Apostila 1 - Física x Matemática - Professor Claudio - FURG

Prévia do material em texto

Física e Matemática
Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Introduction vii
1 A Matemática como Linguagem 1
1.1 Palavras � Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Pitágoras de Samos VI a.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Newton: 2200 anos depois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 A Linguagem da Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 O papel dos elementos da Matemática 11
2.1 As constantes e as variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Os papéis das funções na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Funções 23
3.1 Funções de xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Combinação de funções de potências . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Combinação de x2 e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Seno, Cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Cálculos para alguns ângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Grá…cos das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4 Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.5 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.6 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.7 Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Limites, Derivadas e a 2a¯ Lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 A derivada como limite da taxa de variação . . . . . . . . 47
3.4.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.4 Uso de limites para o cálculo de derivadas . . . . . . . . . 50
3.4.5 Regra do Produto para derivadas . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.6 A segunda Lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Funções compostas e suas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1 Derivada de função composta . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Derivadas das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii
iv CONTENTS
3.6.1 A derivada do seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.2 A derivada do cos � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.3 Derivada de csc � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.4 Derivada da tan � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Aplicação na Física Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . 62
3.7.1 Equação da posição e velocidade . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.2 Equação da aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A The First Appendix 69
Afterword 71
Preface
v
vi PREFACE
Introduction
Em face das mudanças ocorridas no ensino médio a partir da década de 90 se
faz necessário que disciplinas introdutórias abordem o papel da Matemática na
Física. A visão detectada entre os calouros dos cursos de exatas é a de que as
fórmulas só possuem a utilidade como ferramenta de cálculo, não compreendem
que a Matemática é essencial para a compreensão da Natureza. Nessa disciplina
mostraremos que a Matemática é também um poderosa linguagem que revela
os segredos da Natureza e que é necessário o desenvolvimento do raciocínio
matemático.
vii
viii INTRODUCTION
Chapter 1
A Matemática como
Linguagem
'����& = físis = natureza
A Física utiliza a Matemática como uma linguagem que permite descr-
ever e revelar propriedades fundamentais dos fenômenos da Natureza. Através
da linguagem Matemática, foi possível descobrir que a Natureza possui leis e
princípios fundamentais que regem os fenômenos e também possui uma lógica
natural que organiza os conceitos em estruturas lógicas. A compreensão dessas
estruturas aprofundou o nosso entendimento da Natureza e tem modi…cado a
forma como nos relacionamos com ela.
O desenvolvimento da Matemática transformou-a em ciência, contudo
o seu aspecto como linguagem está muito presente na Física e atua de forma
complementar e de igual importância com seu aspecto cientí…co.
1.1 Palavras � Equações
As equações não são apenas uma ferramenta de cálculo, elas são frases
(expressões) utilizadas na Física para, com grande precisão, elaborar conceitos
e raciocínios além de descrever os fenômenos naturais.
A palavra também pode ser usada para descrever um fenômeno da na-
tureza, mas as frases não possuem a precisão lógica contida nas equações. Os sig-
ni…cados das expressões, baseadas na palavra, dependem da cultura, da época,
do país, ou seja, da forma como elas são utilizadas. Por exemplo:
"Os felinos, embora sejam predadores, estão em harmonia na natureza."
"A natureza do homem ainda é predatória."
"A ciência nasceu da busca pela compreensão da natureza das coisas."
Aqui podemos ver que a palavra natureza possui signi…cados diferentes.
Frase 1): a palavra natureza signi…ca um sistema composto por seres
vivos imerso num ambiente.
1
2 CHAPTER 1. A MATEMÁTICA COMO LINGUAGEM
Frase 2): a palavra natureza signi…ca uma qualidade ou característica
interna de um ser vivo.
Frase 3): a palavra natureza signi…ca a essência, uma característica
interna dominante.
Assim, conforme o seu signi…cado, podemos debater sobre a natureza, mas
será preciso antes que todos os debatedores …quem atentos à qual signi…cado
da palavra se baseará o debate. Hoje em trabalhos de …loso…a, sociologia e
economia, os pensadores tomam o cuidado de colocar nas páginas iniciais, a
delimitação dos signi…cados das palavras, por exemplo: Se o trabalho for um
ensaio sobre Sociedade Moderna o autor precisa descrever as características que
ele vai adotar para delimitar os signi…cados da palavra Sociedade e da palavra
Moderna, i.e, o autor deve informar o que ele entende por Sociedade e por
Moderna. Nesse processo ele deve adotar os signi…cados de algum pensador que
o precede e se for realizar alguma alteração, deve apresentar justi…cativas bem
fundamentadas para fazer a alteração. Apesar de todo este cuidado a tarefa não
é simples e sempre haverá discordâncias. A origem dessa discordância está no
fato de que o conceito não possue uma de…nição precisa.
Essa imprecisão foi notada pelos pensadores da antiga Grécia e se percebeu
que essa imprecisão é uma fonte de discussões e debates intermináveis. Já
na antiga Grécia a busca pela compreensão da Natureza, no sentido de um
sistema composto por um meio ambiente e seres vivos, passou para a busca
da compreensão da Natureza das Coisas, no sentido da essência dos objetos.
Foi também nesse período que alguns pensadores começaram a buscar uma
linguagem que não gerasse tantos debates e não fosse tão imprecisa como a
linguagem baseada na palavra.
1.2 Pitágoras de Samos VI a.C.
O primeiro pensador que passou a usar a Matemática como uma linguagem,
foi o grego Pitágoras de Samos na metade do século VI a.C. Ele formou uma
escola de iniciados (Os Pitagóricos) e baseou o seu pesamento nos números. O
Pitagorismo não se limitou a estudar apenas a Natureza, mas procurou entender
a natureza de todas as coisas, o que incluia a compreensão da natureza humana e
das divindades. Ele acreditava que através dos números seria possível desvendar
os segredos da natureza das coisas.
Pitágoras foi o primeiro a perceber que se podia associar aos números car-
acterísticas não matemáticas. Por exemplo: ele percebeu que as notas musicais
estão associados ao comprimento da corda:
elemento não numérico elemento numérico
nota musical ! comprimento da corda
Hoje a Física tem a equação:
!r =
Cr
L
; C = �
r
�
�
(1.1)
1.2. PITÁGORAS DE SAMOS VI A.C. 3
onde: !r = frequência angular do modo r ! nota musical r, L = comprimento
da corda, � = tensão na corda, � = densidade linear da corda.
Observe que equação (1.1) nos mostra que quando comprimento L aumentaa frequência !r diminui, i.e., quando aumentamos o comprimento L o som …ca
mais grave.
Ele também relacionou os números com elementos geométricos:
1 ! � 2 ! � 3 ! 4
Essa forma de associação permitiu que os Pitagóricos percebessem a existência
das séries numéricas e a relação entre os lados do triângulo retângulo: Teorema
de Pitágoras.
Ele também atribuiu características religiosas aos números, e.g: A divindade
é associada ao número Um. Do ponto de vista matemático o Um é um número
indivisível que é uma característica que se espera que a divindade tenha.
Dessa forma os Pitagóricos utilizavam os números e a aritmética para se
determinar as propriedades das "coisas".
Foi Pitágoras que ensinava a amar o saber (amar=…lo, saber = so…a) e a
estruturar os conhecimentos com princípio e lógica.
Pode-se ver que a escola de Pitágoras desenvolveu a base da metodologia
cientí…ca que utilizamos hoje.
Um ponto interessante:
A metodologia baseada em princípios, lógica e matemática trouxe prob-
lemas para a escola pitagórica. A associação entre números e religião passou
a enfrentar problemas. Os números naturais foram tomados como base funda-
mental para a religião, dessa forma para os Pitagóricos não deve existir outros
tipos de números e o conhecimento baseado neles também não deve gerar outros
tipos de números.
Contudo do Teorema de Pitágoras
h2 = a2 + b2
se usarmos a = 1 e b = 1, obtemos
h2 = 2! h =
p
2
E
p
2 não é um número natural! Esse tipo de resultado levantou questionamen-
tos a respeito do uso dos números naturais como uma base fundamental para o
Pitagorismo.
Após a morte de Pitágoras, o Pitagorismo se dividiu em duas escolas:
a) Acusmáticos. Se dedicaram à parte religiosa
b) Matemáticos. Se dedicaram à parte racional que hoje conhece-
mos como a ciência Matemática.
Com o passar do tempo e o desenvolvimento da Matemática a associação
Matemática - Natureza foi também abandonada, uma vez que se percebeu que
o desenvolvimento da Matemática não precisava dessa relação com a Natureza.
4 CHAPTER 1. A MATEMÁTICA COMO LINGUAGEM
1.3 Newton: 2200 anos depois
No ano de 1687, aproximadamente 2200 anos depois de Pitágoras, Isaac New-
ton com o seu Cálculo Diferencial e Integral e sua Mecânica Vetorial gera uma
nova revolução. No trabalho de Newton os elementos e propriedades da Na-
tureza são associados à símbolos matemáticos em vez de ser associados apenas
a números. Devido à exatidão, as leis da natureza são melhor expressas por
meio de equações e o comportamento dos fenômenos são descritos por funções
matemáticas. E as palavras são usadas para expressar comportamentos qualita-
tivos e/ou gerais desde que os signi…cados das palavras estejam bem delineadas
e fundamentadas por expressões matemáticas. As palavras também são usadas
para a interpretação das equações e da lógica. Quando a interpretação é muito
precisa, ela permite avanços e extensões dos trabalhos, uma vez que o nosso
raciocínio é muito dependente da Linguagem das Palavras.
Para continuar, precisamos do conceito matemático de taxa de variação el-
ementar de quantidade de movimento: d~pdt
Remark 1 Conceito de d~pdt . Seja ~p a quantidade de movimento do corpo: ~p =
m~v (m = massa, ~v = velocidade). A Variação de tempo é: �t = tf � ti, onde
f =…nal e i = inicial. Pode-se reescrever tf = ti + �t. A Variação de ~p é
�~p = ~p (tf )� ~pi (ti) Taxa de variação temporal da quantidade de movimento é:
�~p
�t
=
~p (tf )� ~pi (ti)
�t
=
~p (ti +�t)� ~pi (ti)
�t
:
A ação de uma força é num instante de tempo. Quando chutamos uma bola
parada, mudamos a quantidade de movimento da bola: ~pi = 0 vai para ~pf 6=
0. A força do chute atua num intervalo de tempo muitíssimo curto, �t !
0. A Matemática permite que se calcule a taxa de variação da quantidade de
movimento sendo realizado nesse intervalo de tempo �t quase nulo. Ela é o
limite para �t! 0 do cálculo de ~p(ti+�t)�~pi(ti)�t e se escreve:
lim
�t!0
�~p
�t
=
d~p
dt
: (1.2)
onde d~pdt simboliza o resultado desse limite. Esse resultado pode ser um número
ou uma função. Veja detalhes em Notas Matemáticas (3.4.3)
Na segunda Lei de Newton, elementos matemáticos são usados para repre-
sentar elementos da Física:
Elemento da Natureza Elemento da Matemática
Força ! ~F
Quant. de movimento ! ~p = m~v
Variação temporal de ~p ! d~pdt
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
1.3. NEWTON: 2200 ANOS DEPOIS 5
Newton, por meio de três leis, revela as causas e os fundamentos que regem
os movimentos:
1) Lei da Inércia. Na ausência de forças externas um corpo permance no seu
estado de movimento.
