Apostila 6 - Energias - Professor Claudio - FURG

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Física I d - Energias, Trabalho, Energia Potencial, Conservação de
Energia
Prof. Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Física Geral vii
1 Energia 1
1.1 A energia cinética: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 A relação trabalho e energias cinéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Trabalho realizado pela força Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Trabalho caso corpo suspenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Plano inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Trabalho de Uma Força Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Trabalho realizado por uma mola caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Cálculo do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Segunda Lei para força da mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 W de força variável geral: 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.5 W de força variável geral: 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.6 Potência média e instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Relação entre �U e W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Forças Conservativas e Dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3 Forças conservativas: Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4 Cálculo de U em 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Energia Mecânica e Lei de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Energia Potencial - A força e Análise do grá…co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.1 Determinação de F (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.2 Curva da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Sistema de Corpos e Trabalho de Forças Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8.1 Reconhecendo o sistema e as Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.9 Caso: Força de Atrito e a Energia Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
iv CONTENTS
Preface
v
vi PREFACE
Física Geral
Curso de Fisica Geral. Energia, Trabalho, Energia Potencial.Cap 7 e 8
vii
viii FÍSICA GERAL
Chapter 1
Energia
Di…culdades para as Leis de Newton
Vamos ver aqui um exemplo onde a utilização das Leis de Newton se torna complexa.
Exemplo da trajetória sinuosa.
Temos um caminho com subidas e descidas como mostra a …gura. Um corpo de massa m e velocidade inicial v0
percorre sem atrito essa trajetória. Como determinar a velocidade do corpo ao …nal da trajetória?
Para usar a 2a¯ Lei de Newton precisamos obter as forças em vários trechos. Nesse problema temos apenas a ação
da força peso ~P , contudo a componente de ~P paralelo à trajetória (~Pparal) em cada ponto muda, pois o ângulo �
entre ~P e a trajetória é diferente em diferentes pontos da trajetória. O que signi…ca que temos que determinar vários
ângulos e consequentemente ~Pparal varia em com a posição (x; y ) sobre a trajetória, i.e.: a componente paralela de
~P é uma função da posição:
~Pparal = ~Pparal (x; y) (1.1)
Como não há outras forças a resultante
~R = m~a = ~Pparal (x; y)
ou seja, a aceleração resultante também é uma função vetorial da posição:
~a = ~a (x; y) =
~Pparal (x; y)
m
: (1.2)
Essa abordagem usando as Leis de Newton torna a resolução um tanto complexa.
Uma outra abordagem
1
2 CHAPTER 1. ENERGIA
Observe que a abordagem de Newton é baseda em vetores: ~F , ~a, ~v, ~p,... e por isso essa mecânica também é
conhecida por Mecânica Vetorial. Mas essa não é a única forma de abordagem. Como já foi mencionado existem
outros tipos de Mecânicas (Mec. Lagrangian, Mec. Hamiltoniana). Esses outros tipos de Mecânicas são baseadas
em grandezas escalares. Uma vantagem fundamental de se usar grandezas escalares é que as expressões não mudam
quando se muda de sistema de referencial.
Exemplo: A massa m.
Temos um corpo e dois referenciais: A e B.
No referencial A: a medida da massa do corpo é:
mA = m: (1.3)
No referencial B: a medida da massa do corpo é:
mB = m: (1.4)
Ou seja a massa é a mesma em qualquer referencial e ela é descrita por uma grandeza escalar.
Esses outros tipos de Mecânicas baseam-se no conceito de Energia. Há vários tipos de Energia: Energias
Mecânicas, Energia Elétricas e Magnéticas, Energias Térmicas, Energia Gravitacional, Energia Nuclear, Energias
Químicas, etc.
Veremos aqui as energias do tipo Mecânicas.
1.1 A energia cinética:
(símbolo: K ou T ). Uma bola de aço com velocidade constante ~v não nula e com massa m não possui força
resultante atuando sobre ele (~v = constante ! ~a = 0). Mas quando ele colide com uma outra bola de massa m1
em repouso no referencial a segunda bola entra em movimento, ou seja, surge uma força que atua sobre a segunda
bola. De onde veio a força? O que havia na bola de aço antes e que se transformou na força sobre a segunda bola?
O que sabemos é que a bola de aço só contém massa m e velocidade ~v. Assim deve haver uma grandeza associada
à combinação da massa com a velocidade. À essa grandeza se de…niu ser a Energia Cinética:
De…nição
K � 1
2
m~v2: (1.5)
Obs: a notação ~v2. Apesar do símbolo de vetor estar representado ele é uma grandeza escalar, pois essa notação
signi…ca o produto escalar de dois vetores iguais.: ~v2 = ~v � ~v. Assim, nesse único caso, pode-se a…rmar que ~v2 = v2.
1.2. TRABALHO 3
Essa energia descreve a energia associada ao movimento de um corpo.
Unidade de energia: Joule (J)
1 J = 1 kg
m2
s2
(1.6)
em homenagem a James Prescott Joule (sec. XIX)
1.2 Trabalho
Vamos construir a expressão matemática para o trabalho (equacionar).
Podemos alterar a quantidade de energia cinética do corpo?
Exemplos:
1. Um carro que está com uma velocidade ~vi pode ser acelerado constantemente durante um trecho de compri-
mento �sa e ter sua velocidade aumentada para ~vfa.
Análise do Exemplo:
Nesse exemplo, temos:
Uma aceleração constante ~a1 ao longo do trecho de comprimento �s. Para um corpo de massa m, temos
assim uma força ~F1 = m~a atuando sobre o corpo ao longo do trecho de comprimento �s:A energia cinética
mudou
Kfa > Ki
1
2
m~v2fa >
1
2
m~v2i
Algo aumentou a energia cinética. Vamos de…nir esse algo de trabalho W .
W = Kfa �Ki (1.7)
e se pode ver que W é uma grandeza escalar pois as energias cinéticas iniciais e …nais são grandezas escalares.
2. O mesmo carro com velocidade ~vi ao longo do mesmo trecho de comprimento �sa . Mas agora com uma
aceleração maior
~a2 > ~a1:
Nesse caso obtemos uma velocidade …nal maior ~vf2 > ~vfa ou seja
Kf2 > Kfa:Se diminuirmos a aceleração
~a3 < ~a1
a velocidade …nal obtida será menor ou seja a energia cinética …nal é menor.
Kf3 < Kfa
Análise do Exemplo:
4 CHAPTER 1. ENERGIA
Temos agora uma força maior atuando sobre o carro:~F2 = m~a2
~F2 > ~F1 (1.8)
e resulta numa energia cinética …nal maior.
No caso de uma força menor atuando sobre o carro:
~F3 < ~F1 (1.9)
obtemos um energia cinética …nal menor.
Conclusão: O trabalho que a força ~F faz depende diretamente da força
W / ~F : (1.10)
3. O mesmo carro com a mesma velocidade ~vi pode ser acelerado com a mesma aceleração ~a constante mas ao
longo de um trecho de comprimento maior �sb.
�sb > �sa: (1.11)
O resultado é que a velocidade …nal ~vfb é maior do que no exemplo anterior, i.e.
