rosáceas - cálculo III

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Curso de Licenciatura Em Matemática 
Universidade Estadual Paulista - Campus Guaratinguetá 
Primeiro semestre - 2007 
 
 
Autores: 
Daniel M. de C. Gallinari Natividade – man05108@feg.unesp.br 
Eliel Gonçalves Villa Nova – man06105@feg.unesp.br 
Nilton César Monteiro Moreira – man06119@feg.unesp.br 
 
Palavras–chaves: rosácea, aplicações da rosácea, arquitetura gótica, equação polar. 
 
Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral-II, ministrada 
pelo Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni.
 
 
 
 
 
2 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
Introdução ............................................................................................03 
1. Definição ...........................................................................................04 
1.1 Observações .....................................................................................04 
2. Seção gráfica .....................................................................................06 
3. Rosácea de quatro folhas .................................................................09 
3.1 Construção gráfica ...........................................................................10 
3.2 Área total ..........................................................................................11 
3.3 Comprimento de arco .......................................................................12 
3.4 Equação cartesiana ...........................................................................13 
3.5 Retas tangentes à curva ....................................................................14 
3.6 Curvatura ..........................................................................................15 
4. Aplicações ..........................................................................................16 
4.1 Arquitetura gótica .............................................................................16 
4.2 Fotos .................................................................................................18 
4.3 Engenharia ........................................................................................20 
Referências bibliográficas ....................................................................20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
A rosácea teve origem no oculus romano transformando-se em janela 
durante o período românico. Acompanhando, em meados do século XII, o 
desenvolvimento do gótico e as suas inovações técnicas, em que ao direcionar e 
distribuir o peso pelas abóbadas e pelos contrafortes se torna possível “abrir” 
grandes vãos de parede à entrada da luz, a rosácea acaba por aumentar 
consideravelmente as suas dimensões. A meados do século XIII pode já abranger 
a largura total da nave. 
Detalhe de rosácea de doze pétalas do século XIII 
Nas suas primeiras aparições surge sob um arco circular, como são 
exemplo disso as rosáceas da Catedral de Mantes, da Catedral de Notre-Dame 
de Paris, da Catedral de Laon e da Catedral de Chartres e, mais tarde, sob um 
arco quebrado. Em seguida passa a ser inscrita num quadrado, como no 
extremo sul do transepto da Catedral de Notre Dame em Paris e uma última 
transformação remete ainda a rosácea para o centro de uma composição de 
janelas, cobrindo a totalidade da fachada do transepto. No gótico flamejante 
(gótico tardio) as subdivisões de pedra da rosácea passam a ter um desenho 
rendilhado de curvas extremamente intrincadas. Neste trabalho estaremos 
estudando algebricamente esta curva, veremos também algumas aplicações, 
sendo em sua maior parte na arquitetura gótica. 
 
 
 
4
11.. DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO 
 
Toda curva de equação polar do tipo: 
r = a cos n θ ou r = a sen n θ 
onde, a ∈ ℜ*, n ∈Ν e n ≠1 e piθ 20 ≤≤ , chamamos de Rosácea. 
O número de pétalas de uma Rosácea depende do número n: 
Se n é par, temos 2n pétalas. 
Se n é ímpar, temos n pétalas. 
 
 
11..11 OObbsseerrvvaaççõõeess:: 
I - Para θ = pi/2n (para a equação r = a cos n θ ) e θ = pi/n (para a equação 
r = a sen n θ), temos r = 0. Daí, toda Rosácea passa pelo pólo. 
II - As extremidades das pétalas de uma Rosácea distribuem-se igualmente 
espaçadas no intervalo de 0 à 2pi. Assim, se conhecemos uma dessas 
extremidades, as outras são facilmente determinadas, adicionando ao arco 
dessa extremidade o ângulo obtido quando dividimos 2pi pelos números de 
pétalas. Chamaremos a medida desse ângulo de espaçamento entre as 
extremidades. 
III - Sem perda de generalidade, consideremos a Rosácea C: r = a sen n θ . 
Para os pontos dessa curva mais afastados do pólo, temos r = ± a. Chamamos 
 
 
 