2) A força impressa num corpo produz alteração temporal na quantidade de
movimento desse corpo, i.e.:
~F =
d~p
dt
: (1.3)
3) Lei de ação e reação. Para cada força impressa no corpo, o corpo reage
com uma força de mesma intensidade e direção mas no sentido oposto.
Essas são as Leis que sintetizam toda a Mecânica Vetorial.
Observe que os conceitos expressos por palavras na 1a¯ e 2a¯ Lei estão bem
delineadas pela expressão matemática da segunda Lei. Isto …ca mais clara mu-
dando a ordem e reescrevendo essas três leis da seguinte forma:
Seja dado um corpo com massa m e velocidade ~v. A medidade do estado
de movimento desse corpo é dado pela grandeza quantidade de movimento ~p
de…nida por:
~p = m~v
A) Seja ~F uma força externa impressa sobre o corpo. A força ~F causa uma
variação temporal da quantidade de movimento, i.e:
~F =
d~p
dt
: (1.4)
B) Na ausência de forças externas, ~F = 0, o corpo permanece no seu estado
de movimento, ou seja:
~F = 0;
d~p
dt
= 0 =) ~p = const: (1.5)
Obs: Em alguns livros essa expressão é chamada de Lei de Conservação da
Quantidade de Movimento.
C) Para cada força aplicada ~F o corpo reage com uma força igual à �~F .
Remark 2 Obs: As tres leis de Newton ensinada no ensino médio e presente
nos capítulos iniciais de alguns livros é um caso especial dessa versão mais geral.
Nessas versões a segunda Lei é dada por ~F = m~a. Essa expressão é um caso
especial da segunda Lei onde se considera que a massa m e a força ~F sejam
constantes. Veja em Notas (3.4.6) no …nal deste capítulo a dedução de ~F = m~a.
No mundo real a massa de um corpo pode variar com o tempo, m = m (t),
como no caso de carros cujas massas diminuem ao consumirem o combustível.
Há vários tipos de forças que são dadas como funções da posição ~r, velocidade
~v e tempo, ~F = ~F (~r;~v; t)
6 CHAPTER 1. A MATEMÁTICA COMO LINGUAGEM
Embora separados por 2200 anos o trabalho de Newton recupera o programa
iniciado por Pitágoras e o extende para além dos números, ele extende para
toda a Matemática com a sua estrutura lógica e as suas equações. O trabalho
de Newton revela que a natureza possui mecanismos e que todos os mecanismos
obedecem essas tres leis. Dessa forma esse trabalho também con…rma um outro
ensinamento de Pitágoras, o uso de princípios e lógica.
Qual é o princípio que está expressa na segunda lei de Newton e que reúne
~F , ~p e ddt?
A segunda Lei segue o princípio de causa e efeito.
"A força é a causa da variação temporal da quantidade de movimento."
Assim na segunda Lei temos:
Causa Efeito
~F = d~pdt
Observe o signi…cado do sinal de igualdade =. Aqui ele é um elo de ligação
entre causa e efeito.
Um aspecto novo revelado pela Matemática. Do ponto de vista puramente
matemático pode-se reescrever a segunda lei na seguinte forma:
d~p
dt
= ~F (1.6)
e aplicando o princípio de causa e efeito, temos:
Causa Efeito
d~p
dt =
~F
"A variação temporal da quantidade de movimento é causa de uma força."
Vemos agora que o que era efeito virou causa e o que era causa virou efeito.
Será que essas forças gerados por d~pdt existem?
Um exemplo dessas forças está presente no nosso cotidiano quando estamos
num onibus e ele freia ou acelera.
Dessa forma,o uso da Matemática nesse caso nos revela que:
"O efeito pode ser causa e a causa pode ser efeito."
A lógica que está expressa com palavras nessa frase não faz sentido. Mas
vemos que essa lógica faz sentido quando ela é expressa pela equação da segunda
lei de Newton.
Isto é um exemplo de como a compreensão das equações nos revela uma
lógica e propriedades que não somos capazes de imaginar que possam existir,
até mesmo quando nós já tenhamos tido experiência dos efeitos (no onibus que
freia não tem ninguem empurrando-nos para frente).
Essa nova forma de ler a equação da segunda lei, nos revela que não é preciso
ter um agente para aplicar a força. A força aparece quando se muda ( ddt ) a
quantidade de movimento (~p) de um sistema.
1.4. A LINGUAGEM DA NATUREZA 7
O que mais a segunda lei pode revelar?
Esse é um dos objetivos da disciplina de Mecânica.
Vemos que o sucesso do trabalho de Newton não está em apenas explicar
a origem e a mecânica dos movimentos, mas também revelar novos aspectos
ou pontos de vista, novos fenômenos e propriedades fundamentais que não se
conseguia perceber.
Isso abriu um novo caminho e deu uma resposta positiva às seguintes
questões:
A Natureza realmente possui princípios fundamentais e segue uma lóg-
ica?
A Matemática pode ajudar a revelar esses princípios e a lógica da Na-
tureza?
1.4 A Linguagem da Natureza
Hoje, podemos dizer que, o objetivo de Pitágoras foi realizado pela Física.
Mas, ao invés de sómente se basear em números, a Física se baseia na Matemática.
Desta forma a Matemática se tornou a Linguagem da Natureza através do qual
podemos, além de descrever, compreender a '����& (físis).
A Matemática como linguagem não é uma linguagem intuitiva, pois a primeira
linguagem que aprendemos é a Linguagem das Palavras. Com a evolução, a
Matemática se tornou também uma ciência e passou a ter objetivos próprios que
não estão diretamente relacionados com a cultura e a sociedade. Assim a forma
de raciocínio evoluiu para o que hoje chamamos de raciocínio matemático.
A Linguagem das Palavras é estruturada de forma retilínea e unidirecional
(da esquerda para a direita), dessa forma os signi…cados são encadeados de
forma linear e em uma direção. Essa estrutura também molda a forma como
raciocinamos.
Essa forma linear de raciocínio também está presente na Matemática, porém,
pode-se ter uma estrutura bi-direcional como no caso da equação da segunda lei
de Newton.
~F = d~pdt
causa ! efeito
efeito causa
que pode ser lida da esquerda para direita, como da direita para esquerda.
As palavras matemáticas aplicadas na Física são muito densas em infor-
mação:
~F =
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
%; !;-; #; ::: segmentos orientados
Fxx^+ Fy y^; Fxx^+ Fy y^ + Fz z^; ::: repres. cartezianas em 2-D, 3-D,�
Fx Fy
�
;
�
Fx Fy Fz
�
; ::: matrizes linha 2-D,3-D, etc�
Fx
Fy
�
;
0@ FxFy
Fz
1A ; ::: matrizes coluna 2-D, 3-D, etc
~F (x; y) ; ~F (x; y; z) ; ~F (t), ~F (~r; t) funções vetoriais
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
8 CHAPTER 1. A MATEMÁTICA COMO LINGUAGEM
O mesmo se pode fazer com a quantidade de movimento ~p.
Além das grandezas, as equações são também muito densas em informação.
Por exemplo:
A Segunda Lei de Newton:
~F =
d~p
dt
pode conter várias equações.
Por exemplo, usando: ~F = Fxx^+ Fy y^ e ~p = pxx^+ py y^; pode-se reescrever:
~Fz }| {
Fxx^+ Fy y^ =
d~p
dtz }| {
dpx
dt
x^+
dpy
dt
y^; (1.7)
e separar em duas equações, uma para o eixo x^ e outra para o eixo y^:
Fxx^ =
d
dt
pxx^; ! Fx = d
dt
px; (1.8)
Fy y^ =
d
dt
py y^; ! Fy = d
dt
py; (1.9)
Assim, a Segunda Lei de Newton representa várias equações e não apenas uma.
O aspecto cientí…co da Matemática e o poder de síntese na segunda
Lei
Esse aspecto nos informa que a segunda Lei é um problema que pode ser re-
solvido, pois não é preciso ter conhecimento completo e detalhado das grandezas
presentes nessa equação, ou seja, se conhecemos ~p podemos obter ~F e vice-
versa. A forma e propriedades matemáticas da segunda Lei nos informa em
quais condições podemos resolver essa equação, uma vez que da Matemática
essa equação recebe a classi…cação de equação diferencial ordinária e se deve
aplicar os métodos adequados para resolver essa classe de equações. No caso
em que se conhece a função matemática ~F (~r;~v; t) da força, i.e.: ~F = ~F (~r;~v; t),
pode-se determinar a expressão matemática que resulta de d~pdt . Esta expressão
matemática …nal é a equação horária que descreve o movimento do sistema.
No caso em que ~F é uma força unidimensional constante; ~F = Fx^ e o sistema
possui massa m constante o resultado …nal é a equação do Movimento Retilíneo
Uniformente Variável.
s = s0 + v0t+
1
2
F
m
t2: (1.10)
Para outros tipos de força encontramos outros tipos de movimento tais como:
Movimentos Circulares, Movimentos Amortecidos, Movimentos Oscilantes, Com-
binações de Movimentos, etc
Assim, a densidade de conteúdo matemático e físico da equação:
~F =
d~p
dt
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
1.4. A LINGUAGEM DA NATUREZA 9
é muito grande e por essa razão que ela é uma síntese das equações de movimento
da Mecânica Newtoniana.
O conhecimento matemático de vetores, matrizes, equações diferenciais, méto-
dos de integração,etc. é que permite obter dessa equação todos os detalhes a
cerca dos movimentos e assim se poderá ver toda a exensão da beleza das três
leis de Newton e sua genialidade.
Podemos ver que a Linguagem Matemática é muito densa em informação ao
ponto de que uma simples frase matemática (equação) pode sintetizar todo o
conhecimento de uma área da Física, no sentido em que a partir dessa equação
se possa deduzir todas as demais equações de casos mais especí…cos e obter
resultados exatos sem ambiguidades. Esse poder de síntese e a possibilidade de
dedução exata das consequências está presente em outras áreas da Física.
