Bioestatística Aplicada a Enfermagem

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BIOESTATÍSTICA 
PROF. Jackson Rangel 
 
 
Professor do Curso de Enfermagem 
www.jackson1rangel@hotmail.com.br 
 
 2 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
MÓDULO 1 - INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
A Estatística, um ramo da Matemática, é aplicada em diferentes áreas, como 
Administração, Engenharia, Medicina, Psicologia, Ciências Sociais , enfermagem, 
etc. 
 
Mas, para que serve a Estatística? 
 
Antes de reportagens chegarem aos nossos lares, são elaboradas pesquisas em 
que se utilizam amplamente os conceitos de Estatística, comprovando que essa 
disciplina, que será estudada a partir de agora, é freqüentemente presente em 
nosso cotidiano. 
 
Veja os exemplos a seguir. 
 
“Mais da metade da população brasileira (51%) está acima de seu peso ideal. 
Uma pesquisa da Sociedade Brasileira de Cirurgia Bariátrica e Metabólica 
(SBCBM) - realizada em todas as regiões do País com 2.179 pessoas - revela um 
dado ainda mais preocupante: entre as pessoas de 18 a 25 anos, esse índice é de 
66%.” Emilio Sant’Anna (estadão.com.br 05/01/2008). 
 
“Um balanço feito para avaliar o desempenho orçamentário do governo federal 
mostra que, dos 337 programas inscritos que tinham verba prevista em orçamento 
para ser gasta em 2007, mais de 200 aplicaram menos de 80% dos recursos 
autorizados. Isto é, cerca de 62% do total dos programas tiveram gastos 
insatisfatórios. Apenas 37% deles, ou seja, 126, apresentaram execução acima de 
80%, índice considerado razoável, já que também foram incluídas as despesas de 
anos anteriores, os chamados restos a pagar, quitados em 2007. No entanto, em 
valores absolutos, os gastos em 2007 foram os maiores dos últimos seis anos.” 
 
Cecília Melo e Leandro Kleber (www.uol.com.br folhas abertas em 04/01/2008). 
 
“Levantamento mostra que, apesar de mais alunos entrarem nas universidades 
públicas, quantidade de formandos caiu 9,5% em 2 anos. Resultado revela perda 
de eficiência das instituições, que são financiadas com verba pública; evasão é 
tida como uma das causas.” 
 
Fábio Takahashi (Folha de São Paulo, Cotidiano em 30/12/2007) 
 
 
 
 
 
 
1.1 Estatística 
 
 3 
 
Estatística é uma ciência que tem como finalidade coletar, organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados experimentais. 
 
A Estatística pode ser classificada em: 
 
Estatística Descritiva: Coleta, organização e descrição dos dados experimentais. 
 
Estatística Indutiva: Análise e interpretação dos dados experimentais. 
 
1.2 População e amostra 
 
População é um conjunto de elementos que possuem, em comum, determinada 
característica. As populações podem ser finitas, como o conjunto constituído pelo 
número de peças produzidas por uma máquina em um determinado dia, ou 
infinitas, como o número de vezes que podemos lançar um dado. 
 
Muitas vezes se torna difícil, ou até mesmo impossível, observar todo um grupo, 
especialmente se esse for muito grande. Nesses casos, podemos utilizar apenas 
uma parte desse, denominado amostra. 
 
A amostra deve ser representativa da população, retratando com fidelidade suas 
características, ja que por meio dessa amostra serão tiradas as conclusões para 
toda a população. 
 
Após ser definida a população, precisamos estabelecer uma técnica de 
amostragem, ou seja, um procedimento para a escolha da amostra, entre as quais 
destacamos: amostragem casual simples, amostragem sistemática, amostragem 
estratificada, amostragem de conveniência. 
 
1.3 Técnicas de amostragem 
 
1.3.1 Amostragem casual simples 
 
É um procedimento em que os elementos para as amostras são retirados ao 
acaso. Assim, todo elemento da população tem igual probabilidade de pertencer à 
amostra. 
 
