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3 3 MATEMATICA - EXERCICIOS PROPOSTOS - VOLUME 3

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FRENTE 1 – ÁLGEBRA
– 1
1. Ache as raízes quartas do número complexo 
z = 16 (cos 120º + i sen 120°).
RESOLUÇÃO:
 z1 = 2 (cos 30º + i sen 30º)
 z2 = 2 (cos 120º + i sen 120º)
 z3 = 2 (cos 210º + i sen 210º)
 z4 = 2 (cos 300º + i sen 300º)
 z1 = ���3 + i
 z2 = –1 + ���3 i
 z3 = – ���3 – i
 z4 = 1 – ���3 i
Obs.:
Os afixos das raízes quartas de z são vértices de um quadrado inscrito na
circunferência com centro na origem e raio 2.
2. (UNESP) – As soluções da equação z3 = i, em que z é um número
complexo e i2 = – 1, são:
a) z = ± + i ou z = – i.
b) z = ± – i ou z = – i.
c) z = ± + i ou z = – i.
d) z = ± – i ou z = – i.
e) z = ± – i ou z = – i.
RESOLUÇÃO:
As raízes da equação z3 = i são as raízes cúbicas (z1, z2 e z3) do número 
i = 1 . (cos 90° + i . sen 90°)
Logo:
z1 = 1 . (cos 30° + i . sen 30°) = + i 
z2 = 1 . (cos 150° + i . sen 150°) = – + i 
z3 = 1 . (cos 270° + i . sen 270°) = – i
Resposta: C
3. (UNIP) – Os afixos das raízes sextas do número 64 são, no plano
complexo, os vértices de um polígono regular, cuja área vale:
a) 2���3 b) ���6 c) 6���3 d) 3���3 e) 10���3 
RESOLUÇÃO:
Uma das raízes sextas de 64 é igual a 2. Os afixos dessas raízes pertencem
à circun ferên cia de centro na origem e raio 2 e são vértices de um
hexágono regular, cujo lado mede 2.
 22 . ���3 
A área desse polígono é 6 . –––––––– = 6���3
 
4
 
Resposta: C
MÓDULO 37
RADICIAÇÃO EM �
1
–––
2
���2
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���2
––––
2
���3
––––
2
1
–––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 1
4. (UFSM-2012) – Oscar Niemeyer é um arquiteto brasileiro, con siderado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna inter na cional.
Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico impor tante da cidade de
Santa Maria. Observe a vista aérea do planetário e a representação, no plano Argand-Gauss, dos números complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela
divisão do círculo de raio 14 em 12 partes iguais.
http://www.maps.google.com.br (adaptado)
Considere as seguintes afirmações:
I. z2 = 7���3 + 14i II. z11 = 
–z3 III. z5 = z4 . 
–z11
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado e a figura, temos �z1� = �z2� = �z3� = … = �z12� = 14 e os argumentos de z1 . z2 . z3 . … . z12 são, respectivamente, iguais a 0°, 30°,
60°, … , 330°.
Assim:
I) é falsa, pois z2 = 14 (cos 30° + i sen 30°) = 14 + i . = 7���3 + 7i 
II) é verdadeira, pois 
 
z11 = 14 (cos 300° + i sen 300°) = 14 – i . = 7 – 7���3 i 
 
–z3 = 14 (cos 60° – i sen 60°) = 14 – i = 7 – 7���3 i 
III) é falsa, pois 
 
z5 = 14 (cos 120° + i sen 120°) = 14 – + i = – 7 + 7���3 i 
 
z4 . 
–z11 = 14 (cos 90° + i sen 90°) . 14 (cos 300° – i sen 300°) = 196i – i = – 98���3 + 98i
Resposta: B 
� ���3––––2
1
––
2 �
� 1––2
���3
––––
2 �
����3––––2
1
––
2�
����3––––2
1
––
2�
����3––––2
1
––
2�
2 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 2
1. (ESPCEX-2012) – Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que – 1 é raiz de A(x) e
3 é raiz de B(x), então A(3) – B(– 1) é igual a:
a) 98 b) 100 c) 102 d) 103 e) 105
RESOLUÇÃO:
⇒ ⇒
⇒ ⇒ A(3) – B(– 1) = 102
Resposta: C
2. Em relação ao polinômio P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)…(x – 9), é
falso afirmar que
a) seu grau é 9.
b) o coeficiente de x9 é 1.
c) suas raízes estão em progressão aritmética.
d) 0 é raiz.
e) todas as suas raízes são reais.
Resposta: D
3. Um polinômio P(x), do 3o. grau e coeficientes reais, tem seu
gráfico esboçado abaixo. Utilizando as informações da figura,
podemos concluir que o valor de P(4) é
a) 6 b) 8 c) 21 d) 36 e) 42
RESOLUÇÃO:
As raízes de P(x) são r1 = –3, r2 = 1 e r3 = 2.
Portanto, p(x) = a (x + 3) (x–1) (x –2 ), com a ≠ 0.
Como P(0) = 3, resulta 
a . (0 + 3) (0 – 1) (0 – 2) = 3 ⇔ a = 
Então, P(x) = . (x + 3) (x – 1) (x – 2) 
e P(4) = . (4 + 3) (4 – 1) (4 – 2) = 21
Resposta: C
 
4. (ESPM) – Se = + para 
qualquer x real não nulo, o valor da expressão (b – c)a é igual a:
a) 2 b) – 1 c) ���2 d) –
 
e) 
RESOLUÇÃO:
= + ⇔
⇔ = ⇔
⇔ 1 = ax2 + 2ax + 2a + bx2 + cx ⇔ 1 = (a + b)x2 + (2a + c)x + 2a ⇔
⇔ ⇔
Logo, (b – c)a = – + 1 = = = 
Respsosta: E
1
––
2
1
––
2
1
––
2
bx + c
–––––––––––
x2 + 2x + 2
a
–––
x
1
–––––––––––––
x3 + 2x2 + 2x
���2
––––
2
1
–––2
bx + c
–––––––––––
x2 + 2x + 2
a
–––
x
1
––––––––––––
x3 + 2x2 + 2x
a(x2 + 2x + 2) + x(bx + c)
––––––––––––––––––––––––
x(x2 + 2x + 2)
1
––––––––––––
x(x2 + 2x + 2)
1
a = –––
2
1
b = – –––
2
c = – 1
�a + b = 02a + c = 02a = 1�
���2
––––
2
1
–––
2
1
–––
2
�1–––2�
1
–––
2
�1–––2�
�A(x) = B(x) + 3x
3 + 2x2 + x + 1
– 1 é raiz de A(x) ⇒ A(– 1) = 0
3 é raiz de B(x) ⇒ B(3) = 0
�0 = B(– 1) – 3 + 2 – 1 + 1A(3) = 0 + 81 + 18 + 3 + 1
�– B(– 1) = – 1A(3) = 103
MÓDULO 38
DEFINIÇÃO DE POLINÔMIOS, GRAU, 
VALOR NUMÉRICO E IDENTIDADE
– 3
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 3
1. Dividir 
A(x) = 6x4 + 9x3 – 15x + 9 por B(x) = x2 – x – 2, utilizando o método
da chave.
RESOLUÇÃO:
 
 
 
––––––––––––––––––––––––––
 15x3 + 12x2 – 15x + 9
 –15x3 + 15x2 + 30x
 ––––––––––––––––––––––
 27x2 + 15x + 9
 – 27x2 + 27x + 54
 ––––––––––––––––––
 42x + 63
Resposta: Q(x) = 6x2 + 15x + 27 R(x) = 42x + 63
2. (UDESC-2012) – Sejam q(x) e r(x), respectivamente o quociente
e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por 
g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é
igual a:
a) –
 
b) 3 c) 
 
d) 5 e) 
 
RESOLUÇÃO:
Efetuando a divisão de f(x) por g(x), pelo método da chave, obtém-se
 
 
 
––––––––––––––––––––––––––
 – 4x3 – 12x2 – 3x + 7
 + 4x3 + 2x2 + 2x
 ––––––––––––––––––––––
 – 10x2 – x + 7
 + 10x2 + 5x + 5
 ––––––––––––––––––
 4x + 12
Então
Se x1 e x2 são as raízes de q(x) e x3 é a raiz de r(x), temos
(x1 . x2) . x3 = . (– 3) = 5
Resposta: D
3. (UNICAMP) – Determine o quociente e o resto da divisão de 
x100 + x + 1 por x2 – 1.
RESOLUÇÃO:
 
 
 
 
––––––––––––––––––––––––––
x98 + x + 1
 – x98 + x96 
 ––––––––––––––––––––
 x96 + x + 1
 – – – – – – –
 – – – – – – –
 –––––––––––––––
 x2 + x + 1
 – x2 + 1
 –––––––––––––
 x + 2
Resposta: O quociente é Q(x) = x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1 e 
o resto é R(x) = x + 2.
4. Sabe-se que o polinômio P(x) =x5 + mx + n (m, n ∈ �) é divisível
por x2 + 1. Então, o valor de m + n é
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
RESOLUÇÃO:
A divisão de P(x) por x2 + 1, utilizando o método da chave, resulta:
 
 
 
–––––––––––––––––––––––––––––
– x3 + 0x2 + mx + n
 + x3 + x 
 ––––––––––––––––––––
 (m + 1)x + n
Para (m + 1)x + n = 0, tem-se m = – 1 e n = 0.
Logo, m + n = – 1 + 0 = – 1
Resposta: A
 
x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + mx + n
– x5 – x3
x2 + 1
x3 – x
x2 – 1
x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1
x100 + + x + 1
– x100 + x98
7
–––3
3
–––5
5
–––3
6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7
– 6x4 – 3x3 – 3x2
 
2x2 + x + 1
3x2 – 2x – 5
�q(x) = 3x
2
– 2x – 5
r(x) = 4x + 12
� – 5––––3 �
MÓDULO 39
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
x2 – x – 2
6x2 + 15x + 27
6x4 + 9x3 + 0x2 – 15x + 9
– 6x4 + 6x3 + 12x2
 
4 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 4
Nas questões de 1 a 4, calcular o quociente e o resto das divisões
utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini.
1. 
RESOLUÇÃO:
 
 
 
 Resposta: 
 6 3 6 12Q(x) = –– x3 + –– x2 + –– x + ––– = 2x3 + x2 + 2x + 4
 3 3 3 3
r = 11
2. 
RESOLUÇÃO:
 
 
 2 2 10 4 Resposta: Q(x) = –– x3 + –– x2 – ––– x + –– = x3 + x2 – 5x + 2
 2 2 2 2 
 r = – 11 
3. 
RESOLUÇÃO:
 