~vfb > ~vfa: (1.12)
e a energia cinética …nal é maior
Kfb > Kfa
Se o trecho for mais curto
�s0b < �sa
a energia cinética …nal é menor
K 0fb < Kfa
Análise do Exemplo: Temos a mesma força: ~F = m~a, mas agora com trechos mais longo e mais curto. Assim
podemos dizer que o trabalho é diretamente proporcial ao comprimento do trecho
W / �s
Reunindo os resultados:
Será que podemos fazer
W = ~F�s ? (1.13)
claro que não, pois do lado esquerdo da igualdade W é um escalar, do outro lado ~F�x é um vetor (escalar
vezes vector = escalar).
E pela relação
W = Kfa �Ki (1.14)
W tem que ser um escalar.
1.2. TRABALHO 5
Temos que mudar
~F�s:
Podemos conciliar o conteúdo de força e comprimento do trecho com a natureza vetorial usando o produto
escalar
~F ��~s
A de…nição de trabalho W :
W = ~F ��~s: (1.15)
Revisão: Cálculo Vetorial:
O produto escalar entre dois vetores arbitrários ~A e ~B.
Temos
~A � ~B = AxBx +AyBy +AzBz; (1.16)
~A = Axx^+Ay y^ +Az z^; ~B = Bxx^+By y^ +Bz z^;
e também se pode calcular o produto escalar por
~A � ~B =
��� ~A��� ��� ~B��� cos �;
onde � = ângulo entre ~A e ~B.
1.2.1 A relação trabalho e energias cinéticas
Vimos que a diferença entre a energia cinética …nal e inicial é igual ao trabalho
W = Kf �Ki (1.17)
Substituindo as expressões do trabalho e das energias cinéticas, temos
~F ��~x = 1
2
m~v2f �
1
2
m~v2i (1.18)
ou podemos reescrever:
~F ��~x = 1
2
m
�
~v2f � ~v2i
�
(1.19)
Caso 1D
No caso 1-D, essa expressão pode ser reescrita por:
Fxx^ ��x x^ = Fx�x
=1z }| {
x^ � x^ = Fx�x (1.20)
Substitui à esquerda da eq.(1.19), obtemos:
Fx�x =
1
2
m
�
~v2f � ~v2i
�
(1.21)
Essa expressão pode ser obtida de outra forma.
Seja dado um corpo de massa m e movendo-se ao longo de uma reta horizontal. Escolhemos ser a reta x^.
Sua velocidade inicial é vi. Aplica-se uma força ~F constante sobre esse corpo. ~F forma um ângulo � com a reta
horizontal.
6 CHAPTER 1. ENERGIA
A velocidade …nal do corpo é vf .
A equação que relaciona velocidade, distância e aceleração no MRUV é:
v2f = v
2
i + 2a�x (1.22)
que pode-se reescrever por
v2f � v2i = 2a�x: (1.23)
A aceleração está realcionada com a componente ~Fx da força por
Fx = ma! a = Fx
m
: (1.24)
Substituimos a na expressão acima, obtemos
v2f � v2i = 2
Fx
m
�x: (1.25)
que se pode reescrever por:
m
2
�
v2f � v2i
�
= Fx�x: (1.26)
ou
1
2
mv2f �
1
2
mv2i = Fx�x: (1.27)
que é a expressão
Kf �Ki = W: (1.28)
para o caso 1D.
1.3 Exemplos
Vamos trabalhar alguns exemplos da aplicação dessa abordagem.
1.3.1 Trabalho realizado pela força Peso
Partícula com massa m com velocidade inicial ~v0 para cima. Seja ~g a aceleração da gravidade. Vamos calcular o
trabalho que o peso realiza sobre o corpo.
1.3. EXEMPLOS 7
A) Durante a subida do corpo. Seja d a distância percorrida pelo corpo. O trabalho é
W = ~P � ~d = mg d cos� = mg d cos�
cos� = �1
W = �mg d: (1.29)
Observe o sinal. Nesse caso o Trabalho retira energia cinética do corpo por uma quantidade mg d. Então
Kf < Ki;
e ocorre que a velocidade …nal se anula
vf = 0:
B) A velocidade inicial agora é ~v0 = 0 e o corpo está caindo.
Temos que o peso ~P e a distância percorrida ~d são paralelos. Então temos
W = ~P � ~d = mg d cos� = mg d cos 0
cos 0 = 1
W = +mg d: (1.30)
Temos um trabalho W positivo. O trabalho aumenta a energia cinética da partícula por uma quantidade mg d
1.3.2 Trabalho caso corpo suspenso
Um corpo de massa m está inicialmente em repouso no solo, ~vi = 0. Uma força ~Fa é aplicada verticalmente ao
corpo para levantá-lo por uma distância d. A direção do percurso é para cima.
8 CHAPTER 1. ENERGIA
O trabalho da força aplicada.
Wa = ~Fa � ~d = Fad cos�
cos� = cos 0 = 1
Wa = Fad (1.31)
A força ~Fa realiza trabalho positivo. Isso signi…ca que o corpo adquire energia.
O Trabalho do Peso.
WP = ~P � ~d = mgd cos�
cos� = cos� = �1
WP = �mgd (1.32)
A força peso está na direção oposta à ~d. O trabalho da força peso é negativo e retira energia do corpo.
O trabalho total é
W = Wa +WP = Fad�mgd: (1.33)
No ponto mais alto temos que a velocidade …nal ~vf = 0
Temos que
Kf �Ki = 0
mas
Kf �Ki = W !W = 0
e temos
0 = Fad�mgd
e obtemos
Fad = mgd;
Wa = WP
1.3.3 Plano inclinado
1) Trabalho da força peso
Uma pessoa leva uma caixa de massa m do ponto A até o ponto B, deslisando sem atrito sobre um plano com
inclinação � em relação à reta horizontal. No ponto B a caixa é mantida em repouso.
1.3. EXEMPLOS 9
O ponto B está a uma altura h da reta horizontal. Calcule o trabalho que a força peso ~P da caixa realiza em
função da altura h. Veri…que se o trabalho é positivo ou negativo.
A expressão do trabalho é:
WP = ~P � ~d
onde ~d é o vetor ao longo da trajetória da caixa cujo módulo é a distância percorrida.
O diagrama de forças é:
O ângulo entre ~d e ~P é
� = 90 + �
Temos que
~P � ~d = Pd cos� = Pd cos (90 + �)
usando a relação trigonométrica
cos (90 + �) = cos 90 cos � � sin 90 sin � = � sin �
10 CHAPTER 1. ENERGIA
substituindo
~P � ~d = �Pd sin �
obtenção de sin �
sin � =
catet oposto
Hipotenusa
=
h
d
Então temos
WP = ~P � ~d = �Pdh
d
O módulo do peso da caixa: P = mg, assim
WP = �mgh: (1.34)
Temos que o trabalho que o peso ~P da caixa realiza é negativo, ou seja, ele retira energia da caixa a medida que
a caixa está subindo.
Qual é o trabalho que a força aplicada pela pessoa faz?
Esse trabalho deve estar combinado ao trabalho da força ~P ,
W = Wpessoa +WP : (1.35)
Vimos que o trabalho total está relacionado com as energias cinéticas inicial e …nal
W = Kf �Ki: (1.36)
No nosso caso temos:
~vi = vf = 0! Ki = Kf = 0
então o trabalho total
W = 0
E temos que:
W = Wpessoa +WP = Wpessoa �mgh = 0: (1.37)
então
Wpessoa = mgh: (1.38)
Qual a intensidade da força que a pessoa faz?
