02 - Geometria Mongeana: Estudo do Ponto

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FURG – Escola de Engenharia 
Expressão Gráfica I 
 
 
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GEOMETRIA MONGEANA 
CAPÍTULO 2: ESTUDO DO PONTO 
 
2.1 REPRESENTAÇÃO 
 
A determinação da projeção de um ponto (P), pelo Método Mongeano, consiste em 
determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares, um horizontal 
representado por π e outro vertical π’, que se interceptam na linha de terra. 
 
Projeção ortogonal: é o pé da perpendicular traçada do ponto do espaço ao plano. 
Projetante: é a perpendicular traçada do ponto do espaço ao plano. 
 
Por convenção, considera-se o ponto (O) como centro de projeção situado na frente 
do plano vertical, acima do plano horizontal e a uma distância infinita deles. 
Sobre cada plano, a projeção do ponto (P) é o pé da perpendicular baixada deste 
sobre o plano. O ponto (Po) fica bem determinado pelas intersecções P(P) e P’(P). 
O ponto (P) no espaço é representado por letra latina maiúscula entre parênteses. A 
projeção do ponto (P) no plano horizontal π é indicada pela mesma letra maiúscula sem 
parênteses “P”. Já no plano vertical π' utiliza-se um sinal linear (apóstrofe) após a letra “P' ”, 
lendo-se “Pê Linha”. 
 
(P)  Ponto no espaço 
P  Projeção do ponto (P) no plano horizontal π 
P'  Projeção do ponto (P) no plano vertical π' 
 
 
2.2 COORDENADAS DE UM PONTO 
 
Seja (P) o ponto no espaço, sua notação fica definida pelas seguintes coordenadas: 
 
(P) ( Z ; X ; Y ) 
    
 Abcissa Afo Cota 
 
Abcissa, afastamento e cota constituem o sistema de coordenadas completas do 
ponto. São medidas quaisquer - acompanhadas de sinal - pelas quais se identifica o ponto 
no diedro, semiplano ou plano. 
 
Abcissa: distância tomada sobre a linha de 
terra, a partir do ponto zero, considerado origem e 
arbitrariamente marcado sobre aquela linha, até a 
linha de chamada, onde se localiza Po. 
Correspondente ao eixo Z. 
 
Afastamento (AFO): distância do ponto ao 
plano vertical de projeção. Correspondente ao eixo X. 
 
Cota: distância do ponto ao plano horizontal de projeção. Correspondente ao eixo Y. 
 
Linha de chamada: linha que liga as projeções de um ponto à linha de terra. 
 
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Será adotada a seguinte ordenação das coordenadas, seguindo certa ordem 
alfabética: 
 (Ponto) (abcissa; afastamento; cota) 
 
Exemplo: (A) (+3; +5; +4) 
(B) (+7; -2; +5) 
 
Representação em épura: as duas projeções de um ponto situam-se numa mesma 
perpendicular à linha de terra, denominada linha de chamada. 
 
 
 
2.3 REGRA DOS SINAIS 
 
No espaço: a cota é positiva quando acima do plano horizontal de projeção π, 
portanto no primeiro ou segundo diedro. Será negativa quando abaixo deste plano, ou seja, 
no terceiro ou quarto diedro. 
O afastamento é positivo quando se encontra a frente ou à direita do plano vertical 
π', isto é, no primeiro ou no quarto diedro. É negativo quando atrás ou à esquerda do plano 
de projeção vertical, no segundo ou no terceiro diedro. 
OBS.: Pode-se comparar o sinal da cota e do afastamento, com o círculo de 
valores trigonométricos (seno e cosseno). 
 
 
 
A Abcissa será positiva, quando tomada à direita da origem, e negativa quando se 
localizar à esquerda da mesma. 
 
Em épura: a cota é positiva acima da linha de terra, e negativa abaixo da mesma. 
 O afastamento é positivo abaixo da linha de terra, e negativo acima da mesma. 
 A abcissa será positiva quando tomada à direita da origem, e negativa quando se 
localizar à esquerda da mesma. 
 
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2.4 POSIÇÕES FUNDAMENTAIS DO PONTO 
 
 Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes. 
 
1.ª Posição: ponto no primeiro diedro. 
EX.: (P) (+...;+...;+...) 
 
 
 
2.ª Posição: ponto no segundo diedro. 
EX.: (P) (+...;-...;+...) 
 
 
 
 
 
 
 
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3.ª Posição: ponto no terceiro diedro. 
EX.: (P) (+...;-...;-...) 
 
 
 
4.ª Posição: ponto no quarto diedro. 
EX.: (P) (+...;+...;-...) 
 
 
 
5.ª Posição: ponto no plano π's. 
EX.: (P) (+...;0;+...) 
 
 
 
 
 
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6.ª Posição: ponto no plano π'i. 
EX.: (P) (+...;0;-...) 
 
 
 
7.ª Posição: ponto no plano πa. 
EX.: (P) (+...;+...;0) 
 
 
 
8.ª Posição: ponto no plano πp. 
EX.: (P) (+...;-...;0) 
 
 
 
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9.ª Posição: ponto em π'π. 
EX.: (P) (+...;0;0)