01 - Geometria Mongeana: Introdução

Prévia do material em texto

FURG – Escola de Engenharia 
Expressão Gráfica I 
 
Laboratório de Expressão Gráfica – EE/FURG 
 
1 
 
GEOMETRIA MONGEANA 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 
 
1.1 DEFINIÇÃO 
 
 Geometria Descritiva é a ciência que ensina a representar, sobre um plano, os 
elementos do espaço, tornando possível resolver graficamente os problemas relativos à sua 
forma, grandeza e posição. 
 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS PROJETIVOS 
 
Centro de 
Projeção 
Sistema de 
Projeções 
Projetantes Processos 
Representação 
do Objeto 
Distância 
Infinita 
Cilíndricas 
ou 
Paralelas 
Ortogonais 
 
Oblíquas 
Método Mongeano 
 
Perspectivas: 
 
Cavaleira e 
Axonométrica 
Real (Igual ou 
Proporcional) 
Convencional 
Distância 
Finita 
Cônicas, 
Centrais ou 
Polares 
Convergentes (ao 
centro de projeção) 
Perspectiva Linear 
Exata 
Aparente 
 
 Considere-se um triângulo ABC no espaço, situado em um plano qualquer, e um 
observador localizado a uma distância infinita deste plano. Ao passar-se um raio visual, em 
uma direção, do local em que se encontra o observador pelo triângulo ABC até o plano π, 
nota-se que o triângulo AπBπCπ, será a projeção do triângulo ABC sobre π e as retas AAπ, 
BBπ, CCπ serão as projetantes. 
 Quando as projetantes forem paralelas à direção de observação tem-se um sistema 
de projeções “Cilíndricas ou Paralelas”. 
 Nestas condições, utilizando-se um processo de representação chamado Método 
Mongeano,obtém-se o objeto representado em sua forma real. 
 
 
 
Quando o observador se localizar a uma distância finita do plano, as projetantes são 
convergentes ao centro de projeção e tem-se um sistema de projeções “Cônicas, Centrais 
FURG – Escola de Engenharia 
Expressão Gráfica I 
 
Laboratório de Expressão Gráfica – EE/FURG 
 
2 
 
ou Polares”. Nestas condições, utilizando um processo de perspectiva linear exata, obtém-
se uma representação aparente do objeto. 
 
 
 
1.3 MÉTODO MONGEANO 
 
Gaspard Monge (1746 – 1818) foi 
quem sistematizou e metodizou o estudo da 
Geometria Descritiva. Monge imaginou dois 
planos cortando-se perpendicularmente e os 
chamou de plano vertical e horizontal de 
projeção. 
 
Características dos planos: 
 São ortogonais entre si, π  π'; 
 São opacos (não permitem 
visibilidade); 
 π'  π  π'π, a intersecção dos 
planos, gera a Linha de Terra. 
 
 
 
Linha de terra: é a resultante da intersecção do plano horizontal com o plano vertical 
de projeção. Esses planos projetáveis, perpendiculares entre si, dividem o espaço 
geométrico em quatro regiões, que são os diedros, numerados no sentido anti-horário. 
 
Ângulo diedro: é o ângulo de 90º formado pela intersecção de dois planos 
(quadrantes). 
 
Posição do observador em Geometria Mongeana: localiza-se em pé sobre πa, 
posicionado no infinito, olhando para π's. Esta posição é fixa. Vê o que está em πa, π's e 
π'π, ou seja, somente o que se refere ao I Diedro. 
 
FURG – Escola de Engenharia 
Expressão Gráfica I 
 
Laboratório de Expressão Gráfica – EE/FURG 
 
3 
 
 
 
Representação espacial dos planos em épura: para que se possa representar no 
plano as figuras do espaço, faz-se o rebatimento do plano horizontal sobre o plano vertical 
(no sentido horário). Tal processo consiste em fazê-lo girar 90° em torno da linha de terra, 
de modo que πa venha a ficar em coincidência com π'i, e conseqüentemente πp também 
venha a coincidir com π's. 
 
 
 
Depois do rebatimento, tem-se a épura em que a linha de terra é representada por 
uma linha horizontal π'π. Na prática é dispensado o uso dessas letras gregas, colocando-se 
apenas dois pequenos traços horizontais, abaixo de suas extremidades. 
Os planos π's e πp se situam acima da linha de terra. Desse modo, π'i e πa se 
encontram abaixo da mesma. 
 
 
FURG – Escola de Engenharia 
Expressão Gráfica I 
 
Laboratório de Expressão Gráfica – EE/FURG 
 
4 
 
ANEXO 
 
Convenção Utilizada 
 
A notação utilizada é a Cremoniana (Luigi Cremona, geômetra italiano: 1830 - 1903) 
 
Pontos - letras maiúsculas latinas: A, B, C, ... 
Retas - letras minúsculas latinas: a, b, c, ... 
Planos - letras gregas minúsculas: 
,...,, 
 
π  Plano horizontal de projeção 
π'  Plano vertical de projeção 
πa  Semiplano horizontal anterior 
πp  Semiplano horizontal posterior 
π's  Semiplano vertical superior 
π'i  Semiplano vertical inferior 
π'π  Linha de Terra 
 
Alfabeto Grego 
 
Alfa   
Beta   
Gama   
Delta   
Epsílon   
Dzeta   
Eta   
Teta   
Iota   
Capa   
Lambda   
Mi   
 
Ni   
Csi   
Ômicron   
Pi   
Rô   
Sigma   
Tau   
Ípsilon   
Fi   
Qui   
Psi   
Ômega   
 
 
Traçado 
 
 
 
Ver também: NBR 8403: 
Aplicação de linhas em desenhos – Tipos de linhas – Larguras de Linhas