Vamos denominar de ~T a força aplicada pela pessoa. O trabalho Wpessoa é então
Wpessoa = ~T � ~d (1.39)
Vamos supor que ~T é aplicado paralelo à ~d.
Wpessoa = ~T � ~d = Td cos 0 = Td (1.40)
como já conhecemos Wpessoa, podemos determinar o módulo T
Td = mgh! T = mgh
d
: (1.41)
1.4. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 11
1.4 Trabalho de Uma Força Variável
Veremos como a abordagem baseada no conceito de trabalho e energia, nos permite obter informações sobre os
efeitos de uma força variável, embora não saibamos como obter a descrição do movimento causado por esse tipo de
força.
Veremos também como o conhecimento da fenomenologia física de um sistema, permite que se in…ra possíveis
soluções para a segunda lei de Newton e se construa dessa forma uma descrição matemática para o movimento do
sistema.
1.4.1 Trabalho realizado por uma mola caso 1-D
Veremos aqui como obter o trabalho quando a força não é constante, ou seja, a força é variável mas ainda no caso
1-D. Veremos também que mesmo não conhecendo a teoria de equações diferenciais, poderemos,com auxílio da
Física, obter soluções para a equação diferencial obtida a partir da segunda lei de Newton para o caso da Lei de
Hooke.
A lei de Hooke
Construção da expressão da força exercida por uma mola sobre um corpo de massa m.
Seja dada uma mola de comprimento L. Prendemos um dos lados da mola à uma parede:
Inicialmente a mola está em repouso. Não há forças sendo aplicada na mola. De…ne-se a posição da extremidade
livre como sendo a posição x0 = 0.
Situações:
1) A extremidade livre da mola é esticada até a posição ~x = +d1x^ em relação à x0.
Nesse caso sentimos uma força exercida pela mola na direção e sentido: �x^
conclusão: podemos escrever que a força da mola é
~F / �x^
12 CHAPTER 1. ENERGIA
2) Esticamos mais ainda a mola até a extremidade estar na posição ~x = +d2x^, onde d2 > d1.
continuamos sentindo que a força exercida pela mola é na direção e sentido: �x^ porém é mais forte que no
caso anterior.
Conclusão: reunindo as situações 1 e 2. Quanto maior a distância d em relação à posição x0 maior é a intensidade
da força que a mola exerce no sentido de x0. E pode-se escrever que
~F / �dx^ = �~x (1.42)
3) Pegamos uma outra mola feito de um material mais duro, com o mesmo comprimento que a primeira mola.
Esticamos a extremidade livre dela até a mesma posição x = +d1x^. Vemos que a força que essa mola exerce é mais
forte que no caso 1).
Assim podemos dizer que a força exercida pela mola depende das características especí…cas de cada mola. Para
incluir esse efeito na expressão da força escreve-se
~F / �k~x
onde k é chamada constante da mola e seu valor depende das características especí…cas de cada mola.
A força da mola dependerá de outras propriedades mecânicas?
Como não se encontra outras propriedades mecânicas para se testar, pode-se concluir que a força exercida pela
mola é
~F = �k~x (1.43)
onde ~x é a deslocamento de um ponto da mola em relação à posição de equilíbrio ou repouso. Essa é a Lei de
Hooke.
O que a expressão (1.43) pode nos contar?
Temos que k é uma constante que depende das características especí…cas da mola.
O termo ~x, o deslocamento.
A medida que j~xj varia
���~F ��� varia. Assim temos o caso de um força variável
1.4.2 Cálculo do Trabalho
Como a força é variável, não podemos utilizar
W = Fd cos�
para calcular W , onde F é a intensidade da força aplicada pela mola, d o deslocamento em relação ao ponto de
equilíbrio e � o ângulo entre a direção da força e a direção do movimento da extremidade da mola.
Precisamos usar de uma estratégia.
Vamos desconsiderar a massa da mola e que não há atritos sobre a mola.
Vamos deixar a mola oscilar livremente.
A medida que a mola se estica para a direita, ela faz uma força ~F na direção contrária ao movimento da
extremidade da mola reduzindo a energia cinética. A extremidade vai da posição xi até a posição xf . Dividimos a
distância percorrida em pedaços �x tão pequenos quanto se queira.
1.4. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 13
Ao longo de um pedaço �x, temos:
1) A força da mola atua na direção contrária à �~x.
2) �x é muito pequeno, tão pequeno que a força dentro desse pedaço varia muito pouco e se pode considerar a
intensidade F da força como aproximadamente constante.
3) O elemento de trabalho dW realizado nesse intervalo pode ser dado por
dW = F�x
Ao longo do intervalo xf � xi
O trabalho total W é a soma dos elementos de trabalho:
W =
X
dW
Mas como podemos fazer �x tão pequeno como se queira essa soma se torna uma soma de in…nitos termos dW .
No limite para �x! dx! 0 temos que
W = lim
�x!0
X
dW =
Z xf
xi
dW
e substituindo dW , temos
W =
Z xf
xi
dW =
Z xf
xi
Fdx
Podemos agora substituir F = �kx
W =
Z xf
xi
(�kx) dx = �k
Z xf
xi
xdx
= �k
2
x2jxfxi = �
k
2
�
x2f � x2i
�
: (1.44)
e obtemos:
W =
1
2
kx2i �
1
2
kx2f : (1.45)
Cuidado com o sinal.
O sinal de W da mola depende da magnitude de xf em relação à xi:
1) xi > xf W > 0
2) xi < xf W < 0
14 CHAPTER 1. ENERGIA
Trabalho de uma Força Aplicada
Uma força ~Fa é aplicada na extremidade da mola. Denote por Wa o trabalho realizado por essa força.
Seja ~Fk a força que a mola faz e por Ws denotamos o trabalho da força da mola.
Vimos que a variação da energia cinética da extremidade da mola é
�K = Kf �Ki = W: (1.46)
onde Kf = energia cinética …nal, Ki = energia cinética inicial e W é o trabalho total . Nesse caso temos que:
W = Wa +Ws
Assim
Kf �Ki = Wa +Ws:
Vamos para a seguinte situação.
No instante inicial a extremidade da mola estáva em repouso, então
Ki = 0: (1.47)
No instante …nal também se coloca a extremidade da mola em repouso e temos:
Kf = 0:
Nesse caso, obtemos
Wa +Ws = 0
ou seja
Wa = �Ws: (1.48)
Por essa expressão vemos que quando a no início e no …m a extremidade da mola está em repouso, temos que a
força aplicada ~Fa realiza trabalho contra a força da mola ~Fk.
1.4.3 Segunda Lei para força da mola
Podemos usar ~F = �k~x na 2a¯ lei de Newton?
~F =
d~p
dt
: (1.49)
Sim e se obtém
�k~x = d~p
dt
: (1.50)
Para o caso de massa m constante e ~p = m~v, temos
�k~x = d
dt
(m~v) = m
d
dt
~v: (1.51)
Usamos agora a de…nição de velocidade: ~v = d~xdt e temos:
�k~x = m d
dt
d~x
dt
1.4. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 15
que pode ser reescrito por:
�k~x = md
2~x
dt2
em 1-D
~x = xx^
essa equação é simpli…cada na forma
�kx = md
2x
dt2
; (1.52)
Do cálculo, essa é uma equação diferencial de segundo grau ordinária de coe…cientes constantes. As soluções dessa
equação são funções do tempo
x = x (t) ; �kx (t) = m d
2
dt2
x (t) ; (1.53)
e para encontrar x (t) temos que aplicar os métodos de resolução de equações diferenciais.
