SOLU.DemidovichAnalisisMatematicoI

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SOLU.DemidovichAnalisisMatematicoI/Solucionario de Demidovich Analisis Matematico II.pdf
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«¡HgBMBaaB—i ii 11 mmmt mBsmmammmmmmammmmmmmmBstmm
ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONARIO DEMIDOVICH
TOMO I
O O
y i
! n
| n— 1
| ♦ INTRODUCCIÓN AL ANALISIS \
\ ♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES j
| I
! ♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA !
i
I *
I
í " -
i EDUARDO ESPINOZA RAMOS
i 1
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IMPRESO EN EL PERÚ 
1 5 - 0 2 - 2 0 0 4
4ta EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse tota l ó parc ia lm ente por ningún 
m étodo gráfico, e lectrón ico o m ecánico, incluyendo los sistemas 
de fo tocopia , registros m agnéticos o de a lim entación de datos, sin 
expreso consentim iento del autor y Editor.
RUC
Ley de Derechos del Autor 
Registro com ercia l 
Escritura Publica
N ° 10070440607 
N °13714 
N ° 10716 
N °4484
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PROLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los 
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más 
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto 
nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como 
la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que 
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes 
conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a 
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer 
tomo, en su cuarta edición del solucionado del libro problemas y ejercicios de análisis 
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se 
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a 
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis 
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su 
avance y desarrollo intelectual.
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
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1
31
88
143
155
173
187
259
276
306
333
349
354
361
INDICE
CAPITULO I 
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
Concepto de Función
Representación Gráfica de las Funciones Elementales 
Limites
Infinitésimos e Infinitos 
Continuidad de las Funciones
CAPITULO II
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
Cálculo Directo de Derivadas 
Derivación por Medio de Tablas
Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente
Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada
Derivadas de Orden Superior
Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior
Teorema del Valor Medio
Fórmula de Taylor
Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites 
indeterminados
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CAPITULO III
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES 
_______ GEOMÉTRICAS DE LAS D E R IV A D A S_____
3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento 374
3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión 423
3.3. Asíntotas 435
3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos
Característicos 445
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Introducción al Análisis
C A P I T U L O I
INTRODUCCION AL ANALISIS
1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN.-
Demostrar que si a y b son numero reales.
I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |
D esarrollo
Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto
| a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular:
Luego: | a | < | a - b | + | b | => | a | - | b | < | a - b | ... (1)
Además: | a - b | = | b - a | > | b | - 1 a |, es decir: | a - b | > | b | - 1 a | ... (2)
Por tanto de (1) y (2) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b | ... (3)
por otro lado: | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b |
de donde: | a - b | < | a | + | b | ... (4)
Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |
Demostrar las siguientes igualdades:
a) | a.b | = | a 11 b | b) | a | 2= a 2
c) l?l= T?T’ b *° d)b | b |
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2 Eduardo Espinoza Ramos
D esarrollo
a) 1er Caso: Sí a y b > 0 => | a ¡ = a,| b | = b por definición del valor absoluto 
de donde | a 11 b | = ab
Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b
Por definición del valor absoluto
j •% f ¿ 4.,? ¡L«, J > ! : wr ’ I X%*. />' f - ■ , •
Luego | a 11 b | = ab = | ab | | a 11 b | = | ab |
2do. Caso: Sí a > 0 a b < 0
Como: b < 0 => -b > 0 => | a b | = | -(ab) | = | a(-b) |
Como: - b > 0 => por la parte Ira se tiene:
I ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | a b | = | a | | b |
3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene
| ab | = | a U b |
4to, Caso: Sí a < 0 a b < 0 => - a > 0 a - b > 0
entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:
| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11 -b | = | a 11 b | por lo tanto | ab | = | a 11 b |
b) | f l | 2 = < 7 2
Sí a > 0 => | a | = a => \a \ 2= a 2 
S í a c O =$ | a | = -a => | a |2= ( - a ) 2 = a 2 
Por tanto | a | 2= a 2
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Introducción al Análisis 3
C) | £ | = i £ l
V 1*1
¡7 1 = 1 a.(j-) 1 = 1 a || -í- 1 por la parte (a) b b b
además | - | = | * l 1 por la parte (b) 
b
LueSo:
Como | Í H « | | l N „ | ¡i ¡ = j£j,porlot»nu, \ Í \ M
d) J a 2 = | a \
Sí a > 0 => -Ja2 = a
Sí a < 0 => - a > 0 => a )2 = — a => a2 = —a
Luego por lo tanto sja2 = \ a |
Resolver las inecuaciones.
a) | x — 1 | < 3 b) | x + 1 | > 2
c) | 2x + 1 | < 1 d) | x - 1 | < | x + 1 |
D esarrollo
a) Sí | x - 1 | < 3 => -3 < x - 1 < 3
de donde - 2 < x < 4 =* x e <-2,4>
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4 Eduardo Espinoza Ramos
b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2 
==> x > l ó x < - 3
I
-3 -1
La solución es x e < -o o t- 3> U <l,+°o>
c) | 2x + 1 ) < 1 <=> -1 < 2x + 1 < 1
<=> -2 < 2x < 0
o -1 < x < 0 
La solución es x e <-1,0>
d) | x — 1 | < | x + 1 | =$ | jc — 112< |x + l |2
x 2 - 2x + l < x 2 + 2x +1
=> 4x > 0 => x > 0 
Luego la solución es x e <0,+°°>
Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 1 \ x - 6
D esarrollo
Como f ( x ) = x -6jc~ + l l x - 6
/ ( - 1 ) = ( -1 )3 - 6 ( - l ) 2 + 11(-1) - 6 - -2 4
/(O ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = -6
/(1 ) = ( l)3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0
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Introducción al Análisis 5
/ ( 2 ) = (2)3 - 6 ( 2 ) 2 + 11(2) - 6 = 0 
/(3 ) = (3)3 - 6(3)2 +11(3) - 6 = 0 
/(4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6
5 Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - I - Sí f ( x ) = y ¡ ü ^
4 x f ( x )
D esarrollo
Como f ( x ) = >/l + .v2 entonces /(O ) = V1+02 = 1
¡25 = 5
4 V 4 V 16 V 16 4
f ( - x ) = y¡\ + ( - x f =
/ ( >) = c i 7 =4 ± ?
x \ x |x |
1 1 _
/(•* ) y¡] + X 2
6 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( ~ ) < f( l) y f(10)
Desarrollo
Como f(x) = arc.cos (log x) entonces
/ (— ) = arccos(log — ) = arccos(-
log 10) = arccos(-l) = n
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6 Eduardo Espinoza Ramos
/(1 ) = arccos(logl) = arccos(O) =
n
f(10) = árceos (log 10) = árceos (1) = 0
La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.
Desarrollo
, »\ ■. \ 1 , \ , A i*f
Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R
Luego
[ / ( - ! ) = 2 
1/ ( 2) = -3
2 = - a + b
I
[ -3 = 2 a + b
5 1
Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = — , b - —
i . -------- --- ------- 3 3
r , > 5x 1f ( x ) = + -
3 3
o¡
Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1, f( 1) = 0 
y f(3) - 5.
D esarrollo
Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces 
f ( x ) = a x 2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse.
Como
/ ( 0 ) = 1 
/ ( D = 0 
/ (3) = 5
1 = c
0 = a + h + c 
5 = 9a + 3b + c
\a + b = -1 
i 9fl + 3fc = 4
7 13
Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = -----6 6
Luego como / ( x ) = ax~ + bx + c , se tiene
6 o
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Introducción al Análisis 7
Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), 
considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación 
lineal de funciones).
Desarrollo
f(x) es lineal =* f(x) = ax + b
[ / ( 4) = - 2 Í4a + b = - 2
Como => < resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34
[ /(5 ) = 6 [5a+b = t
Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34 
Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4
í0 si x <0
10 Escribir una sola fórmula que exprese la función: / ( * ) = •
empleando del signo del valor absoluto.
Desarrollo
r si x >0
0 si x <0 
x si x > 0
x + \ x \
Como / ( x) =
Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene
Si x > 0 => para f(x) = x se tiene
2
x + \ x \
2
1 Y I 4-Y
Luego: _. . ¡x I+xf ( x ) = — ----
2
11 Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:
a) y = ú + l
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8 Eduardo Espinoza Ramos
D esarrollo
El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre 
de dominio de la función.
Luego como y = sfx +1 para que esté bien determinado debe cumplirse 
que x + l > 0 de donde x > -1 => x e [-l,+°°>
El campo de existencia de la función es -1 < x < °°
b) y = s /x + í
D esarrollo
Como y = yfx + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego 
el campo de existencia es: -<» < x < +°°
112 y = —
4 - x 2
D esarrollo
Los valores de x para que y = — esté bien determinado es:
4 - x
4 - x 2 * 0 =*■ x * ± 2
Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>
13 a) y = 4 x 2 - 2
D esarrollo
Para que y = \ l x2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse:
x 2 - 2 > 0 x 2 > 2 x >\¡2 v x < -y¡2
Luego el campo de existencia es: < - °° ,—j2]U[>l2,+°o >
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Introducción al Análisis 9
14
b) >■ = x \]x2 - 2
Desarrollo
Para que y = xy¡x2 - 2 esté definida:
4 .
A:2 — 2 > 0 => X>yÍ2 v x < - y ¡ 2 ‘ 
también para x = 0, y = X ' lx2 - 2 está definida 
Luego el campo de existencia es: x = 0, | x \ > y¡2
y = y¡2 + x - x 2
Desarrollo
Para que y = yfe + x - x 2 esté bien definida debe cumplirse que 
2 + x - x 1 > 0 , es decir: x 2 - x - 2 < 0 ( x - 2 ) ( x + l ) < 0
15
-1 2
Luego el campo de existencia es: [-1,2]
11 = -J -x -
y/2 + X
Desarrollo
Para que y = \ [ - x + - p L = esté definida, debe cumplirse que: 
V2 + jc
-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2
1
-2 0 
Luego el campo de existencia es [-2,0]
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10 Eduardo Espinoza Ramos
16 y = yjx — x 3
D esarrollo
Para que esté bien definida debe cumplirse que: 
x - x 3 >0 => x(x - l)(x + 1) < 0 de donde:
-1 0 1
luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0,1]
17 y = log(-~—~—)
2 — x
D esarrollo
2 + x 2 ~h xPara que y = log( ) esté bien definida debe cumplirse que: — > 0
2 - x 2 - x
de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2 
=> (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:
-2 2
Luego el campo de existencia es <-2,2>
i ,x 2 - 2 >x + 218 y = log( )
jc + 1
D esarrollo
2 ^ ^ ^
Para que y = log(---------------) esté bien definida debe cumplirse que:
JC+1
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Introducción al Análisis li
A-2 - 3a + 2
> 0 de donde (a - 3 a + 2)(a + 1) >0 para x * - l
A + l
(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:
19
-1 1 2
Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>
>’ = a rc c o s (-^ -) 
1 + A
2a
D esarrollo
2ay = arccos( ) => eos y
1 + A 1 + A
2x
pero se conoce que: -1 < eos y < 1 , de donde -1 < < 1
1 + A
■ 1 S - 2 Í .S 1 „ - 1 < — „ i f - s l
1 + A 1 + A 1 + A
2x 2.x
<=> 0 < + 1 A ------------1 < 0
1 + A 1 + A
,, 3a +1 A - l
<=> 0 -< --------- A < 0
1+A A + l
<=>•■ 0 < (3x + 1)(1 + x) a (x - l)(x + 1) < 0, x * - l
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12 Eduardo Espinoza Ramos
Luego ( < —« > ,—i > t / [ —- i , +00 > a < — 1, 1J
JC
20 y = arcsen(\og — )
10
D esarrollo
v = arcsenflog— ) => seny = log—
JC JC
como - l < s e n y < l => —l < l o g — <1 además — > 0
y 10 10
1 x 10 10
Luego — < — <e => — < jc< 1 0 e => jc e [— ,10e]
e 10 e e
21 y = ^¡sen 2x
Desarrollo
Para que y = yjsen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 
Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1
7T0 < 2x < — de donde se tiene:
2 *■
kit < x < k n + — , donde k = 0, ±1, ±2. ±3,...