A amostragem casual simples é equivalente a um sorteio numérico. 
 
1.3.2 Amostragem sistemática 
 
Neste procedimento os elementos que compõem a amostra, não são escolhidos 
por acaso; pelo contrário, estes elementos devem ser ordenados e a retirada deve 
ser feita através de um sistema. 
 
 
 4 
Exemplo: Na produção de parafusos de uma máquina podemos retirar um a cada 
dez parafusos produzidos. 
 
1.3.3 Amostragem estratificada 
 
É um procedimento por meio do qual retiramos elementos para amostra de 
diversos estratos da população. 
 
Para obtermos uma boa amostra, o processo deve ser tal que o número de 
elementos retirados seja proporcional ao número de elementos de cada estrato. 
 
Exemplo: Para obtermos uma amostra estratificada da cidade de São Paulo, 
devemos obter uma amostra de cada um dos bairros da cidade. 
 
1.3.4 Amostragem por conveniência 
 
A amostra de conveniência é formada por elementos que estão disponíveis para o 
pesquisador. 
 
Por exemplo, um médico que quer realizar uma pesquisa sobre determinado 
medicamento, para sua conveniência, realiza a pesquisa com pacientes do 
hospital em que trabalha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO II - DADOS 
 
Os dados são as informações obtidas através de observações, medidas, 
respostas de pesquisas ou contagens em geral. 
 
2.1 Classificação dos dados 
 
Os dados podem ser classificados em: 
 
Dados qualitativos: classificação por tipos ou atributos. 
 
Exemplos: 
 
A cor dos olhos (azuis, castanhos, verdes etc.) das modelos de uma determinada 
agência. 
 
Qualidade (defeituosa ou não defeituosa) de peças produzidas por uma máquina. 
 
Grupo sanguíneo (A, B, AB ou O) dos alunos doadores de sangue da 
Universidade. 
 
Dados quantitativos: quando seus valores são expressos em números. 
 
Exemplos: 
 
O peso líquido de cada um dos sabonetes produzidos por uma empresa. 
 
A altura dos alunos do 1º ano do Ensino Médio. 
 
O diâmetro de parafusos produzidos por uma máquina. 
 
 
2.2 Representação de dados em tabelas 
 
Os dados podem ser apresentados através de uma tabela. 
 
Dados isolados 
 
No caso de dados qualitativos, a descrição através de uma tabela é muito simples. 
 
 
 6 
 
 
A tabela acima mostra o número de pessoas matriculadas em cada modalidade de 
ensino; este número é denominado freqüência (fi). 
 
Podemos também encontrar a freqüência relativa para cada modalidade; para 
isso basta dividir a freqüência de cada modalidade pelo total de freqüências (n). 
 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
* arredondamento de duas casas decimais. 
 
2.3 Distribuições de freqüências 
 
 
 7 
Uma distribuição de freqüência é uma tabela de intervalos de classes com o 
número total de entradas de dados em cada classe. 
 
A freqüência (fi) de uma classe é o número de entrada de dados na classe. 
 
Veja o exemplo. 
 
A seguir, estão listados os salários, em reais, de cinqüenta funcionários de um 
determinado setor de uma empresa automobilística: 
 
2500 1800 2200 680 700 950 1050 980 1090 2100 
600 750 1800 1200 520 2450 1490 1600 1800 2000 
3000 2800 2100 1900 1880 2300 2750 3200 3800 3700 
3500 900 1980 2900 2650 2700 2900 2600 2650 2800 
3800 3900 3100 3250 1550 1800 2100 3700 3800 3100 
 
Para organizar a tabela de salários, em reais, devemos construir uma tabela de 
freqüências. Podemos observar que o menor salário é o de 520 e o maior é de 
3900; definimos então intervalos de classes iguais de 500 reais, ou seja, de 500 a 
1000, 1000 a 1500 e assim por diante. 
 
