Todamateriaonline_Estatística e Probabilidade

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Estatística e Probabilidade
Aula 1
Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística moderna estão relacionados a três fenômenos isolados: as necessidades dos governos coletarem dados sobre os seus cidadãos, o desenvolvimento da teoria d probabilidade e o advento da informática. Pacotes estatísticos como SAS, Eviews, R-Project e outros se tornaram populares e vem ajudando no processamento das informações.
O que é Estatística?
É a ciência que estuda método de coleta, organização, descrição, analise e interpretação de dados, para a obtenção de conclusões válidas e tomadas de decisões.
Estatística Descritiva Coleta, a organização e a descrição de dados
Estatística Inferencial Análise e a interpretação dos dados
Estatística das Probabilidades Estudo do risco e do acaso de eventos futuros e determina se é provável ou não seu acontecimento.
Aplicações da Estatística
As caixas abaixo mostram algumas das aplicações da Estatística em algumas situações distintas e sua influencia em processos decisórios.
Em Markenting: Testa a reação de um grupo de consumidores sobre um novo produto e com base nas respostas decidem-se pela produção e distribuição do mesmo em uma escala nacional.
Na Mídia: Calcula índices de audiência de um determinado canal e em um determinado horário, para estabelecer o preço a ser cobrado aos anunciantes pela veiculação de suas propagandas.
No Controle de Qualidade: Testa a reação de um grupo de consumidores sobre um novo produto e com base nas respostas decidem-se pela produção e distribuição do mesmo em uma escala nacional.
Em Finanças: observa índices de inflação, emprego e desemprego para estimar alguns aspectos econômicos do cenário nacional.
Na Saúde: fornece metodologia adequada que possibilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento no combate a determinada doença.
Na Política: Utiliza-se de pesquisas prévias de opiniões para muitas vezes corrigir estratégias de campanha para uma determinada eleição.
População e Amostra
Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma característica em comum, denominamos de população estatística ou de universo estatístico
Ex: estudantes, os brasileiros que votam, as peças produzidas em um determinado setor.
Uma Amostra é subconjunto finito não vazio de uma população estatística.
Exemplos: apenas estudantes universitários, Apenas os eleitores do sul do pais, apenas peças produzidas na última semana do mês,
Para obtermos previsões válidas sobre um determinado problema quase nunca utilizamos todos os elementos da população, trabalhamos apenas com amostras desta população.
Exemplo – Previsão baseada em amostra
Antes de uma eleição, os institutos de pesquisa entrevistaram 2000 pessoas e, com base em suas respostas, conseguem prever o resultado da eleição.
Conceito de variável
Para cada experimento ou informação obtemos um número de resultados possíveis, por exemplo:
Se o experimento refere-se a uma categoria como "gênero de uma pessoa" são dois os resultados possíveis: masculino ou feminino.
Se o experimento refere-se a uma categoria como "estatura de uma pessoa" temos vários resultados possíveis dentro de um intervalo de números.
Variável – é o conjunto de resultados possíveis de um experimento ou informação. Dependendo dos dados coletados em um experimento as variáveis podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas.
Qualitativas – quando seus valores são expresso por atributo como: gênero: masculino ou feminino; cor da pele: branco, pardo, amarelo, preto; estatura: alto, médio e baixo e etc. As variáveis qualitativas podem ser subdivididas em nominais e ordinais.
Nominais – são classificados como nominais quando não permitem comparações. Ex: nome ou gênero de um individuou. Não é possível estabelecer qual a prioridade ou o mais importante nessas características.
Ordinais – são classificados como ordinais quando permitem comparações. Ex: atribuição de status alto, médio, ou baixo. É possível estabelecer comparações de intensidade e ordenamento.
Quantitativas – quando seus valores são expresso por números como: quantidade de filhos, salários de empregados, idades dos alunos.
Discretas – quando assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. Ex: número de filhos de um casal.
Continuas – quando puder assumir qualquer valor em um determinado intervalo. Ex: peso de um individuou.
Organizando e Contando Dados
Os dados coletados da observação de um fenômeno coletivo, sem manipulação ou ordenação, são chamados de dados brutos.
 
Exemplo:
As notas de matemática de um grupo de alunos ao final da primeira avaliação são: 
2,1; 7,1; 4,3; 3,3; 4,7; 6,9; 6,1; 7,1 e 8,3; 6,9.
 
A série numérica exposta poderia ser de melhor forma apresentada se estabelecêssemos uma ordenação para as notas. Esta etapa consiste na elaboração de um Rol ou conjunto ordenado de dados.
 
Um tipo de Rol para esta série de notas poderia ser colocá-las em ordem crescente na forma:
{2,1; 3,3; 4,3; 4,7; 6,1; 6,9; 6,9; 7,1; 7,1; 8,3}
Além de visualizar melhor a série o Rol evidência os seus valores extremos (maiores e menores notas).
 
“Neste ponto vale comentar que as presenças de valores extremos em conjuntos de dados distorcem a maior parte das medidas estatísticas obtidas. Esta discussão será abordada com mais profundidade em aulas futuras”. 
 
Além disso, observamos que existem repetições de notas no conjunto. Sendo assim, uma forma mais fácil de representar a série de notas será por uma tabela de freqüência do tipo:
Aula 2
Na primeira aula vimos que a etapa inicial para obtermos uma melhor visibilidade dos dados brutos extraídos de um fenômeno coletivo é a construção de um rol. 
Nesta segunda etapa vamos introduzir os conceitos necessários para a elaboração de uma tabela estatística, denominada Distribuição de Freqüências, considerando apenas o caso de dados discretos agrupados sem intervalos de classes.
Distribuição de Frequencias
É uma tabela que viabiliza a extração rápida de uma grande quantidade de informações sobre um problema aplicado.
 
Para ilustrar, vamos iniciar a construção de uma distribuição de freqüências considerando o seguinte exemplo:
Suponha que a tabela ao lado represente os dados brutos sobre as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico durante um mês, por uma firma comercial:
Como vimos anteriormente, um rol para estas informações pode ser descrito por uma série numérica ordenada de 
forma crescente do tipo:
{10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17}
Pelo rol observamos que as vendas de 11, 12, 13, 14, 15 aparelhos ocorreram em 3, 4, 5, 7 e 2 dias no mês, respectivamente, e, as vendas de 10, 16 e 17 aparelhos ocorreram em apenas um dia no mês. 
 
Observe neste exemplo que a variável em questão, vendas diárias, pode ser obtida e estudada mais facilmente se dispusermos seus valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, os totais de dias no mês em que as respectivas vendas ocorreram. 
Vamos então começar a inserir colunas nesta tabela com alguns tipos de freqüências de dados que definiremos a seguir:
	Vendas diárias do aparelho
	Numero de dias
	10
	1
	11
	3
	12
	4
	13
	5
	14
	7
	15
	2
	16
	1
	17
	1
Frequência Simples ou Absoluta
Denotada por fi ,  representa o número de repetições com que o dado i aparece no rol. 
Observe no rol do exemplo trabalhado :
O primeiro dado (i = 1) aparece com frequência simples f1=1; 
O segundo dado (i = 2) aparece com frequência simples f2= 3;
E assim por diante.
Acrescentando, portanto, a coluna das freqüências  fi  no exemplo trabalhado, podemos então  estabelecer uma tabela mais elaborada como pode ser vista na figura ao lado:
	I (Dado)
	Vendas diárias do aparelho
	Numero de dias fi (freq simples)
	1
	10
	1
	2
	11
	3
	3
	12
	4
	4
	13
	5
	5
	14
	7
	6
	15
	2
	7
	16
	1
	8
	17
	1
	