Mas a Física nos permite advinhar características de x (t) sem que seja resolvido essa equação.
Voltando ao nosso sistema da mola.
Para um dado valor de t = t1, a função x (t = t1) = x1 = d1 fornece a posição da extremidade livre da mola em
relação à posição de equilíbrio x0.
Agora, lembrando de como a ponta de uma mola se move, podemos dizer que a extremidade livre da mola oscila
em torno de x0. (a mola estica e encolhe).
Isso nos diz que a função x (t) deve ser uma função oscilante em t.
Embora não saibamos resolver (1.52), podemos tentar advinhar a forma de x (t) com base nessa informação que
a Física nos forneceu.
Quais são as funções matemáticas oscilantes que conhecemos?
As mais simples são:
sin (!t) ; cos (!t) : (1.54)
Vamos considerar ! uma constante a ser determinada. Será que x (t) = sin (!t)?
Vamos tentar. Substitui na equação (1.52):
�k sin (!t) = m d
2
dt2
sin (!t) : (1.55)
Será que derivando duas vezes sin (!t) vamos obter �k sin (!t)?
Sabemos derivar sin (!t) :
d
dt
sin (!t) = ! cos (!t) : (1.56)
deriva de novo:
d
dt
d
dt
sin (!t) =
d
dt
[! cos (!t)] ;
= !
d
dt
cos (!t) ;
= ! (�! sin (!t) ) ;
= �!2 sin (!t) ;
16 CHAPTER 1. ENERGIA
substitui esse resultado em (1.55)
�k sin (!t) = m ��!2 sin (!t)� : (1.57)
divide por m
� k
m
sin (!t) = �!2 sin (!t) : (1.58)
lembre que ! é uma constante a ser determinada, assim para que essa identidade seja verdade é preciso que
k
m
= !2 ! ! =
r
k
m
: (1.59)
Essa constante ! é chamada de frequência angular de oscilação.
Agora usando esse valor de ! na nossa função tentativa sin (!t) = sin
�q
k
m t
�
veremos que
x (t) = sin
 r
k
m
t
!
é uma possível solução de
�kx = md
2x
dt2
: (1.60)
Assim, nesse caso, sem conhecermos a teoria de equações diferenciais, mas entendendo como a função x (t) é
aplicada no sistema Físico, se pôde obter uma das soluções da equação (1.52).
Remark 1 A Física mostra que as soluções das equações usadasna física existem, mesmo quando não se conheça
o método matemático para resolvê-las. Assim a partir do conhecimento do comportamento físico do sistema se pode
construir as soluções para as equações.
Exercício: Use o procedimento descrito acima e veri…que se x (t) = cos (!t) é solução de (1.52).
1.4.4 W de força variável geral: 1-D
Caso 1-D. Vamos ao caso de uma força que varia com x
~Fx = F (x) x^ (1.61)
e que F (x) seja uma função suave e contínua de x.
A força atua sobre um corpo enquanto ele se movimenta de uma posição inicial xi até uma posição …nal xf .
Dividimos a distância D = xf � xi em N pequenos segmentos de comprimento �x.
Vamos focar num segmento j
Consideramos que �xj seja bem pequeno tal que F (x) varie muito pouco ao longo de �xj .
Nesse caso podemos dizer que o valor de F (x) ao longo de �xj é aproximadamente o valor médio de Fmedj ,
F (x) ' Fmedj para x em �xj , obtido dentro de �xj .
Podemos agora obter o elemento de trabalho �Wj no segmento j por
�Wj = F
med
j �x; �xj = �x: (1.62)
1.4. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 17
O trabalho total é então
W =
X
j
Fmedj �x
Esse trabalho é aproximado, pois se usou a aproximação F (x) ' Fmedj .
Para melhorar essa aproximação se faz �x! 0, nesse caso o trabalho total passa a ser
W = lim
�x!0
X
j
Fmedj �x
o limite dessa expressão é
lim
�x!0
X
j
Fmedj �x =
Z xf
xi
F (x) dx
assim o trabalho de uma força cuja intensidade varie suavemente com x é:
W =
Z xf
xi
F (x) dx (1.63)
1.4.5 W de força variável geral: 3-D
No caso 3-D escrevemos a força e o deslocamento in…nitesimal numa forma vetorial:
~F = Fxx^+ Fy |^+ Fz z^;
d~r = dxx^+ dyy^ + dzz^; (1.64)
O trabalho elementar dW é dado pelo produto escalar entr ~F e d~r.
dW = ~F � d~r = Fxdx+ Fydy + Fzdz (1.65)
O trabalho total W é a soma contínua dos trabalhos elementares, i.e.:
W =
Z ~rf
~ri
dW:
onde ~ri = xix^+ yiy^ + ziz^ e ~rf = xf x^+ yf y^ + zf z^:
Assim Z xf
xi
dW =
Z ~rf
~ri
~F � d~r
=
Z xf
xi
Fxdx+
Z yf
yi
Fydy +
Z zf
zi
Fzdz (1.66)
observação: As componentes de ~F podem ser funções de três variáveis, e.g.:
~F (x; y; z) = Fx (x; y; z) x^+ Fy (x; y; z) y^ + Fz (x; y; z) z^
18 CHAPTER 1. ENERGIA
Teorema Trabalho-Energia Cinética: Força Variável
Caso simples
~F (~r) = F (x) x^ (1.67)
Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo x^ e vai de xi até xf . Durante esse movimento a partícula
sofre a ação de uma força ~F = F (x) x^.
O trabalho sobre essa partícula é
W =
Z xf
xi
F (x) dx: (1.68)
Por outro lado essa é a única força atuando na partícula assim ela é a própria força resultante que gera a
aceleração a:
ma = F (x)
Substitui essa expressão em W :
W =
Z xf
xi
madx: (1.69)
Aqui temos uma integração em x, mas o integrando parece não possuir x.
Lembrando que
a =
dv
dt
o integrando pode ser reescrito por
madx = m
dv
dt
dx (1.70)
Agora v deve ser uma função composta que depende de uma função x (t), i.e.: v = v (x (t)). Do cálculo temos a
regra da cadeia
d
dt
v =
dv
dx
dx
dt
substitui em (1.70)
m
dv
dt
dx = m
dv
dx
dx
dt
dx (1.71)
Da de…nição de velocidade v = dx=dt reescrevemos essa expressão por
m
dv
dt
dx = mv
dv
dx
dx
e do cálculo: dvdxdx = dv então
m
dv
dt
dx = mvdv
assim, temos que
madx = mvdv
substituindo na integral, temos:
W =
Z vf
vi
mvdv: (1.72)
como mudou de variável de integração, também se mudou os limites de integração.
Realizando essa integral, obtemos
W =
1
2
mv2f �
1
2
mv2i = Kf �Ki (1.73)
Assim as forças variáveis do tipo ~F (x) também satisfaz o Teorema Trabalho-Energia Cinética.
1.4. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 19
1.4.6 Potência média e instantânea
Potência média Pmed
Também é de interesse conhecer o trabalho médio realizado num dado período de tempo. A grandeza que mede
a razão entre o trabalho W realizado por uma força num dado intervalo de tempo é a potência média.
Pmed =
W
�t
(1.74)
Essa expressão nos mostra que se �t for pequeno Pmed é grande para uma dada quantidade …xa de trabalho.
