Apostila 5 - Leis de Newton - Professor Claudio - FURG

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Física I c - Leis de Newton - Dinâmica I e II
Prof. Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Física Geral vii
1 Leis de Newton 1
1.1 Unidades de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Força e Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 A terceira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Tipos de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Força Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Força Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.4 Tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Força Resultante - Exemplos - Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 O caso da mesa com um bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Bloco preso por dois …os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Tipos de Força II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Força de arrasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
iii
iv CONTENTS
Preface
v
vi PREFACE
Física Geral
Curso de Fisica Geral. Leis de Newton.Cap 5 e 6,
vii
viii FÍSICA GERAL
Chapter 1
Leis de Newton
O estudo da Mecânica de Movimento no formalismo da Mecânica Newtoniana; também conhecido como Mecânica
Vetorial, é baseado nas três leis de Newton. A Mecânica de Movimento também pode ser descrito por outros
formalismo como a Mecânica Lagrangiana e a Mecânica Hamiltoniana. Esses outros formalismo são assunto de
cursos mais avançados.
Aqui veremos a relação entre o movimento e as forças.
Com base no conceito de força, a Mecânica de Movimento é dividida em duas partes: Estática e Dinâmica.
A Estática é o estudo da mecânica de sistemas no qual a resultante das forças que atuam sobre o sistema é nula.
Ex: Pontes, prédios, etc
A Dinâmica é o estudo da mecânica de sistemas no qual a resultante das forças é não-nula.
Ex: Carros, aviões, etc.
O papel da força
Vimos que o movimento é descrito pelas equações horárias da velocidade e da posição. Por exemplo:
O MRU
x (t) = x0 � v0t: (1.1)
O MRUV
x (t) = x0 � v0t� a
2
t2: (1.2)
Será que um corpo que esteja num MRU pode mudar o seu movimento para um MRUV?
Se isso é possível, o que causa essa mudança?
Vamos olhar para as seguinte situações:
1. Seja dada um referencial …xo no solo. Uma bola de massa m está parada nesse referencial na posição x = 10m.
Nesse caso o seu movimento é um MRU mas com v0 = 0, i.e.: a sua equação horária é
x (t) = x0 � v0t! x (t) = 10m:
1
2 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
O que se faz para a bola começar a entrar em movimento?
Bate-se na bola e ela entra em movimento. Sua velocidade muda de
v0 = 0! v0 = va
e a equação horária passa a ser
x (t) = 10m+ vat
O que ocorreu durante o processo de bater na bola?
Com o martelo uma força foi aplicada durante um intervalo de temp �t curto. Durante esse tempo a bola
acelerou de v = 0 até atingir a velocidade v = va
2. Temos agora uma bola em movimento com velocidade v0 = v. A sua equação horária é
x (t) = 10m+ vt
Queremos parar essa bola. Nesse caso aplica-se uma força contra o movimento da bola até ela parar.
3
Quando a bola para, temos v = 0 . Sua posição …nal é x = xf e a equação passa a ser:
x (t) = xf : (1.3)
3. Um avião voando na direção horizontal com velocidade constante v deixa cair um foguete. Por alguns instantes
o foguete …ca paralelo ao avião com velocidade inicial v0 = v. Nesses instantes a equação que descreve o
movimento do foguete na direção horizontal é:
x (t) = x0 + vt (1.4)
Depois de alguns instantes o foguete é disparado. A queima do combustível do foguete acelera constantemente
o foguete e a equação horária do foguete passa a ser:
x (t) = x0 + vt+
a
2
t2
Análise das situações.
O que fez os corpos variar as suas velocidades originais?
1) aplicação de uma força pelo martelo
2) aplicação de uma força pela trave para parar a bola
3) aplicação de uma força constante pela exaustão do combustível do foguete.
Ou seja, pode-se dizer que:
uma força é a causa da mudança de velocidade dos corpos.
Além desses exemplos, pode-se observar outros.
