oz ⇒ 0 -1 0 
 0 0 -1 0 0 1 
 
c) Reflexão na Origem. 
A Reflexão em relação à origem é o Operador Linear F: IR3→ IR3 , que leva cada ponto (vetor) 
(x,y,z) na sua imagem (-x, -y, -z): F(x,y,z) = (-x, -y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR. 
 z 
 
 
 → 
 v 
 
 → • y 
 -v 
 
 
 
 
 x 
 
II. Rotações: 
Das rotações do espaço apresentaremos, exemplificando, a rotação em torno do eixo z das cotas. 
Esta rotação, que faz cada ponto descrever um ângulo θ é efetivamente o Operador Linear 
F: IR3→ IR3, definido por F(x,y,z)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ, z);, ∀ x, y, z ∈ IR. 
O ângulo θ, por convenção tem orientação positiva, no sentido anti-horário. Sua Matriz canônica 
é: 
 
cos θ −sen θ 0 
 
(F) = sen θ cos θ 0 
 
 0 0 1 
 
 z Observamos que: 
 i) F gira de um ângulo θ em torno da origem O, 
 os pontos do plano xOy (z=0), pois 
 F(x,y,0)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ, 0); 
 ii) F não altera os pontos do eixo z, pois F(0,0,z)=(0,0,z); 
´ o´• iii) O ângulo θ corresponde ao ângulo central cujos lados 
 θ interceptam, na circunferência de centro em O´, um 
 arco de medida θ. 
 F(v) Esse ângulo não é o ângulo α formado pelos vetores 
 α v e F(v). 
 v 
 
 
 O • y 
 
 
 
 
 x 
Centro Universitário da FSA 
Prof.: Anastassios H.K.