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FRENTE 1 – ÁLGEBRA – 1 1. Ache as raízes quartas do número complexo z = 16 (cos 120º + i sen 120°). RESOLUÇÃO: z1 = 2 (cos 30º + i sen 30º) z2 = 2 (cos 120º + i sen 120º) z3 = 2 (cos 210º + i sen 210º) z4 = 2 (cos 300º + i sen 300º) z1 = ���3 + i z2 = –1 + ���3 i z3 = – ���3 – i z4 = 1 – ���3 i Obs.: Os afixos das raízes quartas de z são vértices de um quadrado inscrito na circunferência com centro na origem e raio 2. 2. (UNESP) – As soluções da equação z3 = i, em que z é um número complexo e i2 = – 1, são: a) z = ± + i ou z = – i. b) z = ± – i ou z = – i. c) z = ± + i ou z = – i. d) z = ± – i ou z = – i. e) z = ± – i ou z = – i. RESOLUÇÃO: As raízes da equação z3 = i são as raízes cúbicas (z1, z2 e z3) do número i = 1 . (cos 90° + i . sen 90°) Logo: z1 = 1 . (cos 30° + i . sen 30°) = + i z2 = 1 . (cos 150° + i . sen 150°) = – + i z3 = 1 . (cos 270° + i . sen 270°) = – i Resposta: C 3. (UNIP) – Os afixos das raízes sextas do número 64 são, no plano complexo, os vértices de um polígono regular, cuja área vale: a) 2���3 b) ���6 c) 6���3 d) 3���3 e) 10���3 RESOLUÇÃO: Uma das raízes sextas de 64 é igual a 2. Os afixos dessas raízes pertencem à circun ferên cia de centro na origem e raio 2 e são vértices de um hexágono regular, cujo lado mede 2. 22 . ���3 A área desse polígono é 6 . –––––––– = 6���3 4 Resposta: C MÓDULO 37 RADICIAÇÃO EM � 1 ––– 2 ���2 –––– 2 1 ––– 2 ���3 –––– 2 1 ––– 2 ���3 –––– 2 1 ––– 2 ���2 –––– 2 ���3 –––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 ���3 –––– 2 1 ––– 2 ���3 –––– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 1 4. (UFSM-2012) – Oscar Niemeyer é um arquiteto brasileiro, con siderado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna inter na cional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico impor tante da cidade de Santa Maria. Observe a vista aérea do planetário e a representação, no plano Argand-Gauss, dos números complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de raio 14 em 12 partes iguais. http://www.maps.google.com.br (adaptado) Considere as seguintes afirmações: I. z2 = 7���3 + 14i II. z11 = –z3 III. z5 = z4 . –z11 Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III. RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado e a figura, temos �z1� = �z2� = �z3� = … = �z12� = 14 e os argumentos de z1 . z2 . z3 . … . z12 são, respectivamente, iguais a 0°, 30°, 60°, … , 330°. Assim: I) é falsa, pois z2 = 14 (cos 30° + i sen 30°) = 14 + i . = 7���3 + 7i II) é verdadeira, pois z11 = 14 (cos 300° + i sen 300°) = 14 – i . = 7 – 7���3 i –z3 = 14 (cos 60° – i sen 60°) = 14 – i = 7 – 7���3 i III) é falsa, pois z5 = 14 (cos 120° + i sen 120°) = 14 – + i = – 7 + 7���3 i z4 . –z11 = 14 (cos 90° + i sen 90°) . 14 (cos 300° – i sen 300°) = 196i – i = – 98���3 + 98i Resposta: B � ���3––––2 1 –– 2 � � 1––2 ���3 –––– 2 � ����3––––2 1 –– 2� ����3––––2 1 –– 2� ����3––––2 1 –– 2� 2 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 2 1. (ESPCEX-2012) – Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que – 1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(– 1) é igual a: a) 98 b) 100 c) 102 d) 103 e) 105 RESOLUÇÃO: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ A(3) – B(– 1) = 102 Resposta: C 2. Em relação ao polinômio P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)…(x – 9), é falso afirmar que a) seu grau é 9. b) o coeficiente de x9 é 1. c) suas raízes estão em progressão aritmética. d) 0 é raiz. e) todas as suas raízes são reais. Resposta: D 3. Um polinômio P(x), do 3o. grau e coeficientes reais, tem seu gráfico esboçado abaixo. Utilizando as informações da figura, podemos concluir que o valor de P(4) é a) 6 b) 8 c) 21 d) 36 e) 42 RESOLUÇÃO: As raízes de P(x) são r1 = –3, r2 = 1 e r3 = 2. Portanto, p(x) = a (x + 3) (x–1) (x –2 ), com a ≠ 0. Como P(0) = 3, resulta a . (0 + 3) (0 – 1) (0 – 2) = 3 ⇔ a = Então, P(x) = . (x + 3) (x – 1) (x – 2) e P(4) = . (4 + 3) (4 – 1) (4 – 2) = 21 Resposta: C 4. (ESPM) – Se = + para qualquer x real não nulo, o valor da expressão (b – c)a é igual a: a) 2 b) – 1 c) ���2 d) – e) RESOLUÇÃO: = + ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ 1 = ax2 + 2ax + 2a + bx2 + cx ⇔ 1 = (a + b)x2 + (2a + c)x + 2a ⇔ ⇔ ⇔ Logo, (b – c)a = – + 1 = = = Respsosta: E 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 bx + c ––––––––––– x2 + 2x + 2 a ––– x 1 ––––––––––––– x3 + 2x2 + 2x ���2 –––– 2 1 –––2 bx + c ––––––––––– x2 + 2x + 2 a ––– x 1 –––––––––––– x3 + 2x2 + 2x a(x2 + 2x + 2) + x(bx + c) –––––––––––––––––––––––– x(x2 + 2x + 2) 1 –––––––––––– x(x2 + 2x + 2) 1 a = ––– 2 1 b = – ––– 2 c = – 1 �a + b = 02a + c = 02a = 1� ���2 –––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 �1–––2� 1 ––– 2 �1–––2� �A(x) = B(x) + 3x 3 + 2x2 + x + 1 – 1 é raiz de A(x) ⇒ A(– 1) = 0 3 é raiz de B(x) ⇒ B(3) = 0 �0 = B(– 1) – 3 + 2 – 1 + 1A(3) = 0 + 81 + 18 + 3 + 1 �– B(– 1) = – 1A(3) = 103 MÓDULO 38 DEFINIÇÃO DE POLINÔMIOS, GRAU, VALOR NUMÉRICO E IDENTIDADE – 3 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 3 1. Dividir A(x) = 6x4 + 9x3 – 15x + 9 por B(x) = x2 – x – 2, utilizando o método da chave. RESOLUÇÃO: –––––––––––––––––––––––––– 15x3 + 12x2 – 15x + 9 –15x3 + 15x2 + 30x –––––––––––––––––––––– 27x2 + 15x + 9 – 27x2 + 27x + 54 –––––––––––––––––– 42x + 63 Resposta: Q(x) = 6x2 + 15x + 27 R(x) = 42x + 63 2. (UDESC-2012) – Sejam q(x) e r(x), respectivamente o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a: a) – b) 3 c) d) 5 e) RESOLUÇÃO: Efetuando a divisão de f(x) por g(x), pelo método da chave, obtém-se –––––––––––––––––––––––––– – 4x3 – 12x2 – 3x + 7 + 4x3 + 2x2 + 2x –––––––––––––––––––––– – 10x2 – x + 7 + 10x2 + 5x + 5 –––––––––––––––––– 4x + 12 Então Se x1 e x2 são as raízes de q(x) e x3 é a raiz de r(x), temos (x1 . x2) . x3 = . (– 3) = 5 Resposta: D 3. (UNICAMP) – Determine o quociente e o resto da divisão de x100 + x + 1 por x2 – 1. RESOLUÇÃO: –––––––––––––––––––––––––– x98 + x + 1 – x98 + x96 –––––––––––––––––––– x96 + x + 1 – – – – – – – – – – – – – – ––––––––––––––– x2 + x + 1 – x2 + 1 ––––––––––––– x + 2 Resposta: O quociente é Q(x) = x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1 e o resto é R(x) = x + 2. 4. Sabe-se que o polinômio P(x) =x5 + mx + n (m, n ∈ �) é divisível por x2 + 1. Então, o valor de m + n é a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 RESOLUÇÃO: A divisão de P(x) por x2 + 1, utilizando o método da chave, resulta: ––––––––––––––––––––––––––––– – x3 + 0x2 + mx + n + x3 + x –––––––––––––––––––– (m + 1)x + n Para (m + 1)x + n = 0, tem-se m = – 1 e n = 0. Logo, m + n = – 1 + 0 = – 1 Resposta: A x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + mx + n – x5 – x3 x2 + 1 x3 – x x2 – 1 x98 + x96 + x94 + ... + x2 + 1 x100 + + x + 1 – x100 + x98 7 –––3 3 –––5 5 –––3 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 – 6x4 – 3x3 – 3x2 2x2 + x + 1 3x2 – 2x – 5 �q(x) = 3x 2 – 2x – 5 r(x) = 4x + 12 � – 5––––3 � MÓDULO 39 DIVISÃO DE POLINÔMIOS x2 – x – 2 6x2 + 15x + 27 6x4 + 9x3 + 0x2 – 15x + 9 – 6x4 + 6x3 + 12x2 4 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 4 Nas questões de 1 a 4, calcular o quociente e o resto das divisões utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini. 1. RESOLUÇÃO: Resposta: 6 3 6 12Q(x) = –– x3 + –– x2 + –– x + ––– = 2x3 + x2 + 2x + 4 3 3 3 3 r = 11 2. RESOLUÇÃO: 2 2 10 4 Resposta: Q(x) = –– x3 + –– x2 – ––– x + –– = x3 + x2 – 5x + 2 2 2 2 2 r = – 11 3. RESOLUÇÃO: Resposta: Q(x) = 2x3 – x2 – 5x + 1 e r = 8 4. RESOLUÇÃO: Resposta: Q(x) = x4 + 3x3 – 6x2 + 2x – 4 e r = 23 5. (UEPG) – Na divisão do polinômio p(x) = x5 – 3x3 – 6 por s(x) = x – 2, obtêm-se quociente q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e e resto r(x) = f. Isto posto, assinale o que for correto. 01) a = c 02) b = d 04) a + b = 4 08) f = 2 16) b + d = e RESOLUÇÃO: Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini para obter q(x) e r(x), temos: Assim, ∀x ∈ �, resulta x4 + 2x3 + x2 + 2x + 4 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e e r(x) = f = 2 ⇔ As afirmações verdadeiras são 01, 02, 08 e 16. 