Isso nos mostra que uma potência média grande para uma quantidade …xa de trabalho W implica na realização
desse trabalho W num curto espaço de tempo, ou seja, W é realizado mais rápido.
Potência instântanea P
É a taxa no tempo instantânea com que o trabalho W é realizado. Ele é de…nido por
P =
dW
dt
: (1.75)
Unidades
No SI, em homenagem a James Watt, a unidade de Potência é chamada de Watt (W ).
1 watt = 1W = 1
J
s
(1.76)
A expressão (1.74) permite que se de…na uma outra unidade de trabalho. O quilowatt-hora
1 kW h = 103W 3600s = 3; 60� 106J (1.77)
ou 3; 6 MegaJoule.
Essa unidade é útil para que se possa estimar o consumo de energia elétrica dos aparelhos.
Exemplo: Um chuveiro possui a potência de 1000 watts. O preço do kWh da energia elétrica é de R$ 0; 44.
Quanto se gasta em 30 dias com um banho de 30 min por dia por pessoa?
Temos: 1000W = 1kW , e 30min = 0; 5h então :
Energia gasta em um banho =1kW � 0; 5h = 0; 5 kWh
custo de um banho no dia = 0; 5 kWh�R$ 0; 44 = R$ 0; 22
30 dias = R$0:22� 30 = R$ 6; 60
Sistema Ingles
Nesse sistema se utiliza o HP (horse power)
1HP = 746 W (1.78)
Potência instantânea de uma Força constante.
Uma partícula que se move na direção x^ sofre a ação de uma força ~F . Seja � o ângulo entre ~F e a direção x^. O
elemento de trabalho dW que é realizado ao longo de uma distância elementar dx é
dW = F cos� dx (1.79)
20 CHAPTER 1. ENERGIA
Essa distância elementar é percorrida num intervalo de tempo elementar dt.
Podemos calcular a potência instantânea P
P =
dW
dt
=
F cos� dx
dt
= F cos�
dx
dt
(1.80)
Lembrando que a velocidade na direção x^ é vx = dx=dt, temos
P = F cos�vx = ~F � ~v
Assim a potência também pode ser obtida diretamente a partir do conhecimento da força ~F aplicada na partícula
e da velocidade ~v da partícula.
1.5 Energia Potencial
A energia potencial U é uma energia associada (ou armazenada) à con…guração de um sistema de corpos que
interagem entre si. Se a con…guração é alterada a energia potencial U muda.
Exemplo: Um sistema Terra e corpo sobre a superfície da Terra. Nessa con…guração o sistema tem uma energia
potencial gravitacional inicial U0.
Se um guindaste levantar o corpo a uma altura h do solo, o sistema Terra-corpo passa a ter uma outra energia
potencial gravitacional U1.
Vamos entender melhor esse exemplo.
Situação 1)
Um corpo de massa m é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial v0.
A energia cinética inicial é
K0 =
1
2
m~v20 (1.81)
A medida que o corpo sobe a força gravitacional realiza um trabalho negativo sobre o corpo.
Wg = ~P � ~h = mgh cos 180o = �mgh
onde ~h é o vetor vertical apontado para cima (direção e sentido do movimento do corpo). Dessa forma Wg retira
energia cinética do corpo. Assim a energia cinética diminui até que ela se torna nula Kf = 0.
1.5. ENERGIA POTENCIAL 21
Para onde foi transferida a energia?
A energia cinética deve ter sido transferida para a energia potencial gravitacional Ug. Assim Ug cresce.
Situação 2)
O corpo de massa m que está a uma altura h é solto e cai.
Sua velocidade inicial é nula.
A força gravitacional realiza trabalho positivo sobre o corpo, pois agora o deslocamento ~h e a força gravitacional
~P atuam paralelamente
Wg = ~P � ~h = mgh cos 00 = mgh: (1.82)
Nesse caso Wg transfere energia para o corpo, a energia cinética K do corpo cresce a medida que ele desce.
De onde Wg retira energia para transferir para o corpo?
A energia é retirada da energia potencial gravitacional Ug que diminui.
1.5.1 Relação entre �U e W
Vimos que a energia potencial gravitacionalvaria nas duas situações anteriores. De…ne-se a variação de energia
potencial por
�U = Uf � Ui: (1.83)
Vamos construir uma relação matemática entre �U e W .
Na situação 1)
22 CHAPTER 1. ENERGIA
A energia cinética diminui até ser nula: Ki = 12m~v
2
0 e Kf = 0 e do Teorema Trabalho-Energia Cinética
Wg = Kf �Ki = �1
2
m~v20 (1.84)
ou seja
Wg < 0: (1.85)
E Wg retira energia cinética e deposita na energia potencial gravitacional, assim
Uf > Ui =) �U > 0 (1.86)
e se pode dizer que
�U = �Wg: (1.87)
Na situação 2)
A energia cinética inicial é nula Ki = 0 e cresce Kf 6= 0 > Ki. Nesse caso o trabalho é positivo, insere energia
cinética
Wg = Kf � 0; !Wg > 0: (1.88)
O trabalho Wg retira energia potencial assim Ui > Uf e a variação de energia potencial deve ser negativa
�U < 0
e se pode dizer que
�U = �Wg: (1.89)
Vemos que nas duas situações temos que a variação da energia potencial é oposto ao trabalho da força gravita-
cional.
�U = �Wg: (1.90)
Podemos agora calcular �U .
Da situação 1)
�U > 0; Wg = �mgh (1.91)
onde h é a altura percorrida. Então
�U = � (�mgh) = mgh: (1.92)
Vimos que
�U = Uf � Ui (1.93)
Da equação de �U = mgh. vemos que há um valor mínimo de U que pode ser zero. E nesse caso temos:
Uf � Ui = mgh! Uf � 0 = mgh! U = mgh (1.94)
A energia potencial depende da altura h.
Isso é consistente?
Vimos que a energia potencial é uma forma de energia associada à con…guração dos corpos de um sistema. No
caso dos corpos interagirem por meio da força gravitacional, essa con…guração é o posicionamento dos corpos em
1.5. ENERGIA POTENCIAL 23
relação aos outros corpos. Assim no caso de um sistema de dois corpos interagindo gravitacionalmente U deve
depender da distância entre eles, que no caso Terra-corpo é dado pela altura h.
O caso da força da mola
A relação:
�U = �W: (1.95)
também é válida para o caso da mola sem ação de forças de atrito ou viscosidade.
Considere um corpo preso à uma mola colocada na horizontal e a outra extremidade da mola está presa à parede.
Esticamos a mola e soltamos. Inicialmente a velocidade do corpo é nula; ~v0 = 0. A força da mola ~Fk = �k~x
apontada para a posição de repouso (ou equilíbrio) da mola acelera o corpo e a sua velocidade cresce. Assim o
trabalho de ~Fk aumenta energia cinética do corpo e, portanto, retira energia potencial, �U < 0. Logo
�U = �W:
A medida que j~xj se aproxima de x = 0 a intensidade
���~F ��� diminui e se torna nula em x = 0. Nesse ponto
podemos dizer que a intensidade j~vj da velocidade do corpo atinge um máximo, j~vj = vmax.
