Relatório - Pêndulo de Torção e Teorema de Steiner

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
Momento de Inércia, Pêndulo de Torção e Teorema de Steiner 
Rodrigo Castelan Chitolina (00268624). Livio Amaral (Turma H) 
Resumo: Este trabalho, momento de inércia, pêndulo de torção e teorema de Steiner, visa provar experimentalmente o teorema de Steiner, que permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido a um eixo de rotação que passa por um ponto “P”, quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo a “P” e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre estes eixos. A conclusão que se chegou foi que de acordo com o Teorema de Steiner, ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ, teríamos a equação ܫ = 0,00538 + 0,4785 × ℎଶ e de acordo com o ajuste linear dos dados experimentais, a equação que ajusta a função se dá por ܫ = 0,00542 + 0,48819 × ℎଶ. 
Introdução 
Neste experimento, temos o objetivo de provar o teorema de Steiner de maneira experimental, utilizando um pêndulo de torção e instrumentos eletrônicos, e tabelando os valores que serão utilizados nos cálculos a fim de obtermos uma aproximação do teorema, o qual diz que ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ. As equações utilizadas no experimento encontram-se abaixo: 
Momento de Inércia relativa ao Centro de Massa: ܫܿ݉ = ெ×ோమଶ 
Variância do Momento de Inércia relativa ao Centro de Massa: ߪܫܿ݉ = ܫܿ݉ × ට(ఙெெ )ଶ + (ଶఙோோ )ଶ 
Teorema de Steiner: ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ 
Constante da Mola: ܭ = 4 × ߨଶ × ூ௖௠்௖௠మ 
Variância da Constante da Mola: ߪܭ = ܭ × ට(ఙூ௖௠ூ௖௠ )ଶ + (ଶఙ்்௖௠ )ଶ 
Momento de Inércia: ܫ = ௄×்మସ×గమ 
Equação da Média do Período relativo ao centro de massa: < ܶܿ݉ > = ்௖௠ଵା்௖௠ଶା்௖௠ଷା்௖௠ସା்௖௠ହே 
Desvio Quadrático do Período relativo ao centro de massa: (ܶܿ݉−< ܶܿ݉ >)ଶ 
Variância Amostral do Período relativo ao centro de massa: 
ߪܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ = ඩ 1ܰ − 1 ∗ (෍(ܶܿ݉−< ܶܿ݉ >)ଶ
ହ
ଵ
మ 
Variância Média Amostral do Período relativo ao centro de massa: ߪܣ = ఙ௔௠௢௦௧௥௔௟√ேమ 
Ajuste Linear (método dos mínimos quadrados): Ajusta a função ݕ = ܽ + ܾݔ, que no caso do experimento é a equação da reta ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ, onde Icm é o coeficiente linear a reta e M é o coeficiente angular da reta. 
ܽ = (∑ ௬௡)×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡௬௡)×(∑ ௫௡)ே×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡)మ ܾ = ே×(∑ ௫௡௬௡)ି(∑ ௬௡)×(∑ ௫௡)ே×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡)మ 
Onde: 
I é o momento de inércia em qualquer eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa; 
Icm é o momento de inércia relativo ao centro de massa; 
M é a massa do disco; 
R é o raio do disco; 
h é a distância do eixo qualquer paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa; 
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K é a constante a mola; 
Tcm é o período relativo ao centro de massa do objeto. 
T é o período medido em um eixo qualquer paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, com esta distância “h” conhecida. 
 
Materiais Utilizados 
Para execução do experimento, foi utilizado um Foto Gate with Memory modelo ME-9215A com precisão de 1ms, uma régua com precisão de 0,001m, uma balança com precisão de 0,0001g, uma calculadora modelo 20S da fabricante Hewlett Packard, um pêndulo de torção e um disco sólido com um furo central e outros quatro furos alinhados e distantes 0,03m um do outro. 
 
Procedimentos 
O procedimento de coleta dos dados foi feito em um grupo de quatro estudantes. 
Passo 1: Foram medidos a massa e o raio do disco utilizando a balança e a régua. 
Passo 2: O disco é fixado pelo furo central ao pêndulo de torção. 
Passo 3: O disco é rotacionado aproximadamente 350° e solto, o Foto Gate faz a leitura do período. Este passo é repetido outras quatro vezes. 
Passo 4: O disco é fixado pelo furo distante 0,03m do centro e o passo 3 é repetido. 
Passo 5: O disco é fixado pelo furo distante 0,06m do centro e o passo 3 é repetido. 
Passo 6: O disco é fixado pelo furo distante 0,09m do centro e o passo 3 é repetido. 
Passo 7: O disco é fixado pelo furo distante 0,12m do centro e o passo 3 é repetido. 
Passo 8: Os dados coletados dos períodos “T” e as distâncias “h” são inseridos na Tabela 1. 
Passo 9: São calculados os valores de “h2”, a média dos períodos “ܶ” e os momentos de inércia “I” para cada valor de “h”. Os valores calculados são inseridos na Tabela 2. 
 