Observação: Uma fórmula utilizada para o cálculo do número de classes é: 
 
K=1+3,222. log n, onde k é o número de classes, n é o número de elementos do 
conjunto. 
 
No exemplo acima temos: K=1+3,222. log 50  
 
Embora exista uma fórmula para o número de intervalos de classe, muitos 
pesquisadores determinam o número de intervalos dependendo dasituação. Um 
número de classes pequeno não é aconselhável, pois há perda de informação. Um 
número de classes grande é desnecessário na maioria dos casos. 
 
A freqüência (fi) neste caso é o número de funcionários que estão incluídos na 
classe de salários. 
 
Temos que fi da amostra. 
 
 
 8 
 
 
Usamos a notação 500 |—1000, onde o intervalo é fechado à esquerda 
(pertencem à classe os valores iguais ao extremo inferior) e aberto à direita (não 
pertencem à classe os valores iguais ao extremo superior). 
 
Amplitude do intervalo de uma classe é a diferença entre o limite superior e o 
inferior. 
 
Temos no exemplo 1000-500=500; logo, a amplitude do intervalo de classe é de 
500 reais. 
 
O Ponto médio de um intervalo de classe é a metade da soma do limite inferior e 
o limite superior. 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
A freqüência relativa (fr) de uma classe é a freqüência (fi) desta classe dividida 
pelo total de elementos da amostra(n). 
 
 
 9 
 
 
 
 
A Freqüência Acumulada (fa) de uma classe é a soma da freqüência daquela 
classe com a de todas as classes anteriores. 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
MÓDULO III - REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS 
 
A representação dos dados através de gráficos possibilita uma rápida 
visualização. 
 
Gráfico de barras 
 
Para construção do gráfico de barras utilizamos o sistema de eixos cartesianos. 
No eixo das abscissas (x) ou ordenadas (y) representamos as variáveis em 
estudo; no outro eixo (abscissas ou ordenadas) ainda não utilizado, 
representamos as freqüências. 
 
Podemos representar a tabela 1 através de um gráfico de barras. 
 
Gráfico 1. Número de matrículas de Educação Básica no Brasil. 
 
 
Diagrama de Pareto 
 
Um gráfico de barras em que as categorias estão dispostas em ordem 
decrescente em relação as freqüências relativas é denominado diagrama de 
Pareto. 
 
A tabela, a seguir, mostra as reclamações mais freqüentes em relação aos 
Bancos. 
 
 
 11 
 
Fonte: Banco Central do Brasil (http://www3.bcb.gov.br/ ranking/idxrc.do) 
 
Gráfico 2. Diagrama de Pareto. 
 
 
 
A linha que aparece no gráfico 2 representa as freqüências relativas 5 elativas 
acumuladas. 
 
Gráfico de setores 
 
O gráfico de setores é construído da seguinte maneira: construímos uma 
circunferência (360º) e fazemos a divisão dos setores utilizando as freqüências 
relativas. 
 
Usamos a regra de três para saber o valor de cada ângulo do setor. 
 
O gráfico de setores a seguir refere-se à tabela 1. 
 
 12 
 
Gráfico 3. Setores. 
 
 
 
Também podemos construir os gráficos utilizando as freqüências relativas. 
 
 
Fonte: Revista Quatro Rodas 
 
Veja o gráfico de barras que representa os dados da tabela 8. 
 
Gráfico 4. Diagrama de Barras. 
 
 
 13 
 
 
Veja o gráfico de setores que representa a tabela 8. 
 
Gráfico 5. Setores. 
 
 
 
Histograma 
 
O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de 
cada um deles corresponde ao intervalo de classe, e a sua altura, à respectiva 
freqüência. No exemplo abaixo, usamos o ponto médio de cada classe para 
construir o histograma. 
 
O gráfico a seguir representa os dados da tabela 3. 
 
Gráfico 6. Histograma. 
 
 
 14 
 
 
Polígono de freqüências 
 
Os dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências, também 
podem ser representados em um polígono de freqüências. 
 