Freando um carro com velocidade constante. A força aplicada nos freios faz o carro diminuir de velocidade.
Lança um bloco num solo rugoso. A força de atrito faz o bloco parar.
Um corpo andando na direção x^. Nesse caso o vetor velocidade está na direção x^. Para mudar a direção de x^
para y^ aplica-se uma força na direção y^ sobre o corpo. Agora a velocidade do corpo está na direção y^
4 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Nesse caso podemos ter que o módulo das velocidades sejam iguais:
j~vxj = j~vyj ; (1.5)
mas as direções são diferentes e por isso as velocidades são diferentes:
~vx 6= ~vy: (1.6)
Novamente é uma força que causa a mudança da velocidade do corpo.
Com base nessas situações podemos ver a ação da primeira lei de Newton.
O que ocorreria nessas situações se não existisse a força.
1) A bola parada permanece parada.
2) A bola em movimento nunca pararia.
3) O foguete permanece ao lado do avião.
4) No caso da bola que muda de direção. Não ocorre a mudança da direção.
A primeira Lei de Newton:
Na ausência de forças externas atuando sobre um corpo,
o corpo permanece em movimento retilíneo uniforme.
Observe que na ausência das forças a velocidade, que é um vetor, não pode variar e o corpo não pode mudar de
direção nem ganhar ou perder velocidade, ou seja, o corpo não possui aceleração.
Como seria um mundo onde não existisse forças?
A Segunda Lei de Newton
Antes de enunciar a segunda lei de Newton, vamos construir a expressão da grandeza que é usada para quanti…car
um movimento. Denomina-se essa grandeza de quantidade de movimento.
1) A natureza vetorial da quantidade de movimento
O movimento é caracterizado por ter intensidade, direção e sentido. Assim precisamos de uma grandeza
matemática que também tenha intensidade, direção e sentido;! Grandezas Vetoriais.
5
Assim denota-se por ~p a grandeza quantidade de movimento.
Essa grandeza depende de quais outras grandezas?
2) A relação com a velocidade.
Vimos que dizer que um corpo está em movimento signi…ca que o corpo possui uma velocidade medida num dado
referencial. Quanto maior essa velocidade ~v, maior deve ser ~p. Quanto menor a velocidade ~v menos é a quantidade
de movimento. Se ~v muda de direção o movimento também muda de direção.
Dessas observações podemos dizer que a quantidade de movimento ~p é diretamente proporcional à ~v e se escreve
~p / ~v (1.7)
3) Relação com a massa
Um corpo com grande quantidade de movimento deve ser mais difícil de se alterar o seu movimento do que um
corpo com pouca quantidade de movimento.
Da experiência.
Um corpo grande e denso é mais difícil de ser parado do que um corpo pequeno e leve. Ou seja, para um corpo
A com massa mA é mais difícil alterar o seu movimento do que um corpo B de massa mBse mA > mB .
Pode-se dizer que A possui uma quantidade de movimento maior do que o corpo B e infere-se que quanto maior
a massa do corpo maior deve ser a quantidade de movimento.
Assim chega-se à conclusão que a quantidade de movimento ~p também é diretamente proporcional à massa m
do corpo, i.e.:
~p / m: (1.8)
De…nição da quantidade de movimento.
Reunindo as conclusões (1.7) e (1.8) pode-se de…nir ~p como sendo
~p � m~v: (1.9)
Veja que de…nido matemáticamente dessa forma as relações de ~p com m e ~p com ~v descritas anteriormente são
satisfeitas. Diz-se então que essa expressão é o equacionamento da quantidade de movimento, ou seja, a de…nição
da quantidade de movimento. Observe que essa expressão não é deduzido a partir de nenhuma outra expressão, ela
foi construída a partir das observações a cerca do movimento.
Dado um referencial inercial o módulo de ~p fornece a intensidade de movimento de um corpo e a direção e sentido
de ~p fornece a direção e sentido de movimento de um corpo.