Ao atravessar x = 0 a força da mola muda de sentido e é oposto ao sentido da velocidade
~x = �xx^; ~F = +kx x^ ~v = �vmaxx^ (1.96)
e agora ~Fk trabalha para reduzir a energia cinética (�W ) e transfere essa energia para a energia potencial, �U > 0,
assim
�U = �W:
1.5.2 Forças Conservativas e Dissipativas
Nesses exemplos vimos que a força realiza trabalho contrário �W1 que retira energia cinética do corpo ou realiza o
trabalho a favor +W2 que acrescenta energia cinética ao corpo. Quando ocorre que o trabalho contrário e a favor
satisfazem
W2 = �W1; (1.97)
o trabalho converte a energia numa outra forma de energia, a energia potencial U do sistema. A energia potencial
U depende da con…guração do sistema, toda vez que essa con…guração muda a energia potencial U muda. Nesse
caso as forças que realizam esse trabalho são denominadas de forças conservativas.
Quando isso não ocorre, o trabalho converte a energia numa outra forma que se dispersa e não se consegue mais
por meio do trabalho recuperar essa energia. Nesse caso as forças que realizam essa modalidade de trabalho são
chamadas de forças não-conservativas ou dissipativas.
Exemplo simples: Força de Atrito entre um corpo e uma superfície.
Uma bola lançada com velocidade inicial ~v0 6= 0 para deslisar sobre um gramado, vai perdendo energia cinética
até parar. Nesse caso, no sistema bola-Terra, por meio da força de atrito não se pode retirar energia do sistema e
devolver para a bola adquirir energia cinética novamente.
O tipo de energia que foi para o sistema: Energia Térmica. Ela se dispersa entre a bola e a Terra sendo absorvida
pelos dois corpos. A força de atrito não consegue transformar essa energia em energia cinética.
24 CHAPTER 1. ENERGIA
1.5.3 Forças conservativas: Teoremas
Há dois importantes teoremas satisfeito por forças conservativas.
Nos dois exemplos dos sistemas corpo-Terra e corpo-mola, vimos que o corpo percorre um caminho partindo de
uma posição inicial chegando à uma posição …nal e retorna para a posição inicial. Podemos dizer que esse é um
caminho fechado.
Vimos que numa parte do caminho, digamos ~xi ! ~xf , a força realiza trabalho que transfere energia para o
corpo, e na parte de volta, ~xf ! ~xi a força realiza trabalho que retira energia do corpo.
A força é considerada conservativa se:
1. a soma: energia inserida + energia retirada for nula para qualquer caminho fechado, ou seja:
O trabalho resultante realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move ao longo de
qualquer caminho fechado é nulo.
2. O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula em movimento entre dois pontos é
independente do percurso seguido pela partícula.
O Segundo teorema pode ser mostrado a partir do primeiro.
Seja W 1~xi!~xf o trabalho quando a partícula percorre o caminho ~xi ! ~xf .
Seja W 2~xf!~xi o trabalho quando a partícula percorre o caminho ~xf ! ~xi.
O primeiro teorema diz que para esse caminho fechado o trabalho total é nulo:
W 1~xi!~xf +W
2
~xf!~xi = 0: (1.98)
então, temos
W 1~xi!~xf = �W 2~xf!~xi : (1.99)
Vamos agora mudar o sentido de percurso do caminho 2.
1.5. ENERGIA POTENCIAL 25
Se a força for conservativa esse trabalho será
W 2~xi!~xf = �W 2~xf!~xi (1.100)
Substituindo essa expressão na (1.99), obtemos
W 1~xi!~xf = W
2
~xi!~xf : (1.101)
e o segundo Teorema está provado.
1.5.4 Cálculo de U em 1D
Vamos obter a expressão que permite o cálculo de U (x) para o caso das forças que dependem da posição ~F = ~F (x).
No caso 1D temos
~F = F (x) x^
como o caminho é também ao longo de ~x o deslocamento é d~x = dxx^ e o trabalho é dado por
W =
Z xf
xi
~F � d~x
=
Z xf
xi
F (x) x^ � dxx^ =
Z xf
xi
F (x) dx x^ � x^; x^ � x^ = 1
=
Z xf
xi
F (x) dx
Vimos que
�U = �W
substituindo a expressão de W , temos
�U = �
Z xf
xi
F (x) dx: (1.102)
Aplicações
Energia Potencial Gravitacional.
Escolhemos o eixo y^ apontado para cima com a origem sobre a superfície. Então a força está na direção y^
~F = P y^ = �mgy^ = F (y) y^
26 CHAPTER 1. ENERGIA
O deslocamento é ao longo de y^, d! dy, assim a expressão de �U é reescrita por:
�U = �
Z yf
yi
F (y) dy: (1.103)
substituindo F (y), temos
�U = �
Z yf
yi
(�mg) dy = mg
Z yf
yi
dy:
ou seja
�U = mg (yf � yi) = mg�y
como �y = h a altura, então
�U = mgh: (1.104)
Simpli…cação de �U = mg�y:
Em algumas situações convém simpli…car essa expressão:
Podemos tomar a posição inicial do corpo quando ele está sobre a superfície da Terra como sendo um ponto de
referência para a energia potencial. Nesse caso temos yi = 0 e se convenciona que Ui = 0 nesse ponto.
A equação para �U pode ser reescrita por:
U � Ui = mgy �mgyi
onde se reescreve Uf = U e yf = y.
Usando as escolhas para Ui e yi, temos
U (y) = mgy: (1.105)
Vemos agora que a energia potencial gravitacional U (y) depente apenas da altura y em relação à superfície da
Terra, no qual adota-se, por conveniência, que U (y = 0) = 0.
Energia Potencial Elástica.
Esse é o caso do sistema massa-mola que se move no plano horizontal. Adota-se que a posição de equilíbrio
x0 = 0 é a posição no qual o corpo está em repouso. Seja x o deslocamentoa partir de x0. Nessas condições a
intensidade da força da mola é dada por:
F (x) = �kx: (1.106)
Usando F (x) na expressão de �U (x), temos
�U = �
Z xf
xi
(�kx) dx = k
Z xf
xi
xdx
assim
�U =
1
2
kx2f �
1
2
kx2i :
Escolhendo xi = x0 e associando U (x0) = 0. Obtemos
U (x) =
1
2
kx2; xf = x (1.107)
Temos a expressão da energia potencial elástica.
1.6. ENERGIA MECÂNICA E LEI DE CONSERVAÇÃO 27
1.6 Energia Mecânica e Lei de Conservação
O desenvolvimento da Física, nos mostrou que os processos na Natureza ocorrem de forma a preservar as Leis de
Conservação de Grandezas Físicas e somente a partir do entendimento dessas Leis de Conservação é que se pode
inferir como e em quais condições pode um processo da Natureza violar uma ou mais dessas leis de conservação.
Dessa forma as Leis de Conservação possuem um papel fundamental no entendimento dos processos naturais e por
isso a busca das Leis de Conservação é uma das formas encontradas para se ampliar e desvendar os segredos da
Natureza. Essa busca revelou a existência de novas Leis de Conservação na Mecânica Quântica e junto com elas,
também foram descobertas novas grandezas físicas. Esse conhecimento altera radicalmente a percepção humana da
Natureza.
Aqui na Mecânica Clássica veremos as Leis de Conservação da Energia Mecânica, do Momento linear (quantidade
de movimento linear) e do Momento Angular (quantidade de movimento rotacional).
Forças Conservativas e a Lei de Conservação de Energia
Como vimos a forma como as Leis de Conservação são quebradas é determinada a partir da Lei de Conservação.