Resposta: Q(x) = 2x3 – x2 – 5x + 1 e r = 8
4. 
RESOLUÇÃO:
Resposta: Q(x) = x4 + 3x3 – 6x2 + 2x – 4 e r = 23
5. (UEPG) – Na divisão do polinômio p(x) = x5 – 3x3 – 6 por 
s(x) = x – 2, obtêm-se quociente q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e e
resto r(x) = f. Isto posto, assinale o que for correto.
01) a = c 02) b = d 04) a + b = 4
08) f = 2 16) b + d = e
RESOLUÇÃO:
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para obter q(x) e r(x),
temos:
Assim, ∀x ∈ �, resulta x4 + 2x3 + x2 + 2x + 4 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 
e r(x) = f = 2 ⇔ 
As afirmações verdadeiras são 01, 02, 08 e 16.
6. (ESPM) – O volume e a altura de um prisma são expressos pelos
polinômios V(x) = x3 − 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1, respectivamente,
sendo x um real estritamente positivo. O menor valor que a área da
base desse prisma pode assumir é igual a:
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
RESOLUÇÃO:
Sendo S(x) a área da base desse prisma, temos que V(x) = S(x) . A(x). 
S(x) pode ser obtido dividindo-se V(x) por A(x). Utilizando-se o
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, resulta
Então, S(x) = x2 – 4x + 6. O menor valor que S(x) pode assumir é dado pela
ordenada yv do vértice da parábola que representa S(x), isto é, 
yv = = = 2
 Resposta: C
x5 + 5x4 – 10x2 + 15 x + 2
1 5 0 –10 0 15 
1 3 – 6 2 – 4 23
– 2
1 0 – 3 0 0 – 6 2
1 2 1 2 4 2 
�
a = 1
b = 2
c = 1
d = 2
e = 4
f = 2
1 – 3 2 6 – 1
1 – 4 6 0 
x – 52x4 – 11x3 + 26x + 3
52 – 11 0 26 3 
2 – 1 – 5 1 8 
2x + 32x4 + 5x3 – 7x2 – 11x – 5
3
– –––
2
– 5
– 11
– 11
4
– 7
– 10
5
2
2
2
MÓDULO 40
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI 
E TEOREMA DO RESTO
3x – 66x4 – 9x3 – 13
6 –9 0 0 – 13 || 2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6 3 6 12 11 ||
8
–––
4
– Δ
––––
4a
– 5
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 5
1. (UFTM) – Dividindo-se o polinômio 
p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são
iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a 
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 3
RESOLUÇÃO:
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ 
⇒ ⇒ 2 + m = 6 – m ⇒ 2 m = 4 ⇒ m = 2
Resposta: D
2. (UNIMONTES) – O resto da divisão do polinômio x12 + 16 por 
x + 
3
���2 é igual a:
a) 16 
3
���2 b) 8 
3
���2 c) 32 d) 16
RESOLUÇÃO:
Seja P(x) = x12 + 16
⇔ P(x) = (x + 
3
���2 ) . Q(x) + r ⇒
⇒ P(– 
3
���2 ) = r ⇒ r = (– 
3
���2 )12 + 16 ⇒ r = 16 + 16 = 32
Resposta: C
3. (FUVEST) – O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são
números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1,
respectivamente. Assim, o valor de a é
a) – 6 b) – 7 c) – 8 d) – 9 e) – 10 
 
RESOLUÇÃO:
Se os restos das divisões de p(x) = x3 + ax2 + bx por x – 2 e por x – 1 são,
respectivamente, iguais a 2 e 4, então:
⇔ ⇔
Resposta: A
4. Se P(x) for um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está re -
presen tado na figura,
o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:
a) 0 b) 16 c) – 12 d) – 16 e) 12
RESOLUÇÃO:
As raízes reais de P(x) são – 1, 1 e 2 e, além disso, P(0) = 2.
Temos, portanto:
⇒
⇒ a . (1) . (– 1) . (– 2) = 2 ⇒ a = 1
Logo, P(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2).
O resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a 
P(– 2) = (– 2 + 1)(– 2 – 1)(– 2 – 2) = – 12
Resposta: C
5. (BARRO BRANCO-2012) – Um polinômio p(x) deixa resto 
1 quando dividido por (x – 3) e resto 4 quando dividido por (x + 1).
O resto da divisão desse polinômio por (x – 3)(x + 1) é:
a) – x + . b) – x + .
 
c) x + 4. d) 4. 
e) x + .
 
RESOLUÇÃO:
⇒ ⇒
� p(2) = 2p(1) = 4 �
8 + 4a + 2b = 2
1 + a + b = 4 �
a = – 6
b = 9
x + 
3
���2
Q(x)
P(x)
r
P(x) = (x – 1) . Q1(x) + r
P(x) = (x + 1) . Q2(x) + r��
3 – 2 + m + 1 = r
3 + 2 – m + 1 = r�
P(1) = r
P(– 1) = r�
2 + m = r
6 – m = r�
P(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2), a ≠ 0
P(0) = 2�
1
–––
4
3
–––
4
13
–––
4
3
–––
4
3
–––
4
1
–––
4
p(x) x – 3
1 Q1 (x)
p(x) x + 1
4 Q2 (x)
p(x) (x – 3)(x + 1)
ax + b Q(x)
R(x)
p(3) = 1
p(– 1) = 4
p(3) = 3a + b
p(– 1) = – a + b�
P(x) 
 
r 
x – 1
Q1(x)
P(x) 
 
r 
x + 1
Q2(x)
MÓDULO 41
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI 
E TEOREMA DO RESTO
6 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 6
⇒ ⇒
Portanto, R(x) = ax + b = – x + .
Resposta: A
1. (FGV-RJ-2012) – A equação polinomial x3 – x2 – 16x – 20 = 0
tem raízes x1, x2 e x3. O valor da expressão + + é:
a) 1 b) – c) d) e) –
RESOLUÇÃO:
+ + = =
= = = 
Resposta: E
2. (FUVEST) – Sabe-se que o produto de duas raízes da equação
algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, o valor de k é:
a) – 8 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 8
RESOLUÇÃO:
Sejam r1, r2 e r3 as raízes.
Do enunciado e das Relações de Girard, temos
�
r1 . r2 = 1
 – a3 – 4 ⇒ r3 = – 2r1 . r2 . r3 = ––––– = ––––
 a0 2
Se – 2 é raiz da equação, então
2 . (– 2)3 – (– 2)2 + k . (– 2) + 4 = 0 ⇒ – 16 – 4 – 2k + 4 = 0 ⇒ k = – 8
Resposta: A
3. (UNESP-2012) – Dado que as raízes da equação 
x3 – 3x2 – x + k = 0, em que k é uma constante real, formam uma
progressão arit mé tica, o valor de k é:
a) – 5. b) – 3. c) 0. d) 3. e) 5.
RESOLUÇÃO:
Sea – r; a; a + r forem as raízes da equação 
x3 – 3x2 – x + k = 0, então:
(a – r) + a + (a + r) = 3 ⇔ a = 1
Uma das raízes da equação é 1 e, portanto: 
13 – 3 . 12 – 1 + k = 0 ⇔ k = 3
Resposta: D
4. As raízes da equação x3 + mx2 + px – 216 = 0 são reais e estão em
progressão geométrica. Se m e p são números reais, então resulta
a) 2 b) – 2 c) – 3 d) 3 e) – 6
RESOLUÇÃO:
Sejam r1 = , r2 = a e r3 = a . q as raízes da equação em progressão 
geométrica de razão igual a q.
Como r1 . r2 . r3 = 216, então . a . aq = 216 ⇔ a3 = 216 ⇔ a = 6
Sendo 6 raiz da equação, devemos ter 
63 + m . 62 + p . 6 – 216 = 0
216 + 36m + 6p – 216 = 0
6p + 36m = 0 ⇔ p = – 6m ⇔ = – 6 
Resposta: E
1
–––
x3
1
–––
x2
1
–––
x1
4
––
5
3
––
4
4
––
5
3
––
4
x2.x3 + x1.x3 + x1.x2
–––––––––––––––––––
x1. x2.x3 
1
––––
x3
1
––––
x2
1
––––
x1
– 4
––––
5
– 16
––––
20
– 16
–––––
1
–––––––––
– 20
– –––––
1
MÓDULO 42
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: RELAÇÕES DE GIRARD
3
a = – –––
4
13
b = ––––
4
�3a + b = 1– a + b = 4�
13
–––
4
3
–––
4
p
–––
m
a
–––q
a
–––q
p
–––
m
– 7
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 7
5. A soma dos quadrados das raízes da equação 
2x3 + 4x2 + 5x – 1 = 0 é igual a
a) – 1 b) – 2 c) 1 d) 4 e) 
RESOLUÇÃO:
Sendo a, b e c as raízes da equação, temos
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ a2 + b2 + c2 + 2 . = 4 ⇒ a2 + b2 + c2 = – 1 
Resposta: A
1. Seja o polinômio P(x) = (x – 2)2 . (x2 – 4) . (x – 3)2 . (x + 1), as -
sina le a afirmativa falsa:
a) O grau de P(x) é 7.
b) O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = {– 2; – 1; 2; 3}.
c) 3 é raiz dupla de P(x) = 0. 
d) 2 é raiz dupla de P(x) = 0.
e) 0 não é raiz de P(x) = 0.
RESOLUÇÃO:
P(x) = (x – 2)2 . (x – 2) . (x + 2) . (x – 3)2 . (x + 1) ⇔
⇔ P(x) = (x – 2)3 . (x + 2) . (x – 3)2 . (x + 1)
gr(P) = 7 e as raízes de P(x) = 0 são 2 (tripla), – 2 (simples), 3 (dupla) e 
– 1 (simples)
Resposta: D
Sugestão: esboce o gráfico de P.
2. (FUVEST) – Dado o polinômio p(x) = x2 (x – 1) (x2 – 4), o
gráfico da função y = p(x – 2) é mais bem representado por
RESOLUÇÃO:
p(x) = x2(x – 1) (x2 – 4) ⇔ p(x) = x2(x – 1) (x + 2) (x – 2) ⇔
⇔ p(x – 2) = (x – 2)2 (x – 2 – 1) (x – 2 + 2) (x – 2 – 2) ⇔
⇔ p(x – 2) = x . (x – 2)2 . (x – 3) . (x – 4) 
MÓDULO 43
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 4
 5
ab + ac + bc = –––
 2
�
5
–––
2
(a + b + c)2 = (– 2)2
 5
ab + ac + bc = –––
 2
�
 – 4
a + b + c = ––––
 2
 5
ab + ac + bc = –––
 2
�
1
––
2
8 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 8
Assim sendo, 0, 3 e 4 são raízes simples e 2 é raiz dupla de p(x – 2). O
gráfico de p(x – 2) é do tipo:
pois, para todo x < 0, tem-se p(x – 2) < 0 e, para todo x > 4, tem-se 
p(x – 2) > 0.
Resposta: A
3. (FGV-2012) – A figura mostra o gráfico da função 
f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 81.
a) Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0
b) Para que valores de x tem-se f(x) ≤ 0?
RESOLUÇÃO:
a) Como se vê no gráfico, uma das raízes da função 
 f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 81 é 3 e, de fato, 3 é raiz, pois f(3) = 0.
 Aplicando Briott-Ruffini, temos
 
 
 As outras duas raízes são raízes da equação 
 
2x2 + 3x – 27 = 0, ou seja, – e 3. 
 