6. (ESPM) – O volume e a altura de um prisma são expressos pelos polinômios V(x) = x3 − 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1, respectivamente, sendo x um real estritamente positivo. O menor valor que a área da base desse prisma pode assumir é igual a: a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 RESOLUÇÃO: Sendo S(x) a área da base desse prisma, temos que V(x) = S(x) . A(x). S(x) pode ser obtido dividindo-se V(x) por A(x). Utilizando-se o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, resulta Então, S(x) = x2 – 4x + 6. O menor valor que S(x) pode assumir é dado pela ordenada yv do vértice da parábola que representa S(x), isto é, yv = = = 2 Resposta: C x5 + 5x4 – 10x2 + 15 x + 2 1 5 0 –10 0 15 1 3 – 6 2 – 4 23 – 2 1 0 – 3 0 0 – 6 2 1 2 1 2 4 2 � a = 1 b = 2 c = 1 d = 2 e = 4 f = 2 1 – 3 2 6 – 1 1 – 4 6 0 x – 52x4 – 11x3 + 26x + 3 52 – 11 0 26 3 2 – 1 – 5 1 8 2x + 32x4 + 5x3 – 7x2 – 11x – 5 3 – ––– 2 – 5 – 11 – 11 4 – 7 – 10 5 2 2 2 MÓDULO 40 DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI E TEOREMA DO RESTO 3x – 66x4 – 9x3 – 13 6 –9 0 0 – 13 || 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 6 3 6 12 11 || 8 ––– 4 – Δ –––– 4a – 5 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 5 1. (UFTM) – Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 3 RESOLUÇÃO: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 + m = 6 – m ⇒ 2 m = 4 ⇒ m = 2 Resposta: D 2. (UNIMONTES) – O resto da divisão do polinômio x12 + 16 por x + 3 ���2 é igual a: a) 16 3 ���2 b) 8 3 ���2 c) 32 d) 16 RESOLUÇÃO: Seja P(x) = x12 + 16 ⇔ P(x) = (x + 3 ���2 ) . Q(x) + r ⇒ ⇒ P(– 3 ���2 ) = r ⇒ r = (– 3 ���2 )12 + 16 ⇒ r = 16 + 16 = 32 Resposta: C 3. (FUVEST) – O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1, respectivamente. Assim, o valor de a é a) – 6 b) – 7 c) – 8 d) – 9 e) – 10 RESOLUÇÃO: Se os restos das divisões de p(x) = x3 + ax2 + bx por x – 2 e por x – 1 são, respectivamente, iguais a 2 e 4, então: ⇔ ⇔ Resposta: A 4. Se P(x) for um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está re - presen tado na figura, o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é: a) 0 b) 16 c) – 12 d) – 16 e) 12 RESOLUÇÃO: As raízes reais de P(x) são – 1, 1 e 2 e, além disso, P(0) = 2. Temos, portanto: ⇒ ⇒ a . (1) . (– 1) . (– 2) = 2 ⇒ a = 1 Logo, P(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2). O resto da divisão de P(x) por x + 2 é igual a P(– 2) = (– 2 + 1)(– 2 – 1)(– 2 – 2) = – 12 Resposta: C 5. (BARRO BRANCO-2012) – Um polinômio p(x) deixa resto 1 quando dividido por (x – 3) e resto 4 quando dividido por (x + 1). O resto da divisão desse polinômio por (x – 3)(x + 1) é: a) – x + . b) – x + . c) x + 4. d) 4. e) x + . RESOLUÇÃO: ⇒ ⇒ � p(2) = 2p(1) = 4 � 8 + 4a + 2b = 2 1 + a + b = 4 � a = – 6 b = 9 x + 3 ���2 Q(x) P(x) r P(x) = (x – 1) . Q1(x) + r P(x) = (x + 1) . Q2(x) + r�� 3 – 2 + m + 1 = r 3 + 2 – m + 1 = r� P(1) = r P(– 1) = r� 2 + m = r 6 – m = r� P(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2), a ≠ 0 P(0) = 2� 1 ––– 4 3 ––– 4 13 ––– 4 3 ––– 4 3 ––– 4 1 ––– 4 p(x) x – 3 1 Q1 (x) p(x) x + 1 4 Q2 (x) p(x) (x – 3)(x + 1) ax + b Q(x) R(x) p(3) = 1 p(– 1) = 4 p(3) = 3a + b p(– 1) = – a + b� P(x) r x – 1 Q1(x) P(x) r x + 1 Q2(x) MÓDULO 41 DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI E TEOREMA DO RESTO 6 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 6 ⇒ ⇒ Portanto, R(x) = ax + b = – x + . Resposta: A 1. (FGV-RJ-2012) – A equação polinomial x3 – x2 – 16x – 20 = 0 tem raízes x1, x2 e x3. O valor da expressão + + é: a) 1 b) – c) d) e) – RESOLUÇÃO: + + = = = = = Resposta: E 2. (FUVEST) – Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então, o valor de k é: a) – 8 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 8 RESOLUÇÃO: Sejam r1, r2 e r3 as raízes. Do enunciado e das Relações de Girard, temos � r1 . r2 = 1 – a3 – 4 ⇒ r3 = – 2r1 . r2 . r3 = ––––– = –––– a0 2 Se – 2 é raiz da equação, então 2 . (– 2)3 – (– 2)2 + k . (– 2) + 4 = 0 ⇒ – 16 – 4 – 2k + 4 = 0 ⇒ k = – 8 Resposta: A 3. (UNESP-2012) – Dado que as raízes da equação x3 – 3x2 – x + k = 0, em que k é uma constante real, formam uma progressão arit mé tica, o valor de k é: a) – 5. b) – 3. c) 0. d) 3. e) 5. RESOLUÇÃO: Sea – r; a; a + r forem as raízes da equação x3 – 3x2 – x + k = 0, então: (a – r) + a + (a + r) = 3 ⇔ a = 1 Uma das raízes da equação é 1 e, portanto: 13 – 3 . 12 – 1 + k = 0 ⇔ k = 3 Resposta: D 4. As raízes da equação x3 + mx2 + px – 216 = 0 são reais e estão em progressão geométrica. Se m e p são números reais, então resulta a) 2 b) – 2 c) – 3 d) 3 e) – 6 RESOLUÇÃO: Sejam r1 = , r2 = a e r3 = a . q as raízes da equação em progressão geométrica de razão igual a q. Como r1 . r2 . r3 = 216, então . a . aq = 216 ⇔ a3 = 216 ⇔ a = 6 Sendo 6 raiz da equação, devemos ter 63 + m . 62 + p . 6 – 216 = 0 216 + 36m + 6p – 216 = 0 6p + 36m = 0 ⇔ p = – 6m ⇔ = – 6 Resposta: E 1 ––– x3 1 ––– x2 1 ––– x1 4 –– 5 3 –– 4 4 –– 5 3 –– 4 x2.x3 + x1.x3 + x1.x2 ––––––––––––––––––– x1. x2.x3 1 –––– x3 1 –––– x2 1 –––– x1 – 4 –––– 5 – 16 –––– 20 – 16 ––––– 1 ––––––––– – 20 – ––––– 1 MÓDULO 42 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: RELAÇÕES DE GIRARD 3 a = – ––– 4 13 b = –––– 4 �3a + b = 1– a + b = 4� 13 ––– 4 3 ––– 4 p ––– m a –––q a –––q p ––– m – 7 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 7 5. A soma dos quadrados das raízes da equação 2x3 + 4x2 + 5x – 1 = 0 é igual a a) – 1 b) – 2 c) 1 d) 4 e) RESOLUÇÃO: Sendo a, b e c as raízes da equação, temos ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ a2 + b2 + c2 + 2 . = 4 ⇒ a2 + b2 + c2 = – 1 Resposta: A 1. Seja o polinômio P(x) = (x – 2)2 . (x2 – 4) . (x – 3)2 . (x + 1), as - sina le a afirmativa falsa: a) O grau de P(x) é 7. b) O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = {– 2; – 1; 2; 3}. c) 3 é raiz dupla de P(x) = 0. d) 2 é raiz dupla de P(x) = 0. e) 0 não é raiz de P(x) = 0. RESOLUÇÃO: P(x) = (x – 2)2 . (x – 2) . (x + 2) . (x – 3)2 . (x + 1) ⇔ ⇔ P(x) = (x – 2)3 . (x + 2) . (x – 3)2 . (x + 1) gr(P) = 7 e as raízes de P(x) = 0 são 2 (tripla), – 2 (simples), 3 (dupla) e – 1 (simples) Resposta: D Sugestão: esboce o gráfico de P. 2. (FUVEST) – Dado o polinômio p(x) = x2 (x – 1) (x2 – 4), o gráfico da função y = p(x – 2) é mais bem representado por RESOLUÇÃO: p(x) = x2(x – 1) (x2 – 4) ⇔ p(x) = x2(x – 1) (x + 2) (x – 2) ⇔ ⇔ p(x – 2) = (x – 2)2 (x – 2 – 1) (x – 2 + 2) (x – 2 – 2) ⇔ ⇔ p(x – 2) = x . (x – 2)2 . (x – 3) . (x – 4) MÓDULO 43 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 4 5 ab + ac + bc = ––– 2 � 5 ––– 2 (a + b + c)2 = (– 2)2 5 ab + ac + bc = ––– 2 � – 4 a + b + c = –––– 2 5 ab + ac + bc = ––– 2 � 1 –– 2 8 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 8 Assim sendo, 0, 3 e 4 são raízes simples e 2 é raiz dupla de p(x – 2). O gráfico de p(x – 2) é do tipo: pois, para todo x < 0, tem-se p(x – 2) < 0 e, para todo x > 4, tem-se p(x – 2) > 0. Resposta: A 3. (FGV-2012) – A figura mostra o gráfico da função f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 81. a) Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0 b) Para que valores de x tem-se f(x) ≤ 0? RESOLUÇÃO: a) Como se vê no gráfico, uma das raízes da função f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 81 é 3 e, de fato, 3 é raiz, pois f(3) = 0. Aplicando Briott-Ruffini, temos As outras duas raízes são raízes da equação 2x2 + 3x – 27 = 0, ou seja, – e 3. Desta forma, o conjunto solução da equação 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0 é 3(dupla); – b) O gráfico de f(x) é Dessa maneira, como indica o gráfico, f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ – ou x = 3 Respostas: a) 3(dupla); – b) x ≤ – ou x = 3 4. Considere o polinômio P(x) = x5 – 4x4 + 4x3 + 2x2 – 5x + 2. É correto afirmar que: a) 1 não é raiz de P(x) b) 1 é raiz simples de P(x) c) 1 é raiz dupla de P(x) d) 1 é raiz tripla de P(x) e) 1 é raiz quádrupla de P(x) RESOLUÇÃO: 1 é raiz de P(x), pois P(1) = 