No Electromagnetismo, por exemplo, temos as equações de Maxell que
sintetiza todo o conhecimento do Electromagnetismo Clássico no sentido em que
a partir dessas equações pode-se deduzir todas as demais equações importantes
do Electromagnetismo. Estas equações são uma bela aplicação do Teorema
de Helmholtz do Cálculo Vetorial. O Teorema tem um papel central na
classi…cação de vetores em campos (ou classe) de acordo com comportamento
deles. O Teorema diz que os campos vetoriais que rotacionam em torno de um
ponto não podem se comportar divergindo ou convergindo em relação à esse
ponto e que os campos vetoriais que convergem ou divergem em relação à um
ponto não podem rotacionar em torno dele. O que Maxwell realizou foi utilizar
os campos que podem divergir/divergir em relação à um ponto para representar
o campo elétrico e os campos que rotacionam em torno do ponto são usados
para representar o campo magnético.
Essa capacidade de sintetizar da Matemática se extendeu para outras áreas
da Física em especial o Princípio Variacional do Cálculo Variacional é um
princípio matemático presente nas teorias fundamentais da Física de Partículas,
Física Nuclear e Cosmologia, como também na Mecânica Estatística. Um ponto
interessante desse princípio é que ele foi proposto 300 anos atrás por D’Alembert
(1717-1785) e é utilizado até os dias atuais não só na Física mas também em
aplicações na engenharia.
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
10 CHAPTER1. A MATEMÁTICA COMO LINGUAGEM
Chapter 2
O papel dos elementos da
Matemática
Uma das aplicações básicas é a utilização da Matemática para representar el-
ementos da Natureza. Um dos passos iniciais é, então, encontrar o elemento
matemático que tem as propriedades matemáticas adequadas para representar
um elemento da Física. Antes é necessário identi…car os elementos da Natureza
que são relevantes para o tema do estudo.
2.1 As constantes e as variáveis.
Na Matemática as constantes são números puros, eles podem ser Reais ou
Complexos. Algumas constantes matemáticas se destacam e possuem nomes,
e.g.: o Pi
� = 3; 1415::: (2.1)
o número nepperiano
e = 2; 7183::: (2.2)
o número imaginário i
i =
p�1: (2.3)
Uma diferença entre a constante i e as constantes � e e está no fato de que
não se sabe como calcular
p�1. Qualquer que seja o resultado desse cálculo
podemos rotulá-lo e se convencionou que o rótulo seja i de número imaginário.
Apesar de não se saber o resultado do cálculo de
p�1 a adoção desse rótulo,
permite que se avance no estudo dos números imaginários. Por exemplo:
Qual seria o resultado de
p�2? Podemos dizer que:
p�2 = p�1� 2 = p�1
p
2 = i
p
2
Essa idéia evoluiu para o chamado plano complexo. Os números reais podem
ser representados por pontos ao longo de uma reta.
11
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
12 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
E ao eixo Real se acrescenta um segundo eixo perpendicular onde os pontos
representam os números imaginários.
Assim temos o plano Complexo onde os pontos nesse plano são dados pelas
coordenadas (x; iy).
Na Física também temos várias constantes importantes:
G = 6; 67�10�11N m2kg2 constante da gravitação, c = 3; 00�108ms velocidade
da luz no vácuo, etc.
A importância delas está relacionado com a área da Física a qual elas per-
tencem. Elas não são números puros e possuem unidades, pois carregam a
propriedade física do sistema, por exempo:
A constante de gravitação aparece na expressão da força gravitacional entre
duas massas m1 e m2 separadas por uma distância r.
~F = �Gm1m2
r2
r^ (2.4)
Porque G tem o valor de G = 6; 67 � 10�11N m2kg2 ? ou Porque c = 3; 00 �
108ms ? Essas perguntas ainda não tem respostas, pois as constantes embutem
tudo o que a teoria não consegue determinar. A forma que se tem para deter-
minar os valôres das constantes na Física são por meio de experimentos.
As variáveis
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
2.1. AS CONSTANTES E AS VARIÁVEIS. 13
Um número puro não tem muito sentido na Física. Veja
30:2; 20:4; 6:02: (2.5)
As unidades nos fornece mais informação sobre o conteúdo físico do número:
30:2cm; 20:4m; 6:02 km
Mas ainda não sabemos se esses números são para comprimento, altura, profun-
didade, distância, etc.
Acrescentando variáveis que tem signi…cados físicos, temos
L = 30:2cm; H = 20:4m; d = 6:02 km (2.6)
Assim as variáveis são usadas para representar grandezas físicas da natureza.
Na Matemática há vários tipos de variáveis::
Variável escalar:
a; b; x; y; etc (2.7)
Variáveis vetoriais
~a;~b; ~x; ~y; ::: (2.8)
Variáveis matriciais
aij =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A ; bij = � b11 b12b21 b22
�
; xi =
0@ x1x2
x3
1A ; etc (2.9)
Para relacioná-las com grandezas físicas devemos veri…car se as propriedades
matemáticas dessas variáveis são compatíveis com as propriedades das grandezas
físicas.
Por exemplo:
No estudo do movimento além da distância percorrida precisamos informar
para onde foi realizado o movimento.
Por exemplo: O carro percorreu 50 km na direção norte-sul e vai em direção
ao sul.
Nesse exemplo, vemos que além da distância temos a direção e o sentido do
movimento. Assim precisamos de uma variável direcional e se utiliza as variáveis
vetoriais para o estudo do movimento.
A representação de variáveis vetoriais.
Na Matemática uma variável vetorial possui diferentes representações:
~A =
8>>>><>>>>:
Representações de ~A
% segmento orientado
Axx^+Ay y^ no plano cartesiano�
Ax
Ay
�
repres. matricial
Assim o mesmo ocorre para o vetor posição ~r.
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
14 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
~r =
8>>>><>>>>:
Representações de ~r
% segmento orientado
rxx^+ ry y^ no plano cartesiano�
rx
ry
�
repres. matricial
Grandezas Físicas Matriciais - Tensor de Inércia
Essa grandeza aparece no estudo do movimento de rotação de corpos
rígidos.
O bloco da …gura acima pode girar em torno de um eixo diagonal que atrav-
esse dois dos seus cantos. A velocidade de rotação desse corpo em torno desse
eixo diagonal é dado por
~! =
0@ !x!y
!z
1A (2.10)
Usuário
Realce
2.2. OS PAPÉIS DAS FUNÇÕES NA FÍSICA 15
onde !x, !ye !z são componentes x, y e z de ~!. O momento angular (quantidade
de movimento angular) é dado por:
~L =
0@ LxLy
Lz
1A (2.11)
essas duas grandezas são relacionadas por meio da seguinte expressão matricial0@ LxLy
Lz
1A =
0@ Ixx Ixy IxzIyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
1A0@ !x!y
!z
1A
onde a matriz Iij :
Iij =
0@ Ixx Ixy IxzIyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
1A (2.12)
é o tensor momento de inercia. A componente Ixx fornece a inércia de rotação
(resistência em alterar o movimento de rotação) em torno do eixo x.
Vemos aqui que as grandezas físicas não se restringe à grandezas do tipo
escalar ou vetorial, podemos ter grandezas mais complexas que são representadas
por matrizes quadradas.
2.2 Os papéis das funções na Física
Motivação: As funções são usadas para descreverem o comportamento de grandezas
físicas ao longo do tempo e na extensão do espaço. Isso nos permite que se de-
termine o comportamento de um sistema físico apenas no instante presente e na
região próxima do observador. Como as funções são exatas, a determinação do
comportamento do sistema com a maior precisão possível no tempo e no espaço
é necessária para que se estabeleça com precisão as constantes que norteiam o
comportamento da função.
Elas são usadas, por exemplo, para descrever os diversos tipos de movimento.
1) Movimento Retilíneo Uniforme.
Nesse movimento a distância entre dois pontos da trajetória reta, cresce a
uma taxa constante com o tempo.
A tradução para a Linguagem Matemática do comportamento descrito nessa
frase é:
�s
�t
= v (2.13)
onde v = constante.
Temos que a distância é dada por �s = sf � si, si = posição inicial e f =
posição …nal. A variação do tempo é �t = tf � ti, tf = tempo …nal e ti =
tempo inicial. Uma taxa é a razão �s=�t entre essas duas grandezas.
Usando as propriedades matemáticas, pode-se reescrever:
�s = v�t; (2.14)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
16 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
e substituímos pelas expressões de �s e �t:
sf � si = v (tf � ti) ; (2.15)
Pode-se assumir que ti = 0 e nesse caso si = s0:
sf = s0 + vt; (2.16)
onde s0 e v são constantes. Assim as variáveis são s e t. Podemos comparar
com a seguinte função:
y (x) = y0 + cx
que sabemos ser uma função de primeiro grau em x. Com base nessa informação,
vemos que
sf (t) = s0 + vt; (2.17)
é uma função de primeiro grau e aqui ela está sendo usada para descrever o
Movimento Retilíleo Uniforme. A constante v representa a velocidade.
2) O MRUV.
Nesse caso a velocidade é que varia a uma taxa constante com o tempo:
�v
�t
= a; a = const: (2.18)
De formaanáloga, obtemos
v (t) = v0 + at:
Neste exemplo, os elementos da equação de primeiro grau:
y (x) = y0 + ax (2.19)
representam outras grandezas:
y ! v; y0 ! v0; c! a; x! t: (2.20)
A equação que descreve a evolução da posição com o tempo é:
s (t) = s0 + v0t+
1
2
at2: (2.21)
que comparamos com
y (x) = y0 + cx+ dx
2
que é uma equação do segundo grau em x. Os elementos dessa equação estão
associadas as grandezas físicas da seguinte forma:
x! t; y (x)! s (t) ; y0 ! s0; c! v0; d! 1
2
a
3) Movimento Circular Uniforme
Nesse caso a trajetória é um circulo de raio …xo R.
Movimento Circular
Sabemos da geometria que além da reta, podemos ter o círculo.
Caso mais simples
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
2.2. OS PAPÉIS DAS FUNÇÕES NA FÍSICA 17
A grandeza que varia com o tempo t é o ângulo �, assim escrevemos uma
função � (t).