Dados Experimentais 
Tabela 1: Tabela com as medidas de h e períodos. 
h (m) T1 (s) T2 (s) T3 (s) T4 (s) T5 (s) 
0,00 2,672 2,672 2,671 2,688 2,687 
0,03 2,793 2,798 2,810 2,793 2,792 
0,06 3,103 3,104 3,108 3,105 3,115 
0,09 3,529 3,543 3,527 3,540 3,542 
0,12 4,069 4,077 4,067 4,083 4,070 
 
Tabela 2: Tabela com os valores de h2, a média dos períodos e os momentos de inércia para cada valor de h. 
h (m) h2 (m2) T1 (s) T2 (s) T3 (s) T4 (s) T5 (s) <T> (s) I (kg.m2) 
0,00 0,0000 2,672 2,672 2,671 2,688 2,687 2,6780 0,0053831250 
0,03 0,0009 2,793 2,798 2,810 2,793 2,792 2,7970 0,0058730048 
0,06 0,0036 3,103 3,104 3,108 3,105 3,115 3,1070 0,0072459582 
0,09 0,0081 3,529 3,543 3,527 3,540 3,542 3,5362 0,0093861385 
0,12 0,0144 4,069 4,077 4,067 4,083 4,070 4,0732 0,0124533097 
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Análise dos Dados 
Massa do disco e sua variância (M): 
ܯ = 0,47850ܭ݃ ± 0,00005ܭ݃ 
 
Raio do disco e sua variância (R): 
ܴ = 0,1500݉ ± 0,0005݉ 
 
Momento de Inércia relativo ao centro de massa (Icm): 
ܫܿ݉ = ெ×ோమଶ  ܫܿ݉ = ଴,ସ଻଼ହ଴×଴,ଵହ଴଴మଶ  ܫܿ݉ = 0,00538ܭ݃݉ଶ 
 
Variância do Momento de Inércia relativa ao Centro de Massa (σIcm): 
ߪܫܿ݉ = ܫܿ݉ × ට(ఙெெ )ଶ + (ଶఙோ )ଶ  ߪܫܿ݉ = 0,00538 × ට(଴,଴଴଴଴ହ଴,ସ଻଼ହ଴)ଶ + (ଶ×଴,଴଴଴ହ଴,ଵହ଴଴ )ଶ  ߪܫܿ݉ = 0,00004ܭ݃݉ଶ 
 
Média do Período relativo ao centro de massa (Tcm): 
< ܶܿ݉ > = ଶ,଺଻ଶାଶ,଺଻ଶାଶ,଺଻ଵାଶ,଺଼଼ାଶ,଺଼଻ହ  < ܶܿ݉ > = 2,678ݏ 
 
Média dos Períodos para cada valor de h (Th): 
< ଴ܶ,଴ଷ > = ଶ,଻ଽଷାଶ,଻ଽ଼ାଶ,଼ଵ଴ାଶ,଻ଽଷାଶ,଻ଽଶହ  < ଴ܶ,଴ଷ > = 2,796ݏ 
< ଴ܶ,଴଺ > = ଷ,ଵ଴ଷାଷ,ଵ଴ସାଷ,ଵ଴଼ାଷ,ଵ଴ହାଷ,ଵଵହହ  < ଴ܶ,଴଺ > = 3,107ݏ 
< ଴ܶ,଴ଽ > = ଷ,ହଶଽାଷ,ହସଷାଷ,ହଶ଻ାଷ,ହସ଴ାଷ,ହସଶହ  < ଴ܶ,଴ଽ > = 3,536ݏ 
< ଴ܶ,ଵଶ > = ସ,଴଺ଽାସ,଴଻଻ ,଴଺଻ାସ,଴଼ଷାସ,଴଻଴ହ  < ଴ܶ,ଵଶ > = 4,073ݏ 
 
Variância Amostral do Período relativo ao centro de massa: 
ߪܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ = ට ଵேିଵ ∗ (∑ (ܶܿ݉−< ܶܿ݉ >)ଶହଵమ 
ߪܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ = ටଵସ ∗ (2,672 − 2,768)ଶ + (2,672 − 2,678)ଶ + (2,671 − 2,678)ଶ + (2,688 − 2,678)ଶ + (2,687 − 2,678)^2మ 
ߪܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ = 0,009s 
 
Variância Média Amostral do Período relativo ao centro de massa: 
ߪܣ = ఙ௔௠௢௦௧௥௔௟√ேమ  ߪܣ = ଴,଴଴ଽ√ହమ  ߪܣ = 0,004ݏ 
 