5
estes pontos de extremidades de uma pétala. Por exemplo, se r = a, temos 
sen n θ = 1 , daí podemos escolher θ = pi/2n e o ponto P(a , pi/2n) é uma 
extremidade de uma pétala. 
Por outro lado, observemos que os pontos da Rosácea estão contidos no disco 
de raio igual a |a|, com centro no pólo. Daí, a Rosácea tem extensão limitada. 
Além disso, se consideramos uma reta s que passa pelo pólo e por uma das 
extremidades de uma pétala, por exemplo, podemos considerar s: θ = pi/2n. 
Estudando a simetria em relação à s, temos: 
 
 
r’ = r e θ’ = θ + 2 (θ0 – θ) = 2 θ0 – θ 
Aqui, θ0 = pi/2n , daí r’ = r e θ’= 2(pi/2n) - θ = pi/n - θ 
Seja G a curva simétrica de C em relação à reta s, então: 
G: r’= a sen n (pi/n - θ’). 
r’= a sen (pi- n θ’), daí , G : r’= a sen n θ’ 
Ou ainda, G : r = a sen n θ , logo a curva C é simétrica em relação à reta s. 
Raciocínio análogo nos leva a concluir que uma Rosácea é simétrica em 
relação às retas que passam pelo pólo e por uma das extremidades de suas 
pétalas. 
IV - Consideremos ainda a Rosácea C: r = a sen n θ , pelo item anterior, o 
ponto P1 (a, pi/2n) é uma extremidade de uma pétala. Seja α o menor ângulo 
tal que P2(0, pi/2n + α) satisfaz a equação dessa Rosácea, ou seja: 
 
 
 
6
0 = a sen n(pi/2n + α) . Daí, sen (pi/2 + n α) = 0 . 
E então: pi/2 + n α= pi ⇔ n α= pi- pi/2 ⇔ α= pi/2n 
Como a Rosácea é simétrica em relação à reta θ = pi/2n, temos que 
P3(0, pi/2n - pi/2n), ou seja, P3(0, 0), satisfaz também a equação da mesma. 
Daí podemos concluir que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre 
os lados de um ângulo que mede o dobro de pi/2n, ou seja, pi/n. 
De modo análogo, pode-se mostrar que se a Rosácea possui equação 
r = a cos nθ, cada pétala está compreendida entre os lados de ângulo que mede 
pi/n. 
22.. SSEEÇÇÃÃOO GGRRÁÁFFIICCAA 
 
Vemos pela definição de rosácea (veja definição, pág 4) que podemos 
defini-la como uma família de funções, sendo assim, apresentaremos a seguir 
alguns gráficos desta família construídos no Winplot. 
 
Ex 1: r = sen3θ 
−1
1
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
7
Ex2: r = sen4θ 
x
y
 
 
Ex3 : sen5� 
 
−1 1
−1
1
x
y
 
 
 
 
 
 
 
8
Ex4 : cos3� 
 
−1 1
x
y
 
 
 
Ex5 : cos4� 
 
−1 1
−1
1
x
y
 
 
 
 
 
 
9
Ex6 : cos5� 
−1 1
−1
1
x
y
 
 
 
33.. RROOSSÁÁCCEEAA DDEE QQUUAATTRROO FFOOLLHHAASS 
 
Sabemos que a rosácea é definida como uma família de funções, a seguir, 
iremos construir o gráfico, calcularmos a sua equação cartesiana entre outros 
cálculos, em particular utilizando a rosácea de quatro pétalas. 
Equações polares: 
 
 
θ2cos.ar =
 
θ2sen.ar =
 
 
 
 
 
 
1033..11 CCoonnssttrruuççããoo ggrrááffiiccaa 
 
Construção do gráfico de θ2sen=r 
Inicialmente observemos o gráfico de θ2sen=y , com 
4
0 piθ ≤≤ (seguimento 
de arco azul da figura 1), sendo assim, concluímos que o raio da função de 
equação polar θ2sen=r varia conforme a figura 2. 
 
 figura 1 figura 2 
 Agora observemos o gráfico de θ2sen=y , com 
24
piθpi ≤≤ (seguimento de 
arco vermelho a figura 3), sendo assim, concluímos que o raio da função de 
equação polar θ2sen=r varia conforme o seguimento de arco vermelho da 
figura 4. 
 
 figura 3 figura 4 
 As construções das demais pétalas podem ser feitas de maneira análoga. 
Portanto o gráfico de θ2sen=r é: 
 
 
 
 
 
 
 
11
33..22 ÁÁrreeaa ttoottaall 
 A área total de uma Rosácea de quatro folhas será quatro vezes a área de uma 
folha, pois todas as folhas são simétricas (veja observações –II, pág 5). 
 