1 – 4 + 4 + 2 – 5 + 2 = 0 Então, P(x) = (x – 1)(x4 – 3x3 + x2 + 3x – 2) = = (x – 1)(x – 1)(x3 – 2x2 – x + 2) = (x – 1)(x – 1)(x – 1)(x2 – x – 2) = = (x – 1)3 . (x – 2)(x + 1) As raízes de P(x) são, 1, 1, 1, 2 e – 1. Assim, 1 é raiz tripla, 2 e – 1 são raízes simples. Resposta: D Obs.: As divisões por (x – 1) de P(x) e dos quocientes obtidos foram feitas com a utilização do dispositivo prático de Briot-Ruffini, como se pode ver a seguir: 2 2 – 3 3 – 36 – 27 81 0 3 9 ––– 2 �9–––2� � 9–––2 � 9 ––– 2 9 ––– 2 1 – 4 4 2 – 5 2 1 1 – 3 1 3 – 2 0 1 1 – 2 – 1 2 0 1 1 – 1 – 2 – 9 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 9 1. (IBMEC) – A equação algébrica 24x4 – 50x3 + 35x2 – 10x + 1 = 0 admite 4 raízes racionais distintas. Não é uma dessas raízes a) 1 b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Dos números dados nas alternativas, apenas não pode ser raiz ra cio nal da equação, pois 5 não é divisor de 24. Resposta: E Observe que os demais são raízes, pois, utilizando o Dispositivo de Briot- Ruffini, temos: 2. (UFSM-2012) – A figura a seguir mostra a Vênus de Milo, atual - mente exposta no museu do Louvre em Paris. Cópias dessa fa mo sa estátua são encontradas em diversos locais. Considere, então, que uma empresa produz cópias em gesso, em di ferentes tamanhos, da Vênus de Milo. O tempo t, em horas, que cada cópia leva para secar depende da sua altura h, em centímetros. Sabe-se que a razão entre t e h é igual à raiz positiva do polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 29x – 33. Considerando a apro ximação ���5 = 2,25, uma cópia da Vênus de Milo, com altura de 30 cm, leva, para secar a) 25 horas. b) 50 horas. c) 75 horas. d) 100 horas. e) 225 horas. MUSEU DO LOUVRE, PARIS PROENÇA, Graça. História da arte. SP: Ática, 2009. p.39. (adaptado) RESOLUÇÃO: As possíveis raízes inteiras do polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 29x – 33 são os elementos do conjunto D(– 33) = {1, – 1, 3, – 3, 11, – 11, 33, – 33}. Desses valores, apenas – 3 é raiz e, portanto, P(x) é divisível por x + 3. Efetuando-se a divisão, resulta Logo, P(x) = (x + 3)(x2 – 6x – 11). As raízes de P(x) são tais que x + 3 = 0 ou x2 – 6x – 11 = 0 ⇔ ⇔ x = – 3 ou x = ⇔ ⇔ x = – 3 ou x = 3 + 2���5 ou x = 3 – 2���5. A raiz positiva do polinômio é 3 + 2���5 e, portanto, = 3 + 2���5. Para h = 30 e ���5 = 2,25, obtém-se = 3 + 2 . 2,25 ⇔ t = 30(3 + 4 . 5) ⇔ t = 225 Resposta: E 3. (UERJ-2012) – Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau: Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. Determine as três raízes dessa equação. RESOLUÇÃO: (x + 2)4 = x4 ⇔ x4 + 4 . x3 . 2 + 6x2 . 22 + 4 . x . 23 + 24 = x4 ⇔ ⇔ 8x3 + 24x2 + 32x + 16 = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 As possíveis raízes inteiras desta última equação são 1, – 1, 2 e – 2 (divisores inteiros de 2). Verificamos que – 1 é raiz e dividindo o polinômio P(x) = x3 + 3x2 + 4x + 2 por x + 1 resulta Assim, x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 ⇔ ⇔ x = – 1 ou x = ⇔ x = – 1 ou x = – 1 + i ou x = – 1 – i Resposta: As três raízes da equação proposta são – 1, – 1 + i e – 1 – i Outro modo: (x + 2)4 = x4 ⇔ [(x + 2)2]2 = (x2)2 ⇔ [(x + 2)2]2 – (x2)2 = 0 ⇔ ⇔ [(x + 2)2 – x2][(x + 2)2 + x2] = 0 ⇔ ⇔ (x2 + 4x + 4 – x2)(x2 + 4x + 4 + x2) = 0 ⇔ ⇔ (4x + 4)(2x2 + 4x + 4) = 0 ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 ⇔ ⇔ x + 1 = 0 ou x2 + 2x + 2 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = – 1 ± i – 3– 33 0 – 29 – 11 – 3 – 6 1 1 6 ± 4���5 ––––––––– 2 t –––– 30 1 ––– 5 1 ––– 4 1 –––3 1 ––– 2 1 ––– 5 1 1/2 1/3 1/4 1 0 – 10 – 1 0 35 9 2 0 – 50 – 26 – 14 – 6 0 24 24 24 24 24 (x + 2)4 = x4 – 2 ± 2i –––––––– 2 MÓDULO 44 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS t ––– h 1 1 3 2 4 2 2 0 – 1 10 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 10 4. (ESPCEX-2012) – Seja a função complexa P(x) = 2x3 – 9x2 + 14x – 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, o intervalo I de números reais que faz P(x) < 0, para todo x ∈ I, é a) – ∞, b) ]0, 1[ c) , 2 d) ]0, + ∞[ e) – , RESOLUÇÃO: Como todos os coeficientes de P(x) são reais e 2 + i é raiz, então, 2 – i também é raiz da equação. Sendo r a terceira raiz, temos, das relações de Girard, que (2 + i) + (2 – i) + r = ⇔ r = O gráfico de P(x) é do tipo Assim sendo, concluímos que P(x) < 0 ⇔ x < e, portanto, x ∈ – ∞; – Resposta: A 1. (ESPM-2012) – Para x ∈ � e > 2, a expressão é equivalente a: a) x – 2 b) (x – 2)! c) (x – 1)! d) x e) x – 1 RESOLUÇÃO: Para x ∈ � e x > 2, temos: = = = = = x – 1 Resposta: E 2. (UNIFESP) – O valor de log2 é: a) n2 b) 2n c) n d) 2 log2n e) log2n RESOLUÇÃO: log2 = log2 = log22 n = n Resposta: C 3. Calcule o valor de cada número binomial dado a seguir. a) = = = 792 b) = = = 792 c) = = 1 d) = = 1 4. Resolvendo-se, em �, a equação = 2, obtém-se um valor pertencente ao intervalo a) [4; 6] b) [7; 10] c) [11; 15] d) [16; 18] e) [19; 23] RESOLUÇÃO: Sendo n ≥ 2, temos = 2 ⇔ = 2 . ⇔ MÓDULO 45 FATORIAL E NÚMEROS BINOMIAIS (x2 – 1)! . x! ––––––––––––––––– (x2 – 2)! . (x + 1)! (x2 – 1)! x! ––––––––––––––– (x2 – 2)!(x + 1)! (x2 – 1)(x2 – 2)!x! –––––––––––––––––– (x2 – 2)!(x + 1) . x! x2 – 1 –––––––– x + 1 (x + 1)(x – 1) –––––––––––––– (x + 1) �2 . 4 . 6 . … . 2n––––––––––––––––n!� 2n . n!�–––––––�n! 2 . 4 . 6 . ... 2n�––––––––––––––�n! 1–––2 1 ––– 2 1––4 1 –– 2 3––4 1 –– 4 1 ––– 2 9 ––– 2 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7! ––––––––––––––––––– 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7! 12! ––––––– 5! 7!�125� �125� 12! ––––––– 7! 5!�127� 5! ––––––– 0! 5!�50� 5! ––––––– 5! 0!�55� n – 1� �3 –––––––– n – 2� �2 (n – 2)! ––––-–––––––– 2! (n – 2 – 2)! (n – 1)! ––––-–––––––– 3! (n – 1 – 3)! n – 1� �3 –––––––––– n – 2� �2 – 11 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 11 ⇔ = (n – 2)! ⇔ n – 1 = 6 ⇔ n = 7 ∈ [7; 10] Resposta: B 5. Considere a igualdade dos números binomiais = ≠ 0, sendo x ∈�*. A soma dos possíveis valores de x é a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9 RESOLUÇÃO: = ≠ 0 ⇒ x2 = 4x – 3 ou x2 + 4x – 3 = 9 ⇒ ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 ou x2 + 4x – 12 = 0 ⇒ ⇒ (x = 1 ou x = 3) ou (x = – 6 ou x = 2) Dos valores obtidos, apenas – 6 não satisfaz a equação. Os possíveis valores de x são, portanto, 1, 2 e 3, cuja soma 1 + 2 + 3 é igual a 6. Resposta: D 1. O Triângulo de Pascal é uma tabela de números binomiais, dispostos como se segue. ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... … Reescreva o triângulo, substituindo cada número binomial pelo seu valor e, em seguida, verifique as seguintes propriedades: dos bino miais equidis tantes dos extremos, das linhas, das colunas e das dia gonais. RESOLUÇÃO: MÓDULO 46 TRIÂNGULO DE PASCAL (OU TARTAGLIA) � 00 � � 10 � � 1 1 � � 20 � � 2 1 � � 2 2 � � 30 � � 3 1 � � 3 2 � � 3 3 � � 40 � � 4 1 � � 4 2 � � 4 3 � � 4 4 � � n0 � � n 1 � � n 2 � � n n � 9� �4x – 39� �x2 9� �4x – 3 9� �x2 (n – 1)(n – 2)! –––––––––––– 6 12 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 12 2. A expressão com números binomiais + + resulta igual a a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: + + = + = Resposta: B 3. Calculando , obtém-se a) 120 b) 464 c) 495 d) 792 e) 912 RESOLUÇÃO: = + + + …+ = (soma na diagonal do Triângulo de Pascal) = Resposta: C 4. O valor de é a) 120 b) 165 c) 210 d) 330 e) 360 RESOLUÇÃO: = + + + …+ � Resposta: D 5. (ITA) – Considere o conjunto S = {(a; b) ∈ � x �: a + b = 18}. A soma de todos os números da forma , ∀(a; b) ∈ S é: a) 86 b) 9! c) 96 d) 126 e) 12! RESOLUÇÃO: 1) S = {(a; b) ∈ � x � : a + b = 18} = = {(0; 18); (1; 17); (2; 16); (3; 15) ; ... (18; 0)} 2) A soma de todos os números da forma , ∀(a; b) ∈ S é + + + ... + = = + + + ... + = 218 = 86 Resposta: A 11� �4 12� �4 12� �4 = 12 . 11 . 10 . 9 ––––––––––––– 4 . 3 . 2 . 1 = 495 10 ∑ n = 3 n� �3 10 ∑ n = 3 n� �3 3� �3 4� �3 5� �3 10� �3 3� �3 4� �3 5� �3 10� �3 11� �4 11� �4 = 11! –––––––– 4! . 7! = 11 . 10 . 9 . 8 ––––––––––––– 4 . 3 . 2 . 1 = 330 18! ––––– a!b! 18! ––––– a!b! 18! ––––– 0!18! 