Constante da Mola: 
ܭ = 4 × ߨଶ × ூ௖௠்௖௠మ  ܭ = 4 × ߨଶ × ଴,଴଴ହଷ଼ଶ,଺଻଼మ  ܭ = 0,0296 ௄௚௠మ௦మ 
 
Variância da Constante da Mola: 
ߪܭ = ܭ × ට(ఙூ௖௠ூ௖௠ )ଶ + (ଶఙ்௖௠்௖௠ )ଶ  ߪܭ = 0,02963 × ට(଴,଴଴଴଴ସ଴,଴଴ହଷ଼)ଶ + (ଶ௫଴,଴଴ସଶ,଺଻଼ )ଶ  ߪܭ = 0,0002 ௄௚ మ௦మ 
 
 
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Momento de Inércia para cada valor de h: 
ܫ଴,଴ଷ = ௄×்మସ×గమ  ܫ଴,଴ଷ = ଴,଴ଶଽ଺×ଶ,଻ଽ଺మସ×గమ  ܫ଴,଴ଷ = 0,00586ܭ݃݉ଶ 
ܫ଴,଴଺ = ௄×்మସ×గమ  ܫ଴,଴଺ = ଴,଴ଶଽ଺×ଷ,ଵ଴଻మସ×గమ  ܫ଴,଴଺ = 0,00724ܭ݃݉ଶ 
ܫ଴,଴ଽ = ௄×்మସ×గమ  ܫ଴,଴ଽ = ଴,଴ଶଽ଺×ଷ,ହଷ଺మସ×గమ  ܫ଴,଴ଽ = 0,00937ܭ݃݉ଶ 
ܫ଴,ଵଶ = ௄×்మସ×గమ  ܫ଴,ଵଶ = ଴,଴ଶଽ଺×ସ,଴଻ଷమସ×గమ  ܫ଴,ଵଶ = 0,01244ܭ݃݉ଶ 
 
Gráfico I versus h2: 
X = h2 (m2) Y = I (kg.m2) ∑Xn (m2) ∑Yn (kg.m2) ∑X2n(m4) ∑XnYn (kg.m4) 
0,0000 0,00538 
0,0270 0,04029 0,00028674 0,000286371 
0,0009 0,00586 
0,0036 0,00724 
0,0081 0,00937 
0,0144 0,01244 
 
 
 
Ajuste Linear (método dos mínimos quadrados): 
ܽ = (∑ ௬௡)×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡௬௡)×(∑ ௫௡)ே×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡)మ  ܽ = (଴,଴ସ଴ଶଽ)×(଴,଴଴଴ଶ଼଺଻ସ)ି(଴,଴଴଴ଶ଼଺ଷ଻ଵ)×(଴,଴ଶ଻)ହ௫(଴,଴଴଴ଶ଼଺଻ସ)ି(଴,଴ଶ଻)మ  ܽ = 0,00542 
 
ܾ = ே×(∑ ௫௡௬௡)ି(∑ ௬௡)×(∑ ௫௡)ே×(∑ ௫మ௡)ି(∑ ௫௡)మ  ܾ = (଴,଴଴ଵସଷଵ଼଼)ି(଴,଴ସ଴ଶଽହ)×(଴,଴ଶ଻)(଴,଴଴ଵସଷଷ଻)ି(଴,଴଴଴଻ଶଽ)  ܾ = 0,48819 
 
De acordo com os coeficientes “a” e “b” calculados, obtemos a equação da reta que ajusta a função: 
ܻ = 0,00542 + 0,48819ܺ 
 
Teorema de Steiner: 
ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ  ܫ = 0,00538 + 0,4785 × ℎଶ 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
De acordo com os dados coletados e os cálculos executados concluímos que o aumento do momento de inércia é proporcional à massa do objeto multiplicada pelo quadrado da distância perpendicular do eixo de rotação em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, conforme diz o Teorema de Steiner ܫ = ܫܿ݉ + ܯ × ℎଶ, onde ܫ = 0,00538 + 0,4785 × ℎଶ. 
E ainda encontramosuma equação através do ajuste linear do gráfico I versus h2 com uma boa aproximação do teorema de Steiner: ܻ = 0,00542 + 0,48819ܺ 
 
Referências 
TEXTOS DE APOIO DA DISCIPLINA 
Lima Junior, P.; Os conceitos de erro e incerteza. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 7 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016. Lima Junior, P.; Incerteza e algarismos significativos. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 6 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016. Lima Junior, P.; A avaliação da incerteza do tipo A. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 11 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016. Lima Junior, P.; A avaliação da incerteza do tipo B. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 8 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016. Lima Junior, P.; Medições indiretas e propagação da incerteza. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 5 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016. Lima Junior, P.; Método numérico para propagação da incerteza. Série de textos de apoio para Física Experimental I. Porto Alegre, RS: Instituto de Física UFRGS, 2012. 8 p. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/fis1258/. Acesso em 22 maio 2016.