A variação da quantidade de movimento.
Nos exemplos, vimos que os corpos variavam de uma quantidade de movimento nula ~p = 0 ( corpo parado no
referencial dado) para um quantidade de movimento não nula ~p = m~va ou ~p = m~v. Como também a quantidade de
movimento variava de direção de ~p = ~px = m~vx para ~p = ~py = m~vy.
Estas variações ocorreram durante a variação do tempo �t.
A variação da quantidade de movimento �~p é de…nido por
�~p = ~pf � ~pi; (1.10)
onde ~pf = quantidade de movimento …nal e ~pi = quantidade de movimento inicial.
6 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
A taxa temporal média de quantidade de movimento é então dada por
�~p
�t
=
~pf � ~pi
tf � ti : (1.11)
onde tf = instante …nal e ti = instante inicial.
No caso da bola parada que recebe uma batida e entra em movimento (~pi = 0, ~pf 6= 0) num curto intervalo de
tempo �t � " ! 0, dizemos que ocorreu uma variação de quantidade de movimento instantânea. Para obter essa
variação instantânea utilizamos o conceito de limite.
A variação da quantidade de movimento instantânea é então dada por
lim
�t!0
�~p
�t
=
d~p
dt
: (1.12)
Podemos agora tratar da segunda lei de Newton.
Revendo a 1a¯ Lei de Newton:
Na ausência de forças externas atuando sobre um corpo,
o corpo permanece em movimento retilíneo uniforme.
Podemos reinterpretar esse enunciado em termos do conceito de quantidade de movimento ~p:
Na ausência de forças externas atuando sobre um corpo,
a quantidade de movimento ~p do corpo permanece inalterado.
Essa reinterpretação da 1a¯ Lei nos leva à segunda lei utilizando-se da descrição determinista baseda no princípio
de causa e efeito.
Segunda Lei de Newton
A força resultante sobre um corpo gera a variação da quantidade de movimento.
Esse enunciado pode ser escrito na forma matemática (equacionado) por:
~Ftot =
d~p
dt
: (1.13)
Aqui se utilizou o conceito de força resultante, esse conceito está baseado no princípio da superposição.
O Princípio da superposição
Um corpo pode sofrer a ação de mais de uma força.
Como podemos reunir os efeitos de todas as forças?
O princípio da superposição diz que o efeito resultante da combinação dos efeitos de todas as forças é o mesmo
do efeito gerado por uma única força chamada de força resultante.
Assim a força resultante é a combinação de todas as força externas atuantes sobre o corpo. Essa combinação é
linear da forma
~Ftot = ~F1 + ~F2 + ~F3 + :::+ ~Fn: (1.14)
O caso da massa constante
1.1. UNIDADES DE FORÇA 7
Nesse caso a aplicação da derivada temporal em ~p = m~v resulta em
d~p
dt
=
d
dt
m~v =
�
d
dt
m
�
~v +m
d
dt
~v (1.15)
para massa que não varia com o tempo, temos
d
dt
m = 0
e a variação de ~p resulta em
d~p
dt
= m
d
dt
~v: (1.16)
Usando a de…nição da aceleração ~a , reescreve-se
d~p
dt
= m~a: (1.17)
susbtituindo essa expressão na segunda Lei (1.13) obtemos
a segunda lei de Newton para o caso da massa constante:
~F = m~a (1.18)
Essa expressão nos diz que:
Para o caso da massa constante o enunciado da segunda lei de Newton é:
A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração do corpo.
1.1 Unidades de força
A segunda forma da 2a¯ Lei de Newton nos permite de…nir a unidade de força a partir das unidades de massa e
aceleração:
No Sistema Internacional, temos:
Unidade de massa:[m] = [kg]
Unidade de aceleração: [a] =
�
m=s2
�
Assim a unidade de força é
[F ] = [N ] = [kg]
�
m=s2
�
N =Newton unidade de força.