	
	Soma fi = 24Atenção: É comum incluirmos sempre a uma tabela de frequências uma última linha contendo a soma de todas as frequências simples. Evidentemente, esta soma é igual ao número total de dados do problema.
Para analisarmos ainda de forma mais fácil os dados da nossa tabela podemos inserir mais duas outras colunas, uma com os dados relativos ao tamanho da amostra e outra com esses mesmos dados só que expressos em suas formas percentuais. Para tal, considere as definições a seguir:
Frequencia Relativas (fri)
Denotadas por fri ,  são obtidas pelas razões entre as freqüências simples e o tamanho da amostra.
Fri = fi / soma fi - No exemplo trabalhado a frequências relativas são dadas aproximadamente por:
fr1 = 1/24   0,04;    fr2 = 3/24  0, 13;     fr3 = 4/24  0, 17;    fr4= 5/24  0, 20;
fr5= 7/24  0, 30 ;    fr6 = 2/24  0, 08;   fr7 = 1/24  0, 04  e   fr8 = 1/24  0, 04
Frequência Relativas Percentuais
Denotadas por fri% , são as frequências relativas simples escritas em suas formas percentuais. 
Podem ser obtidas pela equação
Fri% = fri.100%
Olhando tabela podemos, por exemplo, responder facilmente às questões:
	I (Dado)
	Vendas diárias do aparelho
	Numero de dias fi (freq simples)
	Frequencia Relativa (fri)
	Frequencia Relativa Percentuais (fri%)
	1
	10
	1
	0,04
	4
	2
	11
	3
	0,13
	13
	3
	12
	4
	0,17
	17
	4
	13
	5
	0,20
	20
	5
	14
	7
	0,30
	30
	6
	15
	2
	0,08
	8
	7
	16
	1
	0,04
	4
	8
	17
	1
	0,04
	4
	
	
	Soma fi = 24
	
	
a. No mês, qual o percentual de vendas diárias  de 12 aparelhos ?
A melhor opção é a leitura pura e simples na coluna da freqüência relativa percentual do dado três, fr3 % = 17 % , isto é, em 17% dos dias no mês foram vendidos 12 aparelhos.
b. Em quantos dias no mês foram vendidos 15 aparelhos?
Basta analisar o valor da frequência simples do dado seis,  f6 = 2 dias.
c. Qual o dado que aparece mais frequentemente na tabela ? 
Basta olhar o dado com a maior frequência simples (i = 5), isto é, 14 aparelhos.
Para respondermos ainda a outros tipos de questionamentos podemos inserir mais três novas colunas na distribuição de freqüências: a primeira com as frequências acumuladas simples,a segunda com as frequências acumuladas relativas e a terceira com as frequências acumuladas relativas percentuais, conforme as definições a seguir:
Frequência Acumuladas Simples
Denotadas por Fi, são obtidas pelas somas de todas as frequências simples até o elemento analisado.  O cálculo de Fi é dado pela equação
No exemplo analisado as frequências acumuladas são obtidas por:
F1 = 1;  F2 = F1 + f2 = 4;   F3 = F2 + f3 = 8;   F4 = F3 + f4 = 13;
F5 = F4 + f5 = 20;  F6 + f6 = 22 ;  F7 = F6 + f7 = 23 e  F8 = F7 + f8 = 24.
Frequência Relativas Acumuladas
Denotadas por Fri, são as razões entre as frequências acumuladas Fi e o tamanho da amostra.
Fri = fi/soma fi
Por exemplo, a frequência relativa acumulada do dado seis é dada por:
 Fr6 = 22/24 =  0, 96.
As frequências relativas acumuladas na forma de porcentagens são obtidas pela equação a seguir:
Fri%= Fi/soma fi . 100%
Por exemplo, a frequência relativa acumulada do dado seis é dada por:
 Fr6 = 0, 96. 100 % = 96%.
Acrescentando a tabela do exemplo às novas colunas, obtemos finalmente uma tabela Distribuição de Freqüências completa como mostraremos a seguir:
	I (Dado)
	Vendas diárias do aparelho
	Numero de dias fi (freq simples)
	Frequencia Relativa (fri)
	Frequencia Relativa Percentuais (fri%)
	Freq relativa Acumulada (fr)
	Freq relativa Acumuada (fri)
	Freq relativa acumulada (fri%)
	1
	10
	1
	0,04
	4
	1
	0,04
	4
	2
	11
	3
	0,13
	13
	4
	0,17
	17
	3
	12
	4
	0,17
	17
	8
	0,34
	34
	4
	13
	5
	0,20
	20
	13
	0,54
	54
	5
	14
	7
	0,30
	30
	20
	0,84
	84
	6
	15
	2
	0,08
	8
	22
	0,92
	92
	7
	16
	1
	0,04
	4
	23
	0,96
	96
	8
	17
	1
	0,04
	4
	24
	1
	100
	
	
	Soma fi = 24
	Soma = 1
	Soma =100
	
	
	
Com o conhecimento dos vários tipos de frequências, podemos extrair com facilidades vários tipos de informações da distribuição de freqüências, como por exemplo:
a. As vendas diárias de no máximo 14 aparelhos ocorreram em 20 dias no mês.
Na tabela, a opção de leitura é a do dado 5 na coluna das freqüências acumuladas simples, F5 = 20.
b. O percentual de vendas diárias de pelo menos 13 aparelhos é de 66% .
Na tabela, os dados considerados irão de i = 4 até i = 8, assim nas colunas das frequências acumuladas percentuais basta calcularmos:  
F8 % - F3% = 100 – 34 = 66 % dos dias.
c. O percentual de vendas diárias de 10 aparelhos é de 4%.
Na tabela, a opção de leitura é do dado 1 na coluna das frequências percentuais,  relativas  fr1 = 4.
Utilizando gráficos
A visualização gráfica para uma distribuição de frequências é sempre bastante esclarecedora quanto desejamos extrair informações de um problema aplicado, a seguir apresentaremos alguns tipos de gráficos úteis e simples que representam distribuição de frequências para o caso de dados agrupados sem intervalos de classes.
DIAGRAMA REPRESENTATIVO PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS SEM INTERVALOS DE CLASSES
É um tipo de gráfico estatístico que para elaborá-lo, dispomos na linha horizontal os valores assumidos pela variável do problema e a seguir levantamos sobre cada valor da variável um segmento de reta vertical com medida correspondente ao valor da sua frequência simples.
Grafico de Colunas
É uma boa forma de visualizar a distribuição de freqüências, apresenta as freqüências sob a forma de barras verticais levantadas sobre os dados que aparecem organizados na linha horizontal. 
Diagrama ou gráfico de barras
Apresenta as freqüências simples ou relativas sob a forma de barras horizontais, separadas entre si.
O gráfico de barras a seguir representa a freqüência simples das vendas diárias do aparelho elétrico exposto na tabela 01.
Grafico ou Diagrama de Setores
Representa as freqüências simples ou relativas sob a forma de setores de um círculo, aponta de forma muito clara os dados mais representativos da distribuição de freqüências. O gráfico de setores a seguir representa as freqüências simples da tabela 1, a legenda mostra as cores dos setores associados a cada uma das freqüências simples da variável venda diária,
Nota-se neste gráfico que o setor circular de maior área está associado a 14 aparelhos que é o dado com a maior freqüência simples (dado 5: na cor azul), seguido por 13 aparelhos 
(dado 4: na cor roxa). 
Os setores de menor área estão associados a 10, 16, 17 aparelhos que são os dados com menores frequências simples (dado 1: na cor Hortência, dado 7: na cor azul celeste e dado 8: na cor rosa).
Aula 3
Na segunda aula aprendemos a montar e representar graficamente uma distribuição de freqüências para um conjunto de dados discretos. Nesta terceira aula veremos que quando os dados coletados possuem vários valores diferentes, uma melhor distribuição de freqüências poderá ser obtida por meio de agrupamentos desses dados em intervalos de classes, com limites inferior e limites superior.
Para ilustrar a criação de classes de freqüências considere o problema a seguir:
Exemplo
Suponha que tenha sido feita uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos da faculdade A. 
Esses são os dados primitivos que estão apresentados sem nenhuma ordenação. O primeiro passo é ordená-los em um Rol para que possamos separá–los posteriormente em  intervalos de classes.
Tabela 2 Rol
	150
	154
	155
	160
	161
	162
	164
	166
	169
	151
	155
	158
	160
	161
	162
	164
	167
	170
	152
	155
	158
	160
	161
	163
	164
	168
	172
	153
	155
	160
	160
	161
	163
	165
	168
	173
Com a tabela ordenada fica fácil visualizarmos, por exemplo, que o menor valor da variável estatura é 150 cm, e que, o maior valor é 173 cm.
Podemos então calcular com facilidade a Amplitude Amostral, denotada por AA, que é a diferençaentre o maior valor e o menor valor da variável do problema.
AA = x máximo – x mínimo
Assim em nosso problema, definindo a variável x como a estatura dos alunos, a amplitude total da nossa amostra será dada por:
AA = 173 -150 = 23
Para determinar o Número de Intervalos de Classes (i) que devemos utilizar no problema adotaremos a “ Regra de Sturges” que nos dá uma estimativa do número de classes em termos do tamanho da amostra (n).
L ~= 1+3,3.log n
* log n é o logaritmo na base 10 de n.
Assim, o número de classes que devemos adotar em nosso problema será de:
i = 1 + 3, 3. log 40 = 6, 286797970  6 classes
Atenção = Arredonda-se sempre o valor de i para o número inteiro mais próximo, pois o número de classes deve ser sempre inteiro.
Decidido o número de intervalos de classes, devemos então determinar a Amplitude (h) desses intervalos, que é obtida pelo resultado da divisão entre a amplitude amostral (AA)  e o número de classes (i):
h = AA / i
Assim, a amplitude do intervalo de classe do nosso problema é dada por:
h = 23/6 = 3,8 ~= 4
Por fim, o nosso problema deve ter seus dados agrupados em 6 classes distintas de intervalos com amplitudes iguais a 4.
Atenção = O arredondamento de  h  deve ser sempre efetuado para cima usando o mesmo numero de casas decimais dos elementos da amostra para que nenhum elemento fique fora da tabela.
Vamos então mostrar como devemos montar as classes para tabular os dados
Devemos construir as classes começando do menor valor que a variável assume na amostra.  A partir daí,  devemos ir somando a amplitude de classe de modo que o limite superior de uma classe anterior seja o limite inferior da nova classe.
A convenção adotada para a representação de uma classe é a seguinte:
|- : Limite inferior incluído na classe e superior não.
|-|: limite inferior e superior incluídos na classe.
No nosso exemplo, a classe i = 1 terá como limite inferior  150 cm e limite superior 154 cm; a classe i = 2 terá como limite inferior 154 cm e superior 158 cm e assim por diante.
Com essa lei de formação a tabela de freqüências para as estaturas pode ser apresentada na seguinte forma:
Tabela 3 – Distribuição de frequências - Estatura de 40 alunos da faculdade A
	 