Na Mecânica Clássica as leis de conservação são violadas por meio das forças não-conservativas ou dissipativas ao
passo que as forças conservativas preserva as Leis de Conservação.
Classi…cação dos sistemas
No estudo da Lei de Conservação precisamos de…nir características gerais dos sistemas.
Sistema Isolado.
Um sistema isolado é um sistema que não sofre in‡uência de suas vizinhanças, isto é, nenhuma força externa
de origem num objeto fora do sistema pode gerar variações de energia dentro do sistema.
De…nição de Energia Mecânica.
A Energia Total Mecânica é de…nida por
Emec = K + U: (1.108)
onde K = energia cinética e U a energia potencial.
As Forças Conservativas realizam trabalho W . Esse trabalho por sua vez é responsável pela variação da energia
cinética:
�K = Kf �Ki = W: (1.109)
Por outro lado, vimos que a variação da energia potencial �U é dada por
�U = Uf � Ui = �W: (1.110)
Substituindo essa expressão na anterior, temos
�K = ��U (1.111)
ou seja
Kf �Ki = � (Uf � Ui) : (1.112)
Assim
Kf + Uf = Ki + Ui: (1.113)
28 CHAPTER 1. ENERGIA
Essa é a equação que expressa a Lei de Conservação da Energia Mecânica: A energia mecânica …nal Ef é a
mesma que a energia mecânica inicial Ei.
Ef = Ei: (1.114)
Assim, temos que:
Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam variações de energia, as energias cinéticas
e potencial podem variar, mas a energia mecânica total Emec não varia.
A Lei de Conservação de Energia permite que a Energia Total E1 num instante t1 seja relacionada à Energia
Total E2 num outro instante t2.
Note que para essa relação ser estabelecida não foi preciso saber como o sistema evolui do instante t1 até o
instante t2.
Por exemplo: Seja dado um corpo com massa m. Se conhecemos a energia potencial nos pontos x2 (U (x2)) e
x1 (U (x1)) como também a velocidade ~v1 no ponto x1 podemos determinar a velocidade no ponto x2:
Da lei de conservação de energia:
K2 + U2 = K1 + U1
escrevemos
1
2
m~v22 + U2 (x2) =
1
2
m~v21 + U1 (x1)
isolamos K2
1
2
m~v22 =
1
2
m~v21 + U1 (x1)� U2 (x2) ;
e obtemos
~v22 = ~v
2
1 +
2
m
(U1 (x1)� U2 (x2)) : (1.115)
1.7 Energia Potencial - A força e Análise do grá…co
Caso 1-D
A partir da energia potencial podemos extrair a força sobre um corpo.
A análise é a leitura da curva do grá…co da função U (x) e a partir da análise da forma geral dessa curva
poderemos diferenciar os tipos gerais de movimento de partícula sob a ação de forças conservativas.
1.7.1 Determinação de F (x)
Conhecendo-se a expressão de U (x) é possível determinar a expressão da intensidade da força F (x).
Vimos que o trabalho W realizado por uma força de intensidade F (x) quando o corpo percorre uma distância
�x é dado por
W = F (x)�x: (1.116)
Por outro lado, esse trabalho está associado à variação de energia potencial por
�U (x) = �W: (1.117)
Assim podemos escrever
�U (x) = �F (x)�x (1.118)
1.7. ENERGIA POTENCIAL - A FORÇA E ANÁLISE DO GRÁFICO 29
essa expressão pode ser reescrita por
F (x) = ��U (x)
�x
essa é uma expressão média para F (x).
Tomando o limite para �x! 0, obtemos
F (x) = � lim
�x!0
�U (x)
�x
= �dU (x)
dx
: (1.119)
Exercício: obtenha F (x) para U (x) = kx2=2.
1.7.2 Curva da Energia Potencial
Num grá…co de uma função U (x) com variações suaves, podemos ter regiões com retas inclinadas, retas horizontais
e curvas que formam vales ou formam picos, ou seja:
Pontos de reversão e tipo de trajetória
As retas horizontais vermelhas representam o valor da energia total mecânica. É uma reta horizontal pois o
valor dessa energia não muda (Lei de Conservação da Energia) a medida que a posição x varia.
1. Caso partícula com energia total mecânica E1 :
Suponha que a partícula vem de x > x1 em sentido para esquerda, nesse caso E1 > U (x).
Da equação E = K + U (x), obtemos K = E � U (x) > 0.
A reta vermelha E1 intercepta U (x) no ponto x = x1.
Isso signi…ca que E1 = U (x1), subst. em K (x) = E � U (x),
obtemos K (x1) = 0 =) ~v21 = 0. A partícula pára em x1.
Região x < x1. Nessa regão temos: U (x) > E1, então K = E �U (x) < 0. Mas K = 12m~v2 é sempre positivo
ou nulo. Logo essa é uma região proibida.
A partícula só pode ir para a região x > x1, então ela volta e caminha no sentido positivo de x^.
Como na região x > x1 a reta E1 não intercepta U (x) a partícula vai para x!1.
30 CHAPTER 1. ENERGIA
O ponto x = x1 é chamado de ponto de reversão ou re‡exão.
Conclusão: com base nessas considerações podemos dizer que a partícula vem de x =1 vai até x = x1, pára,
e volta para x > 0 indo para 1. Esse tipo de movimento é de uma trajetória aberta.
2. Caso: partícula com energia total mecância E3:
Vemos que há dois pontos de reversão em que E3 = U (x) e entre esses dois pontos E3 > U (x) o que implica
que K = E3 � U (x) > 0.
Conclusão: Pelo que vimos no caso anterior, nesse caso a partícula vai de um ponto ao outro oscilando entre
eles e sua trajetória é fechada.
Os "vales" e "montanhas". Equilíbrio estável e instável
No ponto x2;o fundo do vale.
Suponha que inicialmente colocamos uma partícula na posição x = x2 com E = U (x2).
Assim K = 0 e a partícula está em repouso.
Agora suponha que se aplica um pequeno empurrão na partícula em qualquer uma das direções, isso quer dizer
que E & U (x) e assim j~vj & 0.
Vemos que a partícula vai até um ponto de reversão à direita e volta e vai até um ponto de reversão à esquerda
e volta, ou seja, o movimento é uma pequena oscilação em torno de x = x2 passando por esse ponto.
Dizemos que a tendência do movimento é sempre voltar para o ponto x = x2.
Nesse caso dizemos que o ponto x = x2 é um ponto de equilíbrio estável.
No ponto x3, o topo da montanha
Se aplicarmos um pequeno empurrão para direita, vemos que E > U (x) e a partícula se afasta muito de x3,
mesmo que o empurrão seja quase nula (v0 � 0). Se não houvesse o segundo pico à direita a partícula iria para
x!1. Esse ponto se diz ser um ponto de equilíbrio instável.
Região x > x4. O "platô"
Quando E = U (x4) signi…ca que para qualquer x > x4 K = 0. Isso signi…ca que a partícula permanece sempre
parado em qualquer x > x4. Esses pontos são chamadosde equilíbrio neutro.
O sentido da força
Podemos determinar sentido da força ~Fx = F (x) x^
Entre os pontos x1 e x2.
Em x = x1 K = 0. Para x > x1: K cresce assim como ~v2 logo a partícula está acelerada.
Em x = x2 K = Kmax.