2
22 , Sea f ( x ) = 2x 4 - 3x3 - 5 x 2 + 6x - 10. Hallar:
Desarrollo
x > 0
1 > sen 2x>0
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Introducción al Análisis 13
Como
/( .v ) = 2 .y4 - 3a3 - 5 a2 + 6 A" - 1 0
. Luego:
/ ( - a ) = 2 a4 + 3a3 - 5a2 - 6 a -1 0
<¡9(a) = Í - [ / ( a ) + / ( - a ) ] = 2a4 - 5 a2 - 1 0
I / ( a ) = 2a4 - 3 a3 - 5 a2 + 6 a -1 0 
[ / ( - a ) = 2a4 + 3a3 - 5a2 - 6a - 10
¥ ( * ) = | [ / U ) - / ( - * ) ] = \ í ~ 6x 2 + 12a) => y/(x) = - 3 x 3 + 6x
23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se 
denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí ff-x) = -f(x). Determinar cuales de las 
siguientes funciones son pares y cuales impares:
a) f ( x ) = ^ { a x +a~x$
Desarrollo
1 . , 1
1
Como / ( a ) = — (ax +a x) => f ( - x ) = —( a * + a x )
Luego f(x) = f(-x) => f ( x ) = —(ax + a x ) es par
b) / ( a ) = Vi + a + a 2 -y ] 1 -A + A2
Desarrollo
/ ( a ) = s / l + a + a 2 - - y / l - A + A2
/ ( -A ) = V l-A + A2 — s I l + X + X 2 = -(> / 1 -A + A2 - - \/ l + A + X2) = - / ( A )
como: f(-x) = -f(x ) => f(x) es impar
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14 Eduardo Espinoza Ramos
C) f ( x ) = l ] ( x + l )2 + l j ( x - l )2
D esarrollo
Como / ( a ) = yj(x + 1)2 + y¡(x - 1)2 , entonces:
f ( - x ) = í ¡ ( - x + 1)2 + V (-J f - D2 +lj (x + l )2 = / ( x )
Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.
d) / ( jc) = log(-|——)
1-JC
Desarrollo
Como / ( x ) = log(Ü ^-) / ( -A ) = l o g ( ~ - ) = - lo g ( |Í ^ - ) = - / ( x )
1 — A 1+X 1-X
Como f(-x) = -f(x) => la función es impar
24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, 
puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
Desarrollo
A la función f(x) escribiremos así: / ( x) = / ( a ) + — / ( - a ) — — / ( -a )
/ W = ^ /(•*) + ^ / ( - * ) + ^ / ( * ) " / ( - ■ * )
/ ( * ) = | ( / W + / ( - * ) ) + r ( / w - / ( - * »
definiremos la función: / ^ a ) = ~ ( / ( x ) + / ( - a ) ) que es par, es decir:
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Introducción al Análisis 15
f \ (-* ) = - ( / ( * ) + / ( - a ) ) = - ( / ( a ) + / ( - a ) ) = / , ( a ) => / , ( * ) espar
f 2(~x) = - ( / ( - * ) - / ( - ( - * ) ) = ~ - ( / U ) ~ / ( - * ) ) = ~ f 2(x) => / 2(a) es
impar
por lo tanto / (a) = / , (a) + / 2(a) es la suma de una función par y otra impar.
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una 
función impar.
Sea / ( a) = / j(a) . / 2(a) donde / | ( a) y / 2(a) son funciones pares por 
demostrar que / ( a) = / i(a) . / 2(a) es par como / , ( a) y / 2(a) son pares.
í/i(-Jc ) = / i W
[y*2(“ -^)= y*2(-^ )
/( - •* ) = ( / i - f2 ) ( -x ) = f \ ( - x ) - f 2 (“ *) = f \ (x)-f i (*) = / ( * ) entonces 
/ W = / i ( 4 / 2W es par.
Si g(x) = ^ i(a).^ 2(a) donde ^ ,(a ) y g 2(x) son funciones impares por 
demostrar que g(x) = g l (x) .g2(a) es par
25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
Desarrollo
Como £ ((a ) y g 2(x) son impares =>
g,(-A ) = -^,(A)
g 2(-x) = - g 2(x)
g ( - x ) = (g\ g 2) ( -X ) = £1 ( x )'g? ( a) = [-# ,(a )1 [~ £ 2(a)]
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16 Eduardo Espinoza Ramos
g ( - x ) = g i (x ) . g2(x) = g(x) => g ( x ) ^ g l (x) .g2(x) es par
26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de 
la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al 
campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que 
se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las 
mismas.
a) f ( x ) = 1 0 s e n 3 x
D esarrollo
Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)
2 n
Como sen x = sen (x + 2n) => 3T = 2n =$ T = —
3
Luego f(x) = 1 0 sen 3x es periódica y T =
b) f(x) = a sen(A,x) + b cos(3,x)
D esarrollo
Sea f(x) = a sen (3.x) + b eos (3.x) entonces:
F(x + T) = a sen (3.x + 3.T) + b eos (3.x + 3.T)
Como sen x = sen(x + 2ti) y eos x = cos(x + 2n) de donde 
2 n
3.T = 2jt => T = —
A
por lo tanto f(x)=a sen(3.x)+ b cos(3,x) es periódica, donde el periodo
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Introducción al Análisis 17
C) / ( * ) = yJtgX
Desarrollo
f ( x ) = yftgx => f (X + T) = y]tg(X+T)
Como tg x = tg(x + Jt) => T = it
Para que f(x) = f(x + T), luego: f ( x ) = y[tgx es periódica con T = Jt
d) f ( x ) = sen2x
Desarrollo
Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos Jt + eos x. sen Jt = - sen x 
De donde sen2 (jc + n) = sen2x de donde:
f(x) = f(x + 7t) entonces la función/ (x) = sen2x es periódica con periodo 
T = Jt.
e) f { x ) = sen(-Jx)
Desarrollo
Se conoce que J x * yfx + \¡T para T * 0
Luego f (x) = sen(yfx) => f ( x + T) - sen(y/x + T)
Por tanto f(x) ^ f(x + T) la función: f (x) = sen( x ) no es periódica
27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como 
función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.
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18 Eduardo Espinoza Ramos
D
Desarrollo
En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir: 
0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:
A AMN - A ADE, de donde: — = —
b c
bx
y - — para 0 < x <
c
veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = 
b
luego: y =
-x para 0 < x < c
b para c < x < a
ahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c => S =
b xy
Pero y = — x , reemplazando se tiene: 5 = — s í O < x < c 
c 2
beS i c < x < a => S = b x ~ — , para c < x < a La gráfica es:
c, ahora 
= b,
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Introducción al Análisis 19
28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una 
barra AB = 1, en sus porciones A C = / , , CD = l2 y DB = /3, 
(/, + l2 + lj = /) son respectivamente iguales a: qx , q2 , q2, expresar la masa
m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, 
construir la gráfica de esta función.
Desarrollo
/ 1 7 / I2 - \ s v \
A ^------ ■ Y ¿ \
M 
X
Consideremos primero: P = ~j~ ^ m - lp 
Luego sí 0 < jc < /, entonces m = x.ql 
*1 M
Sí / , < * < / , + / 2 => m = l¡q¡ + q 2( x - l \ ) 
1, C M
^1 Q2N — X ---------- M
»B
Sí lx + l 2 < x < l { + l 2 + l 2 entonces: m = lxq¡ + l2q2 + ( x ~ ( l x + l2))q3~ ~ i
m = l lq l + l2q 2 + ( * - / , - l 2 )q2
A ♦— 5------• -——• • • B
o a
H -------------------- X H
Resumiendo se tiene: g
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20 Eduardo Espinoza Ramos
xqy si 0 <x<l¡
liq ] + ( x ~ l l)qi si /| < at < /, + /2
/ , ^ i + / 2 <72 + ( . « - / [ ~ / 2 ) ^ 3 •''í / ] + / 2 < x < / , + / 2 +/■) = /
i
29 Hallar: tp(\|/(x» y \|/(<p(x)), (p(x) = * , y/(x) = 2X
0 6 -♦---
Desarrollo
Como y/(x) = 2 X y (p(x) = a 2 entonces:
<pO/r(A)) = (i//(a))2 = ( 2 0 2 = 22* y ^C«p(x)) = 2 <P(JC) = 2 A
30 Hallar f(f(f(x») sí f ( x ) =
Como / ( a) =
l - x - - 
Desarrollo 
1
1 — x
/ ( / ( * ) ) =
1 -/(JC)
=» / ( / ( / ( * ) ) ) =
! - / ( / ( * ) ) ! 1 
! - / ( * )
! - / ( * )
- / ( * )
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Introducción al Análisis 21
es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) = = — X~TJL = ~ ^ x - LueI ° f(f(f(x))) = x
- / ( • * ) 1_ -1
1 — jc
31 Hallar f ( x+l ) sí y(jr — 1) = jc2
Desarrollov **■* I I - . . - ...........
i.
Como /(jc-1 ) = jc2 =* / ( * +1) = f [ (x + 2) -1] = (jc + 2)2 
Es decir: f ( x + 1) = jc2 +4jc + 4 = (* + 2 )2
32 Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética. 
Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.
Desarrollo
Como f(n) es la suma de n términos de una progresión aritmética. Entonces: 
/ ( n ) = (2a + ( m - l)r ) ~ donde “a” es el primer término y “r” la razón
f i n + 3) = [2a + (n + 2 ) r ] ^ ^
2
/ ( n + 2) = [2a + (n + l ) r ] ^
f l n + \ )=[2a + n r ) r^ -
2 >
calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n)
(2a + (n + 2 ) /- )^ Í^ -3 (2 a + (n + l) r ) ^ ~ ^ + 3(2a + H r)-—- - ( 2 a + ( n - l ) r ) —
2 2 2 2
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22 Eduardo Espinoza Ramos
= — [(2an + 6 a + n 2r + 5 nr + 6 r) - 3(2 an + 4a + n2r + 3nr + 2 r) +
2
+ 3(2an + 2a + n 2r + nr) - (2an + n 2r - m)] = — [(0) + (0) + (0)] = 0
En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0
33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números x , , x 2 y x 3 constituyen una 
progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números
/ ( * i ) . /(■*2 ) y /(■*3 )-
Desarrollo
x ¡ , x 2 y x3 constituyen una progresión aritmética => Xj, x 2 = x x + r , 
x 3 =X| + 2 r donde r es la razón, probaremos que / ( * , ) , f ( x 2) y f ( x 3) 
constituye una progresión aritmética.