1N = 1kg
m
s2
: (1.19)
1.2 Força e Vetores
A grandeza força faz uso direto do conceito de vetores.
A obtenção da força resultante ~R (ou ~Ftot)se dá por meio da soma vetorial das forças componentes:
~R = ~F1 + ~F2 + ~F3 + :::+ ~Fn:
8 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Exemplo:
1) Seja dada duas forças: ~F1 = 3x^+ 5y^ + 6z^ e ~F2 = 2x^+ 2y^ � 6z^ a resultante é
~R = ~F1 + ~F2
= (3x^+ 5y^ + 6z^) + (2x^+ 2y^ � 6z^)
= (3 + 2) x^+ (5 + 2) y^ + (6� 6) z^;
~R = 5x^+ 7y^;
2) Seja dada as forças:
���~F1��� = 3N e ���~F2��� = 2N . ~F1 forma um ângulo � = 300 com o eixo x^ e ~F2 forma um
angulo � = 600:
~F1 = 3 sin 30x^+ 3 cos 30 y^; ~F2 = �2 cos 60x^� 2 sin 60y^
obtemos
~R = (3 sin 30� 2 cos 60) x^+ (3 cos 30� 2 sin 60) y^: (1.20)
1.3 A terceira lei de Newton
Para complementar as três leis de Newton, temos a Lei de ação e reação.
Para um corpo A aplicando uma força ~FA sobre um corpo B há uma força ~FB aplicado pelo corpo B sobre
o corpo A com a mesma intensidade
���~FB��� = ���~FA��� e direção, mas sentido oposto, ou seja
~FB = �~FA (1.21)
Exemplo: O sistema Terra-Lua
1.3. A TERCEIRA LEI DE NEWTON 9
No Referencial localizado no Centro da Terra.
Força gravitacional que a Terra faz sobre a Lua : �~F
Força gravitacional que a Lua faz sobre a Terra: ~R (Reação)
Observação: As força agem em corpos separados.
A ação, no caso a força da Terra sobre a Lua, atua na Lua.
A reação da Lua, força da Lua sobre a Terra, atua na Terra
O caso: Bloco em repouso sobre uma mesa.
As forças estão atuando sobre o mesmo corpo: O Bloco.
No referencial com o centro no Bloco e eixo y^ apontado para cima
1) A Força de atração gravitacional da Terra atua sobre o Bloco:
~FG = �FGy^: (1.22)
2) A Normal. A mesa atua sobre o Bloco:
~N = FGy^: (1.23)
10 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Onde está a reação de ~FG?
Está no Centro da Terra (Fora do desenho). O bloco puxa a Terra.
A Normal ~N é a reação do que?
A Terra puxa o bloco para baixo. O bloco empurra a mesa para baixo. A mesa reage ao empurrão do
bloco, empurra de volta o bloco para cima: a Normal.
1.4 Tipos de Forças
Há vários tipos de forças na natureza, aqui veremos algumas delas que possuem a natureza mecânica, por isso
também são chamadas de forças mecânicas. Há também as forças elétricas que atua entre cargas elétricas, as força
magnética que atua entre imãs, forças nucleares que atuam no núcleo atômico e também em estrelas onde são
responsáveis pelas reações nucleares nas estrelas.
1.4.1 Força Gravitacional
A força Gravitacional é a força que atua entre duas massas m1 e m2 atraindo uma para a outra. Sua direção é
a direção de separação entre as duas massas ~r = ~r1 � ~r2. Ela decresce com a distância ao quadrado (r2). Ela é
responsável pela formação de planetas, estrelas, sistemas solares, constelações, galáxias, aglomerados de galáxias e
do próprio universo. Sua expressão é dada por
~FG = �Gm1m2
r2
r^ (1.24)
e G = 6:67� 10�11N m2=kg2 é a constante universal da gravitação.