 Desta forma, o conjunto solução da equação
 
2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0 é 3(dupla); –
b) O gráfico de f(x) é
 
 Dessa maneira, como indica o gráfico,
 
f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 
–
ou x = 3
Respostas: a) 3(dupla); –
 b) x ≤ – ou x = 3
4. Considere o polinômio P(x) = x5 – 4x4 + 4x3 + 2x2 – 5x + 2. É
correto afirmar que:
a) 1 não é raiz de P(x) b) 1 é raiz simples de P(x)
c) 1 é raiz dupla de P(x) d) 1 é raiz tripla de P(x)
e) 1 é raiz quádrupla de P(x)
RESOLUÇÃO:
1 é raiz de P(x), pois P(1) = 1 – 4 + 4 + 2 – 5 + 2 = 0 
Então, P(x) = (x – 1)(x4 – 3x3 + x2 + 3x – 2) = 
= (x – 1)(x – 1)(x3 – 2x2 – x + 2) = (x – 1)(x – 1)(x – 1)(x2 – x – 2) =
= (x – 1)3 . (x – 2)(x + 1)
As raízes de P(x) são, 1, 1, 1, 2 e – 1. Assim, 1 é raiz tripla, 2 e – 1 são raízes
simples.
Resposta: D
Obs.: As divisões por (x – 1) de P(x) e dos quocientes obtidos foram feitas
com a utilização do dispositivo prático de Briot-Ruffini, como se pode ver
a seguir: 
 
2
2
– 3
3
– 36
– 27
81
0
3
9
–––
2
�9–––2�
� 9–––2 �
9
–––
2
9
–––
2
1 – 4 4 2 – 5 2 1
1 – 3 1 3 – 2 0 1
1 – 2 – 1 2 0 1
1 – 1 – 2 
– 9
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 9
1. (IBMEC) – A equação algébrica 24x4 – 50x3 + 35x2 – 10x + 1 = 0
admite 4 raízes racionais distintas. Não é uma dessas raízes
a) 1 b) c) d) e) 
RESOLUÇÃO:
Dos números dados nas alternativas, apenas não pode ser raiz 
ra cio nal da equação, pois 5 não é divisor de 24.
Resposta: E
Observe que os demais são raízes, pois, utilizando o Dispositivo de Briot-
Ruffini, temos:
2. (UFSM-2012) – A figura a seguir mostra a Vênus de Milo, atual -
mente exposta no museu do Louvre em Paris. Cópias dessa fa mo sa
estátua são encontradas em diversos locais.
Considere, então, que uma empresa produz
cópias em gesso, em di ferentes tamanhos,
da Vênus de Milo. O tempo t, em horas,
que cada cópia leva para secar depende da
sua altura h, em centímetros. Sabe-se que a
razão entre t e h é igual à raiz positiva do
polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 29x – 33.
Considerando a apro ximação ���5 = 2,25,
uma cópia da Vênus de Milo, com altura de
30 cm, leva, para secar
a) 25 horas. 
b) 50 horas. 
c) 75 horas.
d) 100 horas. 
e) 225 horas.
MUSEU DO LOUVRE, PARIS
PROENÇA, Graça. História da arte. SP: Ática, 2009. p.39. (adaptado)
RESOLUÇÃO:
As possíveis raízes inteiras do polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 29x – 33 são os
elementos do conjunto D(– 33) = {1, – 1, 3, – 3, 11, – 11, 33, – 33}.
Desses valores, apenas – 3 é raiz e, portanto, P(x) é divisível por x + 3.
Efetuando-se a divisão, resulta
Logo, P(x) = (x + 3)(x2 – 6x – 11).
As raízes de P(x) são tais que x + 3 = 0 ou x2 – 6x – 11 = 0 ⇔
⇔ x = – 3 ou x = ⇔
⇔ x = – 3 ou x = 3 + 2���5 ou x = 3 – 2���5.
A raiz positiva do polinômio é 3 + 2���5 e, portanto, = 3 + 2���5.
Para h = 30 e ���5 = 2,25, obtém-se 
= 3 + 2 . 2,25 ⇔ t = 30(3 + 4 . 5) ⇔ t = 225
Resposta: E
3. (UERJ-2012) – Considere a equação a seguir, que se reduz a uma
equação do terceiro grau:
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
RESOLUÇÃO:
(x + 2)4 = x4 ⇔ x4 + 4 . x3 . 2 + 6x2 . 22 + 4 . x . 23 + 24 = x4 ⇔
⇔ 8x3 + 24x2 + 32x + 16 = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 
As possíveis raízes inteiras desta última equação são 1, – 1, 2 e – 2
(divisores inteiros de 2).
Verificamos que – 1 é raiz e dividindo o polinômio 
P(x) = x3 + 3x2 + 4x + 2 por x + 1 resulta
Assim, x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 ⇔
⇔ x = – 1 ou x = ⇔ x = – 1 ou x = – 1 + i ou x = – 1 – i
Resposta: As três raízes da equação proposta são – 1, – 1 + i e – 1 – i 
Outro modo:
(x + 2)4 = x4 ⇔ [(x + 2)2]2 = (x2)2 ⇔ [(x + 2)2]2 – (x2)2 = 0 ⇔
⇔ [(x + 2)2 – x2][(x + 2)2 + x2] = 0 ⇔
⇔ (x2 + 4x + 4 – x2)(x2 + 4x + 4 + x2) = 0 ⇔
⇔ (4x + 4)(2x2 + 4x + 4) = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 ⇔
⇔ x + 1 = 0 ou x2 + 2x + 2 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = – 1 ± i 
– 3– 33
0
– 29
– 11
– 3
– 6
1
1
6 ± 4���5
–––––––––
2
t
––––
30
1
–––
5
1
–––
4
1
–––3
1
–––
2
1
–––
5
1
1/2
1/3
1/4
1
0
– 10
– 1
0
35
9
2
0
– 50
– 26
– 14
– 6
0
24
24
24
24
24
(x + 2)4 = x4
– 2 ± 2i
––––––––
2
MÓDULO 44
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
t
–––
h
1
1
3
2
4
2
2
0
– 1
10 –
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4. (ESPCEX-2012) – Seja a função complexa 
P(x) = 2x3 – 9x2 + 14x – 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, o
intervalo I de números reais que faz P(x) < 0, para todo x ∈ I, é
a) – ∞, 
 
b) ]0, 1[ c) , 2
d) ]0, + ∞[ e) – , 
RESOLUÇÃO:
Como todos os coeficientes de P(x) são reais e 2 + i é raiz, então, 2 – i
também é raiz da equação. Sendo r a terceira raiz, temos, das relações de
Girard, que (2 + i) + (2 – i) + r = ⇔ r = 
O gráfico de P(x) é do tipo
Assim sendo, concluímos que P(x) < 0 ⇔ x < e, portanto, 
x ∈ – ∞; –
Resposta: A
1. (ESPM-2012) – Para x ∈ � e > 2, a expressão 
é equivalente a:
a) x – 2 b) (x – 2)! c) (x – 1)!
d) x e) x – 1
RESOLUÇÃO:
Para x ∈ � e x > 2, temos:
= =
= = = x – 1
Resposta: E
2. (UNIFESP) – O valor de log2 é:
a) n2 b) 2n c) n d) 2 log2n e) log2n
RESOLUÇÃO:
log2 = log2 = log22
n
= n
Resposta: C
3. Calcule o valor de cada número binomial dado a seguir.
a) = = = 792
 
b) = = = 792
c) = = 1
d) = = 1
4. Resolvendo-se, em �, a equação = 2, obtém-se um
valor pertencente ao intervalo
a) [4; 6] b) [7; 10] c) [11; 15] 
d) [16; 18] e) [19; 23]
RESOLUÇÃO: 
Sendo n ≥ 2, temos
= 2 ⇔ = 2 . ⇔
MÓDULO 45
FATORIAL E NÚMEROS BINOMIAIS
(x2 – 1)! . x!
–––––––––––––––––
(x2 – 2)! . (x + 1)!
(x2 – 1)! x!
–––––––––––––––
(x2 – 2)!(x + 1)!
(x2 – 1)(x2 – 2)!x!
––––––––––––––––––
(x2 – 2)!(x + 1) . x!
x2 – 1
––––––––
x + 1
(x + 1)(x – 1)
––––––––––––––
(x + 1)
�2 . 4 . 6 . … . 2n––––––––––––––––n!�
2n . n!�–––––––�n!
2 . 4 . 6 . ... 2n�––––––––––––––�n!
	1–––2
1
–––
2
	1––4
	
1
––
2
	3––4
1
––
4
1
–––
2
9
–––
2
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!
–––––––––––––––––––
5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!
12!
–––––––
5! 7!�125�
�125�
12!
–––––––
7! 5!�127�
5!
–––––––
0! 5!�50�
5!
–––––––
5! 0!�55�
n – 1� �3
––––––––
n – 2� �2 
(n – 2)!
––––-––––––––
2! (n – 2 – 2)!
(n – 1)!
––––-––––––––
3! (n – 1 – 3)!
n – 1� �3
––––––––––
n – 2� �2
– 11
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 11
⇔ = (n – 2)! ⇔ n – 1 = 6 ⇔ n = 7 ∈ [7; 10]
 
Resposta: B 
5. Considere a igualdade dos números binomiais 
= ≠ 0, sendo x ∈�*. A soma dos possíveis valores
de x é
a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
RESOLUÇÃO:
= ≠ 0 ⇒ x2 = 4x – 3 ou x2 + 4x – 3 = 9 ⇒
⇒ x2 – 4x + 3 = 0 ou x2 + 4x – 12 = 0 ⇒
⇒ (x = 1 ou x = 3) ou (x = – 6 ou x = 2)
Dos valores obtidos, apenas – 6 não satisfaz a equação.
Os possíveis valores de x são, portanto, 1, 2 e 3, cuja soma 1 + 2 + 3 é igual
a 6.
Resposta: D
1. O Triângulo de Pascal é uma tabela de números binomiais,
dispostos como se segue.
 
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
… 
Reescreva o triângulo, substituindo cada número binomial pelo seu
valor e, em seguida, verifique as seguintes propriedades: dos bino miais
equidis tantes dos extremos, das linhas, das colunas e das dia gonais.
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 46
TRIÂNGULO DE PASCAL (OU TARTAGLIA)
� 00 �
� 10 � �
1
1 �
� 20 � �
2
1 � �
2
2 �
� 30 � �
3
1 � �
3
2 � �
3
3 �
� 40 � �
4
1 � �
4
2 � �
4
3 � �
4
4 �
� n0 � �
n
1 � �
n
2 � �
n
n �
9� �4x – 39� �x2
9� �4x – 3
9� �x2
(n – 1)(n – 2)!
––––––––––––
6
12 –
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2. A expressão com números binomiais + + 
resulta igual a
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
RESOLUÇÃO:
+ + = + = 
Resposta: B
3. Calculando , obtém-se
a) 120 b) 464 c) 495 d) 792 e) 912
RESOLUÇÃO:
= + + + …+ =
(soma na diagonal do Triângulo de Pascal)
 
 
 
 
 = 
 
Resposta: C
4. O valor de é
a) 120 b) 165 c) 210 d) 330 e) 360
RESOLUÇÃO:
= + + + …+
 
 
 
 �
 
 
 