	I
	Estaturas (cm)
	Fi (freq. Simples)
	1
	150 |- 154
	4
	2
	154 | - 158
	9
	3
	158 | - 162
	11
	4
	162 | - 166
	8
	5
	166 | - 170
	5
	6
	170 | - 174
	3
	
	
	Soma fi = 40
Observe que a última coluna da tabela representa a freqüência simples das estaturas dos alunos encontrados na respectiva classe. Por exemplo, pela classe i = 2, observamos que existem na amostra 9 alunos com estaturas entre 154 cm (inclusive) e 158 cm (exclusive).
Com objetivo de extrair vários tipos de informações da distribuição de freqüências poderemos acrescentar a nossa tabela outros tipos de frequências . São elas:
Frequencia relativas – fri = fi / soma fi
Frequencia Relativas Percentuais – fri% = fri.100%
Frequencia Acumuladas Simples – fi = f1 + f2+...+fi = Soma fj
Frequencia Relativas Acumuladas – fri = fi / soma fi
Frequencia Relativas Acumuladas – fri% = fi/Soma fi . 100%
É comum acrescentarmos a nossa tabela uma coluna com os pontos médios de cada uma das classes, que é o ponto que divide a classe em duas partes iguais. Ou ainda, o ponto médio da classe i, denotado por x i, é igual a
Xi = li +Li /2
O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.
Acrescentando a tabela 3 uma coluna com os pontos médios das classes, e, ainda, mais outras colunas com os vários tipos de freqüências que conhecemos, vamos obter por fim a seguinte distribuição de freqüências para o problema:
	I
	Estaturas (cm)
	Xi
	Fi (freq. Simples)
	Fri
	Fri%
	Fri
	Fri%
	1
	150 |- 154
	152
	4
	0,100
	10
	0,100
	10
	2
	154 | - 158
	156
	9
	0,225
	22,5
	0,325
	32,5
	3
	158 | - 162
	160
	11
	0,275
	27,5
	0,600
	60
	4
	162 | - 166
	164
	8
	0,200
	20
	0,800
	80
	5
	166 | - 170
	168
	5
	0,125
	12,5
	0,925
	92,5
	6
	170 | - 174
	172
	3
	0,075
	7,5
	1,000
	100
	
	
	
	Soma fi = 40
	
	
	
	
Agora que você já tem o conhecimento da distribuição de freqüências tabela do problema responda aos seguintes questionamentos:
1.Quantos alunos têm estatura entre 162 cm, inclusive, e 166 cm?
Basta observar f4 = 8 alunos.
2. Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 158 cm?
Basta observar Fr2% = 32, 5% dos alunos.
3. Quantos alunos possuem estatura abaixo de 162 cm?
Basta observar F3 = 24 alunos.
4. Quantos alunos possuem estatura igual ou superior a 158 cm? 
Basta fazer a seguinte conta: F6 – F2 = 27 alunos.
5. Qual a estatura que representa a classe cinco?
Basta observar o ponto médio da classe i = 5: x5 = 168 cm.
A utilização de gráficos para representar problemas de natureza prática é usual em nossa cultura, se percorrermos os jornais e revistas no nosso dia a dia iremos nos defrontar a cada momento com essas figuras ilustrativas que nos possibilitam uma boa compreensão dos fatos estudados.
No caso da Estatística, as representações gráficas de uma distribuição de freqüências para dados agrupados por classes que aparecem mais frequentemente são:
Histograma
Apresenta as freqüências das classes em colunas e possui as seguintes características:
As frequências apresentadas podem ser simples ou relativas;
As colunas posuuem bases da mesma largura;
Não existem espaços entre classes.
Polígono de Frequência
E um gráfico de linha que representa as frequências simples dos pontos médios das classes.
Atenção = Para obtermos um polígono, que é representado por uma linha fechada, devemos complementar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira classe e da posterior à última classe, da distribuição.
Polígono de Frequência Acumulada
É um gráfico de linha obtido representando as frequências acumuladas dos limites superiores das classes.
Aula 4
Medidas de Posição
Nas aulas anteriores aprendemos a organizar os dados de um problema em tabelas estatísticas de distribuição de frequências. 
Nesta aula vamos ilustrar, por meio de um problema-exemplo, algumas questões que vamos responder após os estudos realizados nesta aula sobre as medidas de tendência central definidas na Estatística: média aritmética, mediana e moda.
Problema-Exemplo  – Medidas de tendência central
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos 1200 funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.
	Faixa Salarial em reais
	Numero de funcionários
	350 |--- 450
	380
	450 |--- 550
	260
	550 |--- 650
	200
	650 |--- 750
	180
	750 |--- 850
	120
	850 |--- 950
	60
- Qual a renda mensal média desses funcionários?
- Qual o salário que aparece mais frequentemente dentre todas essas observações salariais?  
- Qual o valor salarial “S” que divide a folha de pagamento em dois grupos distintos, a saber: pelo menos 50% dos salários observados tem valores inferiores ou iguais a “S”, enquanto que pelo menos 50% tem valores superiores ou iguais a “S”?
Atenção = as medidas de posição central: média, moda e mediana são úteis para responder a esses tipos de questionamentos.
Medidas de Tendência Central
São medidas importantes que tentam apontar para o valor central de um conjunto de dados. Destacamos como medidas de tendência central:
A média aritmética: A Média Aritmética é a medida de posição central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto de dados. As principais características da média aritmética são:
O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto de dados
A média é influenciada por dados com valores muito pequenos ou muito grandes
A média aritmética é única
A mediana: A MEDIANA é uma medida de posição central da Estatística que busca dividir um conjunto de dados em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.
As principais característicasda MEDIANA são:
Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única mediana;
A mediana não é influenciada para dados valores muito pequenos ou muito grandes
A moda: A Moda é a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais frequentemente em uma série de valores.
As principais características da MODA são:
Pode não ser única;
Exemplo:  A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. Este tipo de série é chamado de série bimodal.
Pode não existir: 
Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda. Este tipo de série de dados é chamado de série amodal.
Por ser o valor mais frequente da série, é caracterizada como valor mais típico do conjunto de dados.
Caso: Dados não agrupados
A média aritmética ou simplesmente média é obtida pela soma de todos os valores numéricos do conjunto de dados, dividido pela quantidade de dados.
Para um conjunto de n dados, x1, x2,..., xn, a média aritmética pode ser obtida aplicando-se a formula:
X = x1+x2+...+xn /n
Ex1: Suponha que as notas de um candidato, em seis provas de um concurso, sejam:
8, 4; 9, 2; 7, 2; 6, 8; 8, 7 e 7,2
A média deste candidato no concurso é dada por:
X = 8,4 + 9,2 + 7,1 + 6,8 + 8,7 + 7,2 = 47,4 / 6 = 7,9
Vamos estudar a seguir as técnicas para calculo da média nos casos de dados agrupados.
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classes
Ex2: Considere uma distribuição de frequências simples com mostra o exemplo a seguir:
Em uma prateleira de uma loja de departamento foram encontrados 4 tipos de produtos com os seguintes preços e respectivas quantidades:
Valores em R$ (xi) = 50, 60, 80, 90
Quantidade (fi) = 8, 5, 4, 3
Neste caso, podemos pensar que as quantidades (frequências simples) atuam como fatores de ponderação para os valores dos produtos, o que nos leva a calcular o preço médio pela Média Aritmética Ponderada, que é dada pela formula:
X = soma xi * fi / soma fi
Aplicando a formula ao exemplo, temos:
X = 50.8 + 60.5 + 80.4 + 90.3 = 1290 / 20 =64,5
Ou ainda o preço médio de todos os produtos da prateleira é de 64,50
Caso: Dados Agrupados com Intervalos de Classes
Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a fórmula da Média Ponderada vista anteriormente, com as seguintes ressalvas.
A frequência fi correspondem as frequências simples dos intervalos de classes.
Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem aos pontos médios dos intervalos de classes.
Veja o exemplo a seguir!
EX3: Considere a distribuição de freqüências do problema das estaturas de 40 alunos a faculdade A
	I
	Faixa Salarial em reais
	Xi (ponto médio)
	Fi (freq. Simples)
	Xi, fi
	1
	150 |---154
	152
	4
	608
	2
	154 |---158
	156
	9
	1404
	3
	158 |--- 162
	160
	11
	1760
	4
	162 |--- 166
	164
	8
	1312
	5
	166 |--- 170
	168
	5
	840
	6
	170 |--- 174
	172
	3
	516
	