18! ––––– 1!17! 18! ––––– 2!16! 18! ––––– 18!0! � 180 � � 18 1 � � 18 2 � � 18 18 � n + 7� �n 4 ∑ n = 0 12� �4 11� �4 9� �2 8� �1 7� �0 n + 7� �n 4 ∑ n = 0 7� �0 8� �1 9� �2 21� �920� �820� �7 22� �1021� �1021� �922� �922� �8 �229�� 21 9�� 21 8�� 21 9�� 20 8�� 20 7� �218� – 13 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 13 1. Desenvolver a) (x + y)0 = 1 b) (x + y)1 = 1x + 1y c) (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 d) (x + y)3 = 1x2 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 e) (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 f) (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5 g) (x + y)n = � �xny0 + � �xn – 1y1 + � �xn – 2y2 + + … + � �xn – kyk + … + � �x0yn 2. (UEPG) – Considerando que, a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = 32 e a – b = – 1, assinale o que for correto. 01) a > 1. 02) b < 0. 04) é um número natural. 08) a2 + b2 = . 16) = . RESOLUÇÃO: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Resposta: São verdadeiras: 04, 08 e 16. 3. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (7x + 5y)2 é a) 25 b) 49 c) 81 d) 121 e) 144 RESOLUÇÃO: Para x = y = 1, resulta a soma dos coeficientes S = (7 + 5)2 = 144 Resposta: E 4. (FGV-2012) – O termo independente de x do desenvolvimento de 12 é a) 26. b) 169. c) 220. d) 280. e) 310. RESOLUÇÃO: O termo geral do desenvolvimento de 12 é Tk+1 = x12 – k . k = x12 – 4k, com k � {0; 1; 2; ...; 12} Paraindepender de x devemos ter 12 – 4k = 0 ⇔ k = 3 Assim, T3+1 = x12 – 4 . 3 = . x0 = 220 Resposta: C 1. (UFRJ) – Um marcador digital é formado por sete seg mentos no formato de um 8. Para formar um símbolo, cada seg mento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento iluminado. Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o símbolo da figura 2 não é conexo. Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados. Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados. RESOLUÇÃO: Os 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados são MÓDULO 47 TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON n 0 n 1 n 2 n k n n b –– a 5 ––2 a ––b 1 ––3 �a 5 + 5a4b + 10a3b2 + 5ab4 + b5 = 32 a – b = – 1 � (a + b)5 = 25 a – b = – 1 �a + b = 2a – b = – 1 � 1 a = –– 2 3 b = –– 2 � 1x + –––x3 � � 1x + ––– x3 � � 12k � � 1 ––– x3 � � 12 k � � 123 � 12 . 11 . 10 –––––––––– 3 . 2 . 1 MÓDULO 48 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E ARRANJOS SIMPLES 14 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 14 2. (UnB) – Julgue a seguinte assertiva: A quantidade de maneiras distintas de se pintar 5 listras horizontais em um balão usando-se 4 cores diferentes e de modo que listras adjacentes não tenham a mesma cor é um número múltiplo de 27. RESOLUÇÃO: O número de maneiras distintas de se pintar as 5 linhas horizontais com 4 cores diferentes é 4 . 3 . 3 . 3 . 3 = 12 . 27 e, portanto, é múltiplo de 27. Resposta: Certa 3. (UECE-2012) – De quantos modos 4 rapazes e 4 moças podem se sentar em 4 bancos de dois lugares cada um, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça? a) 13824. b) 4608. c) 2064. d) 9216. RESOLUÇÃO: Dispondo primeiro as moças (poderiam ser os rapazes), temos: 1) a primeira pode escolher cada um dos oito lugares; 2) a segunda pode escolher cada um dos demais seis lugares (não pode ser ao lado da primeira); 3) a terceira pode escolher cada um dos demais quatro lugares (não pode ser ao lado da primeira e nem ao lado da segunda); 4) a quarta pode escolher cada um dos dois lugares restantes (não pode ser ao lado de nenhuma das anteriores); 5) os quatro lugares restantes (um em cada banco) podem ser ocupados de 4 . 3 . 2 . 1 = 24 maneiras diferentes pelos quatro rapazes. Então, o número de modos de que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça é 8 . 6 . 4 . 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 9216. Resposta: D 4. (FUVEST) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9? b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algaris mos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4? RESOLUÇÃO: a) A quantidade de números de 4 algarismos distin tos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1; 3; 5; 6; 8; 9}, é A6,4 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360 b) Entre os números do item a), os divisíveis por 5 são, apenas, os terminados em 5. O número total é A5,3 = 5 . 4 . 3 = 60 c) Entre os números do item a), os divisíveis por 4 são aqueles cujo número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. São, portanto, os dos tipos ou ou ou ou A quantidade total desses números é 5 . A4,2 = 5 . 4 . 3 = 60 Respostas: a) 360 b) 60 c) 60 5. (FUVEST) – Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555 RESOLUÇÃO: I) O número total de senhas é 5 . 5 . 5 . 5 = 625. II) O número de senhas em que aparece o “13” é 3 . 5 . 5 = 75 ou ou III) A senha foi contada entre as do tipo e as do tipo IV) O número de senhas possíveis é 625 – 3 . 25 + 1 = 551 Resposta: A 1 6 3 6 5 6 6 8 9 6 1 31 31 3 1 31 3 1 3 1 3 – 15 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 15 FRENTE 2 – ÁLGEBRA 1. Dadas as matrizes A = e B = , obtenha, se possível, A . B e B . A RESOLUÇÃO: Professor, utilize esta questão para mostrar o produto de matrizes e comente sobre a ordem de cada matriz. A . B = 3×2 . 2×2 = = 3×2 = 3×2 B.A não existe, pois B é de ordem 2×2 e A é de ordem 3×2. 2. (FGV) – As matrizes A, B e C são quadradas de ordem 3, e O é a matriz nula, também de ordem 3. Assinale a alternativa correta. a) (A – B)C = AC – BC b) AC = CA c) (A + B)(A – B) = A2 – B2 d) (B + C)2 = B2 + 2BC + C2 e) Se AB = O, então A = O ou B = O. RESOLUÇÃO: Pela propriedade distributiva da multiplicação de ma trizes, temos: a) Verdadeira: (A – B) . C = A . C – B . C b) Falsa: A e C podem não ser comutativas para a multiplicação. c) Falsa: (A + B) (A – B) = A . A – A . B + B . A + B . B = = A2 – AB + BA + B2 ≠ A2 – B2 para matrizes A e B tais que AB ≠ BA d) Falsa: (B + C)2 = (B + C) . (B + C) = B . B + B . C + C . B + C . C = = B2 + BC + CB + C2 ≠ B2 + 2 BC + C2 para matrizes B e C tais que BC ≠ CB e) Falsa: As matrizes A = e B = , por exem plo, são tais que A. B = . = = = 0 e A ≠ 0 e B ≠ 0 Resposta: A 3. (AFA) – Se A = (Aij)2×3 e B = (bij)3×4, a expressão para encontrar o elemento c23, onde AB = (cij), é igual a a) a21b31 + a22b32 + a23b33 b) a31b11 + a32b21 + a33b31 c) a21b13 + a22b23 + a23b33 d) a23b32 RESOLUÇÃO: O elemento c23 da matriz AB = (cij) é a soma dos produtos dos elementos da linha 2 de A com os respectivos elementos da coluna 3 de B. Assim (cij) = . e c23 = a21 . b13 + a22 . b23 + a23 . b33 Resposta: C �82 3 5�� 4 3 7 2 5 6� �82 3 5��437 2 5 6� �363468 22 34 51�� 4 . 3 + 2 . 5 3 . 3 + 5 . 5 7 . 3 + 6 . 5 4 . 8 + 2 . 2 3 . 8 + 5 . 2 7 . 8 + 6 . 2� 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MÓDULO 19 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ........................ a21 a22 a23 ........................ . . . . . . b13 b23 b33 16 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 16 – 17 4. (UFPI) – O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Considerando-se as matrizes M e N = e sabendo-se que M . N = I2, em que I2 é a matriz identidade de ordem 2, então o traço da matriz M é: a) 1/5 b) 2/5 c) 1/4 d) 3/5 e) 1/3 RESOLUÇÃO: M . N = I ⇒ . = ⇔ ⇔ = ⇔ Resposta: D 5. (FGV) – Sendo p e q constantes reais positivas, a representação gráfica do sistema de equações nas variáveis x e y dado por . = será um par de retas paralelas se, e somente se q for igual a a) ���p. b) p���p. c) p2. d) – p2. e) – p���p. RESOLUÇÃO: Entendendo “a representação gráfica do sistema” como sendo “a representação gráfica das retas que compõem o sistema”, temos: . = ⇔ ⇔ ⇔ , com p e q constantes e estritamente positivas. A representação gráfica dessas equaçõesserá um par de retas paralelas se, e somente se, = q ⇔ q2 = p ⇔ q = ��p . (p > 0 e q > 0). Resposta: A 1. Dadas as matrizes A = [7], B = e C = , qual o valor de det A + det B + det C? RESOLUÇÃO: Sr. professor, a intenção é aproveitar o exercício para ensinar como se calculam determinantes de ordens 1, 2 e 3. det A = 7 det B = 3 . 