 
Resposta: D
 
5. (ITA) – Considere o conjunto S = {(a; b) ∈ � x �: a + b = 18}. 
A soma de todos os números da forma , ∀(a; b) ∈ S é:
a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12!
RESOLUÇÃO:
1) S = {(a; b) ∈ � x � : a + b = 18} =
 = {(0; 18); (1; 17); (2; 16); (3; 15) ; ... (18; 0)}
2) A soma de todos os números da forma , 
 ∀(a; b) ∈ S é + + + ... + =
 = + + + ... + = 218 = 86
Resposta: A
11� �4
12� �4
12� �4 =
12 . 11 . 10 . 9
–––––––––––––
4 . 3 . 2 . 1
= 495
10
∑
n = 3
n� �3
10
∑
n = 3
n� �3
3� �3
4� �3
5� �3
10� �3
3� �3
4� �3
5� �3
10� �3
11� �4
11� �4 =
11!
––––––––
4! . 7!
=
11 . 10 . 9 . 8
–––––––––––––
4 . 3 . 2 . 1
= 330
18!
–––––
a!b!
18!
–––––
a!b!
18!
–––––
0!18!
18!
–––––
1!17!
18!
–––––
2!16!
18!
–––––
18!0!
� 180 � �
18
1 � �
18
2 � �
18
18 �
n + 7� �n
4
∑
n = 0
12� �4
11� �4
9� �2
8� �1
7� �0
n + 7� �n
4
∑
n = 0
7� �0
8� �1
9� �2
21� �920� �820� �7
22� �1021� �1021� �922� �922� �8
�229��
21
9��
21
8��
21
9��
20
8��
20
7�
�218�
– 13
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1. Desenvolver
a) (x + y)0 = 1
b) (x + y)1 = 1x + 1y
c) (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2
d) (x + y)3 = 1x2 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
e) (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
f) (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
g) (x + y)n = � �xny0 + � �xn – 1y1 + � �xn – 2y2 +
 
 + … + � �xn – kyk + … + � �x0yn
2. (UEPG) – Considerando que, 
a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = 32 e a – b = – 1, assinale
o que for correto.
01) a > 1. 02) b < 0.
04) é um número natural. 08) a2 + b2 = .
16) = .
RESOLUÇÃO:
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Resposta: São verdadeiras: 04, 08 e 16.
3. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(7x + 5y)2 é
a) 25 b) 49 c) 81 d) 121 e) 144
RESOLUÇÃO:
Para x = y = 1, resulta a soma dos coeficientes S = (7 + 5)2 = 144 
Resposta: E
4. (FGV-2012) – O termo independente de x do desenvolvimento de 
12
é
a) 26. b) 169. c) 220. d) 280. e) 310.
RESOLUÇÃO:
O termo geral do desenvolvimento de
12
é
Tk+1 = x12 – k .
k
= x12 – 4k, com k � {0; 1; 2; ...; 12}
Paraindepender de x devemos ter 12 – 4k = 0 ⇔ k = 3
Assim,
T3+1 = x12 – 4 . 3 = . x0 = 220
Resposta: C
 
1. (UFRJ) – Um marcador digital é formado por sete seg mentos no
formato de um 8. Para formar um símbolo, cada seg mento pode ficar
iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento iluminado.
Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado
isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos representados na
figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o símbolo da figura 2 não
é conexo. Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos
iluminados.
Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos
iluminados.
RESOLUÇÃO:
Os 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados são
MÓDULO 47
TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON
n
0
n
1
n
2
n
k
n
n
b
––
a
5
––2
a
––b
1
––3
�a
5 + 5a4b + 10a3b2 + 5ab4 + b5 = 32
a – b = – 1 �
(a + b)5 = 25
a – b = – 1
�a + b = 2a – b = – 1 �
 1
a = ––
 2
 3
b = ––
 2
� 1x + –––x3 �
� 1x + –––
 x3 �
� 12k � �
1
–––
x3 � �
12
k �
� 123 �
12 . 11 . 10
––––––––––
3 . 2 . 1
MÓDULO 48
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM E ARRANJOS SIMPLES
14 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 14
2. (UnB) – Julgue a seguinte assertiva: A quantidade de maneiras
distintas de se pintar 5 listras horizontais em um balão usando-se 4
cores diferentes e de modo que listras adjacentes não tenham a mesma
cor é um número múltiplo de 27.
RESOLUÇÃO:
O número de maneiras distintas de se pintar as 5 linhas horizontais com
4 cores diferentes é 4 . 3 . 3 . 3 . 3 = 12 . 27 e, portanto, é múltiplo de 27.
Resposta: Certa
3. (UECE-2012) – De quantos modos 4 rapazes e 4 moças podem se
sentar em 4 bancos de dois lugares cada um, de modo que em cada
banco fiquem um rapaz e uma moça?
a) 13824. b) 4608. c) 2064. d) 9216. 
RESOLUÇÃO:
Dispondo primeiro as moças (poderiam ser os rapazes), temos:
1) a primeira pode escolher cada um dos oito lugares;
2) a segunda pode escolher cada um dos demais seis lugares (não pode ser
ao lado da primeira);
3) a terceira pode escolher cada um dos demais quatro lugares (não pode
ser ao lado da primeira e nem ao lado da segunda);
4) a quarta pode escolher cada um dos dois lugares restantes (não pode
ser ao lado de nenhuma das anteriores);
5) os quatro lugares restantes (um em cada banco) podem ser ocupados
de 4 . 3 . 2 . 1 = 24 maneiras diferentes pelos quatro rapazes. 
Então, o número de modos de que em cada banco fiquem um rapaz e uma
moça é 8 . 6 . 4 . 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 9216.
Resposta: D
4. (FUVEST)
a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos,
escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algaris mos citados
no item a), quantos são divisíveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados
no item a), quantos são divisíveis por 4?
RESOLUÇÃO:
a) A quantidade de números de 4 algarismos distin tos, escolhidos entre os
elementos do conjunto {1; 3; 5; 6; 8; 9}, é A6,4 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360
b) Entre os números do item a), os divisíveis por 5 são, apenas, os
terminados em 5. O número total é A5,3 = 5 . 4 . 3 = 60
c) Entre os números do item a), os divisíveis por 4 são aqueles cujo
número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. São,
portanto, os dos tipos
 ou ou ou
 ou 
 A quantidade total desses números é 5 . A4,2 = 5 . 4 . 3 = 60
Respostas: a) 360 b) 60 c) 60
5. (FUVEST) – Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua
conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma
vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha
o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo
algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua
senha?
a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555
RESOLUÇÃO:
I) O número total de senhas é 5 . 5 . 5 . 5 = 625.
II) O número de senhas em que aparece o “13” é 
 3 . 5 . 5 = 75 
 
ou ou 
III) A senha foi contada entre as do tipo e 
as do tipo 
IV) O número de senhas possíveis é 625 – 3 . 25 + 1 = 551
Resposta: A
1 6 3 6 5 6
6 8 9 6
1 31 31 3
1 31 3 1 3
1 3
– 15
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 15
FRENTE 2 – ÁLGEBRA
1. Dadas as matrizes A = e B = , obtenha,
se possível, A . B e B . A
RESOLUÇÃO:
Professor, utilize esta questão para mostrar o produto de matrizes e
comente sobre a ordem de cada matriz.
A . B = 
3×2
. 
2×2
=
= 
3×2
= 
3×2
B.A não existe, pois B é de ordem 2×2 e A é de ordem 3×2.
2. (FGV) – As matrizes A, B e C são quadradas de ordem 3, e O é a
matriz nula, também de ordem 3. Assinale a alternativa correta.
a) (A – B)C = AC – BC
b) AC = CA
c) (A + B)(A – B) = A2 – B2
d) (B + C)2 = B2 + 2BC + C2
e) Se AB = O, então A = O ou B = O.
RESOLUÇÃO:
Pela propriedade distributiva da multiplicação de ma trizes, temos:
a) Verdadeira: (A – B) . C = A . C – B . C
b) Falsa: A e C podem não ser comutativas para a multiplicação.
c) Falsa: (A + B) (A – B) = A . A – A . B + B . A + B . B = 
 = A2 – AB + BA + B2 ≠ A2 – B2 para matrizes A e B tais que AB ≠ BA
d) Falsa: 
 (B + C)2 = (B + C) . (B + C) = B . B + B . C + C . B + C . C =
 = B2 + BC + CB + C2 ≠ B2 + 2 BC + C2 para matrizes B e C tais que 
BC ≠ CB
e) Falsa: As matrizes A = e
 B = , por exem plo, são tais que 
 
A. B = . =
 
= = 0 e A ≠ 0 e B ≠ 0
Resposta: A
3. (AFA) – Se A = (Aij)2×3 e B = (bij)3×4, a expressão para encontrar
o elemento c23, onde AB = (cij), é igual a
a) a21b31 + a22b32 + a23b33 b) a31b11 + a32b21 + a33b31
c) a21b13 + a22b23 + a23b33 d) a23b32
RESOLUÇÃO:
O elemento c23 da matriz AB = (cij) é a soma dos produtos dos elementos
da linha 2 de A com os respectivos elementos da coluna 3 de B. Assim
(cij) = . e 
c23 = a21 . b13 + a22 . b23 + a23 . b33
Resposta: C
�82
3
5��
4
3
7
2
5
6�
�82
3
5��437
2
5
6�
�363468
22
34
51��
4 . 3 + 2 . 5
3 . 3 + 5 . 5
7 . 3 + 6 . 5
4 . 8 + 2 . 2
3 . 8 + 5 . 2
7 . 8 + 6 . 2�
	
3
0
0
0
0
0
0
0
0 
	
0
0
0
0
0
0
0
0
5
	
3
0
0
0
0
0
0
0
0
 	
0
0
0
0
0
0
0
0
5
	
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
MÓDULO 19
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
	
........................
a21 a22 a23
........................
 	
.
.
.
.
.
.
b13
b23
b33
16 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 16
– 17
4. (UFPI) – O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos
de sua diagonal principal. Considerando-se as matrizes 
M e N = e sabendo-se que M . N = I2, 
em que I2 é a matriz identidade de ordem 2, então o traço da matriz
M é:
a) 1/5 b) 2/5 c) 1/4 d) 3/5 e) 1/3
RESOLUÇÃO:
M . N = I ⇒ . = ⇔
⇔ = ⇔
Resposta: D
5. (FGV) – Sendo p e q constantes reais positivas, a representação
gráfica do sistema de equações nas variáveis x e y dado por 
. = será um par de retas paralelas
se, e somente se q for igual a
a) ���p. b) p���p. c) p2. 
d) – p2. e) – p���p.
RESOLUÇÃO:
Entendendo “a representação gráfica do sistema” como sendo “a
representação gráfica das retas que compõem o sistema”, temos:
. = ⇔
⇔ ⇔
,
com p e q constantes e estritamente positivas.
A representação gráfica dessas equaçõesserá um par de retas paralelas se,
e somente se,
= q ⇔ q2 = p ⇔ q = ��p . (p > 0 e q > 0).
Resposta: A
1. Dadas as matrizes A = [7], B = e C = , 
qual o valor de det A + det B + det C?
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, a intenção é aproveitar o exercício para ensinar como se
calculam determinantes de ordens 1, 2 e 3.
det A = 7
det B = 3 . 8 – 5 . 2 = 14
= 3 . 2 . 1 + 5 . 2 . 3 + 2 . 4 . 3 – 3 . 2 . 2 – 3 . 2 . 3 – 1 . 4 . 5 = 10
Assim, det A + det B + det C = 31.
MÓDULO 20
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
DOS DETERMINANTES I
3
5
2
4
2
2
3
3
1
	�32 58�
� x
– 3z
z
y � �
1
3
– 1
2 �
� x
– 3z
z
y �
1
3
– 1
2 �� �
1
0
0
1 �
� x + 3z
– 3z + 3y
– x + 2z
3z + 2y � �
1
0
0
1 �
�
x + 3z = 1 1 2
 � ⇒ z = –– e x = ––
– x + 2z = 0 5 5 
– 3z + 3y = 0 1 1
 � ⇒ y = –– e z = ––3z + 2y = 1 5 5
�
2
––
5
3
– ––
5
1
––
5
1
––
5
�Assim, M = 2 1 3e o traço de M é T(M) = –– + –– = ––5 5 5
	 – p q
– q 1 
x
y
2
1
	 – p q
– q 1
x
y
2
1
� – px + qy = 2
– qx + y = 1 �
p 2
y = ––– x + –––q q
y = qx + 1
p
––q
	 	 