	
	
	SOMA Fi = 40
	6440
Para calcularmos a estatura média dos alunos da turma aplicamos a fórmula da média ponderada  aos dados da tabela.
X = Soma x1.fi /som fi = 6440 /40 = 161
Ou ainda, podemos concluir que a altura média dos estudantes da amostra é de 161 cm.
Exercicio Proposto
Para a série de dados: 5; 13; 10; 2; 4; 7; 6. Qual é o valor da mediana?  
Ordenando a série na forma crescente obtemos
2; 4; 5; 6; 7; 10; 13
A mediana é dada por 
Md = 6
Observe que três termos da série estão situados à esquerda de 6 e os outros três termos a direita. Isto é, a mediana dividiu a série de dados em partes iguais.
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classes
Neste caso, para calcularmos a MEDIANA devemos adotar os seguintes procedimentos:
Incluir na distribuição de frequencias simples uma coluna com as frequencias acumuladas.
Identificar a frequencia acumulada imediatamente superior à metade do somatório das frequencias simples.
Observar o valor da variável associado à frequencia acumulada identificada no procedimento anterior.
O valor da variável obtido é a MEDIANA (Md) da distribuição de frequencias.
Exemplo2:
O primeiro passo é incluir uma coluna com as freqüências acumuladas na distribuição de freqüências dada como mostramos a seguir:
	Xi
	Fi
	Fi
	50
	8
	8
	60
	5
	13
	80
	4
	17
	90
	3
	20
	
	Som fi = 20
	
O segundo passo é calcular o valor da metade do tamanho da amostra: soma fi/2 = 20/2 = 10
A maior frequência acumulada que supera o numero 10 encontrado é F2 = 13. Logo, a MEDIANA distribuição é dada por MD = 60 que corresponde ao valor da variável associado a frequência acumulada F2.
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classes
No caso o valor de soma fi/2 ser exatamente igual a uma das frequências acumuladas Fi, o calculo da mediana será a média aritmética entre os valores das variáveis xi e xi+1.
Ex3: Suponhamos que desejamos encontrar a mediana da distribuição de frequências a seguir:
	Xi
	Fi
	Fi
	50
	20
	20
	58
	30
	50
	66
	50
	100
	
	Soma fi = 100
	
Observe que soma fi / 2 = 50 = F2
No caso, a mediana da distribuição será dada pela média aritmética ente os valores das variáveis x2 e x3. Ou ainda,
Md = 58+66 / 2= 62
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classes
A forma prática de calcular a MEDIANA de uma distribuição de frequências deste tipo é estabelecida adotando-os os seguintes procedimentos:
Acrescentar a tabela uma coluna com as frequências acumuladas Fi da distribuição;
Calcular a metade do tamanho da amostra, isto é, Soma fi/2.
Encontrar a classe mediana que corresponde a classe associada a frequência acumulada imediatamente superior a soma fi/2.
Aplicar a fórmula a seguir, onde LImd, é o limite inferior da classe mediana, fmd é a frequência simples da classe mediana, Fmd-1 é a frequência acumulada da classe anterior a classe mediana e Amd é a amplitude da classe mediana.
Md = LImd + Amd/fmd(Soma fi/2 – Fmd-1)
Observe que como  soma fi/2  = 20, a classe mediana é a que está realçada na tabela. Uma vez estabelecida à classe mediana, podemos extrair os dados necessários para a aplicação da fórmula, isto é, para
LImd = 158; fmd = 11; Amd = 4 e Fmd -1=13
Temos a mediana da distribuição dada por
MD = 158 +4/11.(20-13)=160, 54
A moda é uma medida que pode ser calculada de forma rápida, mas que possui pouca aplicabilidade do ponto de vista prático.
Caso: Dados Não Agrupados
Neste caso a moda é facilmente reconhecida, basta buscar o valor que mais se repete no conjunto.
Ex1: A serie de dados:
8,4; 8,7; 7,2; 9,2, 6,8 e 7,2 
Tem moda igual a 7,2 que corresponde ao dado que se repete no conjunto de valores.
Caso: Dados Agrupados sem Intervalos de Classe
Neste caso, basta observar na distribuição de frequências a variável que possui a maior freqüência.
No exemplo 2: O calculo da moda
	Xi
	Fi
	50
	8
	60
	5
	80
	4
	90
	3
	
	Soma fi = 20
Observe que a maior frequência da distribuição é f1 = 8, logo a moda é o valor correspondente a variável x1. Ou ainda, Mo = 50.
Caso: Dados Agrupados com Intervalos de Classes
Neste caso, inicialmente identificamos a classe modal que corresponde à classe com maior freqüência de dados. 
Então o cálculo da Moda Bruta será dado por:
Mo = l + L /2	
Onde l = limite inferior da classe modal e L = limite superior da classe modal.
Aula 5
Média Geométrica e Aplicações
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores encontrados em um conjunto numérico.
 
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica (MG) será calculada aplicando-se a fórmula:
MG = raiz quadrada x1, x2, ... xn
Ex: Seja o conjunto x= {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos valores de X é igual a:
MG = raiz quadrada 3.5.7.16 = raiz quadrada de 1680 = 40,98, raiz quadrada de 40,98 = 6,40
Algumas Considerações sobre a Média Geométrica
Como a média geométrica é sempre menor ou igual que a média aritmética, muitos a utilizamcomo uma forma de medida mais conservadora de análise central para um conjunto de dados.
Para certos tipos de problema ela será a única medida que refletirá a resposta correta.
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de crescimentos de dados em problemas dos tipos populacionais e financeiros.
Por exemplo,
A tabela abaixo reflete as vendas anuais e a razão de crescimento anual das vendas de uma determinada empresa:
	Ano
	Vendas 
	Razão
	2005
	100000
	
	2006
	140000
	1,4
	2007
	210000
	1,5
	2008
	273000
	1,3
	2009
	273000
	1
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida com base na média geométrica entre as razões anuais, a saber:
MG = raiz quadrada 1,4.1,5.1,3.1 = 2,7 / raiz quadrada de 2,7 = 1,28
Com base na razão média poderíamos estimar, por exemplo, as vendas em 2009 a partir de 2005. Como existe um intervalo de quatro anos, a venda estimada para 2009 seria em torno de:
Vendas estimadas = 100000. (1,28540)4=272230
Pela tabela observamos que o valor estimado para as vendas se aproxima do valor real 27300
Medidas de Posição Relativa
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de relativas. Dentre elas destacamos os: 
QUARTIS, DECIS e PERCENTIS.
 
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo.
 