Como f(x) = kx + b entonces f ( x l ) = kx] +b
f ( x 2) = / ( * , + r) = ArfjCj + r) + b = kx¡ + b + kr
f ( x 3 ) = /(-*i + 2r) = ¿(a-! + 2r) + b - k x x + b + 2 kr
Luego: kxx+b kx{ +b + kr kxx+b + 2 kr
7 ? 5
constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón.
34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir f ( x ) = a x , (a < 0) 
y los números x¡, x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética, los números 
/ ( * i ) , f ( x 2) y f ( x 3) fonna una progresión aritmética.
Desarrollo
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Introducción al Análisis 23
Como x , , x 2 y x 3 constituye una progresión aritmética jc, , x 2 = x,
+ r . 
x 3 = x, + 2 r donde r es la razón
Como f ( x ) = a x entonces: f ( x 2) = / ( x , + r) = a x'+r = a r x¡x' 
f (x$) = f ( x x + 2r) = a x’+2r - a 2r x¡x'
Luego: a* , a .a 1 , a~ m
/0 ¡ ¡ ) f í * i ) 7 ( ^ )
Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a ' .
35 Sea f ( x ) = log(—~— ). Demostrar que / ( x ) + / ( y ) = /(-^— —^) 
1 - x 1 + xy
Desarrollo
Como / ( x ) = l o g ( | Í í ) , / ( y ) = l o g ( |Í ^ )
1 - x 1- y
r, , r, . , + , , l + ) \ , ,(l + x)(l + y)f ( x ) + / ( y ) = log(- ) + log(- ) = log(— —
1 - x 1 - y ( l - x ) ( l - y )
( 1)
1 + x + y
/<£♦£> = i„g(_ L ± 2 > =
1 + xy t x + y 1 + x y - x - y
1 + xy
, (l + x) + (l + x)y (l + x)(l + y)
= log( - ) = log-------------- —
6 ( l - x ) - ( l - x ) y (1 —x)(l —y)
... (2)
jc + y
comparando (1) y (2) se tiene: / (x) + / ( y ) = / ( --------)
1 + xy
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24 Eduardo Espinoza Ramos
36 Sea / ( * ) - — (ax +a *) y yr(x) = — (ax - a x ) . Demostrar que:
f(x + y) = f(x).f(x) + \|/(x).\|/(y) y v|/(x + y) = f(x).\|/(y) + f(y).\|/(x)
D esarrollo
f ( x + y ) = ^ ( a x+y+ a - x- y) = ^ ( a x.ay + a - x.a-y)
ax+y a~x~y a~xa y a~xa y axa~y a xa~y
2
1
= - ( a x.ay + a~x .ay + a' .a~y + a~x .a~y ) + 
4
+—{ax.ay - a ~ x.ay - a x .a~y + a~x .a~y) 
4
= - ( a x + a - x) - ( a y + a~y ) + - ( a x - a - x ) - ( a y - a ~ y) 
2 2 2 2
= f(x).f(y)+\|/(x).\|/(y)
íarcsen x , para - 1 < x < 0
37 Hallar f(-l), f(0) y f(l) sí: f ( x ) =
\arctag x , para 0 < x < +°<= 
D esarrollo
/ ( —1) = arcsen(-\) = -arcsen(l) = => / ( —1) = ——
|7 (0 ) = arcsen(0) - 0
/(1 ) = arctag( 1) = ^ 
4
/ ( 0) = 0
f a ) = 7 4
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Introducción al Análisis 25
38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores 
negativos de la función y; si:
a) y = 1 + x
Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l 
El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > - l 
y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1 
Luego y < 0, cuando x < -1
b) y = 2 + x - x 2
Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, 
luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se 
tiene: 2 + x - x 2 > 0 x 2 - x - 2 < 0 (x - 2)(x + 1) < 0, de
donde se tiene:
-1 2
Luego x e <-l,2> . Entonces: y > 0 cuando x e < -l,2> y para los
valores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 < 0 => x 2 - x - 2 > 0
(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:
+ + 
-1 2
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26 Eduardo Espinoza Ramos
Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces: 
y < 0 cuando x e < -oo ?- l>U<2,+oo>
c) y = 1 - x + x 2
Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1 - x + x 2 = 0 de donde x = — —, luego 3 
xe R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces:
l - j c + jc2 > 0 , V x e R => y > 0 para -°o< x < +°°
d) y = x 3 - 3 x
Desarrollo
Para que y = 0, se tiene x 3 — 3x = 0 . de donde: x = —\¡3 , x = 0, x - \ ¡ 3 
Luego y = 0 cuando x = {—*¡3,0, \ Í3)
Para y > 0, se tiene .v3 - 3x > 0 => x (x - \¡3)(x + y¡3)>0
-S 0 75
Luego x e < - \ ¡ 3 , 0 > V < \¡3, +<» > , entonces: 
y > 0 cuando x e < —y¡3,0 > U < -j3,+°° >
para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x ( x - ^ ) ( x + \Í3) < 0 
x e < —o®, y/3 > U < 0, y¡3 >
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Introducción al Análisis 27
S 0 73
Luego x e < > U < 0 ,73 > entonces:
y < 0 , cuando x e < -«>,73 > U < 0 ,7 3 >
e) y = log(-———)
1 + jf
Desarrollo
Para que y= 0, debe ocurrir: = 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1
1 + JC
2xPara que y > 0 ocurrirá c u a n d o > 1
x + 1
2x 
x + l
- 1 > 0 de donde:
x - l
x + l
> 0 => (x - l)(x + 1) > 0
luego x e <-«>,-1 > U < l , + o o >
2xpara que y < O debe ocurrir que O < < 1
1 + *
de donde 0 < 2 x ( l + x ) < ( l + x) 0 < 2 x ( l + x) a x < 1
. -1 O
luego x e <0,1 > entonces: y < 0 cuando x e <0,1 >
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28 Eduardo Espinoza Ramos
39 Hallar la inversa de la función y, sí:
a) y = 2x + 3 b) y -
c) y = yj 1 -a 3 d) y =
e) y = arctag(3x)
¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?
Desarrollo
a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*> < x < 
x es decir:
1 1
jc = — ( y - 3 ) , < x < °° como x = — (y — 3) =>
2 2 t
= > -OO < y — 3 < +00 = > -oo < y < + 00
Entonces: A = - ^ ( y - 3 ) , - oo<y<+oo
b) y = x 2 - 1 está definida en -=» < x < +°°
a 2 = y +1 => a = ±y]y + 1 para a = -^y+ 1 se tiene: 
O < -J y +1 ^ 00 de donde < x < +°° 
para a = -y/y+T se tiene < —yjy + l 5 O de donde: 
luego a = -y/y + 1 y x - -Jy + l para -1 < y < +<*>
c) y = v /l-A 3 , en forma análoga al caso anterior: a = /^T-
a2 - 1
log(~)
+00, despejamos 
- ( y - 3 ) < +00
. 1 < y < +00 
y3 , -® o < y < +00
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Introducción al Análisis 29
x x
d) y = log(—) está definida para x > O como y = log(—)
=> x = 2.10' como x > 0 => 2.10v >0 => 10v >0
-oo < y < +00 entonces: x - 2 . 10' para r°° < y < +00
e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.
. • 1 n ny = arctg3x => x = -tag y ; para - — y < --
{ x si x < 0 
x~ si jc>0
Desarrollo
Sí x < 0 => y = x => x = y para < y < 0
Si x > 0 =* y = x 2 => x = yfy para y > 0
Luego x =
í y si - 00 < y < 0 
[ ,/y si 0 < y <
41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de 
igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función 
elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).
a) y = ( 2 x - 5 ) 10
Desarrollo
Como y = (2a - 5)10 => y = u 10 d o n d e u = 2 x - 5
b) y = 2COSJr
Desarrollo
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Como y = 2cos' => y = 2", donde u = eos x
c) >’ = log(/a,g^)
Desarrollo
X X
Como y = log(tog —) => y = log (u) donde u = tg(v) y v =
d) y = arcsen(3~x )
Desarrollo
Como y = arcsen(3~x ) => y = arcsen u de donde u = 3’ y v = - x 2
42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas 
mediante una cadena de igualdades.
30 Eduardo Espinoza Ramos
a) y = u2 ; u = sen x
Desarrollo
Como u = sen x, y = u 2 => y = sen2x
b) y = arctg u, u = \ [ v , v = log x
D esarrollo
Como u - y f v => y - arcig \fv donde v = log x 
Entonces y = arctg(sjíogx)
Í2h si « < 0 ,
c) y = < u = x “ — 1
[ 0 si u > 0
Desarrollo
Para u < 0 = > x 2 - l < 0 => x 2 < l -1 < x < 1 => | x | < 1
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Introducción al Análisis 31
para u > O => x 2 > 1 => | x | > 1
2(x2- l ) si | jc | < 1 
O s i | x | > 1
43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:
a) x 2 - árceos y = n b) 10* + 10y = 10
c) x + | y | = 2y
Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas
Desarrollo
a) x 1 - árceos y = n => árceos y = x 1 - k
y = cos(x2 - k ) = e o s x 2.cosn + senx2.sentí 
y = - c o s x 2 para < \ x \ < y Í 2ñ
b) 10 ' + 10y = 10 => 10y = 1 0 -1 0 JC => y = log(10-10JÍ) , - o o < x < l
1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
ELEMENTALES.-________________________ _____________
La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida 
uniendo dichos puntos.
Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas 
elementales obtendremos
las gráficas de las funciones:
1 y] = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al
eje OX.
luego como u = x 2 - 1 se tiene: y =
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32 Eduardo Espinoza Ramos
2 y 2 = / ( - * ) . que es la representación simétrica de la gráfica respecto al 
eje OX.
3 y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX 
en la magnitud a.
4 y 4 = / ( * ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY 
en la magnitud b.
Haremos una representación de todo esto.
Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)
44 y = kx sí k = 0 , l , 2 , - , 
2
Como y = kx
Para k = 0 =s y = 0
k = 1 y = x
k = 2 => XII
2
X
V ~ 2
k = -1 y = -x
k = -2 => y = -2x
Desarrollo
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Introducción al Análisis 33
45 y = x + b, sí b = O, 1, 2, -1, -2
Desarrollo
Para b = 0 => y = x
b = 1 => y = x + 1 
b = 2 => y = x + 2 
b = -l => y = x - 1 
b = -2 => y = x - 2
46 y = 1.5x + 2
Desarrollo
X y
0 2
1 3.5
2 5
Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do 
grado (parábola).