8 – 5 . 2 = 14 = 3 . 2 . 1 + 5 . 2 . 3 + 2 . 4 . 3 – 3 . 2 . 2 – 3 . 2 . 3 – 1 . 4 . 5 = 10 Assim, det A + det B + det C = 31. MÓDULO 20 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES I 3 5 2 4 2 2 3 3 1 �32 58� � x – 3z z y � � 1 3 – 1 2 � � x – 3z z y � 1 3 – 1 2 �� � 1 0 0 1 � � x + 3z – 3z + 3y – x + 2z 3z + 2y � � 1 0 0 1 � � x + 3z = 1 1 2 � ⇒ z = –– e x = –– – x + 2z = 0 5 5 – 3z + 3y = 0 1 1 � ⇒ y = –– e z = ––3z + 2y = 1 5 5 � 2 –– 5 3 – –– 5 1 –– 5 1 –– 5 �Assim, M = 2 1 3e o traço de M é T(M) = –– + –– = ––5 5 5 – p q – q 1 x y 2 1 – p q – q 1 x y 2 1 � – px + qy = 2 – qx + y = 1 � p 2 y = ––– x + –––q q y = qx + 1 p ––q 3 4 3 det C = 5 2 3 = 2 2 1 – 3 4 3 + – 5 2 3 + – + ⇔ C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 17 18 – 2. (AFA) – O determinante associado à matriz é igual ao menor valor da função y = x2 – 2x + 1. Então, o maior valor de a no intervalo [0; 2π] é a) b) c) d) RESOLUÇÃO: 1) O menor valor da função y = x2 – 2x + 1 é zero pois o gráfico de y é do tipo 2) = 2sen2a – 1 = 0 ⇔ ⇔ sen a = ± = ± ⇒ a ∈ ; ; ; pois, a ∈ [0; 2π] O maior valor de a é . Resposta: D 3. (UDESC) – Calcule os possíveis valores de x para que a igualdade abaixo seja verdadeira. = 12 RESOLUÇÃO: = 12 ⇔ ⇔ (x – 1) . 2 . (– 1) + x . 2 . 1 + (x + 2) . x . (– 3) – – (– 3) . 2 . 1 – (– 1) . x . x – 2 . (x + 2) . (x – 1) = 12 ⇔ ⇔ – 2x + 2 + 2x – 3x2 – 6x + 6 + x2 –2x2 + 2x – 4x + 4 – 12 = 0 ⇔ ⇔ – 4x2 – 8x = 0 ⇔ x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = – 2 Resposta: 0 e – 2 4. (FATEC) – O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y são tais que a matriz tem traço igual a 4 e determi- nante igual a –19, então o produto xy é igual a a) – 4 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) 3 RESOLUÇÃO: 1) = – 19 ⇔ 2xy – 3y + 15 = 0 2) O traço da matriz é igual a 4 se e somente se x + y + 2 = 4 ⇔ x + y = 2 3) Sendo x e y números inteiros, de 1 e 2 resulta ⇔ ⇔ Dessa forma, xy = – 3. Resposta: B 5. (UEL) – Seja A uma matriz quadrada 2×2 de números reais dada por: A = O polinômio característico de A é definido por c(t) = det(A – t . I), onde I é a matriz identidade 2×2. Nessas condições, o polinômio característico da matriz A é: a) t2 – 4 b) – 2t – 1 c) t2 + t + 1 d) t3 + 2t2 + 3t + 4 e) t2 – 5t – 2 RESOLUÇÃO: A – t . I = – t = c(t) = det(A – tI) = (1 – t) . (4 – t) – 2 . 3 = = 4 – t – 4t + t2 – 6 = t2 – 5t – 2 Resposta: E � x – 1x1 x 2 x + 2 – 3 2 – 1 � x – 1 x 1 x 2 x + 2 – 3 2 – 1 � 2 3 1 1 x 1 0 4 y� 2 3 1 1 x 1 0 4 y �231 1 x 1 0 4 y� x = – 1 y = 3� x = 2 – y 2y(2 – y) – 3y + 15 = 0� x + y = 2 2xy – 3y + 15 = 0� 1 3 4 0 sen a 1 0 1 2sen a π ––– 6 5π ––– 6 3π ––– 4 7π ––– 4 1 3 4 0 sen a 1 0 1 2sen a 1 –– 2 ���2 –––– 2 � π –– 4 3π ––– 4 � 5π ––– 4 7π ––– 4 7π ––– 4 13 2 4 1 – t3 2 4 – t 1 3 2 4 1 0 0 1 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 18 – 19 1. Dê o valor de cada determinante e justifique sua resposta. a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Sr. professor, a intenção é apresentar as propriedades que anulam o determinante. a) zero, pois possui uma fila de zeros. b) zero, pois a primeira e a terceira coluna são iguais. c) zero, pois as duas primeiras linhas são proporcionais. d) zero, pois a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras. e) 32, pois = 2 . 2 . 3 + 1 . 4 . 5 = 32 2. Comparados com o determinante da matriz A = , pode-se afirmar que os determinantes das matrizes B = e C = são tais que: a) det B = 5 . det A e det C = 5 . det A b) det B = 2 . det A e det C = 5 . det A c) det B = 6 . det A e det C = 15 . det A d) det B = 6 . det A e det C = 125 . det A e) det B = 3 . det A e det C = 5 . det A RESOLUÇÃO: a) det B = 2 . 3 . det A = 6 . det A b) det C = 5 . 5 . 5 . det A = 125 . det A Resposta: D 3. (FMCA) – A operação ★ entre os números reais x e y é definida como: x★y = 2x + y. Sendo assim, o determinante da matriz quadrada de ordem três é igual a a) 0. b) 1. c) 2xy. d) 3xy. e) 4x2y2. RESOLUÇÃO: = = = = = xy = = xy . (35 + 24 + 12 – 15 – 32 – 21) = 3xy Resposta: D 4. (UFLA) – O determinante da matriz A = é 16. Assinale a alternativa incorreta. a) Se multiplicarmos por 2 os elementos da primeira linha da matriz A e multiplicarmos por 1/2 os elementos da primeira coluna da matriz A, o determinante da nova matriz é 16. b) Se somarmos 2 aos elementos da primeira linha da matriz A e se subtrairmos 2 dos elementos da segunda linha da matriz A, o determinante da nova matriz é 16. c) Se trocarmos de posição a primeira linha com a segunda linha da matriz A e, em seguida, na matriz assim obtida, trocarmos de posição a primeira coluna com a segunda coluna, o determinante da nova matriz é 16. d) O determinante do produto da matriz A por sua transposta é 162. RESOLUÇÃO: Sr. Professor, utilize esta questão para apresentar algumas propriedades dos determinantes. a) Verdadeira. Se multiplicarmos a primeira de A por 2 e multiplicarmos por os elementos da primeira coluna obteremos uma matriz B tal que det B = 2 . . det A = det A = 16 a m x b n y c p z 2a 6m 2x b 3n y c 3p z 5a 5m 5x 5b 5n 5y 5c 5p 5z 5 2 0 2 0 4 0 1 3 5 2 0 2 0 4 0 1 3 2a + 3d 2b + 3e 2c + 3f d e f a b c 5 10 w d 4 8 z c 3 6 y b 2 4 x a 2 9 4 3 1 2 3 1 3 1 5 1 1 2 3 1 3 0 4 3 1 0 2 2 2 0 1 1 1 0 1 3 MÓDULO 21 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES II 7x 4y 1 8x 5y 1 3x 3y 1 7 4 1 8 5 1 3 3 1 (2x)★(3x) y★(2y) 1 (3x)★(2x) (2y)★y 1 x★x y★y 1 (2x)★(3x) y★(2y) 1 (3x)★(2x) (2y)★y 1 x★x y★y 1 2 . 2x + 3x 2 . y + 2y 1 2 . 3x + 2x 2 . 2y + y 1 2 . x + x 2 . y + y 1 ac b d 1 ––– 2 1 ––– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 19 20 – b) Falsa, pois existem a, b, c e d tais que = (a + 2)(d – 2) – (b + 2) . (c – 2) = = ad – 2a + 2d – 4 – bc + 2b – 2c + 4 = 123 det A c) Verdadeira, = – = + = 16 d) Verdadeira, pois det(A . At) = det A . det At = det A . det A = (det A)2 = 162 Resposta: B 5. (UFPI) – Se A = , o deter- minante de A será: a) – 321 b) – 26 c) 0 d) 15 e) 120 RESOLUÇÃO: ComoAt = – A temos det (At) = det(– 1 . A) ⇔ ⇔ det At = (– 1)5 . det A ⇒ det At = – det A Mas det At = det A, portanto det A = – det A ⇔ 2det A = 0 ⇔ det A = 0 Resposta: C 1. Calcule e compare os determinantes das matrizes A = e B = RESOLUÇÃO: Sr. professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de Jacobi. Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e somando-a com a segunda, o determinante não se altera. det A = 4 . 7 – 2 . 6 = 16 det B = 4 . (7 + 6a) – 6 . (2 + 4a) = 16 Observe que det A = det B. 2. O valor do determinante é: a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363 RESOLUÇÃO: x(– 1) x(– 2) x(– 3) = = = = 3 – 6 – 360 = – 363 Resposta: B 2 + 4a7 + 6a 4 6 4 6 2 7 120 240 361 121 245 365 122 247 367 120 240 361 1 5 4 2 7 6 120 240 361 121 245 365 122 247 367 120 0 1 1 3 1 2 3 0 MÓDULO 22 TEOREMA DE JACOBI 0 – 1 99 – 9 – 13 1 0 – 7 6 – 899 – 99 7 0 – 1 16 9 – 6 1 0 2 13 899 – 16 – 2 0 a + 2 c – 2 b + 2 d – 2 = ad – bc – 2a + 2b – 2c = a c b d = 16 a c b d c a d b d b c a C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 20 3. Resolver, em �, a equação = 0 RESOLUÇÃO: = = 0 ⇔ ⇔ 4 . (x + 2) + 9 + 4 – 16 – 3(x + 2) – 3 = 0 ⇔ (x + 2) – 6 = 0 ⇔ x = 4 Resposta: V = {4} 4. O valor de x que satisfaz a equação = 14 é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 RESOLUÇÃO: = = x . = = x . (27 + 12 + 20 – 15 – 18 – 24) = 14 ⇔ 2x = 14 ⇔ x = 7 Resposta: E 5. (U.E.LAVRAS) – O determinante da matriz A = é a) – 1 b) 1 c) 0 d) sen 2x RESOLUÇÃO: det A = x(– 1) det A = = = – sen2x – cos2x = – (sen2x + cos2x) = – 1 Resposta: A 6. Resolver, em �, a equação = 0. RESOLUÇÃO: = 0 ⇔ = 0 ⇔ . (– 1) ⇔ (x + 1) . = 0 ⇔ ⇔ (x + 1) . = 0 ⇔ ⇔ (x + 1) . [(x – 9).