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes iguais.
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes iguais sendo que após a ordenação dos dados:
O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% das observações dos dados abaixo dele.
O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto.
O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos 93/40 ou 75% das observações dos dados abaixo dele.
Algumas Considerações Sobre a Média Geometrica
Caso 1: Dados não Agrupados
Ordenar Conjunto
O quartil Q1 será o valor da variável que ocupar a posição (n/4); Q2 o valor da variável que ocupar a posição (2n/4) e o Q3 o valor da variável que ocupa a posição (3n/4)
Para determinação do quartis devemos adotar a seguinte convenção:
Se a divisão indicada no item for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será a variável encontrada nesta posição.
Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética da variável que ocupar a posição encontrada com o valor da variável que ocupar a posição seguinte.
Ex1: Suponha que você queira fazer uma análise sobre o tempo que   utiliza para se aprontar pela manhã de modo a minimizar atrasos excessivos ou chegar com muita antecedência aos seus compromissos. Para tal você coletou, durante dez dias consecutivos, os tempos mostrados a seguir desde a hora que levantou da cama até sair de casa?
	Dia
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Tempo (m)
	31
	35
	52
	44
	44
	40
	29
	39
	39
	43
Para tirar conclusões você resolveu calcular os quartis da série obtida. 
Vamos inicialmente ordenar, do menor para o maior, os tempos gastos para se aprontar nos dez dias consecutivos:
Tempo: 29, 31, 35, 39, 39, 40, 43, 44, 44, 52
Posição de Q1
Observe que  n/4 = 10/4 = 2,5. Como 2,5 é um número fracionário devemos inicialmente arredondar 2,5 para 3. Pelas regras estabelecidas, a posição do quartil Q1 será definida pelo terceiro elemento da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 35 minutos.
Podemos então concluir que:
Em 25% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 35 minutos para se aprontar e em 75% dos dias você levou um tempo maior ou igual que 35 minutos para se aprontar.
Posição de Q2 ou da Mediana
Observe que 2n/4 = 5. Como 5 é um número inteiro, pelas regras estabelecidas, o Quartil Dois ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada. Ou ainda:
Q2 = Md = (39+40)/2 = 39,5
Podemos então concluir q:
Para a metade dos dias, você levou um tempo menor ou igual a 39,5 minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo maior ou igual a 39,5.
Posição de Q2 da Mediana
Observe que 3n/4 = 7,5. Como 7,5 é um numero fracionário devemos inicialmente arredonda 7,5 para 8. Pelas regras estabelecidas, a posição do quartil Q3 será definida pelo oitavo elemento da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 44 minutos.
Podemos então concluir que:
Em 75% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 44 minutos para ficar pronto e em 25% dos dias você levou um tempo maior ou igual a 44 minutos para ficar pronto.
Caso 2: Dados Agrupados
A forma prática de calcular os QUARTIS para uma distribuição de frequências com dados agrupados é estabelecida adotando procedimentos muito semelhantes ao do cálculo da mediana.
No caso de determinação do QUARTIL Q1, basta:
Acrescentar a distribuição uma coluna com as frequências acumuladas;
Calcular soma fi/4.
Encontrar a classe que corresponde 1 à classe associada à frequência acumulada imediatamente superior à soma fi/4
Aplicar a fórmula a seguir, onde L*, f* e h* são respectivamente, o limite inferior, a frequência simples e a amplitude da classe encontrada em (b). F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à encontrada em (b),
Q1 = L*+h/f*[soma fi/4 – F(ant)]
O cálculo do QUARTIL Q3 é calculado de forma semelhante a do quartil  Q1 e poderá ser obtido pela fórmula: 
Q1 = L*+h/f*[ 3 soma fi/4 – F(ant) ]
Atenção: O QUARTIL Q2 é a MEDIANA do conjunto de dados.
Ex: Como exemplo, vamos voltar à distribuição de frequências das estaturas dos 40 alunos de uma faculdade A.
	I
	Faixa Salarial em reais
	Fi (freq. Simples)
	Fi (freq. Acumuladas)
	1
	150 |---154
	4
	4
	2
	154 |---158
	9
	13 <- Q1
	3
	158 |--- 162
	11
	24
	4
	162 |--- 166
	8
	32 <- Q3
	5
	166 |--- 170
	5
	37
	6
	170 |--- 174
	3
	40
	
	
	SOMA Fi = 40
	
Calculo do Quartil Q1
Encontrar o valor de soma fi/4 = 40/4 = 10
Marcar na distribuição a classe que possui frequência acumulada imediatamente superior a 10. No caso, é a classe dois que está realçada em cinza;
Usar a fórmula observando que: L* = 154, h* = 4, f* = 9 e F(ant) = 4
Q1 = L*+h/f*[ soma fi/4 – F(ant) ]
Então, Q1 = 154 + 4/9 (10 - 4) = 156,66 cm
Cálculo do Quartil Q3
3 soma fi / 4 = 3 . 10 = 30
Então a classe identificada na distribuição é a quatro que está realçada em amarelo. 
	4
	162 |--- 166
	8
	32 <- Q3
 
Tomando L* = 162, h* = 4, f* = 8 e F(ant) = 24, então:
Q3 = 162 + 4/8 (30 – 4) = 165 cm
Determinação dos PERCENTIS
Caso 1: Dados Não Agrupados
Para determinarmos os percentis para um conjunto com n dados devemos adotar os seguintes passos:
Ordenar o Conjunto
O percentil Pk será o valor da variável que ocupar a posição (k.n)/100;
Adotar a seguinte convenção:
Se a divisão indicada no item for um número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do percentil será a variável encontrado nesta posição.
Se a divisão for um número inteiro, o percentil será a média aritmética da variável que ocupar a posição encontrada com a variável que ocupar a posição seguinte.
Vamos calcular o percentil P30 no exemplo da serie ordenada dos temos gastos para se aprontar a seguir:
Serie ordenada de tempos gastos:
Tempo (minutos)   |   29   |  31   |  35   |  39   |  39   |  40   |  43  |   44   |  44   |  52
Observe que 30.n/100 = 300/100 = 3. Como 3 é um número inteiro, a posição do percentil P30 será definida pela média aritmética dos terceiros e quarto elementos da série ordenada de tempos gastos. Ou ainda,
P30 = 35 + 39 / 2 = 74 / 2 = 37 minutos.
Medidas de Dispersão
Medem o grau de variabilidade, ou a dispersão dos valores observados em torno da média aritmética. 
Deseja-se comparar o desempenho de dois funcionários com base na produção diária de uma peça, durante cinco dias:
Empregado A : 70, 71, 69, 70,70 = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 = 71
A performance média da A é de 70 peças (varia de 69 a 71)
A performance média de B é de 71 peças (varia de 60 a 83). 
A performance de A é bem mais uniforme do que de B.
Amplitude total (AT) 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
 
AT = xmax − xmin 
 
Empregado A = 71 − 69 = 2 
Empregado B = 83 − 60 = 23 
Desvio médio (DM): Analisa todos os desvios em relação à média.
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 = 71
	Cálculo dos desvios (di)
	Empregado A 
d1 = 70 – 70 = 0
d2 = 71 – 70 = +1
d3 = 69 – 70 = - 1
d4 = 70 – 70 = 0
d5 = 70 – 70 = 0
 di = 0
	Empregado B 
d1 = 60 – 71 = - 11
d2 = 80 – 71 = +9
d3 = 70 – 71 = -1
d4 = 62 – 71 = - 9
d5 = 83 – 71 = +12
 di = 0 
	Para eliminar a soma zero desvios em módulo
	Empregado A 
d1 = 0 = 0
d2 = +1 = 1
d3 = - 1 = 1
d4 = 0 = 0
d5 = 0 = 0
 di = 2 
	Empregado B 
d1 = - 11 = 11
d2 = +9 = 9
d3 = - 1 = 1
d4 = - 9 = 9
d5 = +12 = 12
 di = 42 
A DM = 2/5 = 0,4
B DM = 42/5 = 8,4
Variância 
Denotada por (s2) ou (2 ), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. 
Fórmula: 
	Para eliminar a soma zero, eleva-se os desvios ao quadrado: 
	Empregado A 
d1 = (0)2 = 0
d2 = (+1)2 = 1
d3 = (1)2 = 1
d4 = (0)2 = 0
d5 = (0)2 = 0
 (di)2 = 2 
	Empregado B 
d1 = (–11)2 = 121
d2 = (+9)2 = 81
d3 = (1)2 = 1
d4 = (–9)2 = 81
d5 = (+12)2 = 144
 (di) 2 = 428 
2 A = 2/5 = 0,4 
 B = 428/5 = 85,6
Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância: 
Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63
Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25
Desvio-padrão
Calcular o desvio-médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição: 
	xi
	5
	7
	8
	9
	11
	Fi
	2
	3
	5
	4
	2
Solução:
1°) Cálculo do desvio médio: 
DM = ou
	xi 
	fi 
	xi . fi 
	|di| 
	|di|2
	|di| fi 
	5 
	2 
	10 
	| 5 - 8,06 | = - 3,06 
	9,36
	6,12 
	7 
	3 
	21 
	| 7 - 8,06 | = - 1,06 
	1,12
	3,18 
	8 
	5 
	40 
	| 8 - 8,06 | = - 0,06
	0,00
	0,30 
	9 
	4 
	36 
	| 9 - 8,06 | = 1,06
	1,12
	3,76 
	11 
	2 
	22 
	| 11 - 8,06 | = 3,06
	9,36
	5,88 
	∑ 
	16 
	129 
	 