47 y = a x 2 , sí a = 1, 2, —, — 1,—2,0
2
Para a = 1 => y = x 2
Desarrollo
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34 Eduardo Espinoza Ramos
X y
0 0
± 1 i
± 2 4
48 y = x 2 + c sí c = 0 ,l,2 ,-l
Desarrollo
49 v = (Jr — -x0)2 , sí *0 I- 2.-1
Desarrollo
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Introducción al Análisis 35
50 y = y 0 + ( * - l ) 2 , si y 0 = 0 , 1, 2,-1
Desarrollo
51 y = a x 2 + bx + c sí: 1 a = 1 b = -2 c = 3
2 a = -2 b = 6 c = 0 
Desarrollo
1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2 x + 3 de donde 
y = U - l ) 2 + 2
2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x
y = - 2 ( x 2 -3 jc + —) + — => y = - 2 ( x - - f + -
4 2 2 2
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36 Eduardo Espinoza Ramos
52 y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el
eje OX.
Desarrollo
Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es 
decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x2 = - x - 2 - 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luego
los puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 
RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO
53 y = x 3 (parábola cúbica)
Desarrollo
X y
0 0
1 i
-1 -i
2 8
-1 -8
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Introducción al Análisis 37
54 y = 2 + U - l ) 3
Desarrollo
X y
0 i
1 2
-1 -6
55 y = x i - 3 x + 2
Desarrollo
X y
0 2
1 0
2 4
-1 4
-2 0
-3 -15
3 20
56 y = x
Desarrollo
X y
0 0
± 1 i
± 2 16
X 
T
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38 Eduardo Espinoza Ramos
57 y = 2 x 2 - x 4
Desarrollo
y - 2 x 2 - j r 4 => y = - ( x 4 - 2 x 2 +1) + 1 => y = 1 - (* 2 - 1)2
58
HOMOGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas) 
1
3 '= “x
Desarrollo
X y
-1 -i
1 i
59 y =
l - x
Desarrollo
X y
0 i
1 2
2 3
-1 1
2
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Introducción al Análisis
60 y =
61
jc- 2
x+2
Desarrollo
x - 2 , 4>’ = => y = l -
x+2 x + 2
m
X - X q
Desarrollo
62 2 x - 3 
3jc -+- 2
2 x - 3 
3x + 2
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40 Eduardo Espinoza Ramos
63
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 
RACIONALES FRACCIONARIAS.
1
y = jch— 
x
Desarrollo
y = x + —, su dominio es R - (0) y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene 
x
asíntota horizontal.
X i -1 1
2
1
2
3 -3
y 2 -2 5
2
5
2
10
3
10
3
64
x + l
y = -
x + \
asíntota horizontal.
Desarrollo
y = x - l + —— , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene 
x + l
X 1
2
0 1 2 3
2
-2 3
2
y 1 0 1 1 9 -4 9
2 2 2 2 2
65 y = -
Desarrollo
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Introducción al Análisis
En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.
X ± i i ± 2 + 3+ —
2
y i 4 1 1
4 9
66 y = -
Desarrollo
En x = 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se1 tiene una así 
horizontal.
X
+ 1
2
± 1 ± 2 ± 3
y ± 8 ± 1 ± 1
8
H-
iá
h
67
10
^ x2 + l
(curva de Agnesi)
Desarrollo
X 0 ± i ± 2
y 10 5 2
68 y = — (Serpentina de Newton)
x +1
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42 Eduardo Espinozu Ramos
Desarrollo
69
70
X 0 ± i ± 2 ± 3
y 0 ± i -H
5
1
y = x + ~ rx
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i -1 2 -2
+ 1
2
y 2 0 9
2
7
2
9
2
2 1y — x H— (Tridente de Newton) 
x
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i - i 2 -2 3 -3
± 1 -
2
1 1 1
2 3 2
y 2 0 9 7 28 26 9 7 28 28
2 2 3 3 4 4 9 3
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Introducción a l Análisis
71
72
CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIO 
IRRACIONALES SIGUIENTES:
y = y[x
Desarrollo
y = 4 x está determinado para x > 0
X 0 i 4 9 ',6
y . 0 i 2 3 4
y = l fx
Desarrollo
X 0 ± i ± 8 ± 2 7
y 0 ± i ± 2 ± 3
73 y = t [ 7 (parábola de Neil)
Desarrollo
X 0 ± i ± 8
y 0 i 2
74 y,= ±xy[x (parábola semi-cúbica)
Desarrollo
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44 Eduardo Espinoza Ramos
75
77
X 0 1 y¡9
y 0 ± 1 ± 2 ± 3
y = ± —V 2 5 -* 2 (elipse)
Desarrollo
76 j = ±-Jx2 - l (hipérbola)
Desarrollo
’ = ± \lx 2 - 1 a-2 - / = 1
X ± 1 ± 2 ± 3
y 0 +1 1+ $n
y =
Desarrollo
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Introducción al Análisis
78
80
y = ± x (Cisoide de Diócles)
14 — x
Desarrollo
X 0 i 2 3y 0 ■N| ± 2
79 y = ±xsl 25 - x 2 (para el estudiante)
CONSTRUIR LAS GRAFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO 
TRIGONOMÉTRICAS
y = sen x
Desarrollo
81 y = eos x
Desarrollo
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46 Eduardo Espinoza Ramos
82
84
83 y = ctg x
Desarrollo
X 0
2
± n +—
2
y oo 0 oo 0
y = sec x
X 0
+ £
2
± n ± 2rc
y i oo -1 1
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Introducción al Análisis
85 y = esc x
Desarrollo
86 y = A s e n x , sí ¿4 = 1, 10, — , - 2
2
Desarrollo
Si A = 1 => y = sen x, su gráfico es:
X 0
+ -
2
± Jt -H ± 2 ji
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Si A = 10 => y = 1 0 sen x, su gráfica es:
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48 Eduardo Espinoza Ramos
X 0 ± 7t n 3 Jt+ — ± —
2 2
y 0 0 ± 1 ± 1
87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^
Desarrollo
Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86,
Si n = 2 => y = sen 2x su gráfica es:
X 0 fe; 1+i + — 
2 2
± 71
y 0 ± 1 0 ± 1 0
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Introducción al Análisis
En forma similar para n = 3, —
88
89
y = sen(x-<p) sí tp = -0 , —
2 2 4
Desarrollo
y = sen (x - <p) = sen x. eos <p - eos x. eos cp => y = sen x. eos tp - eos x. c 
para <p = 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.
r> nPara cp = — , y = - c<
X 0
2
± te
y - i 0 ± 1
Su gráfica es:
/ i 
/ i / 1
Y
\ K VI
1
rt / 
2 (
i \ 
i \
_J 1
~n K
3 n n - — n — 
2 4
y = 5 sen (2x - 3)
Desarrollo
Sea x ' = x ~ — => y' = 5sen2x ' donde el origen del nuevo sistema es ( 
Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.
N) 
| U
>
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50 Eduardo Espinoza
Ramos
90 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8
Desarrollo
Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:
X 0
± -
2
± K +i ± 2 n
y -8 ± 6 8 -6 -8
91 y = sen x + eos x
Desarrollo
X 0
4
n 3/r 7t 5 7T i 3;r I n 2rc 9n n
2 4 2 2 4 4 4
y i y¡2 1 0 -1 - V 2 -1 0 1 V5 0
Y
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Introducción al Análisis
92 y = eos" x
X 0
2
± 71
y i 0 1
Desarrollo
93 y = x + sen x
Desarrollo
X 0 7T
~2
71 7T
~ 2
-7t
y 0 n , —+1
2
7t
- * - 1
2
-71
94 y = x sen x
Desarrollo
X 0
2
±71 +—
2
1 1 s=
í ± 2ti
y 0 ± £
2
0 l
.. .. 
1 e*
i 371
T
0
95 y = tg 2x
Desarrollo
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52 Eduardo Espinoza Ramos
X 0 K n 5 n ± n+ _ + — ± —
4 2 4
y 0 1 + ° ° 1 0
96 y = 1 - 2 eos x
Desarrollo
X y
0 -i
2
i
± n 3
+ 1
4
-0.41
97 y = sen x — sen 3 x
3
Desarrollo
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Introducción al Análisis
-0.717
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54 Eduardo Espinoza Ramos
99 y = cos(—) 
x
Desarrollo
X i
3
i
3
1 -1 1
4
1
4
y -i 1 -1 -1 1
4
1
4
Desarrollo
y = ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,nj U [2tc,33x] .... [-27t,-7i]
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CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC 
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
101 y = a x sí a - 2 , e
Sí a = 2 => y = 2 '
Desarrollo
102
X v
0 1
1 2
-1 1
3
2 4
-2 1
4
1-
2 y =
X y
0 i
1 1
2
-1 2
2 1
4
-2 4
sí a =
0 => y =
Desarrollo
Desarrollo
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56 Eduardo Espinoza Ramos
X y
1 0
1 0 i
1
1 0
- i
103 y = sen hx, donde senhx = —(ex - e x )
2
Desarrollo
X y
0 0
1 e - e 1
2
-1 17
2
104 y = coshx; donde coshx = — (ex +e x )
2
Desarrollo
X y
0 i
1 e - e -1
2
-1 e + e~x
2
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Introducción al Análisis
, senhx105 y = tg hx, donde tghx - —------
coshx
Desarrollo
i
106 y = 10x
Desarrollo
X y
1 1 0
-1 i
1 0
1 1 0 0
2
1 1
2 1 0 0
2
107 y = e (curva de probabilidades)
Desarrollo
X y0 i
± 1i
e±2 14e
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108 y = 2 *'
Desarrollo
—T 1 1y = 2 x = —— => y = —— , cuando x —» 0 , y —» 0
2? 2/
X 0 ± i ± 2 ± 3 ± 4
y 0 i i i i
2 * 2 y ¡2 ]y¡2
109 y = lo g x 2
Desarrollo
x 2 > 0 =) X E <-oo,0> U <0,+oo>
X ± i + 2 ±3 ± 4 + 1
2
+1
3
+ i
4
y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 4 - log 9 - log 16
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110 y = log2 *
Desarrollo
y = (log*)2 está definida para x > 0
X i 2 3 1 1 .
2 3
y 0 (log 2 ) 2 (log 3)2 (log 2 ) 2 (log 3)2
111 y = log (log x)
Desarrollo
y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1
log*
Desarrollo
v = —-— está definida para x > 0, x 1
log*
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60 Eduardo Espinoza Ramos
x 0.2 0.5 1 2 3 4
y -0.625 -3.325 -O O 3.32 2.09 1.66
113 y — lo g (-)
*
D esarrollo
y - log(—) está definido sí — > 0 => x > 0 
x x
X i 2 3 4 5 0.5 0.4
y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9
114 y = log (-x)
D esarrollo
y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0
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X 1
2
0 - 1 - 2 -3
y -0.3 -oo 0 0.3 0.48
115 y = log2(l + x)
Desarrollo
log2(l + ;t) = log2 10. log10 (1 + x)
X - i 0 1 2 3 4 5
y -oo 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5
116 y = log (eos x)
Desarrollo
x
í
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62 Eduardo Espinoza Ramos
y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces
. 2 n + l rr 2 n + l „ 
x e < 2n n , n > U < — — n , 2n n >
n n w, 2>n 5n r, 
x e < —, — > U < — ,— >U... 