 
Portanto: 
( )[ ]� θθ df 22
1
, ( )[ ] θθθ 2sen)2sen.( 2222 aaf �= 
�� θθ
pi
da
2
0
22 2sen
2
1
.4 
2
0
2
2
0
2 4
8
1
2
12
2
4cos12
pi
pi
θθθθ �
�
�
�
�
�
−�	
�
�
� −
� senada , 
2
2pia
∴ . 
Vamos agora comparar o resultado obtido pelo cálculo acima, com o software 
Winplot, para isso consideremos 2=a , pelo cálculo integral temos: 
28,62
2
22
≅= pi
pi
 unidades de área, e no Winplot, temos: 
 
O Winplot faz o cálculo numérico, dividindo o intervalo de integração em 
subintervalos, em particular, mil intervalos. 
 
 
 
12
Observe que os resultados encontrados no cálculo integral e no Winplot são 
valores praticamente iguais. 
 
33..33 CCoommpprriimmeennttoo ddee aarrccoo 
 
O comprimento de arco total de uma Rosácea de quatro folhas será quatro 
vezes o comprimento de uma folha, pois todas as folhas são simétricas (veja 
observações –II, pág 5). 
 
θ
θ
d
d
dr
r
b
a� 	
�
�
�
+
2
2 ; θ
θ
θ 2cos.22sen. a
d
dr
ar =�= 
�+−�+× �� θθθθθθ
pipi
daadasena
2/
0
2222/
0
2222 )2cos42cos1(42cos424
θθ
pi
da� +
2/
0
2 12cos34 , não sabemos calcular essa integral pelos métodos 
algébricos, não sabemos sequer se existe solução exata, mas é possível fazer 
uma aproximação desta integral, utilizando o Winplot. 
 
Para aproximarmos essa integral no Winplot, será utilizado 1=a . 
 
 
 
Portanto, o comprimento do arco de θ2sen=r no intervalo de piθ 20 ≤≤ é 
aproximadamente 9,68845 unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
33..44 EEqquuaaççããoo ccaarrtteessiiaannaa 
 
Estudaremos a seguir, a equação cartesiana da curva de equação polar 
θ2senr = , observe que esta curva é uma rosácea de quatro pétalas (veja 
definição, pág 2). 
 
A relação entre coordenadas polares e cartesianas 
pode ser vista na figura ao lado. 
Relações observadas na figura: 
x
y
tg =θ , 222 yxr += , 
22
cos
yx
x
r
x
+
±==θ e 
�
�
�
=
=
θ
θ
sen
cos
ry
rx
 . 
Mas como θ2senr = , então 
�
�
�
=
=
θθ
θθ
sen2.sen
sen2.cos
y
x
� �
��
�
�
�
=
=
θθ
θθ
cos.sen2
sen.cos2
2
2
y
x
 
( )
�
�
�
�
�
�
=
−=
θ
θ
θθ
2
2
sen
cos2
sen.sen12
y
x
 �		
�
��
�
=
�
y
�x
cos2
-1sen2 �
−
=
θ
θ
θ cos2
cos2
sen2
yx
 
( )ytgx −= θθ cos2 , mas como 
x
y
tg =θ e 
22
cos
yx
x
+
±=θ , então: 
�
		
	
�
��
�
�
−
+
±= y
yx
x
x
y
x
22
2 
22
22 2
yx
x
y
yx
+
±=+ ( ) yxyx 22322 ±=+∴ . 
Graficamente, temos: 
 r = sen2� (x + y )3/2 =2xy (x + y )3/2 =-2xy 
 
−1 1
x
y
 
1
x
y
 
1
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
14
33..55 RReettaass ttaannggeenntteess áá ccuurrvvaa 
 
 
Nesta seção, utilizaremos o Winplot para mostrarmos como se calcula a 
equação da reta tangente ao gráfico da curva de equação polar igual a 
θ2sen=r . 
Iremos calcular a reta tangente ao gráfico para 
2
3
6
=→= r
piθ . Esse ponto 
tem coordenadas cartesianas 
�
�
�
��
�
�
=
=
6
sen
6
cos
pi
pi
ry
rx
, ou seja, 		
�
�
�
�
4
3
,
4
3
, chamaremos este 
ponto de 0P . 
No Winplot, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 figura 6 
 
 
 figura 5 
Observe na figura 5, o vetor velocidade tem coordenada 		
�
�
�
�
=
4
5
,
4
3)( 0Pv , esse 
vetor pode ser visto na figura 6 (vetor vermelho). 
Chamaremos de s (reta azul da figura 6) a equação da reta tangente à curva 
θ2sen=r , no ponto 0P . 
 