	20,96
	19,24 
Portanto, DM = = 19,24/16 = 1,20
2°) Cálculo da variância:
2 = = 20,96/16 = 1,31
3°) Desvio Padrão:
 = raiz quadrada 1,31 = 1,14
Amplitude Interquartil
Mede a dispersão nos dados que estão entre as 50% observações centrais. Sendo assim, não é influenciada pelos valores extremos da amostra de dados.
Amplitude Interquartil = Quartil 3 – Quartil 1
Para a série ordenada de tempos gastos no exemplo já visto.
Tempo (minutos)   |   29   |  31   |  35   |  39   |  39   |  40   |  43  |   44   |  44   |  52
 Q1 Q3
A amplitude Interquartil é de (44 – 35) = 9 minutos.
Variância
Denotada por (s ), é a medida de dispersão que mede a variação média dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. Pode ser calculada pela fórmula:
S ao quadrado = soma (xi – X) ao quadrado / n
m que: Xi é o valor de cada observação; X é a média aritmética das observações e n o tamanho da amostra (número de dados).
Desvio Padrão
Denotado por s, é uma medida conhecida pela sua utilidade e aplicação prática. É calculada extraindo-se a raiz quadrada da variância (s ao quadrado) .
Coeficiente de Variação
Denotado por (CV), é uma medida de dispersão relativa, elimina o efeito da magnitude dos dados, exprime na forma percentual a dispersão dos dados em relação à média. É dado pela fórmula a seguir:
CV = S/X . 100%
Em que: s é o desvio padrão e é a média aritmética da amostra.
Vamos a seguir calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação para o problema da série ordenada de tempos gastos para se aprontar.
	Dia
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Tempo (m)
	31
	35
	52
	44
	44
	40
	29
	39
	39
	43
A média aritmética X = 39,6.
Aula 6
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
Diagrama de árvore
Consideremos o seguinte problema: 
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches:  
hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas.  
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa?  
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim:
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição.
Princípio Fundamental da Contagem – PFC
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas.  Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo 1 
No Brasil as placas dos veículos possuem 3 letras e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Imaginemos a seguinte situação:  Placa ACD – 2172. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que:
para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:  
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000
Exemplo2
No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas 
usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado nesse sistema? 
Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172. 
 
Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:  
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.  
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.
Fatorial De Um Número Natural
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial.  
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1   para n ≥ 2. 
Se n = 1, então 1! = 1. 
Se n = 0, então 0! = 1.  (o fatorial de zero é sempre 1)
Resumindo: n! = n . (n-1)! | n E N e n>=2
Exemplos:
6! = 6.5! = 6.5.4.3.2.1 = 720
4! = 4.3! = 4.3.2.1 =24
Arranjo Simples
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidosficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos.  
Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os algarismos (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.  
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351.  
Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três a três.  
Ex1:
Dado o conjunto C = (1, 2, 3, 4), escreva todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos gera um agrupamento diferente. Neste caso é ARRANJO.
Ex2 
O segredo de um cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 
 
Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). 
Pela fórmula de arranjos pelo PFC: 10.9.8 = 720. 
A10,3 = 720 
Calculando o numero de arranjos
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k: (An,k). 
A fórmula do Arranjo é:
An,k = n!/(n-k) | n ≥ k
Exemplo
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
 
A4,2 = 4!/(4-2)! = 4!/2! = 4.3.2.1/2 = 12 
 
A7,3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5.4!/4! = 210
Logo:
A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 
Permutações simples 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
É um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: 
An,k = n!/(n-k)! = n!/0! = n!/1 = n! 
Fórmula da Permutação: Pn = n!
Exemplo 1 
Escrever todos os anagramas da palavra MAR. 
Um anagrama da palavra MAR é qualquer permutação das letras M, A, R de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos: 
MAR, MRA, AMR, ARM, RMA, RAM. 
Exemplo 2 
De quantas maneiras cinco pessoas: 
João, Luiz, Carlos, Maria e Joana 
podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência na qual comparecem sempre as cinco pessoas. 
Assim, o resultado esperado é: 
 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 
Exemplo 3 
Com as cinco pessoas, quantas filas podem ser compostas começando por Maria ou por Joana? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto Maria como Joana pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de:
P4 = 4! = 24 possibilidades. 
 Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48.
Permutação com elementos repetidos 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem 
a elementos repetidos
b elementos repetidos
c elementos repetidos 
e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por
Pn(a,b,c) = n!/A!B!C!
Exemplo 1:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA. 
 
São 10 elementos com repetições. 
A letra M repete duas vezes, a letra A três, a letra T, duas. 
n = 10 a = 2 b = 3 c = 2 
P10(2,3,2) = 10!/2!3!2! = 151200 
Exemplo 2 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? 
 
Temos:
n = 5 (cinco letras)
a = 2 (a letra A se repete duas vezes) 
 
P5(2) = 5!/2! = 5.4.3.2/2 = 5.4.3 = 60 
Combinações
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos.
Ex: de cinco pessoas desejamos formar grupos de três; o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. 
Temos uma COMBINAÇÃO quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos. 
A fórmula da Combinação é dada por:
 Cn,k = n!/k!(n-k)!
Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representação discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? 
 
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada comissão formada não altera em nada o grupo, temos que trabalhar com combinação. 
n = 10
k = 3
C10,3 = 10!/3!(10-3)! = 10!/3!7! = 10.9.8.7!/3!7! = 720/3.2 = 720/6 = 120
Exemplo 2: 
Faça todas as combinações dos cinco elementos de M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois. 
 
{a, e} = {e, a}; portanto é combinação. 
 
Cn,k = 5!/2!(5-2)! = 5!/2!3! = 5.4.3!/2!3! = 20/2 = 10
 
As combinações pedidas são: 
 
{a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; 
{e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u}
Quando é Arranjo e quando é Combinação?
Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
Combinação: quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao inverter a ordem dos elementos.
Aula 7
Probabilidade Conceitos Básicos
História
A história do estudo da probabilidade se inicia com os homens das cavernas que sentiam temor e perplexidade ante os fenômenos naturais, porque não podia explicá-los. Mitos e magias dominavam o seu pensamento. Então, de forma lenta e gradual, o homem começou a compreender a natureza e aprendeu a respeitá-la e a melhor aproveitá-la. Assimilou que diversos dos fenômenos incertos poderiam ser modelados e melhor entendidos. Assim, nasciam as primeiras aplicações práticas para as probabilidades.
Na antiguidade, acreditava-se que somente os deuses poderiam explicar a ocorrência de alguns eventos naturais. Na Grécia antiga, antever o futuro era um privilégio de Tirésias. Cego por vingança divina, Tirésias recebeu de Zeus o dom da profecia.
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
Já a partir do século XVII a incerteza passou a ser objeto de estudo dos matemáticos, resultando na Teoria das Probabilidades. Para o matemático, probabilidade é porcentagem: freqüência com que ocorre o evento em relação às alternativas possíveis. Iniciava-se assim, os estudos matemáticos para compreender os jogos de azar e os riscos dos seguros, possibilitando o surgimento da Teoria da Probabilidade.
Definições de Probabilidade
A probabilidade representa a relação entre o número de eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número possível de eventos.
 