2 2 2 2
11) y — 2 * sen x
Desarrollo
X 0 K 7t
+ 37r
2 n n -Ti 37T - 2 n
2 2 2 2
y 0 0 .3 3 0 -0 .0 3 8 0 - 2 , 9 7 0 0 .0 3 8 0
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118
119
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC 
TRIGONOMETRICAS INVERSAS
y = arcsen x
Desarrollo
El dominio de y = arcsen x es [-1,1]
Z K ,El rango de y = arcsen x es [— ]
2 2
x -i
2
0
ñ
. 2
1
y n n 0 n 7T
2 4 4 2
y = árceos x
Desarrollo
El dominio de y = árceos x es [-1,1]
El rango de y = árceos x es [o,7t]
X V
-1 Jt
0 n
2
1 0
En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico. 
120 y = arctg x
Desarrollo
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64 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 1 y = arctg x
X y
0 n
2
CX> 0
OO K
1 n
4
122 y = arcsen — 
x
D esarrollo
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y - arcsen-
1
sen y ■
-1 < sen y < 1 - 1 < — < 1 => x e U [l ,+°°>
x
123 y = árceos— 
*
Desarrollo
y = árceos-1 eos v = — como -1 < eos y < 1 
*
124 y = x + arctg x
Desarrollo
X 0 X —» +oo X —> -oo
y 0 y —» +oo X —> + 00
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66 Eduardo Espinoza Ramos
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
125 y = | x |
Desarrollo
. . í x , x >0
Se conoce que: | x |= <
I — jc , x < 0
X y
0 0
± 1 i
+ 2 2
± 3 3
126 y = | ( x + M )
Desarrollo
Si x > 0 => | x | = x, Luego y = -^(jc+ |jc|) = ^(jc + x) = jí => y = x 
S i x < 0 = » | x | = -x, Luego y = -^(jc+ | x |) = ^ ( x - x ) = 0 => y = 0
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127 a) y = x | x |
Desarrollo
Si x > 0 =* | x | = x, pero
y = .v |x |= x (x ) = x 2 => y = x 2 para x > 0 
y = x \ x \ - x ( - x ) = - x 2 => y = - x 2 p a r a x < 0
b) y = lo g ^ | x |
Desarrollo
y
y = l o g ^ |* | <=> x = (y¡2 )y => | x |= 2 2
y
para x > 0 = » | x | = x =¡> x - 2 1
y_
x < 0 => | x | = -x => - x - 2 2
f v
1 \ o
128 a) y = sen x + | sen x |
D esarrollo
Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:
X í :....
± 1 0
± 2 2
± 3 0 ln3
l n 2
+ 1
2
- 2
± 1
4
-4
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68 Eduardo Espinoza Ramos
Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x
Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,7t]
Sí x € [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = O
Generalizando para n 6 Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rt]
Si n es par | sen x | = sen x
Si n es impar | sen x | = - sen x
{2senx para n par cuando r e [nn,(n + l)7r]0 para n impar- cuando x e < nn ,(n + 1)7T]
b) y = sen x - 1 sen x | en forma similar el ejemplo (a).
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129 y =
7>-x2 para ¡ x | < l 
2
M
para | x | > l
D esarrollo
Si | x | < 1 => -1 < x < 1 
| X | > 1 => x > l v x < - l 
además x > l => I x | = x a x < - 1 => | x I = -x
Luego y =
3 - x para - 1 < j c < 1 
2
x
2
para x > 1
para jc < —1
130 a) y = [x], b) y = x - [x]
donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei 
menor o igual a x.
D esarrollo
a) y = [x] = [n] =» n < x < n + 1, n e Z
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70 Eduardo Espinoza Ramos
Sí 0 < x < 1 => y = 0
1 < x < 2 => y = 1
2 < x < 3 => y = 2
-1 < x < 0 y = -l
-2 < x < -1 => y = -2
-3 < x < -2 => y = -3
b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , n e Z 
Sí 0 < x < 1 => y = x
l < x < 2 => y = x - l
- 3 < x < - 4 = > y = x + 3 
- 4 < x < - 5 = > y = x + 4
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN 
EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, q>) (r > 0)
131 r = 1 (circunferencia)
Desarrollo
Se conoce que x = r eos 0 , y = r sen 0
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r = y jx2 + y 2 , 6 - arctg — 
x
como r = 1 y r - ^ x 2 + y 2 , luego: -Jx2
(circunferencia)
132 r = ^ (espiral de
9 R
0 0
1 1
2
n n
2 4
-n Tí
2
n K
2
Arquímedes)
Desarrollo
Y
133 r - e 9 (espiral logarítmica)
Desarrollo
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72 Eduardo Espinoza Ramos
n134 r = — (espiral hiperbólica) 
4
Desarrollo
<p 0o +ÍL
6
H-
•M
íi +—i
± n
r ± 6 ±4 ± 2 ± 1
135 r = 2 eos (p (circunferencia)
Desarrollo
Se sabe que: x 2 + y 2 = r 2 , x = r eos (p, eos(p = —
r
2x 2Como r = 2 eos (p => r = — , de donde r - 2 x
r
x 2 + y 2 = 2x
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Introducción al Análisis
Luego x - 2 x + y =0 => (x~ - 2x + 1) + y = 1
( a : - 1)2 + v 2 = 1 circunferencia de C(1,0) y radio 1
136 r = -
sencp
Desarrollo
Se conoce que y = r sen cp => sencp = —
r
n 1 1 rComo r = ------- => r = — =$ r = —
sencp y y
Como r * 0 => y = 1
137 i cpr - sec — (parabola)
Desarrollo
2 <¡P 1sec — = ——
2 eos
V A A A <p Xpero x = r eos — de donde eos — = — 
2 <P 2 2 r
i cp 1 1 r
como r - sec — => r = ---------- = —- de donde r = —
2 cos2 ^ *
2 r 2
x 2 - r
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74 Eduardo Espinoza Ramos
para r * 0 , además r = yjx2 + y 2 => x 1 + y 2 = r 2
A O A O O
luego: - jc = y . Sea: x, = x =$ x¡ = x además y = y¡
Entonces: x 2 - a-, = y,
i 1 1Completando cuadrados se tiene: - x í + — = y i + —
(*i - : ~ ) 2 = ( » + ^ -) parábola de vértice V ( - i . - ~ ) y se abre hacia arriba
138 r = 10 sen 3cp (rosa de tres pétalos)
Desarrollo
9 0 o 15° 30° 45° 60° 75° SO O
o O L/t o 1 2 0 ° 135° 150° 165°
r 0 7.05 1 0 7.05 0 -7 - 1 0 -2.60 0 7.05 1 0 7.05
9
OOoo 195° 2 1 0 ° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 330° 345° 360°
r 0 -7.05 - 1 0 -2.60 0 7.05 1 0 7.05 0 - 1 0 -2.60 0
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139 r = a(l + eos 9 ) (a > 0) (Cardioide)
Desarrollo
9 0 o 15°
OOm
45° 60° 75°
R 2 a 1.97a 1.87a 1.71a 1.5a 1.26a
9 90° 105° 1 2 0 ° 135° 150° 165°
r a 0.74a 0.5a 0.29a 0 . 1 a 0.03a
9 CX O
0 195° 2 1 0 ° 225° 240° 255° 270°
r 0 0.3a 0 . 1 a 0.29a 0.5a 0.74a a
9 285° 300° 315° 330° 345° 360°
r 1.26a 1.5a 1.71a 1.87a 1.97a 2 a
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76 Eduardo Espinoza Ramos
140 r2 = a 2 eos 2(p ( a > 0 ) (Lemniscata)
D esarrollo
<p 0o 15°
Oom
45°
OO
 
sO 75°
oOC
n O L/l o 120° 135° 150° 165°
r a a y ¡ 3
4 2
a
4 2
0 a a a a a a a a
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CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO 
DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
141 x = t 3, y = t 2 (parábola Neil)
Desarrollo
t X y
0 0 0
1 1 i
-1 -1 i
2 8 4
- 2 - 8 4
142 x = 1 0 c o s t , y = sen t (elipse)
Desarrollo
2 Xx = 1 0 c o s t => eos t = -----
1 0 0
y = sen t => sen2t = y 2
eos2 1 + sen21- ^ — + y 2 de donde + y2 = 1 (elipse) 
100 100 '
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78 Eduardo Espinoza Ramos
143 x - lOcos3 Z, y = 10senY (astroide)
D esarrollo
2 2
sen2/ + eos2 1 = ( — ) 3 + ( — ) 3 de 
10 10
2 2 2 2 
1 = ( — ) 3 + ( — ) 3 => x 3 + y 3 =
144 x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo)
Desarrollo
eos2 1 + 2 r eos/ sent + í 2 sen21 
sen2t — 2t cosí sent + t2 eos2 1
i _ + i _ = l + t2 => x 2 + y 2 = o 2(l + r2) 
a a
x"
x = íj(cosf + tsent) a 2
y = a(sent - t eos t) y 2
j f
eos2 / = ( — ) 3 
10
2
sen2t = ( — ) 3 
10
donde
íx = a(cos r + íiení) 
envolvente (desarrollo de la circunferencia (
[ y = a(sent — t eos í)
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Introducción al Análisis
1 4 5
at 
1 + r3 ’
D esarrollo
y = -
at
Ü 7 3
a t2
\ 7 ?
1 + r 1 a
t x a at
Luego: — = — =>
1 + r at x y
t
Como: jc =
at
i T ?