A taxa que é constante é a taxa de variação angular. O que é traduzido na
Linguagem Matemática por
��
�t
= !; ! = const: (2.22)
Do ponto de vista matemático, essa taxa tem a mesma forma que no caso
do MRU eq.(2.13). A variação angular é uma distância angular:
�� = �f � �i; (2.23)
onde �f = posição angular …nal e �i = posição angular inicial. Assim seguindo
o que foi feito no caso do MRU, obtemos:
� (t) = �0 + !t: (2.24)
e a constante ! é a velocidade angular. Encontramos novamente uma equação
do primeiro grau em t.
4) MCUV - Movimento Circular Uniformemente Variado
As equações são análogas ao do caso MRUV. A taxa de variação da veloci-
dade angular é que é constante
�!
�t
= � (2.25)
e obtemos uma equação do primeiro grau em t:
! (t) = !0 + �t: (2.26)
A equação para o deslocamento angular � (t) é uma equação de segundo grau
em t:
� (t) = �0 + !0t+
1
2
�t2 (2.27)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Velocidade angularnull
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
18 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
Resumo:
Nesses 4 exemplos vemos que as equações de primeiro e segundo graus são
usadas para representar diferentes comportamentos:
y (x) = y0 + ax!
8>><>>:
x (t) = x0 + vt; MRU
v (t) = v0 + at; veloc. de MRUV
� (t) = �0 + �t; MCU
! (t) = !0 + �t veloc. de MCUV
y (x) = y0 + cx+ dx
2 !
�
s (t) = s0 + v0t+
1
2at
2: MRUV
� (t) = �0 + !0t+
1
2�t
2 MCUV
Análise Física
Uma vez que essas funções são dependentes do tempo elas permitem que se
faça a previsão do comportamento futuro dos sistemas ou corpos cujos movi-
mentos são descritos por essas equações. Mas é preciso que se conheça o valor
das constantes presentes nessas equações. Essas constantes podem ser obtidas
por meio experimental. Por exemplo:
No caso MRUV, temos
v (t) = v0 + at; (2.28)
s (t) = s0 + v0t+
1
2
at2 (2.29)
As constante que precisam ser determinadas são, velocidade inicial (v0),
posição inicial (s0) e a aceleração (a).
A velocidade e posição iniciais podem ser obtidas tomando-se t = 0
v (t = 0) = v0 (2.30)
s (t = 0) = s0 (2.31)
e a aceleração pode ser obtida medindo-se a taxa de variação temporal da ve-
locidade:
�v
�t
= a: (2.32)
Essa é uma situação ideal. Contudo pode ocorrer situações onde uma das
constantes não podem ser determinadas, ou até o tempo não pode ser determi-
nado. Mas mesmo nesses casos pode-se resolver o problema. Isso é possibilitado
pela Matemática.
Por exemplo: Quando não se pode obter informações sobre o tempo. Nesse
caso a dependência com o tempo é inútil. Do ponto de vista da Matemática a
ciência permite que se elimine a variável t das equações, da seguinte forma:
1) Na equação da velocidade isola-se a variável t
v (t)� v0
a
= t (2.33)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
2.2. OS PAPÉIS DAS FUNÇÕES NA FÍSICA 19
2) substitui essa expressão de t na equação de s (t)
s (t)� s0 = v0 v (t)� v0
a
+
1
2
a
�
v (t)� v0
a
�2
=
v (t)� v0
a
�
v0 +
1
2
a
v (t)� v0
a
�
=
v (t)� v0
a
�
v0 +
1
2
(v (t)� v0)
�
=
v (t)� v0
a
�
1
2
v0 +
1
2
v (t)
�
=
1
2
(v (t)� v0) (v0 + v (t))
a
e obtemos
2a (s� s0) = v2 � v20
onde se pode mudar a notação de s (t)! s e v (t)! v.
De forma análoga se obtém novas equações para as seguintes situações:
a) Quando não se pode ter informação sobre a aceleração, nesse caso se
obtém
s� s0 = 1
2
(v0 + v) t: (2.34)
b) Quando não se tem informação sobre a velocidade inicial, se obtém:
s� s0 = vt� 1
2
at2: (2.35)
Exercício: A partir de
v (t) = v0 + at; (2.36)
s (t) = s0 + v0t+
1
2
at2 (2.37)
obtenha:
s� s0 = 1
2
(v0 + v) t: (2.38)
e
s� s0 = vt� 1
2
at2: (2.39)
Há outros tipos de movimento que requerem outras forma de funções:
5) Movimento dentro da água
A força de arrasto da água que atua sobre um barco, reduz a velocidade do
barco. No caso em que o barco tem uma velocidade inicial v0 e massa m, a
velocidade do barco diminui com o tempo, mas essa diminuição é muito rápida.
O decrécimo rápido da velocidade pode ser dado de acordo com a seguinte
expressão:
v (t) = v0e
� bm t; (2.40)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
20 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
onde b é o coe…ciente de arrasto (atrito entre a água e a superfície do barco)
e e = número eneperiano. Temos aqui o comportamento da velocidade sendo
descrita por uma função exponencial decrescente
f (x) = f0e
�Kx. (2.41)
O grá…co da equação da velocidade:
v (t) = v0e
� bm t; (2.42)
tem a forma
107.552.50
5
3.75
2.5
1.25
t (s)
v(t) (m /s)
t (s)
v(t) (m /s)
v0 = 5 m=s
Esse grá…co tem tres pontos especiais:
a) Quando t = 0, temos
e0 = 1
e a velocidade é:
v (t) = v0e
0 = v0; (2.43)
b) Quando t = mb , temos
v (t) = v0e
� bm mb = v0e�1 =
v0
e
; (2.44)
como o valor de e = 2; 7183, vemos que quando o tempo atinge o valor t = m=b,
a velocidade é um pouco menor que a metade da velocidade inicial.
c) Quando t!1, temos
e�1 ! 0 (2.45)
2.2. OS PAPÉIS DAS FUNÇÕES NA FÍSICA 21
e assim
t!1; v (1)! 0 (2.46)
ou seja, a velocidade tende à zero quando o tempo tende à in…nito.
6) Movimento Harmônico
No caso do movimento de um corpo preso à uma mola, observamos que o
corpo vai e volta, e o movimento oscilante …ca con…nado à uma região da reta.
Uma função que tem esse comportamento oscilante são as funções sin e cos.
Uma expressão para um movimento oscilante é
s (t) = sm cos (!t+ �)
A amplitude máxima do movimento sm é a posição máxima até onde o corpo
vai, ! é a frequência de oscilação e � é a fase inicial.
A expressão da velocidade é
v (t) = �sm! sin (!t+ �) ; (2.47)
e vemos que o comportamento da velocidade também oscila.
O mesmo ocorre para a aceleração
a (t) = �!2sm cos (!t+ �) :
As funções também são usadas para descrever o comportamento de forças.
1) No caso de um sistema que sofre a ação de uma força aplicado por uma
barra ligado à um motor, pode-se ter a seguinte expressão para a força
F (t) = F0 cos (!t+ �)
e temos uma força cuja intensidade oscila entre os valores �F0 e +F0.
2) A força devido à uma mola sobre um corpo é representada por uma função
linear da posição:
F = �kx (2.48)
Essa força é denominada de Força Harmônica e é ela que causa o Movimento
Harmônico.
3) A função de primeiro grau, pode também ser usada para um outro tipo
de força, uma força dependente da velocidade v:
F = �bv
Essa é a forma de uma força de arrasto/atrito com um meio. Essas expressões
para a força não sãodeduzidas, elas são construídas a partir da observação do
comportamento que se espera que a força tenha.
Construção de F = �kx. (Método Empírico)
Observando o comportamento da força que uma mola aplica sobre um corpo.
Vemos que quanto mais a mola estica mais forte a mola puxa em sentido con-
trário. Aqui podemos representar o comprimento do esticamento da mola por x
Usuário
Realce
22 CHAPTER 2. O PAPEL DOS ELEMENTOS DA MATEMÁTICA
e a descrição acima permite que a intensidade da foça da mola seja diretamente
proporcional à x, em termo matemáticos traduzimos para:
F / x (2.49)
onde o símbolo / signi…ca que F é proporcional à x. A descrição também
informa que a mola puxa em sentido contrário ao aumento de x. Essa informação
é representada colocando-se o sinal negativo:
F / �x (2.50)
Agora analisamos as unidades. x tem unidade de comprimento (metros, cen-
tímetros, etc) e a intensidade de força tem unidades de Newton. Assim é preciso
converter unidades de comprimento em unidades de força. Para isso podemos
supor que há uma constante de proporcionalidade k que deve ter unidades de
força dividido por unidades de comprimento, por exemplo: N=m e acrescenta-se:
F / �kx (2.51)
Essa constante pode ser considerada como dependente das características da
mola. Duas molas difererentes teriam constantes diferentes k1 e k2.
Podemos voltar para o sistema e procurar se a força que a mola faz pode
depender de alguma outra grandeza. A resposta é negativa e assim se escreve
F = �kx (2.52)
Esse método de construção de expressões matemáticas para elementos da
Física é chamado de Método Empírico.
Para entender como estas forças são a causa dos movimentos é necessário que
se domine métodos de integração. A relação das forças de arrasto e harmônica
com as suas respectivas equações horárias (exemplos 5 e 6 acima) pode ser obtida
por meio de métodos elementares de integração da segunda lei de Newton. Essa
forma de relacionar é na realidade uma dedução exata das equações horárias dos
exemplos anteriores. Todas as equações horárias podem se deduzidas a partir
da segunda lei desde que se conheça a expressão matemática da força. Essa
dedução será vista no curso de Física I.
Esses são apenas alguns primeiros exemplos do papel que as funções repre-
sentam na Física. Há muitos outros papéis que as funções matemáticas repre-
sentam.
Exercício
Aplique o Método Empírico para se construir a expressão da força de arrasto
com um ‡uído dado por:
F = �bv
onde v é a velocidade de um corpo (barco) e b é uma constante de propor-
cionalidade cujo valor depende das características do meio. Para se perceber a
dependência com a intensidade da velocidade, movimente uma colher dentro de
um recipiente com água em duas situações diferentes: numa movimente a colher
rápidamente e na outra movimente-a lentamente. Em qual das duas situações
é preciso aplicar mais força?
Chapter 3
Funções
Nesse capítulo vamos rever algumas funções elementares e suas propriedades.
3.1 Funções de xn
Estudo de casos simples de funções com xn
f (x) = axn; n = 0; 1; 2; 3:::
nesses casos onde f (x) = 0 é trivial: x = 0.