(x + 1) + 4] = 0 ⇔ (x + 1) . (x2 – 8x – 5) = 0 ⇔ ⇔ Resposta: V = {– 1} x x x 2x + 2 2x + 3 2x + 4 5 – 4x 6 – 4x 9 – 4x x x x 2x + 2 2x + 3 2x + 4 5 – 4x 6 – 4x 9 – 4x x x x 2 3 4 5 6 9 1 1 1 2 3 4 5 6 9 � sen x cos x sen x cos2x 0 – sen2x cos x – sen x cos x � sen x cos x sen x cos2x 0 – sen2x cos x – sen x cos x 0 cos x sen x 1 0 – sen2x 0 – sen x cos x x + 4 x + 3 2x + 2 x + 3 x + 4 x + 1 1 1 1 – 1 3 x 5 x – 4 4 x – 3 2 – 3 – 1 3 x 5 x – 4 4 x + 1 x + 1 x + 1 – 1 3 x 5 x – 4 4 x – 3 2 – 3 – 1 3 x 5 x – 4 4 1 1 1 – 1 4 x + 1 5 x – 9 – 1 1 0 0 x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 ∈ � x2 – 8x – 5 = 0 ⇒ x = 4 ± 2����21, ∉ �� 1 1 1 x + 3 x + 4 x + 1 x + 4 x + 3 2x + 2 1 1 1 3 4 1 4 3 x + 2 . (– x) . (– 2) . 4 – 21 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 21 22 – 1. (UEPB) – A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secun - dária da matriz é: a) 0 b) 36 c) 1 d) 23 e) – 36 RESOLUÇÃO: Obs.: Sr. professor utilize essa questão para explicar o que é cofator (com - plemento algébrico). A13 = (– 1)1 + 3 . = (– 1)4 . (0 – 8) = – 8 A22 = (– 1)2 + 2 . = (– 1)4 . (3 + 10) = 13 A31 = (– 1)3 + 1 . = (– 1)4 . (– 2 + 20) = 18 A13 + A22 + A31 = – 8 + 13 + 18 = 23 Resposta: D 2. Considere a matriz M = Calcule a) os cofatores dos elementos a22 e a23; b) o determinante de M. RESOLUÇÃO: Sr. professor, utilize esta questão para ensinar cofator e o Teorema de Laplace: a) A22 = (– 1)2 + 2 . = = (–1)4 . (36 + 24 + 60 – 96 – 27 – 20) = – 23 A23 = (– 1)2 + 3 . = (–1)5 . (6 + 8 – 16 – 9) = 11 b) det M = 0 . A21 + 5 . A22 + 2 . A23 + 0 . A24 = 5 . (– 23) + 2 . 11 = – 93 Respostas: a) – 23 e 11 b) – 93 3. Determine a soma das raízes da equação, em �. = 0 RESOLUÇÃO: = 0 ⇔ = 0 ⇔ ⇔ (x + 6) . = 0 ⇔ (x + 6) . = 0 ⇔ ⇔ (x + 6) . 2 . (– 1)2 + 2 . = 0 ⇔ ⇔ 2 . (x + 6)[x(x – 3) + 3 + 12 – 3x – x + 3 – 12] = 0 ⇔ ⇔ 2 . (x + 6) . (x2 – 7x + 6)] = 0 ⇔ x = – 6, x = 1 ou x = 6 A soma das raízes é 1. Resposta: 1 x x – 2 1 3 2 4 2 2 1 5 x 4 3 – 1 3 x – 3 x x – 2 1 3 2 4 2 2 1 5 x 4 3 – 1 3 x – 3 x + 6 x + 6 x + 6 x + 6 2 4 2 2 1 5 x 4 3 – 1 3 x – 3 1 1 1 1 2 4 2 2 1 5 x 4 3 – 1 3 x – 3 1 1 1 1 0 2 0 0 1 5 x 4 3 – 1 3 x – 3 1 1 1 1 x 4 3 3 x – 3 4 2 3 1 1 0 2 3 4 4 2 3 3 6 5 2 3 4 4 0 2 3 3 2 6 5 1 5 1 0 2 0 3 4 � 3 0 – 2 2 – 4 4 5 – 1 1 � 0 – 2 – 4 4 2 – 4 5 – 1 MÓDULO 23 TEOREMA DE LAPLACE, REGRA DE CHIÓ E PROPRIEDADES COMPLEMENTARES 3 – 2 5 1 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 22 – 23 4. (FMT) – Considere as matrizes A = e B = , em que i2 = – 1 e k é um número real. O determinante da matriz A . B é um número real se, e somente se, a) k = – 3���2 ou k = 3���2. b) k = ou k = . c) k = – 18 ou k = 18. d) k = – 6 ou k = – 3. e) k = 0. RESOLUÇÃO: det A = i . 6 + k = k + 6i det B = i . k – 3 = – 3 + ki det(A . B) = det A . det B = (k + 6i)(– 3 + ki) = = – 3k + k2i – 18i – 6k = – 9k + (k2 – 18)i Para ser real basta que k2 – 18 = 0 ⇔ k = ± 3���2 Resposta: A 5. A soma das raízes da equação = 0 é a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 RESOLUÇÃO: = 0 (x – 1).(x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0 As raízes são 1, 2, 3, 4 e 5 e a soma é 15. Resposta: C 6. O valor de é: a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96 RESOLUÇÃO: Sr. professor, aproveite esta questão para mostrar o Determinante de Vandermonde. = = (4 – 3) . (5 – 3) . (5 – 4) . (6 – 3) . (6 – 4) . (6 – 5) = 12 1 2 1 3 2 1 Resposta: B 1 3 9 27 1 4 16 64 1 5 25 125 1 6 36 216 1 6 36 216 1 5 25 125 1 4 16 64 1 3 9 27 �i3 1k��ik – 16� (x – 1) 2 3 5 8 0 (x – 2) 4 6 9 0 0 (x – 3) 7 10 0 0 0 (x – 4) 11 0 0 0 0 (x – 5) 1 ––6 1 ––3 (x – 1) 2 3 5 8 0 (x – 2) 4 6 9 0 0 (x – 3) 7 10 0 0 0 (x – 4) 11 0 0 0 0 (x – 5) C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 23 1. (UFOR) – Sejam as matrizes A = e B = , tais que A é a matriz inversa de B. O determinante da matriz é igual a a) – 10 b) – 5 c) 0 d) 5 e) 10 RESOLUÇÃO: A . B = . = = = = I ⇒ ⇒ ⇒ = = 5 Resposta: D 2. Determine a inversa da matriz A = RESOLUÇÃO: 1) det A = 12 + 20 – 3 – 12 – 6 + 10 = 21 2) A11 = (– 1)1 + 1 = 11 A12 = (– 1)1 + 2 = 14 A13 = (– 1)1 + 3 = – 15 A21 = (– 1)2 + 1 = – 3 A22 = (– 1)2 + 2 = 0 A23 = (– 1)2 + 3 = 6 A31 = (– 1)3 + 1 = 2 A32 = (– 1)3 + 2 = – 7 A33 = (– 1)3 + 3 = 3 A’ = 3) —A = (A’)t = 4) A– 1 = —A = . ⇒ ⇒ A– 1 = MÓDULO 24 DEFINIÇÃO E CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA xz y – 1 t + 1 1 0 1 1 ––2 x x + z y y x y – t z t x xz y – 1 t + 1 1 0 1 1 ––2 y – 1 x x + –––––– 2 t + 1 z z + –––––– 2 10 01 � x = 1 y – 1 x + –––––– = 0 2 z = 0 t + 1 z + –––––– = 1 2 � x = 1 y = – 1 z = 0 t = 1 x x + z y y x y – 1 z 1 x 1 1 –1 –1 1 –2 0 1 1 2 3 4 1 3 – 1 1 5 2 3 – 1 5 2 3 4 5 2 3 4 3 – 1 1 – 1 1 2 2 4 1 2 2 4 1 – 1 1 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 3 11 – 3 2 14 0 – 7 – 15 6 3 11 14 – 15 – 3 0 6 2 – 7 3 1 –––––– det A 1 ––– 21 11 14 – 15 – 3 0 6 2 – 7 3 11 ––– 21 2 ––– 3 5 – ––– 7 1 – ––– 7 0 2 ––– 7 2 ––– 21 1 – ––– 3 1 ––– 7 24 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 24 3. O elemento da terceira linha e primeira coluna da matriz inversa de A = é igual a: a) – b) – c) 1 d) 2 e) – RESOLUÇÃO: Sr. Professor, aproveite esta questão para mostrar como se obtém um único elemento da matriz inversa. det A = = 28 – 18 – 16 = – 6 A13 = (–1)1+3 = (–1)4 . (28 – 18) = 10 O elemento b31 da matriz inversa é tal que b31 = = = Resposta: E 4. (FUVEST) – Considere a matriz A = , em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é , a soma dos elementos da diagonal principal de A–1 é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 RESOLUÇÃO: I) Para A = e A–1 = , tem-se: A.A–1 = = assim, ⇒ a = 2 II) ⇒ Logo, a soma dos elementos da diagonal principal de A– 1 é (2a – 1) + y = 3 + 2 = 5 Resposta: A 0 4 6 2 3 7 1 0 2 3 ––– 5 1 ––– 2 5 ––– 3 0 4 6 2 3 7 1 0 2 4 6 3 7 A13 ––––– det A 10 –––– – 6 5 – ––– 3 aa – 1 2a + 1a + 1 2a – 1 – 1 aa – 1 2a + 1a + 1 2a – 1– 1 xy 2a 2 – 3a – 1 2a2 – 4a ax + (2a + 1)y (a – 1)x + (a + 1)y 10 01 � 2a 2 – 3a – 1 = 1 2a2 – 4a = 0 � ax + (2a + 1)y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 1 a = 2 � x = – 5y = 2 – 25 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 25 FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA 26 – 1. (UFOP) – A curva C, a seguir, é gráfico da função f(x) = 2x. A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é: a) 3x + 2y + 2 = 0 b) 3x – 2y – 2 = 0 c) 2x + 3y – 1 = 0 d) 3x – 2y + 2 = 0 e) 2x + 3y – 2 = 0 RESOLUÇÃO: Na função y = f(x) = 2x, temos: y = f(0) = 20 = 1 → P(0;1) y = f(2) = 22 = 4 → Q(2;4) A reta que passa pelos pontos P e Q tem equação: = 0 ⇔ 3x – 2y + 2 = 0 Resposta: D 2. (UFABC) – Calcule a área do trapézio em destaque na figura, as - sumin do que os valores numéricos no plano cartesiano estão em centímetros. RESOLUÇÃO: A reta r, que passa pelos pontos (1; 3) e (0; 1), tem equação: = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0 Os pontos A e B têm coordenadas (2; 5) e (4; 9), respec tivamente, pois, para x = 2, temos y = 5 e, para x = 4, temos y = 9. A área S do trapézio ABCD é, em cm2: S = = = = 14 Resposta: 14 cm2 MÓDULO 19 ESTUDO DA RETA: EQUAÇÃO GERAL E CASOS PARTICULARES x 0 2 y 1 4 1 1 1 x 1 0 y 3 1 1 1 1 (AD + BC) . CD ––––––––––––––– 2 (5 + 9) . 2 –––––––––– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 26 – 27 3. (FGV) – O quadrado representado a seguir tem lados paralelos aos eixos x e y e sua diagonal –– AB está contida numa reta cuja equação é a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = x + 3 d) y = x + 1 e) y = 3x + 1 RESOLUÇÃO: Os vértices A e B do quadrado são A (–1; – 2) e B(5; 4) e a equação da reta suporte da diagonal —AB é = 0 ⇔ 6x – 6y – 6 = 0 ⇔ y = x – 1 Resposta: A 4. (FGV) – Represente graficamente os pontos do plano cartesiano que satisfazem cada uma das rela ções a seguir. a) 2 . y – 6 = 0 RESOLUÇÃO: 2y – 6 = 0 ⇔ y = 3 (reta paralela ao eixo x) b) x2 – 3x + 2 = 0 RESOLUÇÃO: x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 2 (retas paralelas ao eixo y) x 5 – 1 y 4 – 2 1 1 1 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 27 28 – 5. (MACKENZIE) – Os gráficos de x – y – 1 = 0 e y = 2 definem com os eixos uma região de área: a) 6 b) c) 4 d) 3 e) RESOLUÇÃO: A região definida pelas retas x – y – 1 = 0, y = 2 e os eixos coordenados é a hachurada abaixo: Sua área S é igual a: S = = 4 Resposta: C 1. (UFLA) – Seja uma reta r, que no plano cartesiano passa pelos pontos A(3; 2) e B(5; 4). Seja ainda outra reta s, que forma um ângulo com r igual a 120°, conforme ilustrado abaixo. Calcule o ângulo α, que s forma com o eixo das abscissas. RESOLUÇÃO: 1o. ) mr = = 1 ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45° 2o. ) A partir da figura, temos: α = θ + 60° = 45° + 60° = 105° Resposta: α = 105° 2. (E.E.Aeronáutica) – Na figura, OABC é um quadrado de lado 3. Sabendo que o ponto D tem coordenadas (0; 4), o coeficiente angular da reta r é a) – 2 b) – 4 c) – 2/3 d) – 1 e) – 1/3 RESOLUÇÃO: O ponto B tem coordenadas (3;3). Assim: mBD = = = – Resposta: E MÓDULO 20 DECLIVIDADE – FORMAS DA EQUAÇÃO DA RETA 4 – 2 –––––– 5 – 3 yD – yB ––––––––– xD – xB 4 – 3 –––––– 0 – 3 1 ––– 3 5 ––– 2 7 ––– 2 (3 + 1) . 