« A ax2y
1 + *(.c3 +;y3)
1 4 6 j c :
sl\ + t 2
y =
Desarrollo
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80 Eduardo Espinoz.a Ramos
x = y =
at
VTTT3'
t 0 ± 1 ± 2 ± 3
X a a a a
& s Vio
y 0 + a + 2a + 3a
V5 . s / 5 Vio
147
148
x = 2 ' + 2 ' , y - 2 ' - 2 ' ( r a m a d e u n a h i p é r b o l a )
Desarrollo
t 0 1 - 1 2 - 2
X 2 5 5 17 17
2 4 4
y 0 3 3 15 15
2 2 4 4
x = 2 eos 2 t ; y = 2sen21 (segmento de recta)
Desarrollo
|* = 2 cos t 
[y = 2 sen^t
x i— = eos t 
2
y 2— = s e n t 
1 2
x y 9 9 jc y— + — = sen~t+ cos t => — + — = 1 => x + y = 2
2 2 2 2
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149
150
2 2 3x = / - r , y - t - t
Desarrollo
t 0 1 - 1 2 - 2 3 -3
X 0 0 - 2 - 2 - 6 - 6 - 1 2
y 0 0 2 -4 1 2 -18 27
x = a ( 2 cosí - cos“ 2 r ) , y = a( 2 sen t - sen 2 t)
D esarrollo
t 0 n
- .....♦
K
4 2
X a a\J2 a
y 0 a\!2 2 a
CONSTRUIR LA G RA FICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FO 
IM PLÍC ITA
151 x 2 + y 2 = 25 (circunferencia)
Desarrollo
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82 Eduardo Espinoza Ramos
152 xy = 12 (hipérbola)
Desarrollo
X y
± 1 ± 1 2
± 2 ± 6
± 3 + 4
± 4 ± 3
± 6 ± 2
0 OO
153 y 2 = 2x (parábola)
D esarrollo
X >
0 0
1 ± i
2
2 ± 2
9 ± 3
2
8 ± 4
154 —— h — = 1 (elipse)
100 64
Desarrollo
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155 y 2 = jc 2 (100 — jc 2)
D esarrollo
Sea w = y 2, z = x 2
y 2 = IOOjc2 - x 4 iv = 1 0 0 z - z 2 => w = - ( z 2 -1 0 0 z) 
completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = —(z + 25)2 V(-25,250(
2 2 2 
156 jr3 + y 3 = a 3 (astroide)
•a
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84 Eduardo Espinoza Ramos
157 x + y = 10 log y
Desarrollo
Para y > 0, log y está definida:
x = 1 0 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0 .
x -i
- 1 0 1 o g 2 - i
1 0 log 2 - 2
y i 1
2
2
158 x 2 = cos y
Desarrollo
x 2 = eos y => y = árceos x 2
[ ~ Z y a r c t g -
159 yjx + y - e x (espiral logarítmico)
Desarrollo
x - rco sd 
y = rsenO
( — ) 2 = eos2 0
( — ) 2 = sen20 
r
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Introducción al Análisis
tgd = — => 9 = arctg — 
x x
f l T arctg-
Como \¡x + y —e x 
r = e0 en coordenadas polares
160 jc3 + y 3 - 3xy = 0 (folio de Descartes)
D esarrollo
Pasando a coordenadas polares se tiene: x = r eos 0 , y = r sen 0
r 3 eos3 9 + r 3sen39 - 3r2sen9 eos9 = 0
r 3 eos3 9 + r 3 sen29 = 3r2sen9cos9
3 sen9 eos 9
r = í----------
eos 9 + sen 9
161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii 
si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr 
de la función obtenida.
Desarrollo
Para 0°C => 32°F
100°C => 212°F => (0,32), (100,212)
Sea F = me + k => 32 = m(0) + k => k = 32
212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 =* lOOm = 180 =» m = 1 . 8
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f = 1 .8c+ 32
En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6 , esta inscrito un 
rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x.
Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.
Desarrollo
La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:
Area del rectángulo Y es: Y = Bx ... (1)
También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:
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bh 1
y = (xh - 2Bx + Bb) como b = 10, h = 6 se tiene:
2 2
y = 3 0 - - ( 6 x - 2 f í x + 10fi) ...(
de (1) se tiene B - —, reemplazando (2) se tiene: 
x
y - 3 0 - —( 6 x - 2 y + - í ^ - ) , de donde y = 0.6(10 - x) 
2 x
como y = 0.6x(10 - x) => y = -0 .6x + 6 x =» y - 1 3 = - 0 .6 ( x - 5 ) ' 
La gráfica de la función es:
El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13
164 Resolver la ecuación: 2 a 2 - 5 x + 2 = 0
D esarrollo
2x 2 - 5x + 2 = 0 
completando cuadrados se tiene:
x 2 ——jc+ 1 = 0 
2
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165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y = 7
Desarrollo
Como x + y = 7 => y = 7 - x, además: xy = 10 => x ( 7 - x ) = 1 0
7 x - x 2 - 1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0 (x - 2)(x - 5) = 0, 
de donde se tiene: x, = 2 , x 2 = 5
1.3. LIMITES.-
I o LIM ITES DE UNA SUCESIÓN.-
E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j , x 2 ,...,xn ,. . . , es 
decir: lim x„ = a o V s > 0 , 3 N > 0 / | x „ - a | < e V n > N
n—>°o
• 2o L IM IT E DE UNA FUNCIÓN.-
lim / ( x ) = A <=> V e > 0, 3 8 > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 8
x ->a
3o LIM IT E S LATERALES.-
Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma 
manera si x > a y x —> a, escribiremos x => a + 0 y a los números 
/ ( a - 0 ) = lim / (x) y f ( a + 0 ) = lim / ( x ) se llaman limites laterales por
X—>¿7—0 X—>í7+0
la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista 
lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a - 0 ) = f(a+ 0 )
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PRO PIED A D ES DE LIM ITES
Si existen los l im / , ( x ) y lim f 2 ( x ) . Entonces se tiene:
x->a x—
1 lim ( / , (x) ± f 2 (x )) = lim / , (x ) ± lim f 2 (x)
x— x—>a x—*a
2 lim / , (x ) . / 2 (x) = lim / , (x). lim f 2 (x)
x~>a x —
f í x l l im / |W
3 lim —— = -------- donde lim ( x ) ¿ 0
x^ >a f 2(x) lim / 2 (x) '■
x-*a
NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.
. i
lim SenX = 1 y lim ( 1 + — )* = lim ( 1 + a )a = e 
jt- > 0 X jt-*~ x o-» o
166 Demostrar que, si n -» °o, el limite de la sucesión 1, — ... es i
4 9 V
cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad - - < e (siendc
n~
número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:
a) e = 0 . 1 b) e = 0 . 0 1 c) e = 0 . 0 0 1
D esarrollo
Probaremos que lim - y = 2 , es decir:
dado un e > 0, E N = ? / | — - 0 | < £ V n > N
n
| - T - 0 |= | J - | = - t < £ => n 2 > —, 77> J Í = A 
n2 n2 n 2 £ Ve
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lim -^- = 0 <=> V e > 0 , 3 N 
n 4
| - V - 0 | < £ V 
n
por lo tanto la desigualdad < e se cumple V n > .!—
n~ V £
a) Para e = 0 . 1 se tiene n > . — = V 1 0 => n > 4n > , — = VÍO 
Vo.i
b) Para e = 0.01 se tiene n > í— = 10
(0 . 0 1
c) Para e = 0 . 0 0 1 se tiene n > J = VlOOO => n > 3 2
\ 0 . 0 0 1
167 Demostrar que el limite de la sucesión: x = — , (n = l ,2 , . . . ) , cuando
n + 1
n es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad
| x n - 1 1< e (siendo e un número positivo)?.
Hallar N para a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001
D esarrollo
lim xn = lim —— = 1 es por demostrar.
n— n— H + 1
Dado e > 0 , 3 N = ? / | j c „ - l | < £ , V n > N
U n - M = | ——r - 1 l = l ----- n r l := - ^ T < e =* n + l > - => n > - - — 1 = Nn + 1 n + l / i + 1 £ £
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Luego: lim ■n =1 <=> V e > 0 . 3iV = — -1 
»-»«> n + 1 e
| — V n > — — 1 
n + 1 e
a) Para e = 0.1, N = - - 1 = 9
E
b) Para e = 0.01, N = — - 1 = 99
£
c) Para e = 0.001, N = - -1 = 999
£
168 Demostrar que lim x 2 = 4. ¿Gomo elegir para el número positivo dado i
. t — » 2
número positivo 8 de modo que de la desigualdad |x — 2 | < 6 se deduzc 
desigualdad | x 2 - 4 1< £ . Calcular 5, para:
a) e = 0 . 1 b) e = 0 . 0 1 c) e = 0 . 0 0 1
Desarrollo
l i m j r = 4 <=> V e > 0 , 3 8 > 0 / | j t 2 - 4 | < e
x-*2
Siempre que 0 < |x - 2| < 8
\ x 2 - 4 |<|(.v + 2)(x - 2 ) |= |x + 2 1|x — 2 1< £
Sea |x - 2| < 1 ==> -1 < x-2 < 3 => l < x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| < 
L uego :|x 2 - 4 | = | x + 2 | | x - 2 | < 5 | x - 2 | < £ ' => | jc — 2 1< — = 5
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Luego es suficiente tomar 8 = — (e < 1)
169
£ 1
a) Para £ = 0.1 se tiene 8 = — = — = 0.2
5 5
b) Para e = 0.01 se tiene 8 - — = = 0.02
5 5
p 0 0 0 1
c) Para £ = 0.001 se tiene 5 = — = — = 0.002
5 5
Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:
a) l i m l n x = ~°° b) lim 2 ' = +°° c) l i m / ( x ) = °°
Jt— >■»
Desarrollo
i Y
/ y = log x
/ lim logx = -<
x - » 0
j .
0 1 X '
170 Hallar los limites de las sucesiones:
a) i, ~ , t - Í ( - i r 1- - - -2 3 4 n
c) >/2 , V ^ , V 2 V2 V2 ,...
b)
d)
2 4 6 2;i
1 3 5 2« + l
0.2, 023, 0.233, 0.2333,
Desarrollo
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( - 1 ) " " 1 1
a) Sea xn = -----------, entonceá: Si n es par lim xn = lim — = 0
n n —>°° n —>=» f l
Si n es impar lim xn = lim — = 0
n—>°° fi
„ - i 1Luego lim x„ = l im (- l) = 0
/J—>00 W_ >00
„ 2n 2n .. 2 2 ,b) Sea x„ = , entonces: litn — = lim — = ------- = 1
2 w + l n->~2 n + l + 2 + 0
n
i_
c) a, = V2 = 2 2
 j_ ji 1 ^
a , = J 2J 2 = 2 2 .2 4 = 2 2 + 42
1 1 1 1 1 1/— p—^=— t i * 1 t 1
a 3 = V2 V2 V2 = 2 2 .2 4 .2 * = 2 2 + 4 + 8
1 1 1 1-+-T+-T+-+--
fl. = 2 2 2 1 2 2”n
L. 1 1 1 .-( 1+-+—+...+—p)
Luego an = 2 2 2 2 2 ... (1
1 1 1 . . , . 1 entonces 1 + —+ — + ... + —^ - es una progresión geométrica r =
’ - é " ,
es igual a: ------— = 2 ( 1 --------) ... ( 2
1 _ I 2 "
2
Reemplazando (2) en (1) tenemos: an = 2 2 2 = 2 2
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Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el 
limite del término n-esimo cuando n —» es decir:
0 — )
lim an = lim 2 r = 2 1 0 = 2
n— n —
d) 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es 
X- =0.23333...3
x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3
„ „ , 3 3 3 3
x — 0 .2 + (------ 1--------- 1----------- K..H--------- -)
100 1000 10000 100" “ '
x — 0 . 2 H (1 -t-------1— — + ...4-------r)
1 0 0 1 0 lo 2 1 0 "”'
i - í - 1-)" 7 1 0 (1 — i - )
xn = 0.2 + -— -( ...... .1 0 — ) = 0 . 2 + ----- . = 0 . 2 + — (1 —-----)
100 j_ 1 100 9 30 10"
10
lim = lim [0 .2 + — (1 — —)] = 0 . 2 + — = — = — 
30 10n 30 30 30
H A LLA R LOS L IM IT E S:
1 2 3 h -1
171--------- l im(— + — + — + ...H--- —)n n n n
Desarrollo
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1 2 3 n - 1 l + 2 + 3 + ... + ( n - l )
lmi(— + — + — + ... + ——) = lim ------------- — -
n n n n n~
i - i
i „ « ( « - ! ) , - n n 1-0 1= lim 5— = l im -0 = lim — — = ------= —
tt-»oo ^ n-A°° 2.n~ /t—>oo 2 2 2
, 72 l i m ( ü ± ' X « + ' 2 X » + 3)
D esarrollo
(n + l)(n + 2)(n + 3) n+ 1 n + 2 n + 3lim = lim (------ )(-------)(-------)
n->» n-»«. n n n
=
lim ( 1 + -XI + -XI + - ) = (1 + 0 ) ( 1 + 0X1 + 0 ) = 
n n n
_ l + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2 n - l ) 2n + l
173 lim ( ----- — )
n + 1 2
Desarrollo
Se conoce que l + 3 + 5 + ... + ( 2 n - l ) = n 2
l + 3 + 5 + 7 +... + (2n — 1) 2n + l n 2 2n + l
lim (---------------------------------------------) = lim-(----------------- )
«-»«• n + 1 2 n-»~ n + 1 2
' 2n 2 - 2n 2 - 3n — 1 3n + l 3 + ñ 3 + 0= lim — = - lim -------- = - lim ------ — = ---------
n->~ 2 (n + 1 ) n-»~ 2 n + 2 2 + — 2 + 0
174 lim-
n - ( - l ) ”
Desarrollo
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_1
■ • « + 1 ,• n 1 + 0 ,Si n es par se tiene: lim -------= lim ------- = -------= 1
n—>°° tí — 1 n— ^ 1 1 —0
i - i_. n - 1 n 1 - 0
Si n es impar se tiene: lim -------= lim ----- — = ------ = 1
n->“ n + 1 j 1 + 0
Luego: lim /l + ^ ^ = 1
n->~n _(_})"
175 lim
2 ',+i + 3 n+l
«-*» 2 " +3
Desarrollo
2 n+I + 3 " + 1 2.2" +3.3" . . . . . . f
lira --------------- = lim -----------------, dividiendo entre 3
w->oo 2 ” + 3 " 2 ” + 3 ”
o + i
' ,• A 1 1 1 x176 lim (— i- — + - + ... + — )
2 4 8 2"
Desarrollo
Usando la suma de una progresión geométrica: S = —— , donde a es el
1 - r
primer término y r la razón.