1) Caso n = 0, x0 = 1 e a função é apenas uma constante que nesse caso é
a:
f (x) = a (3.1)
2) Caso n = 1:
f (x) = ax
Ela é denominada de potência de primeiro grau e por seu grá…co ser uma
reta ela também é chamada de função linear. A constante a é o coe…ciente da
reta e determina a inclinação da reta. Quanto maior o valor de a mais inclinado
é a reta:
23
24 CHAPTER 3. FUNÇÕES
52.50-2.5-5
10
5
0
-5
-10
x
y
x
y
preta - f(x) = 1x, vermelha - f(x) =2x
O sinal determina se a reta é crescente ou decrescente:
52.50-2.5-5
5
2.5
0
-2.5
-5
x
y
x
y
vermelho f(x) = +1x, verde f(x) = - 1x.
Adicionando uma constante
f (x) = ax+ b
e nesse caso b é a posição onde a reta corta o eixo y.
3.1. FUNÇÕES DE XN 25
2x+ 2
52.50-2.5-5
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
x
y
x
y
f (x) = 2x+ 2
Aplicação na Física:
A importância do grá…co é que ele me fornece o comportamento geral da
função.
107.552.50
20
15
10
5
0
t
v(t)
t
v(t)
Por essa …gura, podemos mais facilmente ver que a medida que t cresce o
26 CHAPTER 3. FUNÇÕES
valor de v (t) cresce proporcionalmente. Esse crescimento é chamado de cresci-
mento linear. Podemos ver que v não vai parar de crescer.
O papel da constante 2, a aceleração:
Para perceber o efeito da aceleração, vamos ver os grá…cos para valores
diferentes da aceleração
107.552.50
40
30
20
10
0
t
v(t)
t
v(t)
Aqui temos o grá…co de duas funções:
Azul v (t) = 2t
Vermelho v (t) = 4t
Observe que quanto maior a aceleração, mais inclinado é o grá…co, i.e., mais
rápido a velocidade cresce.
Nesse exemplo simples, o grá…co nos ajuda a perceber melhor que a aceler-
ação altera a inclinação do grá…co.
Quanto maior a mais inclinado é o grá…co de v (t) ; mais rápido a velocidade
aumenta.
Mas isso é o que esperamos que aconteça quando se aumente a aceleração.
Assim, vemos que o grá…co está consistente com a física.
3) Caso n = 2
A função de segundo grau
f (x) = ax2
O grár…co é uma parábola. A constante a determina a abertura da concavi-
dade, quanto maior a mais fechado é a parábola
3.1. FUNÇÕES DE XN 27
52.50-2.5-5
75
62.5
50
37.5
25
12.5
0
x
y
x
y
preta f (x) = 2x, vermelha f (x) = 3x
A adição de uma constante b
f (x) = ax2 + b
Nesse caso a constante b determina o ponto mínimo da função
Grá…co
2.51.250-1.25-2.5
12.5
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
x
y
x
y
preta f (x) = 2x2 + 1, vermelha f (x) = 2x2 � 1
28 CHAPTER 3. FUNÇÕES
O sinal de a inverte a parábola
Grá…co de f (x)� 2x2.
52.50-2.5-5
0
-12.5
-25
-37.5
-50
x
y
x
y
Aumento de potências pares, faz com que a parábola …que mais fechada
20100-10-20
1250
1000
750
500
250
0
x
y
x
y
preta f (x) = 2x2, vermelha f (x) = 2x4
Potências ímpares
3.1. FUNÇÕES DE XN 29
52.50-2.5-5
50
25
0
-25
-50
x
y
x
y
preta f (x) = x, vermelha f (x) = x3, verde f (x) = x5
Observe que o aumento em potências ímpares torce a reta f (x) = x para
cima no lado direito do eixo y^ e no lado esquerdo esse aumento de potências
torce para baixo a reta f (x) = x.
Aplicação na Física
O caso s (t) = at2 (M.R.U.V.)
52.50-2.5-5
60
40
20
0
x
y
x
y
preta s (t) = 2t2, vermelha s (t) = 3t2, azul s (t) = 2t
30 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Comparação com o caso s (t) = vt:(M.R.U.)
O caso s (t) = vt - linha azul, vemos que o grá…co é linear. Comparando
com o caso s (t) = at2, vemos que o aumento da potência, t ! t2, a inclinação
do grá…co aumenta, vimos que o aumento da inclinação implica no aumento
da rapidez do crescimento, ou seja s (t) = at2 cresce mais rápidamente que
s (t) = vt. (Compare s (t) = vt com s (t) = 2t2)
O aumento de a.
Aqui também o aumento da aceleração a aumenta a inclinação de s (t) =
at2, é o mesmo efeito que a velocidade v tem em s (t) = vt.
52.50-2.5-5
10
5
0
-5
-10
t
s(t)
t
s(t)
preta s (t) = 2t2, azul s (t) = 2t
A análise comparativa dos grá…cos nos mostra um outro aspecto interessante.
Veja que o movimento de s (t) = 2t2 e s (t) = 2t possuem duas posições em que
eles se encontram. O grá…co já nos mostra que um desses pontos pode ser t = 0s
e s (t) = 0m
A Matemática nos permite encontrar com precisão quais são esses pontos.
2t2 = 2t;
vemos que t = 0 é realmente um deles.
t = 1s; (3.2)
e encontramos que o segundo:
s (t) = 2 m; t = 1s: (3.3)
3.2. COMBINAÇÃO DE FUNÇÕES DE POTÊNCIAS 31
3.2 Combinação de funções de potências
3.2.1 Combinação de x2 e xA função
f (x) = ax2 + bx+ c (3.4)
combina x2 com x. Ela também é chamada de função de segundo grau, uma
vez que a maior potência é a de segundo grau.
Nesse caso encontrar os pontos (raízes) em que f (x) = 0 não é trivial.
Depende dos valôres das constantes, que podem ter in…nitos valôres. Por ser
de segundo grau o grá…co pode cruzar o eixo x em pelo menos dois pontos ao
longo do eixo.
Casos
1) O caso c = 0
0 = ax2 + bx
Nesse caso pode-se fazer o seguinte:
Colocamos em eviência a variável x:
0 = (ax+ b)x
e pode-se ver que há duas situações onde obtemos um resultado nulo:
x1 = 0; ax2 + b = 0
o segundo caso é uma equação linear que podemos resolver para x da seguinte
maneira:
ax2 = �b x2 = �b
a
e assim temos as duas raízes
x1 = 0; x2 =
�b
a
:
Como a e b pode ter in…nitos valôres x2 também pode ter in…nitos valôres e
resolvemos o problema de encontrar as raízes não importa quais sejam os valores
reais de a e b.
Aplicação na Física
Essa informação sobre as raízes é muito útil para a Física, por exemplo, no
estudo dos movimentos onde a contagem do tempo se inicia em t = 0 e avança,
se encontrarmos que a equação horária da posição x (t) tem a forma
x (t) = at2 + bt; a > 0; b > 0
já sabemos que a raiz t2 = �b=a resulta num instante de tempo negativo. Assim
neste caso só há um instante em que a função pode ser nula, é t = 0.
32 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Já nos casos em que os sinais de a e b são diferentes (a > 0 e b < 0 ou a < 0
e b > 0) a segunda raiz t2 = �b=a se torna t2 = jbj = jaj e passa a ser importante
para Física. Assim, temos duas expressões de x (t) para que a equação x (t) = 0
tenha duas raízes:
x (t) = at2 � bt; x (t) = �at2 + bt; a > 0; b > 0
Observe deste exemplo que os sinais das constantes de…nem o número de
raízes que x (t) = 0 pode ter.
2) Caso c 6= 0
f (x) = ax2 + bx+ c (3.5)
Nesse caso temos uma forma geral de se determinar as raízes xi onde f (x) =
0.
Ele é
x+ =
�b+p�
2a
; x� =
�b�p�
2a
� = b2 � 4ac
Observe que se � = 0, encontramos x+ = x� , só tem uma raiz:
x0 =
�b
2a
E no caso em que � < 0, reescreve-se
p
� =
p
� j�j = p�1
p
j�j = i
p
j�j
e assim, obtemos resultados que são variáveis complexas:
x+ =
�b+ ipj�j
2a
; x� =
�b� ipj�j
2a
Aplicação na Física
Nesse nível de estudo da Física, ainda não veremos a utilização de variáveis
complexas pela Física.
Aqui precisamos não só estudar os sinais das constantes a, b e c mas o
tamanho relativo entre essas constantes.
Por exemplo: A contagem do tempo se inicia em t = 0 e uma equação da
posição dada por
x (t) = at2 + bt+ c
temos as raízes no tempo:
t+ =
�b+p�
2a
; t� =
�b�p�
2a
� = b2 � 4ac
3.2. COMBINAÇÃO DE FUNÇÕES DE POTÊNCIAS 33
Caso � = 0
Isso ocorre quando 4ac = b2 o que impõe que ac > 0 e implica que só pode
ocorrer a > 0 e c > 0 ou a < 0 e c < 0.
Nesse caso temos uma raíz:
t0 =
�b
2a
Se a > 0; c > 0 e b > 0; então t0 < 0 é um resultado inconsistente para a
física deste caso.
Se a > 0; c > 0 e b < 0 ou a < 0; c < 0 e b > 0. Encontramos t0 > 0 e é
consistente com a física.
Novamente, sem conhecer os valôres das constantes já pudémos delimitar
quais são os casos consistentes para a física deste problema, i.e., casos nos
quais o corpo passa por x (t) = 0 mais de uma vez. Com base nessa análise
podemos reescrever o problema físico da seguinte forma:
Para 4ac = b2 e a; b; c > 0, podemos eliminar a constante c = b2=4a e as
funções horárias que tem uma raíz e é consistentes com t � 0 são:
x (t) = at2 � bt+ b
2
4a
; (3.6)
x (t) = �at2 + bt� b
2
4a
: (3.7)
O signi…cado físico das constantes.
Do ensino médio sabemos que essa é a expressão do M.R.U.V. Assim sabe-
mos que c = x0 posição inicial, b = v0 velocidade inicial e a está associado à
aceleração.
x (t) = at2 � v0t+ x0; (3.8)
x (t) = �at2 + v0t� x0: (3.9)
Mas há uma outra forma de se determinar o signi…cado físico das constantes.
Vamos aos casos onde não temos um conhecimento prévio das equações horárias.
Vimos da Matemática que há outras potências de x:
f (x) = ax3; f (x) = ax4; f (x) = ax5; etc:
como também podemos fazer outras combinações de potências, por exemplo:
f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d (3.10)
f (x) = ax3 + cx+ d
f (x) = ax3 + cx;
etc
Isso nos fornece uma base matemática para, em teoria, inventar outras
equações horárias, por meio das relações
34 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Matemática ! Física
variável: x ! tempo: t
função: f (x) ! posição: x (t)
e obtemos, por exemplo:
x (t) = at3 + bt2 + ct+ d: (3.11)
Mas será que existe algum movimento na Natureza que obedece essa equação?
