Exame 2016 1 Guidi

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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico – Turma B1
Exame – 01 de julho de 2016
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1.2 ponto). A relação entre a taxa de reação (simbolizada por k) e temperatura (simbolizada
por T ) em uma reação química é dada pela seguinte fórmula empírica
k(T ) = αT exp
(
−β
T
)
,
onde α e β são constantes com unidades K−1s−1 e K, respectivamente. Supondo que a constante α =
1,70013× 1010s−1 é conhecida com incerteza desprezível, utilize a fórmula para propagação de erros em uma
função f de várias variáveis σf ≈
√∑n
j=1
(
∂f
∂xj
)2
σx2j e determine a incerteza σk quando T = (510± 0.5)K
e β = (298,77± 0,05)K.
a) σk ≈ 1,7× 109s−1.
b) σk ≈ 8,3× 109s−1
c) σk ≈ 3,2× 109s−1.
d) σk ≈ 5,0× 109s−1.
e) σk ≈ 7,5× 109s−1.
Questão 2 (1.2 ponto): O real 5
√
5 corresponde à solução real positiva da equação
x5 − 5 = 0
.Se
{
x(n)
}∞
n=0
é uma sequência de aproximações para 5
√
5 construída a partir do método Newton-Raphson
com aproximação incial x(0) = 1, então uma relação de recorrência para os elementos dessa sequência é da
forma
a) x(n+1) =
4
5
x(n) − 1(
x(n)
)4 , n = 0, 1, 2, . . .
b) x(n+1) = x(n) +
1(
x(n)
)4 , n = 0, 1, 2, . . .
c) x(n+1) = 1 +
4
5
x(n) +
1(
x(n)
)4 , n = 0, 1, 2, . . .
d) x(n+1) =
4
5
x(n) − 1(
x(n)
)4 , n = 0, 1, 2, . . .
e) x(n+1) =
4
5
x(n) +
1(
x(n)
)4 , n = 0, 1, 2, . . .
◆�✁✂✄ ✽☎✆
Caio Saltiel Renck 244132
Questão 3 (1.2 ponto): A função f(x) = cos(x) − x2 admite dois zeros reais. A partir da aproximação
inicial x(0) = −0.1, a aproximação x(2) da sequência {x(n)}∞
n=0
dada pelo método Newton-Raphson é igual a
a) -1,481426. . .
b) 1,985232. . .
c) 2,353223. . .
d) -1,568350. . .
e) -2,962443. . .
Questão 4 (1.2 ponto): Considere o sistema de n equações lineares (n ≥ 5)


x1 − x2 − 2xn = b1
x2 + x3 = b2
...
...
...
−xi−2 + 3xi − 5xi+2 = bi
...
...
...
xn−5 + 10xn−2 = bn−1
2x1 + xn−1 − xn = bn
onde i = 3, 4, . . . , n − 2. A partir a expressão que relaciona o erro relativo em norma na solução ao erro
relativo em norma na coluna das constantes e condicionamento da matriz de coeficientes, pode-se afirmar
que se o erro relativo em norma∞ na coluna das constantes for menor ou igual a 3.05×10−13em um sistema
com n = 25 então o erro relativo em norma ∞ da solução será menor ou igual a
a) 6,336×10−11
b) 8,400×10−9
c) 2,087×10−10
d) 1,176×10−8
e) 5,913×10−7
Questão 5 (1.2 ponto): Seja s o spline cúbico natural que interpola os pontos (xi, yi) tabelados abaixo:
xi 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1
f (xi) 0.332 0.602 0.588 0.787 1.131 1.802 1.091 0.811 1.284 1.247
O valor de xs′(x) em x = 1.1 é aproximadamente igual a
a) - 2,63746
b) - 2,62506
c) - 2,62770
d) - 2,62907
e) - 2,63512
Questão 6 (1.2 ponto): A partir do ajuste de mínimos quadrados linearizado da função
C(t) = C0t
αe−βt
aos dados {(ti, Ci)}i tabelados abaixo
ti 0.117 0.612 1.14 1.63 2.19 2.42 3.02 3.67 3.94 4.75 5.01 5.62
Ci 0.109 1.26 2.48 2.84 2.75 2.92 2.43 1.81 1.58 1.17 0.987 0.714
tem-se que C0 é aproximadamente igual a
a) 4,903
b) 5,081
c) 5,287
d) 5,199
e) 5,340
Questão 7 (1.2 ponto): A partir dos dados disponíveis abaixo sobre a função f
xi 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
f (xi) 0.9723 2.946 5.962 9.317 13.90 19.53 26.25 34.13 43.22 53.55 65.18
a aproximação da integral definida ∫ 3
1
ln (x+ f(x)) dx
calculada através da quadratura composta do trapézio com todos os dados é aproximadamente igual a
a) 5,7769375
b) 5,7773934
c) 5,7772347
d) 5,7770331
e) 5,7774402
Questão 8 (1.2 ponto): A quadratura de Gauss-Legendre consiste na aproximação
n∑
i=1
f (xi)Ci ≈
∫ 1
−1
f(x)dx,
onde xi ∈ (−1, 1) e Ci > 0 são valores tabelados. Determine a expressão para a quadratura de Gauss-
Legendre para a integral definida ∫ 0.1
0
g (x) dx
em termos dos valores xi e Ci.
a)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi +
1
20
)
20Ci
b)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi − 1
20
)
Ci
20
c)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi +
1
20
)
Ci
20
d)
∑n
i=1 g (20xi − 1)
Ci
20
e)
n∑
i=1
g (20xi − 1) 20Ci
Questão 9 (1.2 ponto): Considere o P.V.I.


z′ = cos(z + t), t > 3,
z(3) = 0.6
Determine uma aproximação correta com seis dígitos para z′′(6).
a) 0,980262
b) 1,221072
c) 0,730187
d) 0,493027
e) 0,662740
Questão 10 (1.2 ponto): O método de Euler aplicado ao P.V.I.


y′ = t x , t > 2
x′ =
y
t
, t > 2
y(2) = −5 , x(2) = 3
consiste na sequência de aproximações yi e xi com ti = 2 + ih, onde
a)


yi+1 = yi + hxi
xi+1 = xi +
1
h
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
b)


yi+1 = yi +
(
2h+ ih2
)
xi
xi+1 = xi +
(
h
2 + ih
)
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
c)


yi+1 = yi + (2 + ih)xi
xi+1 = xi +
h
2 + ih
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
d)


yi+1 = yi − (2 + ih)xi
xi+1 = xi − h
2 + ih
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
e)
{
yi+1 = yi + ihxi
xi+1 = xi + iyi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.