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lini 4 + 4 + ^ + . . .+ 4 r ) = lim (1 - ( i ) " ) = 1 - 0 = 1 
n—>°° 2 4 8 2 />->« 2
, • r , 1 1 1 ( - 1 )"-1 ,177--------hm [l — + ---------+ ... + ------;—]
3 9 27 3
Desarrollo
De acuerdo al ejercicio anterior 5 e tiene:
. i , ' i . . ( - i » - ' ‘ - ‘- l ’” 3 - 3 (4 r
1 ----- 1----------- K..H-------- ;— —--------------—--------------
3 9 27 3 1 + i 4
3
i i i 3 - 3 ( - V
lim [l — + ]= lim -----------¿— =
3 9 27 3 " - 1 4
I2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 178 lim ------
n3
Desarrollo
l 2 + 22 + 3 2 + .. .+ n 2 = - ( / i + l)(2« + l)
I2 + 2 2 + 3 2 + ... + /1 2 n(n + l)(2n + l)l im ------------------------t— = lim --------------------
«-*“ n *-*« 6 n
1 n + l 2n + [ 1 1 1
= lim - (------)(-------- ) = - lim (1 + - ) ( 2 + - )
«-><*> 6 n n 6 n-»~ n n
3 -3 (0 ) _ 3 
4 ~ 4
= i ( l + 0 ) ( 2 + 0 ) = |
o 3
179 lim (>/« +1 ~sfñ )
n—> oo
Desarrollo
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98 Eduardo Espinoza Ramos
180
181
r , f — 7 V ( a / « + 1 - > /« ) ( V w + 1 + \ f ñ )
l im(V« + l —>Jn) = lim ------------T==---- r ----------
n->~ n— y]n + \+ \ /n
rt + l - n 1 1
lim p = lim —= = — j= = — = O
"-»“ >/n + l + v n yjn + \ + \jn °°
n->~ n + 1
Desarrollo
V n € Z + , -1 < sen (n!) < 1, como —^ — > 0
n~ + 1
n nsen(n!) n 
Entonces: — -— < — -------- <
n 2 + 1 n 2 + 1 n 2 + 1
n nsen(nl) n
lim — < lim — < lim
n-»« n 2 + 1 n 2 + 1 "->~ n : + l
0 < lim < o de donde Iim í í 2 í í 2 = 0
n ~ + l ñ-»~ n + 1
Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando 
x -+ oo, se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor 
potencia de estos polinomios.
También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de 
fracciones que contienen expresiones irracionales.
,. (x + l flim
Desarrollo
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( x + 1 )" x 2 + 2 x + l
lim — = h m dividimos entre
x + 1 »-»“ x + 1
2
, • x x 2 1 + 0 + 0= lim - — = 1
n~i°° i + __ 1 + 0
x 2
lOOOx
182 lim — -----
x - 1
Desarrollo
lOOOx . x
lim — = 1 0 0 0 lint ——— , dividiendo entre
n —>oo | n—>oo _ j
i
= 1 0 0 0 lim —í — = 1 0 0 0 (— ) = 0 
»->«, 1 1 - 0
x 2
183 l i m ^ i ± i 
n-*~ 3x + 7
Desarrollo
Dividiendo entre x 2 tenemos:
5 J _
x 2 - 5x +1 x + x 2 1 - 0 + 0 1lim = lim — ---- = ----------------- = —
n-»~ 3x + 7 n~n*> , 0 + 0 0
* X2
2x2 - x + 3
184 l i m —-------------
n~*°° x - 8 x + 5
Desarrollo
Dividiendo entre x 1 se tiene:
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100 Eduardo Espinoza Ramos
lim2£lzí±3 = H m Í 4 ^ ¿ = ± ± ^ = 0 = 0
n->°° x — 8 jc + 5 n~¥o° i ____r _ . _ 1 - 0 + 0 1
2 3X X
185 lim i* + 3) (^'v 2)'
n->oo JC5 + 5
Desarrollo
(2x + 3)3 (3 jc -2 ) 2 72jc5 -2 0 4 x 4 -562.v3 -261jc2 -174jc + 9
lim ----------—— ---- = lim -------------------------- -----------------------------
«-»“ a: + 5 jc + 5
204 562 261 174 9
üm x a-2 x 3 a 4 V 7 2 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 _ ? 2
«—>03 j 5 1 + 0
7
2 x 2 - 3 x - 4 
186 lim =====—
yjx4 + 1
D esarrollo
Dividiendo entre x 2 el numerador y denominador se tiene:
lim ^ f^ .4 = 1 i m - .7 ¿ = ^ ° = 2
n_>“ v x 4 + 1 n^°° j, + 1 v 1 + 0
10_ 2x + 3187 lim
D esarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
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2 + -2x + 3 * 2 + 0 „l im - = = lim = ------- = 2
n->°°x + yjx »-*» 1 1 + 0
1 + 3 '
* 2
188 lim
1 0 + Xy/x
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denoi tinador entre x 2 se tiene:
x 2 1 1lim =r = lim = — = oo
n- » ~ 1 0 + x \ fx « - > “ 1 0 í l 0
*2 +£
IKO 1' ^ + 1189 lim
n->°° X + 1
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
lim ^ 2 + 1 = lim ^
1 1
* + jc3 _ ^ Ó + 0 = 0 = 0
n-»“ X + l n->~ j + J 1 + 0 1
190 lim
tt—» oo
y x + \¡X+ \fx
Desarrollo
Dividiendo entre Vx al denominador y numerador se tiene:
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102 Eduardo Espinoza Ramos
Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q ( x ) * 0 , él
P(x) A . P(x) es decir lim -------
Q(x) x^ >a Q(x)
P(x) P(x)limite cuando x —> a de ------- es decir lim ------- se encuentra
P(x)directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción ^ ^ por el 
binomio (x - a), una o varias veces.