A probabilidade P(x) de ocorrer um evento x é igual número de maneiras pelas quais x pode ocorrer dividido pelo número total de maneiras pelas quais o evento pode ocorrer.
Para quantificar o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis, empregamos diferentes métodos:
Método clássico: Quando o resultado é provável, seu emprego é comum nas situações que envolvem dados, moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente quais os resultados possíveis e desses, quantos são favoráveis. 
Exemplos:
a) Moeda: probabilidade de sair “cara” é 50% ou 1/2.
b) a probabilidade de extrair uma carta de copas de um baralho é 25% ou 1/4.
C) Qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha de uma caixa com 12 bolas, sendo três vermelhas?
 Resp: 3/12 = 25%
D) Quando dois dados são jogados simultaneamente, existem seis resultados possíveis em cada dado, ou seja, 36 resultados possíveis no total. Qual seria a probabilidade de se obter a soma sete?
Solução:
para que a soma seja sete os pares devem ser:{(6,1)}; {(5,2)}; {(4,3)}; {(3,4)}; {(2,5)}; {(1,6)}.
 Assim, a probabilidade é igual a 6/36 = 1/6
Método Empírico: Depende da freqüência de ocorrer o evento, determinada a partir de uma série de observações práticas anteriores. 
Por exemplo, em uma cidade de 10.00 habitantes 4.000 são do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino é igual a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade está associada à freqüência relativa (fi%).
Outro exemplo:
Qual a probabilidade de encontramos um aluno maior de idade em um colégio, sabendo que uma pesquisa com 1400 alunos apontou 800 maiores de idade. 
A probabilidade seria de 800/1400 = 57,14%.
Método Subjetivo: A probabilidade é estimada com base na opinião pessoal. Por exemplo, um cientista político pode estimar que a probabilidade de vitória da oposição nas próximas eleições seja de 60%.
Experimento aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Um experimento apresenta as seguintes características fundamentais:
É possível conhecer previamente o conjunto de resultados possíveis;
Não é possível prever o resultado
Podem repetir-se varias vezes nas mesmas condições
 A análise desses experimentos revela 
Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. 
Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém podemos descrever todos os possíveis resultados – são as possibilidades. 
Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade, uma estabilidade da fração f = s/n (frequência relativa), onde s é o número de sucessos e n é o número de repetições. 
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, “S” ou Ω.
Para cada experimento aleatório E, o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é denominado espaço amostral (Ω). 
O número de elementos de um espaço amostral = n(Ω). 
Exemplo 1:
E = Jogar um dado e observar o número 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados. 
 
Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} 
 
Onde
K = Cara 
C = Coroa 
	
Exemplo 2 
Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: 
Temos:   
Ω = {K,C}, n(Ω) = 2. 
 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral.
Evento
Evento é um conjunto de resultados do experimento. Em termos de conjunto, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível.  Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos:
A ∪ B é o evento que A ou B ocorre ou ambos. 
A ∩ B é o evento que A e B ocorrem. 
Probabilidade de um Evento
Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento.  
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso.
O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta?
Para solucionar temos que determinar o espaço amostral:
 
 Elemento Probabilidade
 
(B) Branca 2/9
(V) Vermelha 3/9 
(P) Preta 4/9
Ω = {Branca, Vermelha, Preta}
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, 
E = {B,V}, consta de dois elementos. 
 
Se somarmos as probabilidades da bola branca, 2/9
e da vermelha, 3/9, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A:
P(E) = 2/9 + 3/9 = 5/9
Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma frequência relativa esperada. 
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. 
Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua probabilidade é uniforme. 
Aula 8
Axiomas da Probabilidade
Requisitos Lógicos
Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante não apenas para o entendimento dessa definição mas também para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação.
Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1982) lançou as bases axiomáticas da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanço, estabelecendo um marco histórico. 
Os seus princípios básicos são relativamente simples e intuitivos, permitindo que se tenha uma boa compreensão dos conceitos e suas aplicações práticas.
1°)  Associados aos possíveis resultados de um experimento aleatório, existe sempre um espaço amostral e uma álgebra de eventos
2°) Para todo evento da álgebra, existe um número não-negativo (maior ou igual a zero), chamado de probabilidade, que se atribui a tal evento;
3°) A probabilidade do espaço amostral é igual a 1;
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos (que não compartilham nenhum resultado) a probabilidade da união deles é igual à soma das suas probabilidades;
5°) O 4° Axioma é verdadeiro para infinitas uniões, desde que todos os pares de eventos sejam disjuntos.
Propriedades Fundamentais da Probabilidade (P)
P de qualquer evento é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou igual a um. 
P de um evento impossível é zero. 
Se a ocorrência de um evento implica na ocorrência de um segundo, então P do primeiro < P do segundo. 
P da união de dois eventos = P do primeiro + P do segundo – P da ocorrência simultânea dos dois. 
Importância do Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. 
Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua probabilidade (P) somando-se P dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°).
Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.
Evento Complementar 
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. 
Chamamos evento complementar de E- ao evento que ocorre quando E não ocorre. 
Observe o seguinte diagrama:
E ∩ E- = ∅
E ∪ E- = Ω 
Exemplo 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então E- será? 
 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: 
 
E- = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} evento “não ocorre múltiplo de 3”. 
E ∪ E- = Ω
Probabilidades em Espaços Amostrais Equiprováveis 
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., ak } 
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai }, ou simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
(I) 0 ≤ pi ≤ 1
 
(II) = = 1 , isto é:
 
p1 + p2 + ... + pk = 1 
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, temos, em (II):K vezes
p + p + p + ... + p = 1 k . p = 1 p = 1/k
A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1, a2, a3, ..., ar } , com r ≤ k, é dada por: 
 
p (E) = p1 + p2 + ... + Pr p(E) = 1/k + 1/k + 1/k + ... + 1/k
p (E) = 
Como E ⊂ Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). 
Assim:
 
p(E) = | 0 ≤ p(E) ≤ 1
A probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.
Ou p(E)= f/k
No lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço amostral é: 
 Ω = {1,2,3,4,5,6} 
E a probabilidade do evento A será: p (A) = 1/6.
Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá o número “5”. 
Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez ou que saia mais de uma vez. 
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas,
Exemplo1
Uma urna contem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com numero maior ou igual a 11?
Temos: Ω = {1, 2, 3,...,15}
Assim, p(E) = n(E)/n(Ω) = 5/15 = 1/3 = 33,3%
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser:
Menor que 3?
Temos Ω = {1,2,3,4,5,6}
E = {1,2} Entao, p (E) = 2/6 = 1/3
Maior ou igual a 3?
Basta considerar o evento complementar: = {3,4,5,6}
Assim p(E-) = n(E-)/n(Ω) = 4/6 = 2/3
Note que p(E) + p(E-) = 1, isto é 100%
Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
Exatamente uma cara?
Diagrama de arvore
 
O espaço amostral é formado pelas oito sequências indicadas no Diagrama de Árvore. 
E1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)} 
 
 p(E1) = 3/8 = 37,5% 
No máximo duas cara?
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)} 
p(E2) = 7/8 = 87,5%. 
Exemplo 4
Exemplo 4: Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos? 
 
Solução:
 
Comissões total: n(Ω) = C45,5
Comissões só de meninos = C20,5
P(E) =C20,5/C45,5 = 0,0126 = 1,26%
Exemplo 5: 
Nos anagramas da palavra XADREZ, qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA? 
Solução:
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ. 
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720. 
O evento E = X A __ __ __ __ 
Definidas as duas primeiras letras, há P4 = 4! = 24
Logo: p(E) = 24/720 = 3,33% 
Exemplo 6: 
Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que: 
• 25 pessoas consomem carnes e verduras 
• 83 pessoas consomem verduras 
• 39 pessoas consomem carnes
Qual é a probabilidade de uma pessoa: 
a) Consumir exclusivamente carne? 
b) De não comer nem carne nem verdura?
Solução:
Diagrama de Venn Euler: carne (C) e verdura (V). 
Há 25 pessoas na intersação de C e V.
Consomem exclusivamente verduras: 83 -25 = 58
Consome exclusivamente carnes: 39-25 = 14
25+58+14 = 97, ou seja, 3 não comem carnes nem verduras.
Exclusivamente carne = 14/100 = 14%
Não comem carne nem verdura = 3/100 = 3%
Aula 9
Axiomas da Probabilidade
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência do evento A B. 
Consideremos dois casos: 
1°) Teorema da soma: eventos mutuamente exclusivos
 
A B = Ø 
n(A B) = n(A) + n(B)
Como n( Ω ) ≠ 0: 
Da definição de probabilidade: a probabilidade da união de (A) com (B) é a soma da probabilidade de (A) com a probabilidade de (B).
 P( A B ) = p(A) + p(B)
Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.
2°) Eventos com ocorrências simultâneas: 
Aplica-se nas operações multiplicativas de probabilidades, que são aquelas que envolvem a expressão “e” e são representadas por “”.
A B ≠ Ø
p( A B ) = p(A) + p(B) - A B 
O evento A B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo 1 
Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
 
Consideremos os eventos:
A “o número é múltiplo de 2” e B “o número é múltiplo de 3”. 
Queremos encontrar p(A B) 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
Lembrando que:
Podemos calcular a probabilidade da interseção: 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
A B = {6, 12, 18, 24} é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. 
Temos: p(A B) = 4/25
Como p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
Temos p(A B) = 12/25 + 8/25 – 4/25 = 0,64 = 64%
Exemplo 2: 
Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
A = {5, 10, 15, 20, 25} 
 Logo: p(A) = 5/25
 
B = {7, 14, 21} 
 Logo: p(B) = 3/25
 
Como A B = Ø temos: 
p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B) = 5/25 + 3/25 = 0,32 = 32%
Exemplo 3: 
A probabilidade de um policial aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro multas? 
 