2 –––––––––– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 28 – 29 3. (UNESP) – Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simé trico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2), são, respectivamente: a) ; x – 3y – 5 = 0 b) ; 2x – 3y –1 = 0 c) – ; x + 3y – 5 = 0 d) ; x + 3y – 5 = 0 e) – ; x + 3y + 5 = 0 RESOLUÇÃO: 1) O ponto Q, simétrico de Q’(1; 2) em relação ao eixo y, é o ponto Q(– 1; 2). 2) O coeficiente angular da reta que passa pelos pon tos P(2; 1) e Q(– 1; 2) é: mPQ = = – 3) A reta r que passa pelos pontos Q(– 1; 2) e P(2; 1) é = 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0 Resposta: C 4. (UNIVEST) – O coeficiente linear de uma re ta de ter mi nada pelos pontos A (3; –1) e B (2; 1) é: a) 7 b) – c) – 2 d) 6 e) 5 RESOLUÇÃO: A equação da reta AB é: = 0 ⇔ 2x + y – 5 = 0 ⇔ y = – 2x + 5 O coeficiente linear é igual a 5. Resposta: E 5. (MACKENZIE) – O gráfico de y = f(x) está esboçado na figura: Se = , então é a) b) –1 c) 2 d) – e) 1 RESOLUÇÃO: O gráfico y = f(x), esboçado na figura, é uma reta de coeficiente angular m = tg 45° = 1 e, portanto, y = f(x) = 1 . x + b é a equação dessa função. Sendo = ⇔ = ⇔ ⇔ 5b + 25 = 3b + 9 ⇔ b = – 8, obtém-se a equação da função y = f(x) = 1 . x – 8 Portanto: = = – 1 Resposta: B f(5) ––– 3 f(3) ––– 5 f(4) ––– 4 1 –– 8 1 –– 2 f(5) –––– 3 f(3) –––– 5 5 + b –––––– 3 3 + b –––––– 5 f(4) –––– 4 4 – 8 –––––– 4 1 ––– 3 2 ––– 3 1 ––– 3 1 ––– 3 1 ––– 3 2 – 1 ––––––––– – 1 – 2 1 ––– 3 x – 1 2 y 2 1 1 1 1 1 –– 2 x 3 2 y – 1 1 1 1 1 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 29 30 – 1. (CESGRANRIO) – As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas, se a vale: a) – 2 b) – 0,5 c) 0,5 d)2 e) 8 RESOLUÇÃO: A retas são paralelas, quando = ≠ Assim: = ⇔ a = – = – 0,5 Resposta: B 2. (FGV) – No plano cartesiano, para que valores de m, as retas de equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e (s) mx – 4y + 5 = 0 são perpen - diculares? RESOLUÇÃO: Se r e s são perpendiculares, então: a1 . a2 + b1 . b2 = 0 ⇒ m . m + 2 . (– 4) = 0 ⇔ m2 = 8 ⇔ m = ± ���8 = ± 2���2 3. (UFTPR) – Dadas as retas r: y = . x – 1, s: y = ax – 1 e t: y = 3x + b, a e b ∈ �, podemos afirmar que: a) r e t são perpendiculares. b) para a = – 3, s e t são perpendiculares. c) para a = 3 e b = 5, s e t são paralelas. d) para a = , r e s são perpendiculares. e) para a = , r e s são paralelas. RESOLUÇÃO: Para a = 3 e b = 5, as retas s e t resultam: (s) y = 3 . x – 1 (t) y = 3 . x + 5 e, portanto, são paralelas. Resposta: C 4. (FGV) – No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1; – 2), B(m; 4) e C(0; 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a: a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51 RESOLUÇÃO: Sendo o triângulo ABC retângulo em A, temos AB ––– ⊥ AC ––– ⇔ m AB –– = ⇔ = ⇔ ⇔ = ⇔ m = 49 Resposta: C 2 –––3 3 –––2 3 –––2 – 1 –––––– m AC–– 4 – (–2) –––––––– m – 1 –1 ––––––––– 6 – (–2) ––––––– 0 – 1 6 ––––––– m – 1 1 –– 8 MÓDULO 21 POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS a1 –––– a2 b1 –––– b2 c1 –––– c2 1 ––– 2 a –––– – 1 1 ––– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 30 – 31 5. (FUVEST-adaptado) – O conjunto dos pontos (x;y) do plano car - tesiano que satisfazem t2 – t – 6 = 0, sendo t = �x – y�, consiste de a) duas retas perpendiculares. b) duas retas paralelas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas. RESOLUÇÃO: O conjunto dos pontos (x; y) são duas retas paralelas, pois: 1) t2 – t – 6 = 0 ⇔ t = 3 ou t = – 2 2) t = � x – y � = – 2 ⇒ ∃/ (x; y) 3) t = � x – y � = 3 ⇔ x – y = 3 ou x – y = – 3 Resposta: B 1. (UFRN) – Um triângulo ABC possui vértices A = (2; 3), B = (5; 3) e C = (2; 6). A equação da reta bissetriz do ângulo ^A é: a) y = 3x + 1 b) y = 2x c) y = x – 3 d) y = x + 1 e) y = x RESOLUÇÃO: O triângulo ABC é isósceles, retângulo em A, e com catetos paralelos aos eixos coordenados. A bissetriz do ângulo ^A tem inclinação de 45°, portanto sua declividade é m = tg 45° = 1. A equação da bissetriz tem equa ção: y – 3 = 1 . (x – 2) ⇔ y = x + 1 Resposta: D 2. (METODISTA) – O hexágono regular ABCDEF tem lados me - din do 2 unidades. A equação da reta r é: a) x – y – ���3 = 0 b) 3x – ���3y – ���3 = 0 c) ���3x – ���3y – 3 = 0 d) 3x + ���3y + 3 = 0 e) ���3x – 3y – ���3 = 0 RESOLUÇÃO: Cada ângulo interno do hexágono regular é igual a 120°, então: O^AF = 60° e B ^AC = 30° (pois o triângulo ABC é isósceles) O ponto A (do eixo x) é tal que OA = AF . cos 60° ⇔ OA = 2 . = 1, resultando suas coordenadas iguais a (1;0). Se o coeficiente angular de r é m = tg 30° = , e a reta passa pelo ponto A(1;0), a equação da reta r é: y – 0 = . (x – 1) ⇔ ���3 . x – 3 . y – ���3 = 0 Resposta: E 1 ––– 2 ���3 –––– 3 ���3 –––– 3 MÓDULO 22 FEIXE DE RETAS C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 31 32 – 3. (UNESP) – Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P (2; – 1), determine a) o coeficiente angular da reta r; b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. RESOLUÇÃO: Sendo mr e ms, respectivamente, os coeficientes angulares das retas r e s, temos A reta s passa pelo ponto P(2; – 1) e tem coeficiente angular ; sua equação, portanto, é y + 1 = (x – 2) ⇔ x – 2y – 4 = 0 Respostas: a) – 2 b) x – 2y – 4 = 0 4. (UNIFEI) – A equação da mediatriz do segmento que une os pontos A(1; 9) e B(– 9; 3) é: a) 5x + 3y + 2 = 0 b) 3x + 2y + 5 = 0 c) 2x + 5y + 3 = 0 d) x + y = 0 e) 5x + 2y – 5 = 0 RESOLUÇÃO: 1o. ) ponto médio de —AB M ⇒ M(– 4; 6) 2o. ) coeficiente angular MAB = = = então mmediatriz = 3o. ) equação da mediatriz y – 6 = – . [x – (– 4)] ⇔ 3y – 18 = – 5x – 20 ⇔ 5x + 3y + 2 = 0 Resposta: A 5. (FGV) – A reta (t) passa pela intersecção das retas 2x – y = – 2 e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos pontos A(1,1) e B(2, – 2). A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto: a) (0,17) b) (0,18) c) (0,14) d) (0,15) e) (0,16) RESOLUÇÃO: 1) Se P for a intersecção das retas dadas, então: ⇔ ⇔ P(3; 8) 2) Se A(1; 1) e B (2 ; – 2), temos: mAB = = – 3 e, portanto, t // AB↔ tem coeficiente angular mt = mAB = – 3 3) A equação da reta t, que passa pelo ponto de intersecção P (3 ; 8), com mt = – 3, resulta: y – 8 = – 3 . (x – 3) e o ponto de intersecção da reta t com eixo y é o ponto (0; 17) Resposta: A 1 + (– 9) 9 + 3�–––––––––; ––––––�2 2 9 – 3 ––––––––– 1 – (– 9) 6 ––– 10 3 ––– 5 – 5 –––– 3 5 ––– 3 2x – y = – 2� x + y = 11 x = 3� y = 8 1 – (–2) –––––––– 1 – 2 � – 4 mr = –––– = – 22 s � r 1 ⇔ ms = ––– 2 1 –– 2 1 –– 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 32 – 33 1. (FUVEST) – As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2; 4). A reta s passa pelo ponto (0; 5). Uma equação da reta r é: a) 2y + x = 10 b) y = x + 2 c) 2y – x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x RESOLUÇÃO: O coeficiente angular ms, da reta s é tal que ms = = – Como r ⊥ t, temos que o coeficiente angular, mr, da reta r é dado por mr = 2. Sendo (2; 4) um ponto da reta r, sua equação é da forma y – 4 = 2(x – 2) ⇔ y = 2x Resposta: E 2. (UNESP) – Determine a equação da reta que é paralela à reta 3x + 2y + 6 = 0 e que passa pelos pontos (x1, y1) = (0, b) e (x2, y2) = (– 2 , 4b) com b ∈ �. RESOLUÇÃO: A equação da reta r, paralela à reta de equação 3x + 2y + 6 = 0 é da forma 3x + 2y + k = 0, com k ∈ � A reta r passa pelos pontos (0; b) e (– 2; 4b) ⇔ ⇔ ⇔ que resulta (r) 3x + 2y – 2 = 0 Resposta: 3x + 2y – 2 = 0 MÓDULO 23 ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 4 – 5 ––––– 2 – 0 1 –– 2 � 3 . 