No caso dos corpos na superfície da Terra, temos que
m1 = MT massa da Terra, m2 = m massa do corpo na superfície
~r = ~RT raio da Terra.
escrevemos
~FG = �GMT
R2T
R^Tm (1.25)
Nesse caso os valôres de MT ; RT e G estãoxos e se pode de…nir
~g = G
MT
R2T
R^T (1.26)
substituindo
~FG = �~gm (1.27)
Essa é a expressão do peso
~P = �~gm: (1.28)
1.4. TIPOS DE FORÇAS 11
1.4.2 Força Normal
É uma força que aparece quando ocorre o contacto entre superfícies.
A força normal ~N . é a reação da superfície à compressão de um corpo sobre a superfície, i.e., um corpo está
comprimindo uma superfície S com uma força ~F . Por sua vez a superfície S reage empurrando o corpo com uma
força ~N em sentido oposto à ~F . Ou seja
~N = �~F
No caso de um corpo sobre a superfície da Terra.
1) A Terra atrai o corpo com uma força ~P :
2) O corpo atrai a Terra com uma força �~P . Essa força de reação atua sobre o centro da Terra.
3) A Terra puxa o corpo contra a superfície. É como se o corpo aplicasse uma força ~F = ~P sobre a superfície.
4) Então a superfície reage aplicando uma Normal sobre o corpo. ~N = ~F = ~P
Observe que temos 3 sistemas no caso: o corpo, a Terra e a superfície.
1.4.3 Atrito
O atrito, também aparece como uma força de contacto entre superfícies. Porém ela atua no sentido paralelo à
superfície. Ela também é uma força de resistência ao movimento. A intensidade da força depende das características
das superfícies em contacto. Ela aparece quando tentamos deslizar uma superfície sobre outra.
Há dois tipos de forças de atrito. A força de atrito estática e a dinâmica.
A força de atrito estática ocorre enquanto há a tendência de deslizamento.
~F atestat = �estat
~N
onde �estat é o coe…ciente de atrito estático e ~N é a normal à superfície de contacto
A força de atrito dinâmica ocorre quando o deslizamento está ocorrendo.
~F atcin = �cin ~N
onde �ciné o coe…ciente de atrito cinético.
1.4.4 Tração
Quando uma corda está presa à um corpo e puxamos a corda. Nós aplicamos uma força ~F sobre a corda. A corda
por sua vez aplica uma força chamada de Tração ~T sobre o corpo. As cordas ideais são cordas inextensíveis e sem
massa. Dessa forma a força que aplicamos sobre a corda é inteiramente transferida ao corpo pela corda por meio
da tração T . Assim a corda ou …o ideal são apenas meios de transferir forças de um corpo para outro. Quando
a corda ou …o ideal estão tracionados eles se mantém perfeitamente esticados.
12 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
1.5 Força Resultante - Exemplos - Estático
A força resultante sobre um corpo é obtida a partir da soma vetorial das forças (combinação linear) que atuam
sobre o corpo:
~R = ~Ftot = ~F1 + ~F2 + :::+ ~FN =
NX
i=1
~Fi; (1.29)
onde N é o número total de forças que estão atuando sobre o corpo.
O diagrama de forças é um importante auxiliar para se determinar a força resultante. O sistema em geral possui
um ou mais corpos.
1.5.1 O caso da mesa com um bloco
Temos na realidade um sistema com tres corpos: A Terra, a Mesa e o Bloco:
Aqui a Terra que não está visível e a mesa são os agentes das forças.
Aqui nossa atenção está sobre o Bloco e é ele que sofre a ação das forças.
Queremos saber qual é a força resultante sobre o bloco.
Aqui observe como a Física já nos fornece a resposta antes de realizarmos os cálculos.
O Bloco está em repouso no referencial do solo. Logo não deve haver a força resultante.
Assim o cálculo deve provar esse resultado que observamos.
1.5. FORÇA RESULTANTE - EXEMPLOS - ESTÁTICO 13
O objeto que sofre a ação das forças é o bloco. O diagrama de forças é então para as forças que atuam sobre o
bloco.