Uma forma de se obter uma resposta é tentar obter o signi…cado físico das
constantes.
O signi…cado físico da constante d.
Esse signi…cado podemos fácilmente determinar a partir do signi…cado
físico de x (t). Podemos fazer t = 0 e obtemos:
x (t = 0) = d: (3.12)
A física dessa equação nos conta que d é a posição inicial: d = xi.
O signi…cado físico das constantes a, b e c.
Para determinar esses signi…cados precisamos do conhecimento de derivadas
de funções que veremos mais adiante. Pode-se adiantar que:
1) c! v0 é a velocidade inicial,
2) b! a0 é a aceleração inicial,
3) a! é a taxa de variação da aceleração.
(Após o estudo de derivadas, vamos retornar a esse exemplo).
Assim, parece que é possível que se encontre um movimento descrito pela
equação (3.11). Para se ter mais certeza, devemos procurar por uma expressão
matemática para a força ~F e substituí-la na segunda Lei de Newton e aplicar o
método de resolução de equações diferenciais para veri…car se a solução encon-
trada é a mesma que a mostrada na equação (3.11).
Esse exemplo nos mostra que podemos usar a nossa criatividade
para tentar descobrir a existência de outros tipos de movimento. Con-
tudo vimos que a criatividade é baseada no conhecimento matemático
das expressões da Física.
Como ainda não temos muito conhecimento matemático de Cálculo Avançado,
vamos nos restringir à funções mais simples e usar a nossa criatividade para en-
contrar outros tipos de movimento.
3.3 Funções trigonométricas
Bibliogra…a:
1) Matemática 20¯ Grau , G. Iezzi, O. Dolce, J. C. Teixeira, N.J. Machado,
M. C. Goulart, L. R. da S. Castro, A. dos S. Machado
2) Fundamentos de Matemática Elementar 9, Geometria Plana, O. Dolce, J.
N. Pompeo.
3.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 35
3.3.1 Seno, Cosseno e tangente
O triângulo retângulo:
De…nição do Seno:
Motivação: Círculo de raio R :
Observe que temos dois triângulos retângulos. As hipotenusas nos respec-
tivos triângulos são iguais e tem comprimento R, o raio do círculo.
Um dos triângulos tem o ângulo no centro do circulo dado por �1 e outro
com um ângulo maior: �2. Vemos que a medida que o ângulo cresce o cateto
oposto também cresce: b > a.
ângulo cateto adj
�1 a
�2 b
�1 > �2 ! b > a
Será que podemos relacionar o tamanho do cateto oposto com o ângulo �?
36 CHAPTER 3. FUNÇÕES
A resposta é a de…nição do sin �:
sin � =
cateto oposto
R
Podemos escolher o tamanho do raio R. A escolha é:
R = 1
e o círculo recebe o nome de círculo de raio unitário, ou simplesmente de círculo
unitário.
Assim
sin � = cateto oposto no circulo unit�ario: (3.13)
De…nição do Cosseno.
Motivação: observe que nesse caso quanto � aumenta o cateto adjacente
diminui.
ângulo cateto adj
�1 c1
�2 c2
�1 > �2 ! c2 < c1
E a relação entre o cateto adjacente e o ângulo é a de…nição de cosseno:
cos � =
cateto adj
R
e no caso do círculo unitário, obtemos
cos � = cateto adj no circulo unit�ario:
Observe então que sin � e cos � relacionam-se aos comprimentos dos catetos de
um triângulo retângulo com uma hipotenusa de tamanho 1.
De…nição de tangente.
3.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 37
Observe que a razão
cateto oposto
cateto adjacentetambém é proporcional ao ângulo �. E podemos de…nir
tan � =
cateto oposto
cateto adjacente
=
sin �
cos �
: (3.14)
A partir dessas de…nições, podemos também de…nir as respectivas funções
inversas:
sec � =
1
cos �
; csc � =
1
sin �
; cot � =
cos �
sin �
: (3.15)
O Círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico é o mesmo círculo unitário. Coloca-se a origem dos
eixos cartesianos no centro do cículo.
No eixo y estão representados todos os valôres possíveis da função sin �.
Vemos que esses valôres vão de �1 a 1.
No eixo x estão os valôres para a função cos � e também desta dentro do
intervalo [�1; 1]
Os valores para a tan �, estão sobre a reta vertical à direita que tangencia o
círculo. O intervalo de valôres é [�1;+1].
Deste círculo, podemos já determinar alguns valôres para as funções trigonométri-
cas
Para a função cosseno.
38 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Em unidade de graus.
cos 0o = 1; cos 900 = 0; cos 1800 = �1; cos 270o = 0; cos 3600 = 1
Em unidade de radianos
cos 0o = 1; cos
�
2
= 0; cos� = �1; cos 2� = 0
Para a função seno
Em unidade de graus.
sin 0o = 0; sin 900 = 1; cos 1800 = 0; sin 2700 = �1; sin 3600 = 0
Em unidade de radianos
sin 0o = 0; sin
�
2
= 1; cos� = 0; sin
3�
2
= �1; sin 2� = 0
Podemos ver que as funções cosseno e seno oscilam entre os valôres [�1; 1].
Exercício:
Obtenha os valôres da tan � para os ângulos: � = 0o, � = 900
3.3.2 Cálculos para alguns ângulos.
Com auxílio da …gura podemos calcular o seno, cosseno e a tangente de
� = 45o
Temos que:
sin 45o =
cateto oposto
hipotenusa
=
a
a
p
2
=
1p
2
=
p
2
2
:
Para o cosseno temos:
cos 45o =
cateto adj
hipotenusa
=
a
a
p
2
=
p
2
2
e a tangente é
tan 45o =
cateto oposto
cateto adj
=
a
a
= 1 (3.16)
De forma análoga se pode fazer para os ângulos � = 600 e � = 30o utilizando
o triângulo equilátero e sua altura.
3.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 39
3.3.3 Grá…cos das funções
Grá…co de cos �
52.50-2.5-5
1
0.5
0
-0.5
-1
theta
cos theta
theta
cos theta
Grá…co de sin �
52.50-2.5-5
1
0.5
0
-0.5
-1
theta
sin (theta)
theta
sin (theta)
40 CHAPTER 3. FUNÇÕES
3.3.4 Aplicação na Física
Funções oscilantes são usadas para descrever movimentos oscilantes. Por exem-
plo:
v (t) = sin � (t)
e se pode usar a equação do MCU para � (t)
� (t) = !t+ �
Essa expressão nos diz que o raio R do circulo gira com uma velocidade constatne
!. a posição angular inicial do raio R é � (0) = �.
Substituindo em v (t), temos
v (t) = sin (!t+ �)
A velocidade v (t) está sobre o eixo vertical do círculo.trigonométrico de raio
R = 1. Para fazer sentido físico temos que colocar as unidades
v (t) = 1
m
s
sin (!t+ �) : (3.17)
Isso é feito desse modo, pois o valor do sin (!t+ �) não tem unidades. Dessa
forma os valores de v (t) estão no intervalo
��1ms ;+1ms �. Aqui ! é a frequência
angular de oscilação da velocidade.
Estudo grá…co.
O estudo grá…co nos mostrará melhor o efeito de !. Vamos considerar ex-
emplos onde � = 0 rd (radianos)
6.2553.752.51.250
1
0.5
0
-0.5
-1
t
sin (wt)
t
sin (wt)
3.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 41
Linha Preta v (t) = sin (2t)
Linha vermelha v (t) = sin (4t)
Note que a linha vermelha possui 4 oscilações, enquanto que a linha preta
oscila apenas duas vezes. Esse comportamento está consistente com a atribuição
de que ! é a frequência de oscilação.
A constante 1ms
Podemos reescrever a função v (t) na seguinte forma:
v (t) = A sin (!t+ �)
A fornece a altura dos picos e a profundidade dos vales. Vamo ver os grá…cos
mantendo ! = 2 rds e � = 0 rd
6.2553.752.51.250
4
2
0
-2
-4
t
sin (wt)
t
sin (wt)
Linha Preta v (t) = 2 sin (2t)
Linha vermelha v (t) = 4 sin (2t)
Podemos ver no grá…co que o aumento de A = 2ms para A = 4
m
s , dobrou a
altura dos picos e a profundidade dos vales.
3.3.5 Relações
Teorema de Pitágoras e a relação entre sin �, cos �.
O Teorema de Pitágoras é:
(cat: oposto)
2
+ (cat: adj)
2
= (hipotenusa)
2
: (3.18)
42 CHAPTER 3. FUNÇÕES
No círculo trigonométrico, vimos que
hipotenusa = 1;
cat: adj = cos �;
cat: oposto = sin �;
substitui no Teorema de Pitágoras, temos
sin2 � + cos2 � = 1: (3.19)
Relação entre sec2 � e tan2 �.
Podemos dividir a eq.(3.19) por cos2 �
sin2 �
cos2 �
+ 1 =
1
cos2 �
:
e usando as de…nições de tan � e sec � obtemos:
tan2 � + 1 = sec2 �:
e se reescreve
sec2 � � tan2 � = 1 (3.20)
Exercício
Divida a expressão
sin2 � + cos2 � = 1: (3.21)
por sin2 � e obtenha uma relação entre cot2 � e csc2 �:
3.3.6 Adição
1) cos (�� �):
cos (�+ �) = cos� cos� � sin� sin�
cos (�� �) = cos� cos� + sin� sin�
2) sin (�� �)
sin (�+ �) = sin� cos� + sin� cos�
sin (�� �) = sin� cos� � sin� cos�
Obs: A obtenção dessas fórmulas estão em 1) Matemática 20¯Grau , G. Iezzi,
O. Dolce, J. C. Teixeira, N.J. Machado, M. C. Goulart, L. R. da S. Castro, A. dos S.
Machado
3) tan (�+ �)
A partir de sin (�+ �) e cos (�+ �),podemos obter tan (�+ �)
tan (�+ �) = sin(�+�)cos(�+�) =
sin� cos �+sin � cos�
cos� cos ��sin� sin �
3.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 43
Podemos fazer aparecer tan� e tan�, para isso divide o numerador e o
denominador por cos� cos�.
tan (�+ �) =
sin� cos �
cos� cos �+
sin � cos�
cos� cos �
cos� cos �
cos� cos �� sin� sin �cos� cos �
=
sin�
cos�+
sin �
cos �
1� sin� sin �cos� cos �
= tan�+tan �1�tan� tan �
tan (�+ �) =
tan�+ tan�
1� tan� tan�
Exercício:
Obtenha a expressão de tan (�� �) em função de tan� e tan�
Casos � = �
cos (�+ �) = cos� cos�� sin� sin� e obtemos:
cos (2�) = cos2 �� sin2 � (3.22)
sin (�+ �) = sin� cos�+ sin� cos� e obtemos:
sin (2�) = 2 sin� cos� (3.23)
tan (�+ �) = tan�+tan�1�tan� tan�
tan (2�) =
2 tan�
1� tan2 �
3.3.7 Aplicação na Física
A equação horária do movimento oscilante que vimos anteriormente, pode ser
construída.