191 lim x3 + 1
x -> -\ x + 1
D esarrollo
x3 + l ( - 1 ) 3 + 1 - 1 + 1 0 „lim .....= ------ -— = ------- = - = 0
*-»-i*2 + l ( - 1 ) 2 + 1 1 + 1
x 2 - 5 x + 10 192 lim ----------
*-*5 x - 2 5
D esarrollo
x 2 - 5 x + 10 52 -5 (5 )+ 1 0 0 + 10 10h m ■ ....... = -------------------= ----------= — = °°
x~*s x - 2 5 (5) - 2 5 0 0
193 lim
x2 - l
x-»-i x 2 +3x + 2
D esarrollo
X2 -1 ,. ( x - l ) ( x + l ) ,. x — 1 - 1 - 1 „lim — = l im ------------------ = l im ------- = ----------= - 2
+ 3 j c + 2 *-*-i(x+l)(x+2) x -> -\ x - 2 - 1 + 2
x 2 — 2 x194 lim
*-»2 x - 4x + 4
Desarrollo
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x - 2x a ( a - 2 ) , . 2 1
lim — = l im ------------------= lim = —
*-> 2 x - 4 a + 4 * - * - 2 ( a - 2 ) ( a — 2 ) * - > 2 a - 2 O
a ^ — 3 jc + 2
1 9 5 l i m
*-» t x4 - 4 a + 3
Desarrollo
a 3 - 3 a + 2 ( a: + 2 ) ( jc — l ) 2 x + 2 3 1
lim-—----------- = l im— = l im— = — = —
-»->1a - 4 a + 3 + 2 x + 3 ) ( x - l ) x-* \ x 2 + 2 x + 3 6 2
x 2 ~ (a + l)x + a 
1 9 6 l i m -
Desarrollo
x~ ~{a + X)x + a x - a x - x + a j c ( jc — 1) — a ( j c — 1)
l i m -= l i m------------- -^---- ------ = lim — — ------ --------
x->a x - a x - ,a x - a * -* « x - a
( x - a ) ( x - l ) x - l a - 1
= l i m — = lim — ------------ = — —
*-*a ( x - a ) ( x +ax + a~) x +ax + a 3a
, 9 7
A-» o h
Desarrollo
(x + h)3 - x 3 x 3 +3x2h + 3xh2 + h3 - x 3
l im------------------= l im------------------------------------
/i-»0 h h-tO h
3a h + 3xh +h~ 2 - . i . 2 x - 7 2= h m — — = lim(3A +3xh + h ) = 3 a "
h~* 0 h h-* 0
198 lim(— ^ -r)
*-* 1 - x 1 — A
’ Desarrollo
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104 Eduardo Espinoza Ramos
1 3' x 2 — x + 1 -3 x 2 + x —2lim(-— - ) = lim ----------- = lim
* - » i ' l - x 1 — jc3 *-»« 1 - x 3 jc-»! 1 - x 3
= lim < ^ ? X J - 1 V = - l i m ^ t ¿ ^ = - ¿ = - l 
* -» ( l -x ) ( l + x + x ) *-»>l + x + x 3
199 lim-^* 1
•*-»! X — 1
Desarrollo
Sea x = y 2 => Vx = y , además cuando x —> 1 , y —> 1 , luego tenemos:
a/ x - 1 y — 1 . y - 1 . 1 1lim ---------= lim —-— = lim = hm-
x—>1 x — 1 y—>1 y1- -‘l y—>1 (y — IXy + l) y—»ly + l 2
2 0 0 lim ^ 8
J - » 64 y¡X - 4
Desarrollo
S e a x = y 6 Vx = y 2 a Vx = y 2 
Cuando x —> 64, y —> 2, luego tenemos:
Um £ z í = 1¡m ¿ = » = _ | im Q - 2 X y ^ 2 y + 4 )
x —>64 %Jx —4 y - * 2 y ~ - 4 y->2 ( y - 2 ) ( y + 2)
y* + 2 y + 4 4 + 4 + 4 
= lim — - ----- = = 3
y—*2 y + 2 .4
V x - 1
2 0 1 lim-
* -* iV * -i
Desarrollo
S e a x = y 1 2 => Vx = y4 a </3r = y 3
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Introducción al Análisis
cuanao
lim
jt—»i
^ = ,im 4 ^ = lim
V x - l >'->• y - 1 v ^ l ( V _ l ) ( y 2 + y + l )
= iim íz ± iK z l± l> = <2 X2> = í
y-*> y 2 + y + l 3 3
-»»•> >• f á - Z l f x + l
2 0 2 lim ----------------m u -
*->i (a —1 )
D esarrollo
Va2’- 2 ^ /I + 1 { V x - 1 ) 2lim —— - -- lim —
* -> ' ( a — 1) * - * ( a — 1)
Sea a = _v3 = > ^Jx- = y cuando x - + l , y —> ! , luego tenemos:
s / ? - 2 ^ I + l (3/ I - 1 ) 2 ,, ( y - 1 ) 2
lim ------------- = lim ---------- — = lim -^------ -
x->i ( a - 1 ) " * -> ' ( x - 1) y - n ( y - l ) 2
lim — = lim 1 T = -
y - + ¡ ( y - l ) ( y + y + l)~ y-*t(y + y + 1) 9
X-*1 x 2 - 4 g
203
D esarrollo
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106 Eduardo Espinoza Ramos
204
*-** v x ~ 2
Desarrollo
Sea x = y 3 => i fx - y cuando x -» 8 , y •-> 2, luego tenemos:
l i m - ^ - = l i m (-V 2 ) ( r + 2 ^ i ) = l i m(y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12
2 > - * 2 y - 2 y- * 2
205 lim ^ ^
Jt- * 1 t fx - 1
Desarrollo
Sea jc= y 6 => 7 x = y 3 a \ fx = y 7 
Cuando x -+ 1, y -+ 1. luego tenemos:
7 1 - 1 y 3 -1 ( y - l ) ( y 2 + y + l) y2 + y + l 3
hm —f=— = lim d—— = hm = lim — = —
x - ^ y x —1 ,v->i y - 1 y-*i ( y - l ) ( y + l) y->i y + 1 2
.. 3 — yj5 + X 206 hm
'- 4 1 - 7 5 3 ^
Desarrollo
3 - \ ¡ 5 + x , (3 — 75 + x)(3 + 7 s + x)(\ + 'J5 — x)
h m 7----- = h m , 7= = ----,
*-*>1-75-* '-*4 (1 -7 5 + x)(1+ 75 + x)(3+75 + x)
( 9 - 5 - x) ( 1 + 7 5 - x ) t¡_ ( 4 - * X l + 7 5 ^ ) i:_ 1 + 7 5 ^ 1= l i m . 1 - = l i m ----------------- r — = — l i m r—
(1 - 5 + jc)(3 + >J5 + x ) -v~*4 (jc - 4)(3+ v5 + x ) X~+A 3 + v 5 + a:
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Introducción al Análisis
207 1¡
x -> 0 x
Desarrollo
Vi + X — Vi — X (Vi + X — VT— X)(-Jl + X + -Jl — x)lim ---------------------= lim ----------------=====-----= = -----------
*-*0 X x—*0 x(y]l + X+y¡l-x)
l + x - l + x 2 2= lim - = = ---- = = = lim —¡ = -----===• = ------ = 1
V l + x + v /l -X *->0 V i + X + sil - X 1 + 1
208 lim J x + h - J l 
h->0 h
Desarrollo
yjx + h - y j x (yjx + h - y[x)(yjx + h + yfx)lim ----------------- = lim -------------- = ----------
h-*0 h o h(y¡X + h + y /x )
(x + h ) - x = lim = = = - = lim
h~*° h(yjx + h + yfx) * - >0 VX + h + \[x y/x + 0 + \[x
ion yfx + h - s í x209 lim ■
h-> o h
Desarrollo
yjx + h - y f x (yjx+h - \ fx ) { y l ( x + h )2 + %lx(x + h) + yfx2 )
lim ------------------= lim -------------- . = ----------
h~*° h h~*° h ^ l ( x + h)2 + }jx(x + h)+ V ? )
x + h — x 1= lim ,---------- = = - = lim
A - > 0 h(%j(x+h)2 + $jx(x + h) + V ? ) h^ ° \ l(x + h )2 + l]x(x + h) + yj
1 1 1
yJ(x + 0)2 + l jx(x + 0) + yfx2 sfx2 + V ? + yfx2 3 yfx2
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108 Eduardo Espinoza Ramos
210
211
Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 -2 x -6 
l im------
*-»3 x 2 - 4x + 3
Desarrollo
Vx2 - 2x 4 - 6 - Vx2 4- 2x — 6
(Vx2 -2 x 4 -6 - Vx2 + 2 x - 6)(Vx2 —2x + 6 + yjx2 + 2 x - 6 ) 
\Jx2 - 2 x + 6 + \[x2 + 2x - 6
(x2 - 2 x + 6) - ( x 2 + 2 x - 6 ) -4at + 12
Vx2 - 2 x 4 -6 + \ l x 2 4-2.V-6 Vx2 - 2x4-6 4- yjx2 4- 2x - 6
Vx2 -2 x 4 -6 - Vx2 4 -2 x -6 = , ~ ~4^ - 3)
s/x2 -2 x 4 -5 4-s/x2 4- 2 x - 6
-v/x2 -2 x 4 -6 — Vx2 4- 2 x-"ó 
lim ——
*->3 X2 -4 x 4 -3
.. - 4 ( x —3)nm
A' ~*3 (x - 3)(x - 1)( Vx2 - 2x 4- 6 4- Vx 2 + 2x - 6 ) 
- 4
= lim
JC~>3 (x - 1)(Vx2 -2 x 4 -6 4- V x2 4- 2x —6)
-4
" (3 - 1 X V 9 - 6 4 - 6 4 -V 94-6-6) 2(34-3) 12 3
lim (-Jx + a - Vx)
* —>+oc.
Desarrollo
. /------ r \ .. (V x T á -V x )(V x + a 4-Vx)lim (yjx + a - v x ) = lim ------------ . p ----------
■Jx + a 4-Vx
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Introducción al Análisis
- lim x + a ~ x _ a _ ° _ q 
yfx + a + yfx yjx + a + yfx °°
2 1 2 lim (ylx(x + a ) - j x )
X—>+°o
Desarrollo
r - — ■ (yjx(x + a )-x )(y ¡x (x + a )+ x )
lim x(x + a) - x) = lim — 7 ----------------
^Jx(x + a ) + x
x{x + a )- x 2 ax a a
= lim - = lim —'y.... ....... = lim ----------- — = —
jr_>+~ yjx(x + a) + x x-J>+~‘y¡ x ( x + a ) + x *-»+~ I a 2
V a
213 lim ( V ? - 5 a + 6 - a )
X —> + o o
Desarrollo
r / / 2 7 T 7 ,• (v a 2 - 5 a + 6 - x)(\Jx2 - 5 a + 6 +a)lim (v a - 5a + 6, - a) = lim - ■ ■ ■ ------------------
. ' ' X- M** V a 2 - 5 a + 6 + a
a 2 - 5 a + 6 - a 2 - 5 a + 6= lim - = = = = = ------= lim -------- ....
V a 2 —5 a + 6 + a m + " v a 2 - 5 a + 6 + a 
6
A- -5 + 0 5= lim -1 -
2 1 4 l i m a (- \/a 2 + 1 - a )
n —
l i m a ( V a + 1 - a ) = l i m -
x ._>4-oo .t—>+■>=
, 5 6 , Vl - 0 + 0 + 1 2
í + 7
Desarrollo
í ( V a 2 + 1 - A X V ^ + 1 + A)
+ 1 + JC
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110 Eduardo Espinoza Ramos
x ( x 2 + 1 - x 2 ) X
= hm — ■ ......... = lim
yjx2 + l + x * - * W x 2 + l + - r
, . 1 1 1 
11IT1 ■■■■-------- = —¡ = ------= —
*-*+- l 1 , Vl + o + l 2
1 + —T + 1
215 lim (x + >J 1 — jc3 )
X—*+oo
Desarrollo
lim (jc +
i / ; j \ ( x + y j l - x 2 ) ( a :2 - x y j l - x 2, + ^ / ( l - . v 3 ) 2 )
Vi — jc ) = lim --------------------=====---------------------------
- X \ ] l - X 2 + y ] ( 1 - A ' 3 ) 2
= lim
r ’ + l - r 3
, .2 _ x^ 7 7 + 3//(1_ Jf3)2
= lim ---------- , 1-----i ¡ — - = — = 0
t-**" X 2 - x l l l - x 2 + y j ( l — X 3 ) 2 °°
En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula lim
x—>0
además se supone que: lim serve = seria y lim eos x - eos a
x—>a x —*a
 ^ i senx216 a) hm
Jt->2 X
D esarrollo
senx sen2 
h m = ------
x-*2 x
senx
b) h m ------
x
senx ,
 = i . yJC
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Introducción al Análisis
D esarrollo
1 SCtlX 1Se conoce que -1 < sen x < 1 además: — < < —
X X X
de donde: l i m - — < lim senx < | im — ==> 0 < lim SenX < 0
x -> “> x x -» ~ X x -> °° X
senx 
lim —— = 0
sen3x217 l i m--------
x —>0 X
D esarrollo
sen3x 3sen3x .
lim ---------= lim — —— = 3(1) = 3
x~>o x *->o 3x
sen 5x
218 lim --------
*->o sen lx
Desarrollo
5sen5x
senSx 5(1) 5lim = lim „ = _
x—>o sen2x x-*u 2sen2x 2 ( 1 ) 2
2 x ”
2 1 » lim ■
x->o sen{3nx)
D esarrollo
t sen n xs
sen(Kx) * ( 1 ) 1
lim ------------- = lim --------- — — = -----------1 = -
x-Msen(3nx) x->o ^ senQ n x ) 3^(1) 3
3;rx
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112 Eduardo Espinoza Ramos
220 lim(n.sen —)
/ l—»oo 11
Desarrollo
Sea x = — , cuando n —» °° <=> x —> 0 
n
lim (usen - ) = lim — = 1
«-»■>» n x—>o x
1 - c o s x 
2 2 1 lim —
, - > 0 X2
Desarrollo
1 -c o sx (1 -c o sx )( l + cosx)