 	 
 	 
3 4 3
det C = 5 2 3 =
2 2 1
 – 3 4 3 +
 – 5 2 3 +
 – + 
⇔
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 17
18 –
2. (AFA) – O determinante associado à matriz 
é igual ao menor valor da função y = x2 – 2x + 1. Então, o maior valor
de a no intervalo [0; 2π] é 
a) b) c) d) 
RESOLUÇÃO:
1) O menor valor da função y = x2 – 2x + 1 é zero pois o gráfico de y é do
tipo
 
2)
 
= 2sen2a – 1 = 0 ⇔
 
⇔ sen a = ± = ± ⇒ a ∈ ; ; ; pois, 
 a ∈ [0; 2π]
 O maior valor de a é .
Resposta: D
3. (UDESC) – Calcule os possíveis valores de x para que a igualdade
abaixo seja verdadeira.
= 12
RESOLUÇÃO:
= 12 ⇔
⇔ (x – 1) . 2 . (– 1) + x . 2 . 1 + (x + 2) . x . (– 3) –
– (– 3) . 2 . 1 – (– 1) . x . x – 2 . (x + 2) . (x – 1) = 12 ⇔
⇔ – 2x + 2 + 2x – 3x2 – 6x + 6 + x2 –2x2 + 2x – 4x + 4 – 12 = 0 ⇔
⇔ – 4x2 – 8x = 0 ⇔ x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = – 2
Resposta: 0 e – 2
4. (FATEC) – O traço de uma matriz quadrada é a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y são 
tais que a matriz tem traço igual a 4 e determi-
nante igual a –19, então o produto xy é igual a
a) – 4 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) 3
RESOLUÇÃO:
1) = – 19 ⇔ 2xy – 3y + 15 = 0
2) O traço da matriz é igual a 4 se e somente se 
x + y + 2 = 4 ⇔ x + y = 2
3) Sendo x e y números inteiros, de 1 e 2 resulta
 
⇔ ⇔
Dessa forma, xy = – 3.
Resposta: B
5. (UEL) – Seja A uma matriz quadrada 2×2 de números reais dada
por:
A = 
O polinômio característico de A é definido por c(t) = det(A – t . I),
onde I é a matriz identidade 2×2. Nessas condições, o polinômio
característico da matriz A é:
a) t2 – 4 b) – 2t – 1 c) t2 + t + 1
d) t3 + 2t2 + 3t + 4 e) t2 – 5t – 2
RESOLUÇÃO:
A – t . I = – t =
c(t) = det(A – tI) = (1 – t) . (4 – t) – 2 . 3 =
= 4 – t – 4t + t2 – 6 = t2 – 5t – 2
Resposta: E
� x – 1x1
x
2
x + 2
– 3
2
– 1 �
x – 1
x
1
x
2
x + 2
– 3
2
– 1
�
2
3
1
1
x
1
0
4
y�
2
3
1
1
x
1
0
4
y
�231
1
x
1
0
4
y�
x = – 1
y = 3�
x = 2 – y
2y(2 – y) – 3y + 15 = 0�
x + y = 2
2xy – 3y + 15 = 0�
1
3
4
0
sen a
1
0
1
2sen a	 
π
–––
6
5π
–––
6
3π
–––
4
7π
–––
4
1
3
4
0
sen a
1
0
1
2sen a
1
––
2
���2
––––
2 �
π
––
4
3π
–––
4 �
5π
–––
4
7π
–––
4
7π
–––
4
	 13
2
4 
	 1 – t3
2
4 – t 
	
1
3
2
4 
 	
1
0
0
1 
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 18
– 19
1. Dê o valor de cada determinante e justifique sua resposta.
a)
 
 b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, a intenção é apresentar as propriedades que anulam o
determinante.
a) zero, pois possui uma fila de zeros.
b) zero, pois a primeira e a terceira coluna são iguais.
c) zero, pois as duas primeiras linhas são proporcionais.
d) zero, pois a terceira coluna é uma combinação linear das duas
primeiras.
e) 32, pois = 2 . 2 . 3 + 1 . 4 . 5 = 32
2. Comparados com o determinante da matriz
A = , pode-se afirmar que os determinantes das 
matrizes B = e C = são tais 
que:
a) det B = 5 . det A e det C = 5 . det A
b) det B = 2 . det A e det C = 5 . det A
c) det B = 6 . det A e det C = 15 . det A
d) det B = 6 . det A e det C = 125 . det A
e) det B = 3 . det A e det C = 5 . det A
RESOLUÇÃO:
a) det B = 2 . 3 . det A = 6 . det A
b) det C = 5 . 5 . 5 . det A = 125 . det A
Resposta: D
3. (FMCA) – A operação ★ entre os números reais x e y é definida
como: x★y = 2x + y. Sendo assim, o determinante da matriz quadrada 
de ordem três é igual a
a) 0. b) 1. c) 2xy. d) 3xy. e) 4x2y2.
 
RESOLUÇÃO:
=
= =
= = xy = 
= xy . (35 + 24 + 12 – 15 – 32 – 21) = 3xy
Resposta: D
4. (UFLA) – O determinante da matriz A = é 16. 
Assinale a alternativa incorreta.
a) Se multiplicarmos por 2 os elementos da primeira linha da matriz
A e multiplicarmos por 1/2 os elementos da primeira coluna da
matriz A, o determinante da nova matriz é 16.
b) Se somarmos 2 aos elementos da primeira linha da matriz A e se
subtrairmos 2 dos elementos da segunda linha da matriz A, o
determinante da nova matriz é 16.
c) Se trocarmos de posição a primeira linha com a segunda linha da
matriz A e, em seguida, na matriz assim obtida, trocarmos de
posição a primeira coluna com a segunda coluna, o determinante
da nova matriz é 16.
d) O determinante do produto da matriz A por sua transposta é 162.
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize esta questão para apresentar algumas propriedades
dos determinantes. 
a) Verdadeira. Se multiplicarmos a primeira de A por 2 e multiplicarmos
 por os elementos da primeira coluna obteremos uma matriz B 
 tal que det B = 2 . . det A = det A = 16
	
a
m
x
b
n
y
c
p
z
	
2a
6m
2x
b
3n
y
c
3p
z
 	
5a
5m
5x
5b
5n
5y
5c
5p
5z 
5
2
0
2
0
4
0
1
3
5
2
0
2
0
4
0
1
3
2a + 3d
2b + 3e
2c + 3f
d
e
f
a
b
c
5
10
w
d
4
8
z
c
3
6
y
b
2
4
x
a
2
9
4
3
1
2
3
1
3
1
5
1
1
2
3
1
3
0
4
3
1
0
2
2
2
0
1
1
1
0
1
3
MÓDULO 21
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES II
7x
4y
1
8x
5y
1
3x
3y
1
7
4
1
8
5
1
3
3
1
(2x)★(3x)
y★(2y)
1
(3x)★(2x)
(2y)★y
1
x★x
y★y
1 
	
(2x)★(3x)
y★(2y)
1
(3x)★(2x)
(2y)★y
1
x★x
y★y
1
2 . 2x + 3x
2 . y + 2y
1
2 . 3x + 2x
2 . 2y + y
1
2 . x + x
2 . y + y
1
	 ac
b
d 
1
–––
2
1
–––
2
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 19
20 –
b) Falsa, pois existem a, b, c e d tais que
 
= (a + 2)(d – 2) – (b + 2) . (c – 2) = 
 = ad – 2a + 2d – 4 – bc + 2b – 2c + 4 =
 
 
 
123
 det A 
c) Verdadeira, 
 
= – = + = 16 
d) Verdadeira, pois
 det(A . At) = det A . det At = det A . det A = (det A)2 = 162
Resposta: B
5. (UFPI) – Se A = , o deter-
minante de A será:
a) – 321 b) – 26 c) 0 d) 15 e) 120 
RESOLUÇÃO:
ComoAt = – A temos det (At) = det(– 1 . A) ⇔
⇔ det At = (– 1)5 . det A ⇒ det At = – det A
Mas det At = det A, portanto det A = – det A ⇔ 2det A = 0 ⇔ det A = 0
Resposta: C
1. Calcule e compare os determinantes das matrizes 
A = e B =
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de Jacobi.
Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e somando-a com a
segunda, o determinante não se altera.
det A = 4 . 7 – 2 . 6 = 16
det B = 4 . (7 + 6a) – 6 . (2 + 4a) = 16
Observe que det A = det B.
 
2. O valor do determinante é:
a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363
RESOLUÇÃO:
x(– 1) 
x(– 2) x(– 3)
= 
=
= = 3 – 6 – 360 = – 363
Resposta: B
2 + 4a7 + 6a
4
6	
4
6
2
7	
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
1
5
4
2
7
6
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
0
1
1
3
1
2
3
0
MÓDULO 22
TEOREMA DE JACOBI
0
– 1
99
– 9
– 13
1
0
– 7
6
– 899
– 99
7
0
– 1
16
9
– 6
1
0
2
13
899
– 16
– 2
0
	
a + 2
c – 2
b + 2
d – 2
= ad – bc – 2a + 2b – 2c = a
c
b
d = 16
a
c
b
d
c
a
d
b
d
b
c
a
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3. Resolver, em �, a equação
= 0
 