Do estudo do movimento ao longo de uma trajetória circular que temos uma
equação horária para a posição angular
� (t) = !t+ �0: (3.24)
Da Trigonometria temos o circulo trigonométrico
44 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Observe que a projeção do raio do círculo (R = 1) sobre os eixos:.
projeção no eixo horizontal é x = cos �
projeção no eixo vertical é y = sin �
Podemos substituir pela expressão de � (t)
x (t) = cos � (t) = cos (!t+ �0) : (3.25)
y (t) = sin � (t) = sin (!t+ �0) (3.26)
Vamos analisar as unidades.
x (t) é uma posição numa reta. Podemos escolher a sua unidade em metros
[m].
As funções trigonométricas cosseno e seno resultam num número puro e não
tem unidades.
Assim para tornar as equações consistentes do ponto de vista dessa análise
falta uma constante e reescrevemos:
x (t) = A cos (!t+ �0) : (3.27)
y (t) = A sin (!t+ �0) (3.28)
onde A agora tem unidade de metros [m] :
3.4. LIMITES, DERIVADAS E A 2A¯ LEI 45
3.4 Limites, Derivadas e a 2a¯ Lei
O conceito de derivada é baseado no processo de obter o limite de taxas de
variações de funções �f (x) quando a variação �x da variável independente vai
se tornando cada vez menor, ou seja se tornar um in…nitésimo.
3.4.1 Limites
Para podermos obter uma intuição dos conceitos de limites e in…nitésimos.
Uma tartaruga viaja de uma cidade A até uma cidade distante B. Mas a
cada dia de viajem ela percorre metade do caminho que falta e pára.
Assim temos
Seja D a distância entre as duas cidades.
Dia 1: distância percorrida d1 = D=2. distância que falta �d1 = D=2
Dia 2: distância percorrida d2 = �d1=2 = D=4. distância que falta �d2 = D=4
Dia 3: distância percorrida d3 = �d2=2 = D=8. distância que falta �d3 = D=8
Dia 4: distância percorrida d4 = �d3=2 = D=16. distância que falta �d4 =
D=16:Dia 5: distância percorrida d5 = �d4=2 = D=32. distância que falta �d5 =
D=32:
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
46 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Observação 1.
A distância que falta vai diminuindo a cada dia:
�d =
D
2
;
D
22
;
D
23
;
D
24
;
D
25
;
D
26
; :::;
D
2N
; N !1
porém nunca é nulo. N é o número de dias que passaram. Essa distância que
falta, quando 2N é muito maior que D (2N � D) é um exemplo de grandeza
in…nitesimal ".
Observação 2:
Observe que a tartaruga nunca vai chegar na cidade B. Ou seja ela nunca
vai percorrer a distância D.
Somando as distâncias percorridas em cada dia
dtotal = d1 + d2 + d3 + :::
=
D
2
+
D
22
+
D
23
+
D
24
+
D
25
+
D
26
+ :::+
D
2N
+ :::
e temos que
dtotal . D
ou seja, a distância total dtotal é menor queD mas é quase igual aD. A diferença
entre essas distâncias se mantém por um in…nitésimo
D � dtotal = "; 0 < " < 1:
Na linguagem matemática dizemos que D é o limite de dtotal a medida que
o número de dias que passaram N cresce.
lim
N!1
dtotal = D
ou seja a soma dtotal nunca ultrapassará o valor D.
Exemplo:
Escolhe-se D = 40km
temos:
d1 =
40
2
= 20; d2 =
40
22
= 10; dtotal = d1 + d2 = 20 + 10 = 30
somando o próximo di no resultado anterior:
d3 =
40
23 = 5:0 dtotal = 30 + 5 = 35;
d4 =
40
24 = 2:5 dtotal = 35 + 2:5 = 37:5
d5 =
40
25 = 1:25 dtotal = 37:5 + 1:25 = 38:75
d6 =
40
26 = 0:625; dtotal = 38:75 + 0:625 = 39:375
d7 =
40
27 = 0:312 5; dtotal = 39:375 + 0:3125 = 39:688
d8 =
40
28 = 0:156 25; dtotal = 39:688 + 0:156 25 = 39:844
d9 =
40
29 = 0:07812 5; dtotal = 39:844 + 0:07812 5 = 39:922
3.4. LIMITES, DERIVADAS E A 2A¯ LEI 47
Pode-se observar que a soma dtotal se aproxima de D = 40, mas nunca chega
a ser igual pois cada dN seguinte é sempre menor do que o anterior dN�1. Assim
nesse caso o limite é
lim
N!1
dtotal = 40km: (3.29)
O in…nitésimo "
A distância que falta � = D � dtotal
n=3 dtotal = 35; � = 40� 35 = 5 km
n=4 dtotal = 37:5 � = 40� 37:5 = 2:5 km
n=5 dtotal = 38:75 � = 40� 38:75 = 1:25 km
n=6 dtotal = 39:375 � = 40� 39:375 = 0:625 km
n=7 dtotal = 39:688 � = 40� 39:688 = 0:312 km
n=8 dtotal = 39:844 � = 40� 39:844 = 0:156
n=9 dtotal = 39:922 � = 40� 39:922 = 0:078
Observe que � …ca cada vez menor tendendo a 0, mas nunca será zero.
Quando �! 0 dizemos que ele se torna um in…nitésimo "
3.4.2 A derivada como limite da taxa de variação
A relação entre df(t)dt e
�f(t)
�t é dada por
lim
�t!0
�f (t)
�t
=
df (t)
dt
essa expressão nos diz que se …zermos a diferença �t se aproximar de zero, �f(t)�t
tem um limite que ele não ultrapassa. Esse limite é simbolizado por df(t)dt .
Vamos ver como isso se dá.
A variação da função f (t) é
�f = ffim � fini (3.30)
onde fini é o valor da função f (t) num instante inicial ti :
fini = f (ti)
e ffim é o valor da função num instante …nal tf :
ffim = f (tf ) :
Por outro lado, a variação �t do t é dado por
�t = tf � ti; (3.31)
Essa expressão permite reescrever tf na seguinte forma:
tf = ti +�t
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
48 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Reunindo essas informações, podemos reescrever a variação �f (eq.3.30)
como:
�f = f (ti +�t)� f (ti) (3.32)
Assim a taxa de variação da função f (t) em relação à variação �t é dada
por:
�f
�t
=
f (ti +�t)� f (ti)
�t
: (3.33)
A relação com dfdt
Podemos agora reduzir a variação �t até ela …car quase nula, mas não zero,
isso é denotado por �t! 0, mas �t 6= 0,
Isso faz com que o valor de f (ti +�t) se aproxime do valor de f (ti), mas
não precisa ser igual, f (ti +�t) ! f (ti), mas f (ti +�t) 6= f (ti).
Nessas condições a taxa�f�t pode ter um valor …nito não nulo; esse valor é
denotado por dfdt . O procedimento todo é descrito por
lim
�t!0
�f
�t
=
df
dt
(3.34)
Essa expressão nos diz que quando a variação �t se aproxima de zero, a taxa
�f
�t tem um limite que é
df
dt .
Como dfdt é uma taxa limite, se pode dizer que df é uma variação elementar
(muito pequena) de �f , ou em "matematiquês":
lim
�t!0
�f = lim
�t!0
[f (ti +�t)� f (ti)] = df:
assim como dt é uma variação elementar de �t.
A expressão d~pdt .
Com base no que foi exposto, d~pdt é o limite da taxa de variação temporal da
quantidade de movimento ~p, i.e.:
lim
�t!0
�~p
�t
=
d~p
dt
3.4.3 Derivadas
Do Cálculo de Derivadas:
A derivada é uma operação que atua sobre uma função de forma à transformá-
la em outra função:.
f (t) =
d
dt
g (t) (3.35)
Essa expressão geral está dizendo que a função g (t) está sendo transformada
na função f (t). Observe que a derivada não combina duas funções para formar
uma terceira função como fazem as operações aritméticas.
Pode-se também denotar essa operação nas seguintes formas:
f (t) =
dg (t)
dt
; f =
dg
dt
: (3.36)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
DecorarnullO Limite da variação da função quando a variação do tempo tende à zero = limite da função final (Ti+ variação do tempo) - (Função inicial no tempo inicial) = Diferencial da função.
Usuário
Realce
Importantíssimo
Usuário
Realce
Usuário
Realce
3.4. LIMITES, DERIVADAS E A 2A¯ LEI 49
Em relação à essa forma de transformar funções, as funções envolvidas são
classi…cadas em:
1) Função Primitiva: É a função que sofre a transformação, ou seja, é a
função original. Aqui ela é a função g (t)
2) Função Derivada: É a função que resultou da transformação. Aqui ela é
a função f (t).
A notação ddt .
A variável t que aparece no denominador indica que a derivada atua nos
termos que possuem t. Dizemos então que ddt é uma derivada no t e que t é a
variável de derivação. Pode-se ter a derivada atuando em termos que contém
outras variáveis:
d
dx ! derivada que atua nos termos que contém x
d
dy ! derivada que atua nos termos que contém y
d
d� ! derivada que atua nos termos que contém �
...
O que acontece quando a derivada atua num termo que não contém a variável
de derivação?
R. A derivada resulta ser nula.
Exemplos:
d
dt
f (x) = 0;
d
dx
f (�) = 0 (3.37)
O que ocorre se a função não tem nenhuma variável de derivação, se ela é
uma constante?