A construção de um polígono de freqüências é bastante simples: a partir do 
histograma, basta ligarmos os pontos médios de cada classe. Para fechar o 
polígono, unimos os extremos da figura com o eixo horizontal, no ponto médio da 
classe anterior à primeira e no ponto médio da posterior à última classe. 
 
Veja o exemplo a seguir referente à tabela 3. 
 
Gráfico 7. Histograma e Polígono de freqüências. 
 
 
 
Ou ainda, 
 
Gráfico 8. Polígono de Freqüências. 
 
 
 15 
 
 
Podemos também transportar os dados de um gráfico para uma tabela de 
distribuição de freqüências. 
 
Uma amostra de peças produzidas por certa máquina forneceu a distribuição de 
comprimentos das peças dada através do histograma abaixo. 
 
Gráfico 9. Histograma. 
 
 
 
 
 
 
 16 
MÓDULO IV - Exercícios resolvidos 
 
1. A videolocadora “ALUGUE JÁ” anotou as locações do dia 24/12/2007, obtendo 
os dados da tabela a seguir: 
 
 
 
Para a tabela, pedem-se: 
 
a) as freqüências relativas. 
 
 
 
b) construir um gráfico de barras. 
 
 
 17 
 
 
c) construir o gráfico de setores. 
 
Usamos a regra de três para calcularmos o valor do ângulo de cada um dos 
setores. 
 
Drama 
 
 
 
Comédia 
 
 
 
Ficção 
 
 
 18 
 
 
Suspense 
 
 
Outros 
 
 
 
 
 
3. A seguir, estão listados os rendimentos mensais de 30 famílias. 
 
 
 19 
 
 
Para a tabela acima, pedem-se: 
 
a) Agrupar os dados em uma tabela de distribuição de freqüências. (Use intervalos 
iguais de 500 reais, iniciando com o intervalo 500 |—1000). 
 
Para agruparmos os dados entre 500|—1000, contamos os valores entre 
500(incluir) e 1000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de azul 
piscina. 
 
Para agruparmos os dados entre 1000|—1500, contamos os valores entre 
1000(incluir) e 1500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de 
amarelo. 
 
Para agruparmos os dados entre 1500|—2000, contamos os valores entre 
1500(incluir) e 2000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de cinza. 
 
Para agruparmos os dados entre 2000|—2500, contamos os valores entre 
2000(incluir) e 2500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de verde. 
 
Para agruparmos os dados entre 2500|—3000, contamos os valores entre 
2500(incluir) e 3000(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de rosa. 
 
Para agruparmos os dados entre 3000|—3500, contamos os valores entre 
3000(incluir) e 3500(não incluir). Esses valores estão pintados na tabela de 
Laranja. 
 
Veja como ficou o resultado: 
 
 
 
 
 20 
b) Encontre os pontos médios dos intervalos de classe. 
 
 
 
c) Encontre as freqüências relativas. 
 
 
 
Devemos lembrar que a soma de todas as freqüências relativas deve ser igual a 1 
ou 100%. 
 
 
 21 
d) Encontre as freqüências acumuladas. 
 
 
 
A freqüência acumulada da última classe deverá ser igual à freqüência total. 
 
e) Desenhe um histograma e o polígono de freqüências para a tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
MÓDULO V - Outros Exercícios resolvidos 
 
1. Analise o gráfico e responda às questões abaixo. 
 
Gráfico 14. Gráfico de Barras. 
 
 
 
a) Qual é a freqüência relativa do intervalo de classe de ponto médio igual a 4? 
Neste caso, qual é o significado desta freqüência? 
 
Freqüência total=6+5+8+2+3=24 pessoas. 
 
A freqüência relativa é igual 
25,0
24
6

 ou 25%. 
 
Podemos dizer que no dia 02/01/2008, 25% dos clientes demoraram 4 minutos no 
caixa. 
 
b) Qual dos intervalos possui maior freqüência? 
 