Desprezamos a forma do bloco. A normal ~N e a força gravitacional ~FG atuam sobre o mesmo ponto no bloco:
o seu centro. A origem do diagrama de blocos é colocado sobre esse centro.
Não há forças nas direções x^ e z^
No eixo y^ :
~N = FGy^; ~FG = �FGy^
e temos
~Rx = FGy^ + (�FGy^) = FGy^ � FGy^ = 0: (1.30)
1.5.2 Bloco preso por dois …os
Temos um Bloco de massa M e em repouso suspensos por dois …os ideais que por sua vez estão presos no teto.
14 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Nesse caso a fonte da força ~P não se encontra no desenho. O outro corpo é o teto. O Bloco sofre a ação das
Trações 1 e 2 como também da força peso. Os …os ideais transmitem as forças (~T1 e ~T2) que o teto faz sobre o
bloco.
O diagrama de forças nesse caso é:
O cálculo da força resultante. Novamente aqui a física já nos mostra que ~R = 0, pois o bloco permanece parado.
Temos que projetar as Trações sobre os eixos.
Para isso precisamos determinar os ângulos que as direções de ~T1 e ~T2 formam com os eixos do diagrama de
força.
Da trigonometria, pode-se ver que temos duas linhas paralelas: linha do teto e o eixo x^. Elas cortam as direções
de ~T1 e ~T2. Usando então o conceito de ângulos alternos internos temos que:
ângulo entre ~T1 e o eixo x^: ! �
ângulo entre ~T2 e o eixo x^: ! �
Podemos agora determinar as projeções das trações assumindo que se conhece T1 e T2:
~T1 = T1 cos�x^+ T1 sin�y^; (1.31)
~T2 = �T2 cos�x^+ T2 sin�y^;
e o peso está anti-alinhado ao eixo y^ :
~P = �P y^ (1.32)
Cálculo da resultante:
Componente x^ :
~Rx = T1 cos�x^� T2 cos�x^: (1.33)
Componente y^
~Ry = T1 sin�y^ + T2 sin�y^ � P y^: (1.34)
Como ~R = 0, então essas equações se tornam:
0x^ = T1 cos�x^� T2 cos�x^: (1.35)
0y^ = T1 sin�y^ + T2 sin�y^ � P y^: (1.36)
e obtemos o sistema de equações:
0 = T1 cos�� T2 cos�: (1.37)
0 = T1 sin�+ T2 sin� � P: (1.38)
Essas equações nos mostram que para anular a resultante é preciso que:
T1 cos� = T2 cos�: (1.39)
T1 sin�+ T2 sin� = P: (1.40)
Interpretação Física do resultado.
Essas duas equações estão mostrando que para manter o bloco em repouso suspenso pelos dois …os, é preciso
que ocorra as seguintes situações simultaneamente:
1.6. TIPOS DE FORÇA II 15
1) as componentes x^ das trações devem ter o mesmo módulo e sentido opostos.
2) as componentes y^ das trações se combinam para cancelar a força peso.
Esses dois exemplos são casos da Estática pois a força resultante é nula.
1.6 Tipos de Força II
Veremos aqui mais alguns tipos de força, mas na situação da dinâmica, ou seja, a força resultante ~R não é nula.
1.6.1 Força de arrasto
A força de arrasto é uma força que surge quando um corpo se movimenta dentro de um ‡uído. Essa força se opõe
ao movimento do corpo dentro do ‡uído.
Um ‡uído é um sistema contínuo onde as partículas do sistema se movimentam uns em relação aos outros e
portanto não possuem posições …xas.
Exemplos: Ar, água, óleo, gases e líquidos em geral.
Esse tipo de força também é conhecido por força viscosa.
A partir de uma observação qualitativa de experimentos, pode-se inferir de quais tipos de grandezas a força de
arrasto ~D depende.