 
 
15
( ) )(. 00 PvtPts += ; 		
�
�
�
�
+	
	
�
�
�
�
=
4
5
,
4
3
.
4
3
,
4
3)( tts ou seja: 
 
 
 
 
 
O cálculo de qualquer outra reta tangente ao gráfico de θ2sen=r , pode ser 
feito de maneira análoga. 
 
33..66 CCuurrvvaattuurraa 
 
 
Nesta seção, utilizaremos o Winplot para calcularmos a curvatura e o raio de 
curvatura no ponto =0P 		
�
�
�
�
4
3
,
4
3
 da curva θ2sen=r . 
Observando a figura-5 da seção 2.5, vemos que a curvatura no ponto é igual a 
2,48377, como o raio de curvatura é o inverso da curvatura, temos que: 
40,0
48377,2
1
≅=r . Aqui não iremos calcular passo a passo o centro de 
curvatura, pois é necessário um cálculo algébrico muito extenso, mas a idéia 
para calculá-lo é a seguinte: o centro de curvatura tem a mesma direção da reta 
normal à curva no ponto 0P , e dista 40,0 do mesmo. Partindo dessa idéia e 
efetuando os cálculos necessários, chegaremos que centro de curvatura é igual 
a: 	
	
�
�
�
� +−
=
720
34215
,
74
473
c ( )56,0;37,0≅ . A circunferência azul tem equação: 
222 )4,0()56,0()37,0( =−+− yx . 
 
( )
�
�
�
��
�
�
ℜ∈+
+
=
. onde),53(
4
1
33
4
1
)(
tt
t
ts
 
 
 
16
44.. AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS 
 
Uma das aplicações da rosácea se deu na arquitetura, nos vitrais das 
catedrais góticas, juntamente com outros traços geométricos. 
A seguir será apresentado um histórico do período conhecido como 
arquitetura gótica, apresentaremos também uma aplicação da rosácea na 
engenharia. 
 
44..11 AArrqquuiitteettuurraa ggóóttiiccaa 
Na História da Arte, o período conhecido como Gótico diz respeito às 
manifestações arquitetônicas e plásticas (pintura, escultura, iluminura, dentre 
outras) do período que vai do século XII até as primeiras décadas do século 
XVI. 
O período denominado como gótico na História da Arte originou-se na 
Île-de-France e estendeu-se por toda a Europa: da Península Ibérica à 
Escandinávia, passando pela Irlanda, pelas ilhas de Chipre e Rodes até o 
Oriente Próximo. A arquitetura que veio a ser designada como "gótica" a 
partir da Renascença apresentou características peculiares em cada país 
europeu, ao longo de seus quatro séculos de duração. 
As influências românicas fizeram-se presentes até mesmo na 
apropriação de termos usados pelos arquitetos românicos: abóbada, tímpano, 
arcos, entre outros. No entanto, foram combinadas em uma nova ordem, ou 
seja, em um proveito inédito do espaço. A abóbada adotada na arquitetura 
gótica, e que constitui a característica principal deste estilo de construção,é a 
de nervuras. Esta difere da abóbada de arestas românica por deixar visíveis os 
arcos que compõem a estrutura. O arco ogival, diferente do arco pleno 
românico, permitia a construção desse novo tipo de abóbada e também de 
igrejas mais altas. As ogivas acentuam a impressão de altura e verticalidade. 
Durante o século XII, apesar de ainda predominar a arquitetura 
românica, surgiram às primeiras modificações arquitetônicas deste período. A 
abadia de Saint-Denis (São Dionísio), localizada na França e construída por 
volta de 1140-1281, é considerada o marco da construção gótica e possuidora 
de elementos que servirão como referência na classificação das demais 
construções deste estilo. 
A arquitetura gótica não almejou a obscuridade. O uso da luz e a relação entre 
estrutura e aparência são únicos nesta arquitetura: se, na igreja românica, a luz 
contrasta com as substâncias tácteis, sombrias e pesadas das paredes, na 
parede gótica a luz é filtrada através dela, permeando-a, absorvendo-a, 
transfigurando-a. A verticalidade é outra propriedade do estilo gótico, que 
propicia sensações de ausência gravitacional. 
 