Conclusão: F (x) > 0 pois a partícula está acelerada a medida que x cresce.
Exercício: Determine o sinal de F (x) entre os pontos x2 e x3.
1.8 Sistema de Corpos e Trabalho de Forças Externas
Extensão da de…nição de W para um sistema de corpos.
1.8. SISTEMA DE CORPOS E TRABALHO DE FORÇAS EXTERNAS 31
Seja dado um sistema isolado composto de vários objetos. Nesse caso o trabalho W de uma força externa ao
sistema é de…nido por:
De…nition 2 (Def:) O Trabalho é a energia transferida para um sistema ou retirada dele por meio de uma força
externa que age sobre esse sistema.
1.8.1 Reconhecendo o sistema e as Forças
No caso Sistema = 1 corpo é fácil reconhecer o sistema.
No caso do Sistema com mais de um corpo é preciso ter cuidado para se determinar quais são os corpos do
sistema.
Exemplo.
Arremessando uma bola de basquete num lance livre.
O jogador segura a bola na altura do peito, eleva a bola acima da cabeça com velocidade e deixa a bola
sair das mãos direcionando para a cesta.
Aqui dizemos que o jogador aplica uma força externa sobre a bola, mas qual é o sistema?
Para determinar o sistema devemos analisar do ponto de vista da energia.
Com a bola na altura do peito. Kbola = 0.
Elevando a bola acima da cabeça. K aumenta.
A energia cinética variou �K.
O que mais variou? A distância entre a bola e a superfície da Terra, ou seja, a con…guração bola-Terra.
Assim o sistema é bola+Terra. E o trabalho é
W = �K +�U
As forças nesse exemplo.
A força externa é a força aplicada pelo jogador.
A força interna é a interação gravitacional entre a bola e a Terra.
32 CHAPTER 1. ENERGIA
1.9 Caso: Força de Atrito e a Energia Térmica
A força de atrito é um tipo de força dissipativa (não conservativa) isso signi…ca que a energia mecânica não se
conserva e vai ocorrer �Emec 6= 0.
Seja dado inicialmente um bloco de massa m e velocidade inicial ~v0 = v0x^ deslisando com atrito sobre uma
superfície horizontal. Denote por ~fk = �fkx^ a força de atrito.
A seguir aplica-se uma força ~F = Fx^ que acelera o bloco durante um percurso de comprimento d.
Podemos usar o princípio de superposição de forças:
F � fk = ma (1.120)
onde ma é a intensidade da força resultante.
Como as forças são constantes o bloco realiza um M.R.U.V. e como aqui não temos a informação sobre o tempo
gasto, devemos usar
v2 = v20 + 2mad (1.121)
isolando a dessa expressão e substituindo em (1.120), obtemos
Fd =
1
2
mv2 � 1
2
mv20 + fkd: (1.122)
Exercício: Usando as equações (1.120) e (1.121) obtenha (1.122):
Nessa equação temos o termo de variação da energia cinética
�K =
1
2
mv2 � 1
2
mv20 (1.123)
e os trabalhos da força aplica e da força de atrito, respectivamente:
Waplic = Fd; (1.124)
Wat = fkd:
A equação (1.122) pode ser reescrita por
Waplic = �K +Wat (1.125)
1.10. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 33
Como o bloco se mantém sobre a superfície a sua energia potencial se mantém constante �U = 0 e temos que
a variação da energia mecânica é
�Emec = �K (1.126)
e se reescreve
Waplic = �Emec +Wat (1.127)
O efeito do trabalho da força de atrito é dispersar a energia entre os corpos (bloco + superfície). Da experiência
sabemos que essa energia aquece os corpos. Assim esse trabalho gera uma variação da energia térmica do sistema
bloco + superfície.
Wat = �Eterm
e assim obtemos
Waplic = �Emec +�Eterm: (1.128)
Veja agora que o trabalho realizado pela força externa (= força aplicada) é sobre o sistema bloco+superfície.
1.10 Conservação da energia
Na secção anterior vimos que há uma outra forma de energia: A energia térmica. Essa forma de energia é mais bem
estudada dentro da Termodinâmica. No exemplo, inferimos a sua existência como resultado do efeito do trabalho
realizado pela força de atrito e pela experiência que temos em aquecer as mãos atritando-as.
No caso de um corpo extenso, consideramos o corpo como sendo um sistema com muitas partículas. Essas
partículas interagem entre si dentro do corpo. Essas forças são genéricamente denominadas de forças internas.
Como força realiza trabalho e trabalho realiza a variação da energia, podemos inferir das forças internas que deve
existir a energia interna �Eint. De fato no estudo da Termodinâmica dos sistemas existe a energia interna do
sistema.
Vimos que o trabalho W de uma força externa realiza a variação da energia do sistema �E
W = �Emec +�Eterm
Podemos extender essa expressão para incluir a variação da energia interna
W = �Emec +�Eterm +�Eint: (1.129)
Essas expressões são , na realidade, inferidas a partir das muitas observações realizadas sobre o comportamento
físico dos sistemas. Aqui apenas motivamos por meio de exemplos simples a sua forma.
A lei de conservação de energia mais geral, foi primeiramente estabelecido também a partir de observações
realizadas sobre vários sistemas físicos em diversas situações. As leis de conservação da mecânica podem ser
deduzidas de princípios mais gerais, mas isso está além do escopo dessa disciplina.
O sistema isolado
Um sistema isolado signi…ca que não há interações entre o sistema e suas vizinhanças. Dessa forma não
ocorre trocas de energia entre o sistema e suas vizinhanças. Nesse caso a lei de conservação estabelece que:
A energia total E de um sistema isolado não pode variar.
34 CHAPTER 1. ENERGIA
Nesse caso ocorre que o trabalho da força externa W = 0 e a lei de conservação de energia é equacionada por
�Emec +�Eterm +�Eint = 0: (1.130)
Pode-se também notar que a energia mecânica pode variar em instantes diferentes
�Emec = Emec2 � Emec1
substituindo, temos
Emec2 = Emec1 � (�Eterm +�Eint) (1.131)
Essa expressão nos diz que a variação da energia mecânica em instantes diferentes independe do caminho
percorrido pelo sistema.
Aplicação de Análises Baseado na Energia do Sistema
Entendendo como as energias se comportam podemos obter informações que nos mostra como proceder em
diversas situações.
Exemplo: Isolamento Térmico.
Um problema que enfrentamos aqui em Rio Grande é o isolamento térmico das casas.
Porque as janelas de vidro duplo isolam melhor? Esse efeito não seria o mesmo se usássemos um vidro com
espessura dupla?
Vamos lembrar o enunciado da lei de conservação de energia:
A energia total E de um sistema isolado não pode variar.
Note que precisamos de um sistema isolado.
Isso signi…ca que não pode haver um meio que permita a comunicação entre o sistema e sua vizinhança.
Um vidro de espessura dupla pode impedir a passagem de ar, mas ele é um meio que permite a transmissão de
energia na direção da sua espessura.
O vidro duplo.
Entre os vidros, temos uma pequena região de ar, que é menos denso que o vidro. Assim nessa região há
menos matéria para transmitir energia. O isolamento do sistema é melhor.
É por essa razão que as melhores garrafas térmicas são feita por recepientes de vidro duplo.
O espelhamento interno.
Esse espelhamento faz com que a energia transmitida por meio de radiação não atravesse o vidro e seja
re‡etida de volta para dentro da garrafa.