0 + 2 . b + k = 03 (–2) + 2 . 4b + k = 0 � b = 1 k = – 2 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 33 3. (UN.EST.AMAZONAS) – O ângulo agudo da figura abaixo entre as retas y = 4x – 1 e y = mx + 1, sendo m positivo, é igual a 45°. Quanto vale m? a) b) c) d) e) 1 RESOLUÇÃO: A partir do enunciado, temos o seguinte gráfico: Sendo: ^rs = 45°, mr = m, ms = 4 e tg ^rs = , temos: 1 = ⇔ 1 + 4m = 4 – m ⇔ m = Resposta: D 4. (UNICAMP) – Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy: a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas re tas do plano passam por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (2; 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). RESOLUÇÃO: a) Se P é um ponto qualquer desse plano, existem duas retas que passam por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada. b) 1) Se P(2; 5), então as retas que passam pelo ponto P têm equação y – 5 = m . (x – 2) ou x = 2. 2) A reta x – 3y + 6 = 0 tem coeficiente angular mr = 3) Se θ é o ângulo formado por duas retas, r e s, então tg θ = ± . Para θ = 45° e mr = , resulta tg 45°= ± ⇔ 1 = ± ⇔ ⇔ ms = 2 ou ms = – 4) Dessa forma, as retas procuradas têm equação: (s1) y – 5 = 2 . (x – 2) ⇔ 2x – y + 1 = 0 (s2) y – 5 = – . (x – 2) ⇔ x + 2y – 12 = 0 Respostas: a) 2 retas b) 2x – y + 1 = 0 x + 2y – 12 = 0 1 –– 3 mr – ms –––––––––––– 1 + mr . ms 1 –– 3 1 ––– – ms3 –––––––––––– 1 1 + ––– . ms3 1 ––– – ms3 ––––––––––––– 1 1 + ––– . ms3 1 –– 2 1 ––– 2 1 –– 4 1 –– 2 2 –– 3 3 –– 5 ms – mr –––––––––––– 1 + ms . mr 4 – m ––––––––– 1 + 4 . m 3 ––– 5 34 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 34 1. (FGV) Representar no plano cartesiano a região (R) determinada pelas inequações RESOLUÇÃO: A região determinada pelas inequações é a representada a seguir: 2. (FGV) – A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações é igual a: a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3 RESOLUÇÃO: A região triangular limitada pelo sistema de inequações é dada pelo gráfico a seguir. A área da região triangular ABC é igual a: A = = 2,5 Resposta: A MÓDULO 24 POSIÇÃO DOS PONTOS DO PLANO EM RELAÇÃO A UMA RETA E DISTÂNCIA DE PONTO A RETA � x + y – 10 ≤ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 � x + y – 10 ≤ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 � 3x + 5y – 15 ≤ 02x + 5y – 10 ≥ 0 x ≥ 0 3x + 5y – 15 ≤ 0 � 2x + 5y – 10 ≥ 0 x ≥ 0 1 . 5 ––––– 2 – 35 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 35 3. (FGV) – Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos carte - siano ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada pelo ponto P(1; 3). Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x + 2y = 20. Qual a menor distância da cida de ao avião? RESOLUÇÃO: A menor distância entre a cidade e o avião é dada por = Resposta: A menor distância entre a cidade e o avião é 4. (FGV-adaptado) – No plano cartesiano, seja P o ponto situado no 3o. qua drante e pertencente à reta de equação y = 3x. Sabendo que a distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3, podemos afirmar que a soma das coordenadas de P vale: a) – 5,6 b) – 5,2 c) – 4,8 d) – 4,0 e) – 4,4 RESOLUÇÃO: Se P é o ponto do 3o. quadrante e pertencente à reta de equação y = 3 . x, então P (x; 3x), com x negativo. Sabendo que a distância de P (x; 3x) à reta de equação 3x + 4y = 0 é igual a 3, temos: = 3 ⇔ �15 . x � =15 ⇔ x = – 1, pois x < 0 O ponto P tem coordenadas (– 1; – 3) cuja soma é – 4. Resposta: D 5. (UFPB) – As margens de um rio estão representadas pelas retas de equações (r) 6x + 8y + 400 = 0 e (s) 3x + 4y + 25 = 0, em que x e y são medidos em metros. Sabendo-se que um atleta de natação nadou nesse rio de uma margem a outra, conclui-se que esse atleta nadou no mínimo a) 30 m. b) 35 m. c) 28 m. d) 32 m. e) 40 m. RESOLUÇÃO: As retas r e s são paralelas e representam as margens de um rio. A distância mínima que o atleta pode nadar representa a distância entre as retas paralelas; assim: (r) 6x + 8y + 400 = 0 ⇔ 3x + 4y + 200 = 0 (s) 3x + 4y + 25 = 0 dr; s = = = 35 metros Resposta: B �1 + 2 . 3 – 20� –––––––––––––– ���������� 12 + 22 13 ���5 ––––––– 5 13 ���5 ––––––– 5 �3 . x + 4 . 3 . x � ––––––––––––––––– ����32 + 42 �200 – 25� ––––––––––– ��������� 32 + 42 175 –––– 5 36 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 36 FRENTE 4 – GEOMETRIA PLANA E DOS SÓLIDOS 1. (FUVEST) – Um triângulo tem 12 cm de perímetro e 6 cm2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo? RESOLUÇÃO: 2p = 12 cm ⇔ p = 6 cm{ S = 6 cm2 ⇔ p . r = 6 cm2 Assim: r = ⇔ r = 1 cm Resposta: r = 1 cm 2. (USF) – Considere um triângulo equilátero cuja área é numeri - camente igual ao perímetro. O apótema desse triângulo mede, em centímetros, a) 2 ���3 b) c) 2 d) e) RESOLUÇÃO: S = 2p ⇔ p . a = 2p ⇔ a = 2 Resposta: C 3. (PUCCAMP) – Considere-se o hexágono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede 12 cm. A medida do apótema desse hexágono, em centímetros, é: a) 6 ���3 b) 5 ���3 c) 4 ���3 d) 3 ���3 e) 2 ���3 RESOLUÇÃO: a = ⇔ a = ⇔ a = 6 ���3 Resposta: A 4. (FUVEST-2012) – O segmento �AB é lado de um hexágono regular de área ���3. O ponto P pertence à mediatriz de �AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale ���2. Então, a distância de P ao segmento �AB é igual a a) ���2 b) 2 ���2 c) 3���2 d) ���3 e) 2���3 RESOLUÇÃO: Para AB = � e d P, —AB = h, tem-se: I) . 6 = ���3 ⇔ �2 = ⇒ � = II) Para � = e = ���2 ⇒ ⇒ h = = �����12 = 2���3 Resposta: E MÓDULO 19 POLÍGONOS REGULARES 6 cm2 –––––– 6 cm 2 ���3 –––––– 3 4 ––– 3 2 ���3 –––––– 2 12 ���3 –––––––– 2 R ���3 –––––– 2 �2���3 ––––– 4 4 ––– 6 2 ––– ���6 �h –––– 2 2���2 ––––––– 2 –––– ���6 2 ––– ���6 – 37 C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 37 5. (UNIFESP) – Se um arco de 60° num círculo I tem o mesmo comprimento de um arco de 40° num círculo II, então, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Sendo R1 e R2 os raios e S1 e S2 as respectivas áreas dos círculos da figura acima, de acordo com o enunciado, tem-se: . 2πR1 = . 2πR2 ⇔ = Assim, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é: = 2 = 2 = Resposta: B 6. (FGV-SP) – Na figura, ABCD e BFDE são losangos semelhantes, em um mesmo plano, sendo que a área de ABCD é 24, e α = 60º. A área do losango BFDE é a) 6 b) 4���3 c) 8 d) 9 e) 6���3 RESOLUÇÃO: Como α = 60°, os triângulos ABD e BCD são equilá teros. Sendo � a medida do lado dos triângulos ABC e BCD, temos: BD = � e AC = 2 . ⇒ AC = � ���3 Como os losangos são semelhantes, sendo SABCD a área do losango ABCD e SBFDE a área do losango BFDE, temos: = ⇒ = ⇒ SBFDE = 8 Resposta: C � ���3 ––––– 2 SBFDE –––––––– SABCD BD 2�––––�AC SBFDE –––––– 24 � 2�––––––� � ���3 4 –– 9 2�–––�3 R1�–––�R2 S1 –––– S2 9 –– 4 3 –– 2 2 –– 3 4 –– 9 2 –– 9 2 –– 3 R1 –––– R2 40° ––––– 360° 60° ––––– 360° 38 – C3_3oMAT_EX_CONV_2013_Rose 03/09/12 12:43 Página 38 – 39 1. (PUC-SP) – Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura abaixo, são dadas as dimensões, em metros, do prisma. O volume desse tanque, em metros cúbicos, é: a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 RESOLUÇÃO: Ab = m2 ⇒ Ab = 20m2 V = Ab . h = 20m2 . 5m = 100m3 Resposta: D 2. (FMU-SP) – O volume de um prisma hexagonal regular, cuja altura é 10 cm e cujo lado da base mede 2 cm, é igual a: a) 120���3 cm3 b) 10���3 cm3 c) 6���3 cm3 d) 120 cm3 e) 60���3 cm3 RESOLUÇÃO: I) Ab = 6 . = 6 ���3 cm2 II) h = 10 cm III) V = Ab . h Assim: V = 6 ���3 . 10 ⇔ V = 60 ���3 cm3 Resposta: E 3. (MACKENZIE) – Um prisma reto de base quadrada teve os lados da base e a altura diminuídos de 50%. O seu volume ficou diminuído de: a) 50% b) 75% c) 87,5% d) 85% e) 60% RESOLUÇÃO: Sejam a a medida da aresta da base e h a medida da altura
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