Consideremos os eventos: 
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 
Temos: 
1°) A B é o evento “aplica exatamente quatro multas”. 
Queremos determinar p(A B). 
 
2°) p(A B) = (o guarda aplica menos de quatro multas ou quatro multas ou mais de quatro multas). 
 
Assim, p(A B) = p(Ω) = 1 (pois A B é o evento certo). 
Então: 
 
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
 
1 = 0,63 + 0,56 - p(A B)
p(A B) = 1 – 1,19 = 0,19 = 19%
Exemplo 4: 
Observe a roleta. 
 a) Qual a probabilidade de cada evento elementar? 
 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
P(3) = 2/8 
 
b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 
Probabilidade Condicional
Seja o evento E: lançar um dado 
Seja o evento A = {sair o nº 4}
 p (A) = 1/6
  
Seja o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6}
É importante para o cálculo das probabilidades calcular a probabilidade condicional. 
Estamos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. 
 
A probabilidade condicionada é representada por: 
p(A/B) lê-se: probabilidade de A dado B
Observe que uma vez dada a informação da ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço amostral.
Sabemos que B = {2, 4, 6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para
 Ω = {2, 4, 6} e é nesse espaço amostral reduzido é que se avalia a probabilidade do evento.
 Dados dois eventos A e B, a p(A/B) é a probabilidade condicionada do evento A quando B tiver ocorrido:
p(A/B) =
Podemos concluir:
		
  p(A/B) = = = 
 
NCF – Numero casos favoraveis
NTF – Numero total favoráveis
Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta contar o número de casos favoráveis ao evento (A B) e dividir pelo número de casos favoráveis ao evento B.
Exemplo: 
Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:
 A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} 
B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Ondex1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do dado 2.
 
Pede-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A)
 Solução:
Montar o quadro amostral:
Definir p(A), lembrando que A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} 
Resultado: 4,6 / 5,5 / 6,4
Então p(A) = NCF(A) / NTC = 3/36 = 1/12	 
Definir p(B), lembrando que B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Resultado: 2,1 / 3,1 / 3,2 / 4,1 / 4,2 / 4,3 / 5,1 / 5,2 / 5,3 / 5,4 / 6,1 / 6,2 / 6,3 / 6,4/ 6,5
Então p(B) = NCF(B)/NTC = 15/36 = 5/12
Definir p(A/B) = NCF (A Interceção B) / NCF (B) = 1/15
Definir p(B/A) = NCF (A Interceçao B) / NCF (A) = 1/3
TEOREMA DO PRODUTO
 
“A probabil0idade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da possibilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”.
 Logo: p(A B) = p(B) . p(A/B)
 Logo: p(A B) = p(A) . p(B/A)
Exemplo:
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
 
A = {a primeira peça é boa} p(A) = 
B = {a segunda peça é boa} p(B/A) = 
p(A B) = p(A) . p(B/A) = 
Exercícios: 
1) Calcule A B. São dados:
 p(A) = p(B) = P(A B) =
Solução:
Pela fórmula p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
2) ) Dado p(A) = p(B) = p (A B) = 
Calcule p(A/B). 
 Solução:
3) Dado p(A) = 1/2 p(B) = 1/3 p (A B) = 1/4
Calcule p [(A B)/B].
 Solução:
Obs: A probabilidade de A B dado B é igual a 1, pois é um evento certo.
4) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de observarmos um múltipo de 3 ou (união) um quadrado perfeito?
Solução:
p(Múltiplos de 3) = 2/6 = 1/3 (números 3 e 6)
P(Quadrado perfeito) = 2/6 = 1/3 (números 1 e 4)
Logo: P = 1/3 + 1/3 = 2/3 
OBS: como é união soma.
5) Dois dados, azul e vermelho, são lançados.
Qual a probabilidade de sair 2 no azul e (interceção) 6 no vermelho?
Considerando os eventos:
A: Tirar 2 no dado azul: p(A) = 1/6
B: Tirar 6 no dado vermelho: p(B) = 1/6
p(A B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
OBS: Como é interceção multiplica.
6) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 ou um Ás?
Eventos:
A: sair 7 P(A) = 4/52
B: sair um Ás P(B) = 4/52
Assim, p(A B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13
Note que p(A B) = 0, pois uma carta não pode ser 7 e Ás ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Aula 10
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
P(E1 E2 E3 E4) = P(E1).P(E2).p(E3).P(E4) 	
Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B: p(A) = p(A/B)
Da mesma forma, se A é independente de B, B é independente de A: P(B) = P(B/A)
Considerando o Teorema do Produto, pode-se afirmar que se A e B são independentes, então:
 P(A B) = p(A) . p(B)
Exemplo:
Uma caixa tem 10 bolas, sendo 4 vermelhas e 6 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na caixa, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Solução:
Como os eventos são independentes: 
p(A B) = p(A) . p(B)
A probabilidade de sair vermelha na 1ª retirada é 4/10 e a de sair azul na segunda retirada 6/10. 
Logo: 4/10. 6/10 = 6/25 = 0,24 = 24%.
Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. 
Assim, p(B/A) = p(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda.
Exercício 1
Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 
Notem: A e B são independentes, pois p(B) = p(B/A)
p(A B) = p(A) . p(B) = 6/10 * 6/10 = 9/25
INDEPENDÊNCIA DE 3 EVENTOS
A, B, C ⊂ Ω são independentes se são dois a dois independentes:
(1) A independente de B; p(A B) = p(A) . p(B)
 B independente de C; p(B C) = p(B) . p(C)
 A independente de C; p(A C) = P(A) . p(C)
(2) e, também, CONJUNTAMENTE INDEPENDENTES:
 P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)
EXEMPLO
Seja Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável. 
São dados três eventos:
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = {1, 4} 
 
Verificar se os eventos A, B e C são independentes
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes (pronunciado /ˈbeɪz/ ou "bays")
O Teorema de Bayes mostra a relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa: a probabilidade de uma hipótese dada a observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. 
Seja A1, A2, A3, ... An, n eventos mutuamente exclusivos tais que Ω = {A1 A2 A3, ... An} 
Sejam p(Ai ) as probabilidades dos vários eventos e B um evento qualquer de Ω tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais p(A/B).
Então, para cada “i ” temos:
O resultado acima é importante, pois relaciona probabilidades a priori p(Ai ) com probabilidades a posteriori p(Ai / B), ou seja, probabilidade de Ai depois que ocorrer B.
Suponha os eventos A1 e A2.
De acordo com o Teorema de Bayes, a probabilidade do evento A1 ocorrer dado que o evento B ocorreu é:
São dados: 
P(A1) = 2/3 p(A2) = 1/3 p(B/A1) = 1/5 p(B/A2) = 1/2
Solução:
São dados: 
P(A1) = 2/3 p(A2) = 1/3 p(B/A1) = 1/5 p(B/A2) = ½
Função de Probabilidade Binomial
Experimentos binomiais
 Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalte, das duas, uma: ou ele marca o gol ou não. 
Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais. 
Um experimento é binomial quando:
 É repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. 
 Há dois resultados possíveis em cada tentativa: sucesso (S) ou fracasso (F).
 A probabilidade de um sucesso é a mesma em cada tentativa.
 A variável aleatória “x” = n° de tentativas com sucesso
	n 
	Número de vezes que uma tentativa é repetida
	p = p(S)
	Probabilidade de sucesso em uma única tentativa
	q = p(F)
	Probabilidade de fracasso em uma única tentativa 
(q = 1 - p), onde 1 significa 100%
	x
	A variável aleatória representa a contagem do número de sucessos em n tentativas ( x = 1, 2, 3, 4, ..., n)
Probabilidades Binomiais
Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial. Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial:
p(x) = Cn,x px qn-x = . px qn-x