RESOLUÇÃO:
= = 0 ⇔
⇔ 4 . (x + 2) + 9 + 4 – 16 – 3(x + 2) – 3 = 0 ⇔ (x + 2) – 6 = 0 ⇔ x = 4
Resposta: V = {4}
4. O valor de x que satisfaz a equação
= 14 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
RESOLUÇÃO:
= = x . = 
= x . (27 + 12 + 20 – 15 – 18 – 24) = 14 ⇔ 2x = 14 ⇔ x = 7
Resposta: E
5. (U.E.LAVRAS) – O determinante da matriz
A = é
a) – 1 b) 1 c) 0 d) sen 2x
RESOLUÇÃO:
det A =
x(– 1)
det A = =
= – sen2x – cos2x = – (sen2x + cos2x) = – 1
Resposta: A 
6. Resolver, em �, a equação = 0.
RESOLUÇÃO:
= 0 ⇔ = 0 ⇔
 . (– 1)
⇔ (x + 1) . = 0 ⇔
⇔ (x + 1) . = 0 ⇔
⇔ (x + 1) . [(x – 9).(x + 1) + 4] = 0 ⇔ (x + 1) . (x2 – 8x – 5) = 0 ⇔
⇔
Resposta: V = {– 1}
x
x
x
2x + 2
2x + 3
2x + 4
5 – 4x
6 – 4x
9 – 4x
x
x
x
2x + 2
2x + 3
2x + 4
5 – 4x
6 – 4x
9 – 4x
x
x
x
2
3
4
5
6
9
1
1
1
2
3
4
5
6
9
�
sen x
cos x 
sen x
cos2x
0
– sen2x
cos x
– sen x
cos x
�
sen x
cos x
sen x
cos2x
0
– sen2x
cos x
– sen x
cos x
0
cos x
sen x
1
0
– sen2x
0
– sen x
cos x
x + 4
x + 3
2x + 2
x + 3
x + 4
x + 1
1
1
1
– 1
3
x
5
x – 4
4
x – 3
2
– 3
– 1
3
x
5
x – 4
4
x + 1
x + 1
x + 1
– 1
3
x
5
x – 4
4
x – 3
2
– 3
– 1
3
x
5
x – 4
4
1
1
1
– 1
4
x + 1
5
x – 9
– 1
1
0
0
x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 ∈ �
x2 – 8x – 5 = 0 ⇒ x = 4 ± 2����21, ∉ ��
1
1
1
x + 3
x + 4
x + 1
x + 4
x + 3
2x + 2
1
1
1
3
4
1
4
3
x + 2
. (– x)
. (– 2)
. 4 
– 21
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 21
22 –
1. (UEPB) – A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secun -
dária da matriz é:
a) 0 b) 36 c) 1 d) 23 e) – 36
RESOLUÇÃO:
Obs.: Sr. professor utilize essa questão para explicar o que é cofator (com -
plemento algébrico). 
A13 = (– 1)1 + 3 . = (– 1)4 . (0 – 8) = – 8
A22 = (– 1)2 + 2 . = (– 1)4 . (3 + 10) = 13
A31 = (– 1)3 + 1 . = (– 1)4 . (– 2 + 20) = 18
A13 + A22 + A31 = – 8 + 13 + 18 = 23
Resposta: D 
2. Considere a matriz
M = 
Calcule
a) os cofatores dos elementos a22 e a23;
b) o determinante de M.
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, utilize esta questão para ensinar cofator e o Teorema de
Laplace:
a) A22 = (– 1)2 + 2 . = 
 = (–1)4 . (36 + 24 + 60 – 96 – 27 – 20) = – 23
 A23 = (– 1)2 + 3 . = (–1)5 . (6 + 8 – 16 – 9) = 11
b) det M = 0 . A21 + 5 . A22 + 2 . A23 + 0 . A24 = 5 . (– 23) + 2 . 11 = – 93
Respostas: a) – 23 e 11
 b) – 93
3. Determine a soma das raízes da equação, em �.
= 0 
RESOLUÇÃO:
= 0 ⇔ = 0 ⇔
⇔ (x + 6) . = 0 ⇔ (x + 6) . = 0 ⇔
⇔ (x + 6) . 2 . (– 1)2 + 2 . = 0 ⇔
⇔ 2 . (x + 6)[x(x – 3) + 3 + 12 – 3x – x + 3 – 12] = 0 ⇔
⇔ 2 . (x + 6) . (x2 – 7x + 6)] = 0 ⇔ x = – 6, x = 1 ou x = 6
A soma das raízes é 1.
Resposta: 1
x
x – 2
1
3
2
4
2
2
1
5
x
4
3
– 1
3
x – 3
x
x – 2
1
3
2
4
2
2
1
5
x
4
3
– 1
3
x – 3
x + 6
x + 6
x + 6
x + 6
2
4
2
2
1
5
x
4
3
– 1
3
x – 3
1
1
1
1
2
4
2
2
1
5
x
4
3
– 1
3
x – 3
1
1
1
1
0
2
0
0
1
5
x
4
3
– 1
3
x – 3
1
1
1
1
x
4
3
3
x – 3
4
2
3
1
1
0
2
3
4
4
2
3
3
6
5
2
3
4
4
0
2
3
3
2
6
5
1
5
1
0
2
0
3
4
	
�
3
0
– 2
2
– 4
4
5
– 1
1 �
0
– 2
– 4
4
2
– 4
5
– 1
MÓDULO 23
TEOREMA DE LAPLACE, REGRA DE CHIÓ 
E PROPRIEDADES COMPLEMENTARES
3
– 2
5
1
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– 23
4. (FMT) – Considere as matrizes A = e B = ,
em que i2 = – 1 e k é um número real. O determinante da matriz A . B
é um número real se, e somente se,
a) k = – 3���2 ou k = 3���2. b) k = ou k = .
c) k = – 18 ou k = 18. d) k = – 6 ou k = – 3.
e) k = 0.
RESOLUÇÃO:
det A = i . 6 + k = k + 6i
det B = i . k – 3 = – 3 + ki
det(A . B) = det A . det B = (k + 6i)(– 3 + ki) =
= – 3k + k2i – 18i – 6k = – 9k + (k2 – 18)i
Para ser real basta que k2 – 18 = 0 ⇔ k = ± 3���2
Resposta: A
5. A soma das raízes da equação
= 0
é
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
RESOLUÇÃO:
= 0
(x – 1).(x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0
As raízes são 1, 2, 3, 4 e 5 e a soma é 15.
Resposta: C
6. O valor de
é:
a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, aproveite esta questão para mostrar o Determinante de
Vandermonde.
=
= (4 – 3) . (5 – 3) . (5 – 4) . (6 – 3) . (6 – 4) . (6 – 5) = 12
1 2 1 3 2 1
Resposta: B
1
3
9
27
1
4
16
64
1
5
25
125
1
6
36
216
1
6
36
216
1
5
25
125
1
4
16
64
1
3
9
27
�i3 1k��ik – 16�
(x – 1)
2
3
5
8
0
(x – 2)
4
6
9
0
0
(x – 3)
7
10
0
0
0
(x – 4)
11
0
0
0
0
(x – 5)
1
––6
1
––3
(x – 1)
2
3
5
8
0
(x – 2)
4
6
9
0
0
(x – 3)
7
10
0
0
0
(x – 4)
11
0
0
0
0
(x – 5)
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1. (UFOR) – Sejam as matrizes A = e
B = , tais que A é a matriz inversa de B. O determinante da
matriz é igual a
a) – 10 b) – 5 c) 0 d) 5 e) 10 
RESOLUÇÃO:
A . B = . = 
= = = I ⇒
⇒ ⇒
= = 5
Resposta: D
2. Determine a inversa da matriz A =
RESOLUÇÃO:
1) det A = 12 + 20 – 3 – 12 – 6 + 10 = 21
2) A11 = (– 1)1 + 1 = 11
 A12 = (– 1)1 + 2 = 14
 
 A13 = (– 1)1 + 3 = – 15
 A21 = (– 1)2 + 1 = – 3
 
 A22 = (– 1)2 + 2 = 0
 
 A23 = (– 1)2 + 3 = 6
 
 A31 = (– 1)3 + 1 = 2
 
 A32 = (– 1)3 + 2 = – 7
 A33 = (– 1)3 + 3 = 3
 A’ = 
3) —A = (A’)t = 
4) A– 1 = —A = . ⇒
 
 
 
 ⇒ A– 1 =
 
MÓDULO 24
DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA
	 xz
y – 1
t + 1
	
1
0
1
1
––2
	
x
x + z
y
y
x
y – t
z
t
x
	 xz
y – 1
t + 1 
 	
1
0
1
1
––2
	
y – 1 
x x + ––––––
2
t + 1
z z + ––––––
2
 	 10 01 
�
x = 1
 y – 1
x + –––––– = 0
2
z = 0
 t + 1
z + –––––– = 1
2
�
x = 1
y = – 1
z = 0
t = 1
x
x + z
y
y
x
y – 1
z
1
x
 
1
1
–1
–1
1
–2
0
1
1 
	
2
3
4
1
3
– 1
1
5
2
3
– 1
5
2
3
4
5
2
3
4
3
– 1
1
– 1
1
2
2
4
1
2
2
4
1
– 1
1
3
1
5
2
3
1
5
2
3
1
3
	
11
– 3
2
14
0
– 7
– 15
6
3
	
11
14
– 15
– 3
0
6
2
– 7
3
1
––––––
det A
1
–––
21 	
11
14
– 15
– 3
0
6
2
– 7
3
	
11
–––
21
2
–––
3
5
– –––
7
1
– –––
7
0
2
–––
7
2
–––
21
1
– –––
3
1
–––
7
24 –
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 24
3. O elemento da terceira linha e primeira coluna da matriz inversa de
A = é igual a:
a) –
 
b) –
 
c) 1 
 
d) 2 e) –
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, aproveite esta questão para mostrar como se obtém um
único elemento da matriz inversa.
det A = = 28 – 18 – 16 = – 6
A13 = (–1)1+3 = (–1)4 . (28 – 18) = 10
O elemento b31 da matriz inversa é tal que
b31 = = =
Resposta: E
4. (FUVEST) – Considere a matriz A = , em que 
a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira
coluna é , a soma dos elementos da diagonal principal de
A–1 é igual a
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
RESOLUÇÃO:
I) Para A = e A–1 = , tem-se: 
 
 
A.A–1 = =
 assim,
 
⇒ a = 2
 
II) ⇒
 Logo, a soma dos elementos da diagonal principal de A– 1 é 
 (2a – 1) + y = 3 + 2 = 5
Resposta: A
	
0
4
6
2
3
7
1
0
2 
3
–––
5
1
–––
2
5
–––
3
0
4
6
2
3
7
1
0
2
4
6
3
7
A13
–––––
det A
10
––––
– 6
5
– –––
3
	 aa – 1 2a + 1a + 1 
	 2a – 1
– 1 
	 aa – 1 2a + 1a + 1 
 	 2a – 1– 1 xy 
	 2a
2
– 3a – 1
2a2 – 4a
ax + (2a + 1)y
(a – 1)x + (a + 1)y 
 	 10 01 
� 2a
2
– 3a – 1 = 1
2a2 – 4a = 0
� ax + (2a + 1)y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 1
a = 2
� x = – 5y = 2
– 25
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 25
FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA
26 –
1. (UFOP) – A curva C, a seguir, é gráfico da função f(x) = 2x. A
equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é:
a) 3x + 2y + 2 = 0 b) 3x – 2y – 2 = 0
c) 2x + 3y – 1 = 0 d) 3x – 2y + 2 = 0
e) 2x + 3y – 2 = 0 
RESOLUÇÃO:
Na função y = f(x) = 2x, temos:
y = f(0) = 20 = 1 → P(0;1)
y = f(2) = 22 = 4 → Q(2;4)
A reta que passa pelos pontos P e Q tem equação:
= 0 ⇔ 3x – 2y + 2 = 0 
Resposta: D
2. (UFABC) – Calcule a área do trapézio em destaque na figura, as -
sumin do que os valores numéricos no plano cartesiano estão em
centímetros.
RESOLUÇÃO:
A reta r, que passa pelos pontos (1; 3) e (0; 1), tem equação:
= 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0
Os pontos A e B têm coordenadas (2; 5) e (4; 9), respec tivamente, pois,
para x = 2, temos y = 5 e, para x = 4, temos y = 9.
A área S do trapézio ABCD é, em
cm2:
S = =
= = 14
Resposta: 14 cm2
MÓDULO 19
ESTUDO DA RETA: 
EQUAÇÃO GERAL E CASOS PARTICULARES
x
0
2
y
1
4
1
1
1
x
1
0
y
3
1
1
1
1
(AD + BC) . CD
–––––––––––––––
2
(5 + 9) . 2
––––––––––
2
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– 27
3. (FGV) – O quadrado representado a seguir tem lados
paralelos aos eixos x e y e sua diagonal 
––
AB está contida numa
reta cuja equação é
a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = x + 3
d) y = x + 1 e) y = 3x + 1
RESOLUÇÃO:
Os vértices A e B do quadrado são A (–1; – 2) e B(5; 4) e a equação
da reta suporte da diagonal —AB é
= 0 ⇔ 6x – 6y – 6 = 0 ⇔ y = x – 1
Resposta: A
4. (FGV) – Represente graficamente os pontos do plano cartesiano
que satisfazem cada uma das rela ções a seguir.
a) 2 . y – 6 = 0
RESOLUÇÃO:
2y – 6 = 0 ⇔ y = 3 (reta paralela ao eixo x)
b) x2 – 3x + 2 = 0
RESOLUÇÃO:
x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 2 (retas paralelas ao eixo y)
x
5
– 1
y
4
– 2
1
1
1
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28 –
5. (MACKENZIE) – Os gráficos de x – y – 1 = 0 e y = 2 definem
com os eixos uma região de área:
a) 6 b) c) 4 d) 3 e) 
RESOLUÇÃO:
A região definida pelas retas x – y – 1 = 0, y = 2 e os eixos coordenados é
a hachurada abaixo:
Sua área S é igual a: S = = 4
Resposta: C
1. (UFLA) – Seja uma reta r, que no plano cartesiano passa pelos
pontos A(3; 2) e B(5; 4). Seja ainda outra reta s, que forma um ângulo
com r igual a 120°, conforme ilustrado abaixo. Calcule o ângulo α,
que s forma com o eixo das abscissas. 
RESOLUÇÃO:
1o. ) mr = = 1 ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45°
2o. ) A partir da figura, temos:
 