R. A derivada também é nula:
Exemplo
f = A = const:
df
dt
= 0;
df
dx
= 0; etc
Assim a derivada em qualquer variável atuando sobre qualquer número é nulo
d
dt
1 = 0;
d
dt
3:58 = 0;
d
dx
1 = 0;
d
d�
� = 0; etc
A derivada não atua nas funções que estão à esquerda delas:
f (t)
d
dt
= f (t)
d
dt
: (3.38)
Isso signi…ca que
f (t)
d
dt
6= df (t)
dt
idem para
f (x)
d
dx
6= df (x)
dx
; f (t)
d
dy
6= df (t)
dy
; etc: (3.39)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
50 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Em
f (t)
d
dt
a atuação da derivada …ca suspenso, aguardando aparecer alguma função do
lado direito do operador ddt
3.4.4 Uso de limites para o cálculo de derivadas
Exemplo 1) Cálculo de ddx para f (x) = a, a =constante
Aplica a de…nição de limites
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
=
df (x)
dx
: (3.40)
Cálculo de f (x+�x): isso é simplesmente f (x+�x) = a: Temos
também que f (x) = a. Substitui na expressão acima:
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
= lim
�x!0
a� a
�x
= 0 (3.41)
ou seja
d
dx
a = 0: (3.42)
Exemplo 2) Cálculo de ddx para f (x) = ax. a =constante e x = variável
dependente.
Aplica a de…nição de limites
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
=
df (x)
dx
: (3.43)
Precisamos calcularf (x) e f (x+�x), temos:
f (x+�x) = a (x+�x) No lugar de x substitui x+�x
f (x) = ax
substiuti essas expressões na eq.(3.43)
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
= lim
�x!0
a (x+�x)� ax
�x
= lim
�x!0
ax+ a�x� ax
�x
= lim
�x!0
a�x
�x
= a (3.44)
Obtemos
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
= a (3.45)
Como sumiu o termo �x, podemos dizer que
d
dx
ax = a: (3.46)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
3.4. LIMITES, DERIVADAS E A 2A¯ LEI 51
Exemplor 3: f (x) = ax2
Aplica a de…nição de limites
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
=
df (x)
dx
: (3.47)
Cálculo de f (x+�x)
f (x+�x) = a (x+�x)
2
= a
�
x2 + 2x�x+�x2
�
substitui na expressão do limite
lim
�x!0
a
�
x2 + 2x�x+�x2
�� ax2
�x
= lim
�x!0
ax2 + 2ax�x+ a�x2 � ax2
�x
(3.48)
cancela os termos ax2
lim
�x!0
a
�
x2 + 2x�x+�x2
�� ax2
�x
= lim
�x!0
2ax�x+ a�x2
�x
(3.49)
Importante!: Agora vamos usar uma aproximação: a indicação �x ! 0,
signi…ca que �x� 1, nessas condições temos que �x2 < �x. Quanto menor é
�x2? R. Quanto quisermos, por exemplo: Podemos dizer que �x = 0:001 então
�x2 = 0:0012 = 1:0� 10�6. Assim �x2 é 1.000 vezes menor que �x.
Nessas condições posso desprezar o termo a�x2 e reeescrevemos:
lim
�x!0
a
�
x2 + 2x�x+�x2
�� ax2
�x
= lim
�x!0
2ax�x
�x
(3.50)
= lim
�x!0
2ax = 2ax (3.51)
e temos que
d
dx
ax2 = 2ax
Exercício 4
Calcule df(x)dx para f (x) = ax
3 usando
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
=
df (x)
dx
: (3.52)
Regra do Tombo
Realizando vários cálculos desse tipo para potênticas de xn onde n = 0; 1; 2; 3; :::;.
Pode-se extrair a seguinte regra de derivação:
d
dx
(axn) = n axn�1 (3.53)
No folclore essa regra é chamada de "regra do tombo", pois pode-se dizer que a
potência n cai na frente do a e se subtrai 1 no expoente que …ca xn�1.
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
52 CHAPTER 3. FUNÇÕES
3.4.5 Regra do Produto para derivadas
Para o produto de duas funções f (x) g (x) a derivada é:
d
dx
f (x) g (x) = g (x)
df (x)
dx
+ f (x)
dg (x)
dx
: (3.54)
Usando limites pode-se deduzir essa regra.
Dedução.
Na teoria de limites, temos a seguinte propriedade
lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) : (3.55)
A de…nição de derivada:
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
=
df (x)
dx
: (3.56)
Vamos denotar o produto de funções por: F (x) = f (x) g (x) para auxiliar.
Então a derivada de F (x) é
dF (x)
dx
= lim
�x!0
F (x+�x)� F (x)
�x
substitui F (x) = f (x) g (x)
dF (x)
dx
= lim
�x!0
f (x+�x) g (x+�x)� f (x) g (x)
�x
subtrai e soma f (x) g (x+�x)
dF (x)
dx
= lim
�x!0
f (x+�x) g (x+�x)� f (x) g (x+�x) + f (x) g (x+�x)� f (x) g (x)
�x
reagrupa
dF (x)
dx
= lim
�x!0
[f (x+�x)� f (x)] g (x+�x) + f (x) [g (x+�x)� g (x)]
�x
= lim
�x!0
[f (x+�x)� f (x)] g (x+�x)
�x
+ lim
�x!0
f (x) [g (x+�x)� g (x)]
�x
aplica a propriedade (3.55)
dF (x)
dx
= lim
�x!0
[f (x+�x)� f (x)]
�x
lim
�x!0
g (x+�x)
+ lim
�x!0
f (x) lim
�x!0
g (x+�x)� g (x)
�x
da de…nição de derivadas: lim�x!0
[f(x+�x)�f(x)]
�x =
df(x)
dx e lim�x!0
g(x+�x)�g(x)
�x =
dg(x)
dx
dF (x)
dx
=
df (x)
dx
lim
�x!0
g (x+�x)
+ lim
�x!0
f (x)
dg (x)
dx
Usuário
Realce
3.4. LIMITES, DERIVADAS E A 2A¯ LEI 53
Temos o limite
lim
�x!0
g (x+�x) = g (x)
aqui foi desprezado o termo �x no argumento da função pois �x! 0
O limite
lim
�x!0
f (x) = f (x)
Assim
d
dx
f (x) g (x) = g (x)
df (x)
dx
+ f (x)
dg (x)
dx
: (3.57)
c.q.d. (como queríamos demonstrar)
3.4.6 A segunda Lei
Obs: As tres leis de Newton ensinadas no ensino médio e presente nos capítulos
iniciais de alguns livros é um caso especial dessa versão mais geral. Nessas
versões a segunda Lei é dada por ~F = m~a. Essa expressão é um caso especial
da segunda Lei onde se considera que a massa m e a força ~F do sistema sejam
constantes.
Derivação de ~F = m~a
Aqui veremos como se pode obter
~F = m~a
a partir de
~F =
d~p
dt
: (3.58)
Precisamos das seguintes propriedades do cálculo de derivadas.
1) Derivada do produto de funções:
d
dt
(f (t) g (t) ) =
df (t)
dt
g (t) + f (t)
dg (t)
dt
: (3.59)
2) Derivada de uma constante.
Quando f (t) = C = const
dC
dt
= 0 (3.60)
Aplica para ~p = m~v, temos
d~p
dt
=
d
dt
(m~v)
d
dt
(m~v) =
dm
dt
~v +m
d~v
dt
(3.61)
como m = constante, então
dm
dt
= 0 (3.62)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
54 CHAPTER 3. FUNÇÕES
e temos que
d
dt
(m~v) = m
d~v
dt
(3.63)
A aceleração é de…nida por:
d~v
dt
= ~a; (3.64)
substitui na equação acima, encontramos:
d~p
dt
= m~a (3.65)
e substituindo na segunda Lei, chegamos à versão especial
~F = m~a: (3.66)
3.5 Funções compostas e suas derivadas
A Física nos revelou que a Natureza parte de blocos simples para estruturar
corpos mais complexos. Isso também ocorre para os fenômenos como os movi-
mentos; a partir de movimentos simples é possível compor movimentos mais
complexos.
A Matemática fornece uma variedade de combinações de funções:
1) Soma de funções
f (t) = at2 + bt+ c;
f (t) = at+ b cos ct
2) Multiplicações de funções
f (t) = at sin at
Etc...
Há também a função composta
H (x) = f (g (x)) : (3.67)
Nesse caso a variável independente é também chamada de implícita porque
se pode escrever:
H (x) = f (g) ; (3.68)
pois a função g também tem o papel de uma variável que agora é explícita em
relação à função f . Apesar da classi…cação, nem sempre a variável explícita é
fácilmente reconhecida.
Essa forma de compor funções também é útil para a Física.
Por exemplo:
Movimentos oscilantes:
x (t) = cos (!t+ �) : (3.69)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
3.5. FUNÇÕES COMPOSTAS E SUAS DERIVADAS 55
Aqui a função que faz o papel da g (x) é a � (t)
x! t; g (x)! � (t) = !t+ �
observe que a variável explícita � não aparece, ela só aparece se escrevermos
x (t) = cos �
e dizer que � é uma função � = � (t). A função que faz o papel da f (g) é o cos
assim:
H (x) ! x (t) ; f ! cos;
x (t) = cos (!t+ �)
e temos que x (t) é o resultado da composição de duas funções.
Um outro exemplo de composição de duas funções é:
H (x) =
1
ax+ b
Aqui temos
g (x) = ax+ b
f (g) =
1
g
;
H (x) = f (g (x)) =
1
ax+ b
(3.70)
3.5.1 Derivada de função composta
A regra de derivação da função composta ( regra da cadeia) é:
d
dx
H (x) =
d
dg
f (g)
d
dx
g (x) : (3.71)
Temos a primeira derivada em relação à variável explícita g e a segunda derivada
atua na variável implícita.
A derivação vai até a variável indicada: no caso é x.
Se houver mais variáveis, por exemplo, se x for uma função de z :
H (z) = f (g (x (z))) (3.72)
a derivação pode ir até z:
d
dz
H (z) =
d
dg
f (g)
d
dx
g (x)
d
dz
x (z) ; (3.73)
e temos um encadeamento de derivações:
d
dz
H =
d
dg
�
d
dx
�
d
dz
��
: (3.74)
Usuário
Realce
Usuário
Realce
56 CHAPTER 3. FUNÇÕES
Aplicações da regra da cadeia.
Caso 1)
H (x) = f (g (x)) =
1
ax+ b
Aqui reconhecemos que :
g (x) = ax+ b; f (g) =
1
g
Assim,
d
dx
H (x) =
d
dg
f (g)
d
dx
g (x)
=
d
dg
1
g
d
dx
(ax+ b)
Vimos que
d
dx
(ax+ b) = a
e que
d
dg
1
g
=
d
dg
g�1 = �1g�2
Assim
d
dx
H (x) = � (ax+ b)�2 a = � a
(ax+ b)
2
Caso 2)
H (x) =
1
(ax+ b)
2
Aqui temos que :
g (x) = ax+ b; f (g) =
1
g2
e para as respectivas derivadas
d
dx
(ax+ b) = a;
d
dg
1
g2