Vamos considerar o ar e usar como corpo de teste a nossa mão.
1) A intensidade da força depende do módulo da velocidade do corpo.
Experimento 1). Andamos com a mão espalmada perpendicular ao nosso movimento.
O que percebemos com relação a força que empurra a palma da nossa mão?
Sentimos uma leve força empurrando a nossa mão na direção contrária ao movimento.
Experimento 2). De dentro do carro extendemos a mão espalmada perpendicular ao movimento do carro.
Comparado com o caso anterior, o que percebemos da força que empurra a palma da
nossa mão?
Sentimos uma força intensa empurrando a nossa mão na direção contrária ao movimento.
Conclusão: Desses dois casos, pode-se dizer:
A força de arrasto depende diretamente da intensidade da velocidade vn.
D / vn
2) Revendo os experimentos anteriores.
Se fecharmos a mão o que ocorre?
Isso diminui a intensidade da força que sentimos.
Fechar a mão reduz o que?
A área transversal à direção do movimento.
Conclusão:
A força de arrasto depende da área transversal (A) à direção do movimento.
D / A
16 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Um outro experimento.
Vamos agora utilizar dois ‡uídos diferentes: ar e água.
Temos que a densidades da águaé maior do que a densidade do ar, i.e:
�agua > �ar: (1.41)
Em qual dos sistemas temos mais di…culdade de movimentar a mão espalmada?
Na água. Isso signi…ca que a força de arrasto é mais intensa na água do que no ar.
Conclusão:
A força de arrasto depende da densidade do ‡uído
D / �: (1.42)
Dessas análises físicas qualitativas podemos inferir que a expressão de D deve ser, aproximadamente:
D / C�Avn: (1.43)
onde se acrescente uma constante de proporcionalidade C.
Para re…nar a expressão de D. Devemos agora realizar os experimentos de forma quantitativa. Para ‡uídos com
baixa densidade, os experimentos mostram que a expressão do módulo de ~D mais precisa é
D =
1
2
C�Av2: (1.44)
Se v^ é a direção da velocidade do corpo num dado referencial, a força ~D é dada por
~D = �1
2
C�Av2v^:
Velocidade Terminal
Veremos agora a importância da força de arrasto do ar.
Considere um corpo extenso que é largado a partir do repouso à uma certa altura do solo no ar.
As únicas forças que atuam no corpo são:
(
1) Força Gravitacional: ~FG
2) Força de Arrasto do ar: ~Dar
Assim a força resultante é
~R = m~a = ~FG + ~Dar:
Escolhemos o sistema de referencial com o eixo y^ apontado para cima. Como o corpo cai a resultante é
~R = �may^
e nesse referencial ~FG é:
~FG = �FGy^
O corpo está em movimento no sentido do y^ negativo, assim ~D é oposto a esse movimento e portanto:
~D = Dy^: (1.45)
1.7. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 17
Reescrevemos a soma das forças por:
�ma = D � Fg: (1.46)
Análise da expressão (1.46).
1) A aceleração resultante a aumenta a velocidade do corpo v.
2) Como D depende de v, então D também aumenta.
3) A expressão (1.46) mostra que D reduz o efeito de FG e pode se igualar à FG
4) Se D = Fg teremos que a = 0 e a velocidade do corpo v pára de crescer. O valor dessa velocidade é
denominada de velocidade terminal ~vt
Para encontrar o módulo dessa velocidade, temos:
D = Fg: (1.47)
usando a expressão de D nessa expressão, obtemos
1
2
C�Av2t = Fg:
e isolando vt,
vt =
s
2Fg
C�A
: (1.48)
Temos o módulo da velocidade terminal.
Análise da expressão de vt (1.48)
Observe que:
se A aumentar vt diminui.
Esse é um efeito que os paráquedistas utilizam para controlar a sua queda.
A velocidade terminal e a natureza
Num dia de chuva, o que ocorreria com as folhas da vegetação se não houvesse a velocidade terminal?