 α = θ + 60° = 45° + 60° = 105°
Resposta: α = 105°
2. (E.E.Aeronáutica) – Na figura, OABC é um quadrado de lado 3.
Sabendo que o ponto D tem coordenadas (0; 4), o coeficiente angular
da reta r é
a) – 2 
b) – 4
c) – 2/3
d) – 1
e) – 1/3
RESOLUÇÃO:
O ponto B tem coordenadas (3;3).
Assim:
mBD = = = –
Resposta: E
MÓDULO 20
DECLIVIDADE – FORMAS DA EQUAÇÃO DA RETA
4 – 2
––––––
5 – 3
yD – yB
–––––––––
xD – xB
4 – 3
––––––
0 – 3
1
–––
3
5
–––
2
7
–––
2
(3 + 1) . 2
––––––––––
2
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 28
– 29
3. (UNESP) – Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos
P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simé trico, em relação ao eixo y, do ponto
Q’ = (1, 2), são, respectivamente: 
a)
 
; x – 3y – 5 = 0 
 
b)
 
; 2x – 3y –1 = 0 
c) – ; x + 3y – 5 = 0 d) ; x + 3y – 5 = 0 
e) – ; x + 3y + 5 = 0 
RESOLUÇÃO:
1) O ponto Q, simétrico de Q’(1; 2) em relação ao eixo y, é o ponto 
Q(– 1; 2).
2) O coeficiente angular da reta que passa pelos pon tos P(2; 1) e Q(– 1; 2)
é:
 mPQ = = – 
3) A reta r que passa pelos pontos Q(– 1; 2) e P(2; 1) é
 
= 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0
Resposta: C
4. (UNIVEST) – O coeficiente linear de uma re ta de ter mi nada pelos
pontos A (3; –1) e B (2; 1) é:
a) 7 b) – c) – 2 d) 6 e) 5
RESOLUÇÃO:
A equação da reta AB é:
= 0 ⇔ 2x + y – 5 = 0 ⇔ y = – 2x + 5
O coeficiente linear é igual a 5.
Resposta: E
5. (MACKENZIE) – O gráfico de y = f(x) está esboçado na figura:
Se = , então é
a) b) –1 c) 2 d) – e) 1
RESOLUÇÃO:
O gráfico y = f(x), esboçado na figura, é uma reta de coeficiente
angular m = tg 45° = 1 e, portanto, y = f(x) = 1 . x + b é a equação
dessa função.
Sendo = ⇔ = ⇔
⇔ 5b + 25 = 3b + 9 ⇔ b = – 8,
obtém-se a equação da função y = f(x) = 1 . x – 8
 
Portanto: = = – 1
Resposta: B
f(5)
–––
3
f(3)
–––
5
f(4)
–––
4
1
––
8
1
––
2
f(5)
––––
3
f(3)
––––
5
5 + b
––––––
3
3 + b
––––––
5
f(4)
––––
4
4 – 8
––––––
4
1
–––
3
2
–––
3
1
–––
3
1
–––
3
1
–––
3
2 – 1
–––––––––
– 1 – 2
1
–––
3
x
– 1
2
y
2
1
1
1
1
1
––
2
x
3
2
y
– 1
1
1
1
1
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 29
30 –
1. (CESGRANRIO) – As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são
paralelas, se a vale: 
a) – 2 b) – 0,5 c) 0,5 d)2 e) 8
RESOLUÇÃO:
A retas são paralelas, quando 
= ≠ 
Assim: = ⇔ a = – = – 0,5
Resposta: B
2. (FGV) – No plano cartesiano, para que valores de m, as retas de
equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e (s) mx – 4y + 5 = 0 são perpen -
diculares?
RESOLUÇÃO:
Se r e s são perpendiculares, então:
a1 . a2 + b1 . b2 = 0 ⇒ m . m + 2 . (– 4) = 0 ⇔ m2 = 8 ⇔ m = ± ���8 = ± 2���2
3. (UFTPR) – Dadas as retas r: y = . x – 1, s: y = ax – 1 e 
t: y = 3x + b, a e b ∈ �, podemos afirmar que:
a) r e t são perpendiculares.
b) para a = – 3, s e t são perpendiculares.
c) para a = 3 e b = 5, s e t são paralelas.
d) para a = , r e s são perpendiculares.
e) para a = , r e s são paralelas.
RESOLUÇÃO:
Para a = 3 e b = 5, as retas s e t resultam:
(s) y = 3 . x – 1
(t) y = 3 . x + 5
e, portanto, são paralelas.
Resposta: C
4. (FGV) – No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1; – 2),
B(m; 4) e C(0; 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:
a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51
RESOLUÇÃO:
Sendo o triângulo ABC retângulo em A, temos
AB
–––
⊥ AC
––– 
⇔ m
AB
––
= ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ m = 49
Resposta: C
2
–––3
3
–––2
3
–––2
– 1
––––––
m
AC––
4 – (–2)
––––––––
m – 1
–1
–––––––––
6 – (–2)
–––––––
0 – 1
6
–––––––
m – 1
1
––
8
MÓDULO 21
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
a1
––––
a2
b1
––––
b2
c1
––––
c2
1
–––
2
a
––––
– 1
1
–––
2
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 30
– 31
5. (FUVEST-adaptado) – O conjunto dos pontos (x;y) do plano car -
tesiano que satisfazem t2 – t – 6 = 0, sendo t = �x – y�, consiste de 
a) duas retas perpendiculares. b) duas retas paralelas.
c) quatro retas. d) uma parábola. 
e) duas parábolas.
RESOLUÇÃO:
O conjunto dos pontos (x; y) são duas retas paralelas, pois:
1) t2 – t – 6 = 0 ⇔ t = 3 ou t = – 2
2) t = � x – y � = – 2 ⇒ ∃/ (x; y)
3) t = � x – y � = 3 ⇔ x – y = 3 ou x – y = – 3
Resposta: B
1. (UFRN) – Um triângulo ABC possui vértices A = (2; 3), 
B = (5; 3) e C = (2; 6). A equação da reta bissetriz do ângulo ^A é:
a) y = 3x + 1 b) y = 2x c) y = x – 3
d) y = x + 1 e) y = x
RESOLUÇÃO:
O triângulo ABC é isósceles, retângulo em A, e com catetos paralelos aos
eixos coordenados. A bissetriz do ângulo ^A tem inclinação de 45°, portanto
sua declividade é m = tg 45° = 1.
A equação da bissetriz tem equa ção:
y – 3 = 1 . (x – 2) ⇔ y = x + 1
Resposta: D
2. (METODISTA) – O hexágono regular ABCDEF tem lados me -
din do 2 unidades. A equação da reta r é:
 
a) x – y – ���3 = 0 b) 3x – ���3y – ���3 = 0
c) ���3x – ���3y – 3 = 0 d) 3x + ���3y + 3 = 0
e) ���3x – 3y – ���3 = 0
RESOLUÇÃO:
Cada ângulo interno do hexágono regular é igual a 120°, então:
O^AF = 60° e B ^AC = 30° (pois o triângulo ABC é isósceles)
O ponto A (do eixo x) é tal que 
OA = AF . cos 60° ⇔ OA = 2 . = 1, resultando suas coordenadas iguais
a (1;0).
Se o coeficiente angular de r é m = tg 30° = , e a reta passa pelo ponto 
A(1;0), a equação da reta r é: 
 
y – 0 = . (x – 1) ⇔ ���3 . x – 3 . y – ���3 = 0 
Resposta: E
1
–––
2
���3
––––
3
���3
––––
3
MÓDULO 22
FEIXE DE RETAS
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32 –
3. (UNESP) – Dada a reta r de equação 
4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P (2; – 1), determine
a) o coeficiente angular da reta r;
b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P.
RESOLUÇÃO:
Sendo mr e ms, respectivamente, os coeficientes angulares das retas r e s,
temos
 
A reta s passa pelo ponto P(2; – 1) e tem coeficiente angular
; sua equação, portanto, é y + 1 = (x – 2) ⇔ x – 2y – 4 = 0
Respostas: a) – 2
 b) x – 2y – 4 = 0
4. (UNIFEI) – A equação da mediatriz do segmento que une os
pontos A(1; 9) e B(– 9; 3) é:
a) 5x + 3y + 2 = 0 b) 3x + 2y + 5 = 0
c) 2x + 5y + 3 = 0 d) x + y = 0
e) 5x + 2y – 5 = 0
RESOLUÇÃO:
1o. ) ponto médio de —AB
 
M ⇒ M(– 4; 6)
2o. ) coeficiente angular
 
MAB = = = 
 então mmediatriz = 
3o. ) equação da mediatriz
 y – 6 = – . [x – (– 4)] ⇔ 3y – 18 = – 5x – 20 ⇔ 5x + 3y + 2 = 0
Resposta: A
5. (FGV) – A reta (t) passa pela intersecção das retas 2x – y = – 2 e 
x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos pontos A(1,1) e 
B(2, – 2). A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto:
a) (0,17) b) (0,18) c) (0,14)
d) (0,15) e) (0,16)
RESOLUÇÃO:
1) Se P for a intersecção das retas dadas, então:
 
