Prova Substitutiva

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Prova Substitutiva de Cálculo 2
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ATENÇÃO:
- Respostas sem cálculos ou justificativas não serão consideradas.
- Não é permitido qualquer tipo de consulta.
Questão 1 (12 pontos): Considere a função
f(x, y) = (x2 + 2y2) e−x
2−y2
(a) Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função f .
(b) Determine o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função f no disco x2 + y2 ≤ 4
e todos os pontos onde o máximo e o mínimo são assumidos.
(c) Determine a derivada direcional da função f no ponto (1, 1) na direção e no sentido do
vetor
−→
i +
−→
j .
(d) Calcule
∫
C
f(x, y) dy onde C é a parte da circunferência x2 + y2 = 4 acima do eixo x.
Questão 2 (7 pontos): Uma lâmina ocupa a parte da elipse 9x2 + 4y2 = 36 do primeiro
quadrante. Determine as coordenadas do centro de massa desta lâmina se a densidade em
qualquer ponto da lâmina for proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo x.
Questão 3 (7 pontos): Calcule o volume do sólido contido dentro esfera x2 + y2 + z2 = 16 e
fora do cone z2 =
x2
3
+
y2
3
.
Questão 4 (8 pontos): Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (xy + ex
3
)
−→
i + (2z + y9)
−→
j + (3y + z3ez)
−→
k
para deslocar uma partícula sobre a curva de fronteira da parte do plano x + y + z = 1 do
primeiro octante percorrida no sentido anti-horário quando visto de cima.