Quanto mais alto a gota se formar nas núvems maior seria a sua velocidade …nal ao atingir as folhas.
1.7 Movimento circular uniforme
Vimos que no MCU temos a aceleração centrípeta
acp =
v2
R
: (1.49)
onde v é o módulo da velocidade ~v tangencial ao círculo e R é o raio do círculo. Essa aceleração está na direção
radial e é apontada para o centro do círculo. Assim o seu efeito é altera a direção do movimento, permitindo que a
trajetória seja circular.
Um corpo de massa m que esteja num MCU, sofre então a ação de uma força centrípeta. A expressão da
intensidade dessa força é obtida a partir da 2a¯ Lei de Newton:
F = m
v2
R
: (1.50)
onde se substituiu o módulo da aceleração resultante a por acp.
18 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
1.8 Exemplos
Situação estática. ~R = 0
1) Temos um sistema com dois corpos A e B ligados por um …o ideal que passa por uma polia ideal como mostra
a …gura:
As massas de A e B são, respectivamente, mA emB . Consideramos que os corpos A e B não estão em movimento
e ~Fat é a força de atrito entre a superfície de A e a mesa. Vamos determinar o coe…ciente de atrito estático �s.
Pelo desenho, pode-se ver que as forças atuam em dois corpos separados. Assim precisamos de dois diagramas
de forças.
Como conhecemos as massas podemos determinar ~PA, ~PB :
~PA = �mAgy^; ~PB = �mBgy^; (1.51)
O Diagrama de força no corpo B.
1.8. EXEMPLOS 19
Aplicando a condição da estática para forças ~R = 0, podemos determinar ~T
~T + ~PB = 0;! ~T = mBgy^: (1.52)
O Diagrama de força no corpo A.
O …o transfere a tração ~T para o corpo A enquanto que a polia ideal apenas muda a direção de ~T .
A condição da estática para forças, nos fornece
No eixo x^:
~Fat + ~T = 0
como ~T = mBgx^, temos
~Fat = �mBgx^ (1.53)
Por outro lado sabemos como a força de atrito é estática, temos que ~Fat = ~F estat
~Fat = ~F
est
at = ��estNx^ (1.54)
e pelo diagrama temos que
~N = �~PA = mAgy^
então
~Fat = ��estmAgx^: (1.55)
Das equações (1.53) e (1.55), temos
�mBgx^ = ��estmAgx^
e obtemos
�est =
mB
mA
: (1.56)
Situação dinâmica. ~R 6= 0
Vamos determinar �cinet.
Nesse caso, temos que o corpo B cai com uma aceleração resultante ~a = �ay^ conhecida
No corpo B.
~T + ~PB = �mBay^
substituindo ~PB = �mBgy^:
~T = mBgy^ �mBay^ = mB (g � a) y^: (1.57)
No corpo A.
O movimento só ocorre ao longo do eixo x^, e para manter o …o esticado a aceleração que o corpo A sofre é a
mesma do corpo B:
~T + ~Fat = mAax^ (1.58)
agora a força de atrito é dinâmica: ���~Fat��� = �cinet ��� ~N ��� (1.59)
substitui em (1.58), temos:
~T � �din
��� ~N ��� x^ = mAax^ (1.60)
20 CHAPTER 1. LEIS DE NEWTON
Para encontrar a normal usamos as equações no eixo y^
~N = mAgy^ !
��� ~N ��� = mAg (1.61)
substituindo em (1.60).
~T � �cinetmAgx^ = mAax^ (1.62)
A tração obtemos da equação (1.57), lembrando que agora ~T está na direção x^:
mB (g � a) x^� �cinetmAgx^ = mAax^ (1.63)
assim
mB (g � a)� �cinetmAg = mAa
isolando �cinet; obtemos
mB (g � a)�mAa = �cinetmAg
e se pode reescrever:
�cinet =
mB (g � a)�mAa
mAg
: (1.64)