⇔ ⇔ P(3; 8)
2) Se A(1; 1) e B (2 ; – 2), temos:
 mAB = = – 3
 e, portanto, t // AB↔ tem coeficiente angular 
 mt = mAB = – 3
3) A equação da reta t, que passa pelo ponto de intersecção P (3 ; 8), com
mt = – 3, resulta:
 y – 8 = – 3 . (x – 3)
 e o ponto de intersecção da reta t com eixo y é o ponto (0; 17)
Resposta: A
1 + (– 9) 9 + 3�–––––––––; ––––––�2 2
9 – 3
–––––––––
1 – (– 9)
6
–––
10
3
–––
5
– 5
––––
3
5
–––
3
2x – y = – 2� x + y = 11
x = 3� y = 8
1 – (–2)
––––––––
1 – 2
�
– 4
mr = –––– = – 22
s � r
 1
⇔ ms = –––
 2
1
––
2
1
––
2
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– 33
1. (FUVEST) – As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se
no ponto (2; 4). A reta s passa pelo ponto (0; 5). Uma equação da reta
r é:
a) 2y + x = 10 b) y = x + 2
c) 2y – x = 6 d) 2x + y = 8
e) y = 2x
RESOLUÇÃO:
O coeficiente angular ms, da reta s é tal que
ms = = – 
Como r ⊥ t, temos que o coeficiente angular, mr, da reta r é dado por 
mr = 2.
Sendo (2; 4) um ponto da reta r, sua equação é da forma
y – 4 = 2(x – 2) ⇔ y = 2x
Resposta: E
2. (UNESP) – Determine a equação da reta que é paralela à reta 
3x + 2y + 6 = 0 e que passa pelos pontos (x1, y1) = (0, b) e 
(x2, y2) = (– 2 , 4b) com b ∈ �.
RESOLUÇÃO:
A equação da reta r, paralela à reta de equação 
3x + 2y + 6 = 0 é da forma 3x + 2y + k = 0, com k ∈ �
A reta r passa pelos pontos (0; b) e (– 2; 4b) ⇔
⇔ ⇔ 
que resulta (r) 3x + 2y – 2 = 0
Resposta: 3x + 2y – 2 = 0
MÓDULO 23
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
4 – 5
–––––
2 – 0
1
––
2
� 3 . 0 + 2 . b + k = 03 (–2) + 2 . 4b + k = 0 �
b = 1
k = – 2
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3. (UN.EST.AMAZONAS) – O ângulo agudo da figura abaixo entre
as retas y = 4x – 1 e y = mx + 1, sendo m positivo, é igual a 45°.
Quanto vale m?
a) b) c) d) e) 1
RESOLUÇÃO:
A partir do enunciado, temos o seguinte gráfico:
Sendo: ^rs = 45°, mr = m, ms = 4 e tg 
^rs = , temos:
1 = ⇔ 1 + 4m = 4 – m ⇔ m = 
Resposta: D
4. (UNICAMP) – Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy:
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas re tas do plano
passam por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2; 5), determine as equações das
retas mencionadas no item (a).
RESOLUÇÃO:
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, existem duas retas que passam
por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada.
b) 1) Se P(2; 5), então as retas que passam pelo ponto P têm equação 
y – 5 = m . (x – 2) ou x = 2.
 2) A reta x – 3y + 6 = 0 tem coeficiente angular mr = 
 3) Se θ é o ângulo formado por duas retas, r e s, então 
 tg θ = ± . Para θ = 45° e mr = , resulta 
 tg 45°= ± ⇔ 1 = ± ⇔
 ⇔ ms = 2 ou ms = –
 4) Dessa forma, as retas procuradas têm equação:
 (s1) y – 5 = 2 . (x – 2) ⇔ 2x – y + 1 = 0
 (s2) y – 5 = – . (x – 2) ⇔ x + 2y – 12 = 0
Respostas: a) 2 retas
 b) 2x – y + 1 = 0
 x + 2y – 12 = 0
1
––
3
mr – ms
––––––––––––
1 + mr . ms
1
––
3
1
––– – ms3
––––––––––––
 1
1 + ––– . ms3
1
––– – ms3
–––––––––––––
 1
1 + ––– . ms3
1
––
2
1
–––
2
1
––
4
1
––
2
2
––
3
3
––
5
ms – mr
––––––––––––
1 + ms . mr
4 – m
–––––––––
1 + 4 . m
3
–––
5
34 –
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1. (FGV) 
Representar no plano cartesiano a região (R) determinada pelas 
inequações 
RESOLUÇÃO:
A região determinada pelas inequações
é a representada a seguir:
 
2. (FGV) – A área da região triangular limitada pelo sistema de
inequações é igual a:
a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3
RESOLUÇÃO:
A região triangular limitada pelo sistema de inequações
é dada pelo gráfico a seguir.
A área da região triangular ABC é igual a: A = = 2,5
Resposta: A
MÓDULO 24
POSIÇÃO DOS PONTOS DO PLANO EM RELAÇÃO
A UMA RETA E DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
�
x + y – 10 ≤ 0
x ≥ 0
y ≥ 0
�
x + y – 10 ≤ 0
x ≥ 0
y ≥ 0
� 3x + 5y – 15 ≤ 02x + 5y – 10 ≥ 0
x ≥ 0
3x + 5y – 15 ≤ 0
� 2x + 5y – 10 ≥ 0
x ≥ 0
1 . 5
–––––
2
– 35
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3. (FGV) – Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos carte -
siano ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada pelo
ponto P(1; 3).
Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação 
x + 2y = 20. Qual a menor distância da cida de ao avião?
RESOLUÇÃO:
A menor distância entre a cidade e o avião é dada por
=
Resposta: A menor distância entre a cidade e o avião é 
4. (FGV-adaptado) – No plano cartesiano, seja P o ponto situado no
3o. qua drante e pertencente à reta de equação y = 3x. Sabendo que a
distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3, podemos
afirmar que a soma das coordenadas de P vale:
a) – 5,6 b) – 5,2 c) – 4,8 d) – 4,0 e) – 4,4
RESOLUÇÃO:
Se P é o ponto do 3o. quadrante e pertencente à reta de equação y = 3 . x,
então P (x; 3x), com x negativo.
Sabendo que a distância de P (x; 3x) à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual
a 3, temos: 
= 3 ⇔ �15 . x � =15 ⇔ x = – 1, pois x < 0
O ponto P tem coordenadas (– 1; – 3) cuja soma é – 4.
Resposta: D
5. (UFPB) – As margens de um rio estão representadas pelas retas de
equações (r) 6x + 8y + 400 = 0 e (s) 3x + 4y + 25 = 0, em que x e y
são medidos em metros. Sabendo-se que um atleta de natação nadou
nesse rio de uma margem a outra, conclui-se que esse atleta nadou no
mínimo
a) 30 m. b) 35 m. c) 28 m.
d) 32 m. e) 40 m.
RESOLUÇÃO:
As retas r e s são paralelas e representam as margens de um rio. A
distância mínima que o atleta pode nadar representa a distância entre as
retas paralelas; assim:
(r) 6x + 8y + 400 = 0 ⇔ 3x + 4y + 200 = 0
(s) 3x + 4y + 25 = 0
dr; s = = = 35 metros
Resposta: B
�1 + 2 . 3 – 20�
––––––––––––––
���������� 12 + 22
13 ���5
–––––––
5
13 ���5
–––––––
5
�3 . x + 4 . 3 . x �
–––––––––––––––––
����32 + 42
�200 – 25�
–––––––––––
��������� 32 + 42
175
––––
5
36 –
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FRENTE 4 – GEOMETRIA PLANA E DOS SÓLIDOS
1. (FUVEST) – Um triângulo tem 12 cm de perímetro e 6 cm2 de
área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo?
RESOLUÇÃO:
2p = 12 cm ⇔ p = 6 cm{ S = 6 cm2 ⇔ p . r = 6 cm2
 
Assim: r = ⇔ r = 1 cm
Resposta: r = 1 cm
2. (USF) – Considere um triângulo equilátero cuja área é numeri -
camente igual ao perímetro. O apótema desse triângulo mede, em
centímetros,
a) 2 ���3 b) c) 2 d) e) 
 
RESOLUÇÃO:
S = 2p ⇔ p . a = 2p ⇔ a = 2
Resposta: C
3. (PUCCAMP) – Considere-se o hexágono regular inscrito numa
circunferência cujo raio mede 12 cm. A medida do apótema desse
hexágono, em centímetros, é:
a) 6 ���3 b) 5 ���3 c) 4 ���3
d) 3 ���3 e) 2 ���3
RESOLUÇÃO:
a = ⇔ a = ⇔ a = 6 ���3 
Resposta: A
4. (FUVEST-2012) – O segmento �AB é lado de um hexágono regular
de área ���3. O ponto P pertence à mediatriz de �AB de tal modo que a
área do triângulo PAB vale ���2. Então, a distância de P ao segmento
�AB é igual a
a) ���2 b) 2 ���2 c) 3���2 
d) ���3 e) 2���3
RESOLUÇÃO:
Para AB = � e d
P, —AB = h, tem-se:
I) . 6 = ���3 ⇔ �2 = ⇒ � = 
II) Para � = e = ���2 ⇒
 
⇒ h = = �����12 = 2���3
Resposta: E
MÓDULO 19
POLÍGONOS REGULARES
6 cm2
––––––
6 cm
2 ���3
––––––
3
4
–––
3
2 ���3
––––––
2
12 ���3
––––––––
2
R ���3
––––––
2
�2���3
–––––
4
4
–––
6
2
–––
���6
�h
––––
2
2���2
–––––––
2
––––
���6
2
–––
���6
– 37
C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 37
5. (UNIFESP) – Se um arco de 60° num círculo I tem o mesmo
comprimento de um arco de 40° num círculo II, então, a razão da área
do círculo I pela área do círculo II é
a) b) c) d) e) 
RESOLUÇÃO:
Sendo R1 e R2 os raios e S1 e S2 as respectivas áreas dos círculos da figura
acima, de acordo com o enunciado, tem-se:
. 2πR1 = . 2πR2 ⇔ = 
Assim, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é:
= 
2
= 
2
= 
Resposta: B
6. (FGV-SP) – Na figura, ABCD e BFDE são losangos semelhantes,
em um mesmo plano, sendo que a área de ABCD é 24, e α = 60º.
A área do losango BFDE é
a) 6 b) 4���3 c) 8 d) 9 e) 6���3
RESOLUÇÃO:
Como α = 60°, os triângulos ABD e BCD são equilá teros. Sendo � a
medida do lado dos triângulos ABC e BCD, temos: 
BD = � e AC = 2 . ⇒ AC = � ���3
Como os losangos são semelhantes, sendo SABCD a área do losango ABCD
e SBFDE a área do losango BFDE, temos:
= ⇒ = ⇒ SBFDE = 8
Resposta: C
� ���3
–––––
2
SBFDE
––––––––
SABCD
BD 2�––––�AC
SBFDE
––––––
24
� 2�––––––�
� ���3
4
––
9
2�–––�3
R1�–––�R2
S1
––––
S2
9
––
4
3
––
2
2
––
3
4
––
9
2
––
9
2
––
3
R1
––––
R2
40°
–––––
360°
60°
–––––
360°
38 –
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– 39
1. (PUC-SP) – Um tanque de uso industrial tem a forma de um
prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura abaixo, são dadas
as dimensões, em metros, do prisma.
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é:
a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120
RESOLUÇÃO:
 
Ab = m2 ⇒ Ab = 20m2
 
V = Ab . h = 20m2 . 5m = 100m3
Resposta: D
2. (FMU-SP) – O volume de um prisma hexagonal regular, cuja
altura é 10 cm e cujo lado da base mede 2 cm, é igual a:
a) 120���3 cm3 b) 10���3 cm3 c) 6���3 cm3 
d) 120 cm3 e) 60���3 cm3
RESOLUÇÃO:
I) Ab = 6 . = 6 ���3 cm2
II) h = 10 cm
III) V = Ab . h
Assim: V = 6 ���3 . 10 ⇔ V = 60 ���3 cm3
Resposta: E
3. (MACKENZIE) – Um prisma reto de base quadrada teve os lados
da base e a altura diminuídos de 50%. O seu volume ficou diminuído
de:
a) 50% b) 75% c) 87,5% d) 85% e) 60%
RESOLUÇÃO:
 
Sejam a a medida da aresta da base e h a medida da altura

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