 
 
17
Na fachada da abadia de Saint-Denis, os portais laterais eram 
continuados por torres. Acima dos frisos que emolduram o portal central há 
uma grande janela e, acima desta, outra chamada rosácea (grande janela 
circular enfeitada por vitrais), outro elemento característico destas 
construções. A cabeceira de Saint-Denis contava com pilares em sua 
construção, que consistem em suportes de apoio dispostos em espaços 
regulares. Com o novo recurso não eram mais necessárias as grossas paredes 
para sustentar a estrutura, o que garantiu maior leveza às construções. 
A nave central era merecedora de grande atenção entre os planejadores 
destas construções, pois quanto maior a altura desta, mais intensa seria a luz 
interior que, combinada aos vitrais conferia iluminação uniforme a todo o 
ambiente. Os idealizadores das catedrais entendiam a luz como elemento 
místico. Desejosos em propiciar caráter divino às construções, os mestres-de-
obras não tardaram em buscar incessantemente a substituição das paredes por 
vitrais. 
As particularidades arquitetônicas do estilo gótico em cada país são 
evidenciadas nas classificações dos historiadores, que costumam dividir o 
gótico em três ciclos: inicial, quando se configurou o estilo; central, de 
expansão das formas góticas; e o final dominado pelo gosto burguês. 
A evolução dos rendilhados determina algumas etapas deste estilo, 
como o perpendicular e o flamejante. A arquitetura inicial apresentava janelas 
subdividas em duas lancetas, com estruturas geométricas simples acima das 
mesmas (rosácea ou trifólio). Mais adiante a estrutura atinge maior 
complexidade e os traços afinam-se. Ao final, a tendência é a substituição da 
simplicidade das formas geométricas por curvas que lembram chamas (daí a 
classificação: gótico flamejante). 
As últimas construções de estilo gótico (dentro do período cronológico 
estabelecido na História da Arte, pois adiante será abordado o revival 
neogótico dos séculos XVIII e XIX) datam aproximadamente dos séculos 
XIV, XV e início do XVI. Neste ciclo final estão incluídos, além das 
construções religiosas, os palácios urbanos. 
A arquitetura civil gótica reflete a sociedade da época, quando a construção 
mais significativa era o palácio ou residência senhorial, que podia adquirir 
funções de fortaleza. Os castelos evoluíram bastante durante o período gótico, 
pois sua finalidade defensiva foi perdendo importância. Tais castelos 
caracterizavam-se pela presença de fossos em seu redor, muros sólidos e torres 
que propiciavam a vigília: tudo para garantir o resguardo de seus moradores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18
44..22 FFoottooss 
 
Visão interna da rosácea de Saint-Denis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catedral Presbiteriana 
Rio de Janeiro Centro Área da Praça Tiradentes 
Detalhe mostrando a rosácea 
�
 
 
 
 
 
19
Dame de Reims, século XIII. Vista do interior, e na parte superior o 
vitral contendo a grande rosácea 
 
 
 
Catedral de Notre Dame de Reims, século XIII. 
Vista da rosácea frontal 
 
 
 
 
 
 
20
44..33 AApplliiccaaççããoo nnaa EEnnggeennhhaarriiaa 
Outra aplicação da rosácea pode ser observada na Engenharia como a 
passarela pré-fabricada CTRS - Centro de Tecnologia da Rede Sarah (1988) 
que teve seu apoio uniforme transformado em umas elegantes rosáceas, cujas 
aletas são denominadas de “pétalas”. 
Rótula da Passarela CTRS 
 
 
 
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS 
Anton, Cálculo um novo horizonte, vol 2, Ed. Bookman, 2000 
Stewart, James. Cálculo. 4 ed. São Paulo; Pioneira, 2001. Vol II. 
Swokowski, E.W. Cálculo com geometria analítica. 2 ed. São Paulo: 
Makron Books, 1994. Vol II. 
www.carcasse.com.br/revista//imagens/ornament 
www.vitruvius.com.br/arquitextos/arq000/esp382.asp 
www.cei.santacruz.g12.br/~cemanos/arqmain.htm