A maior freqüência é de 8 pessoas, elas demoraram 12 minutos no caixa. 
 
c) Qual dos intervalos possui menor freqüência? 
 
A menor freqüência é de 2 pessoas, elas demoraram 16 minutos no caixa. 
 
2. Observe o histograma abaixo, onde as notas foram dadas através dos pontos 
médios das classes e complete a tabela. 
 
Gráfico 15. Histograma. 
 
 
 23 
 
 
O intervalo de cada classe é de 2. Podemos calcular os extremos inferiores e 
superiores de cada classe através do ponto médio e do intervalo de classe, 
lembrando que: 
 
 
 
Para o primeiro intervalo de classe temos: 
Extremo inferior: x 
Extremo superior: x+2 
Ponto médio: 1 
 
 
e 
 
 
As freqüências são facilmente visíveis no gráfico abaixo:As freqüências relativas e acumuladas são calculadas abaixo: 
 
 24 
 
 
 
3. Uma empresa de aviação recebeu em determinado período algumas 
reclamações de passageiros, que estão relacionadas na tabela a seguir. 
 
 
 
Para tal situação, construir um diagrama de pareto. 
 
Primeiramente, vamos calcular as freqüências relativas e freqüências relativas 
acumuladas. 
 
 
 25 
 
 
 
 
O gráfico acima é composto da seguinte maneira: o gráfico de barras refere-se às 
reclamações x freqüências relativas e o gráfico de linha refere-se às reclamações 
x freqüências relativas acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
II UNIDADE 
 
 
 
MÓDULO VI - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
6.1 Média aritmética 
 
Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é a média. Ela é, por 
exemplo, utilizada no cálculo de nossa média escolar. 
 
A média caracteriza o centro da distribuição de freqüências; ela é considerada o 
ponto de equilíbrio de uma distribuição. 
 
Cálculo da média aritmética para dados isolados 
 
A média aritmética representada por x , é dada pela soma x1 2 n , 
dividida por n (número total da amostra), ou seja: 
 
 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Um administrador deseja calcular o tempo médio de espera do lanche “X TUDO” 
em sua lanchonete. Para isso, analisa uma amostra de 10 pedidos, cujo tempo de 
espera está listado a seguir: 
 
Tabela 1. 
 
 
 
A média é calculada da seguinte maneira: 
 
 
 
Cálculo da média aritmética para o caso de distribuição de freqüências. 
 
 
 27 
Exemplo: Em uma amostra de 40 parafusos produzidos por uma metalúrgica, 
foram medidos os diâmetros, em milímetros, conforme a tabela abaixo. Qual é a 
medida média do diâmetro? 
 
Tabela 2. Freqüências. 
 
 
 
Neste caso utilizamos a fórmula: 
 
,pois a tabela mostra que existem 5 parafusos com diâmetro igual a 1,1mm, 10 
parafusos com diâmetro 1,2 mm e assim por diante. 
Tabela 3. 
 
 
 
 
 
Veja o outro exemplo a seguir: 
 
 
 28 
 
onde xi é representado pelo ponto médio da classe. 
 
Tabela 4. Classes de salários. 
 
 
 
6.2 Mediana (Me) 
 
A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um conjunto ordenado 
de dados em duas partes com igual número de elementos. 
 
No caso de dados isolados temos: 
 
Se a amostra é constituída por um número ímpar de elementos, a mediana é o 
valor que fica no centro dos dados ordenados. 
 
Exemplo: 20, 20, 24, 25, 30. 
 
A mediana é 24. 
 
Se a amostra é constituída por um número par de elementos, a mediana é a 
média aritmética dos dois valores centrais dos dados ordenados. 
 
Exemplo: 20, 20, 24, 26, 30 e 36 
 
A mediana é 
 
 29 
 
 
 
Curiosidade: Para os dados agrupados, a mediana é calculada através da fórmula: 
 
 
onde: 
 
Li: limite inferior da classe que contém a mediana. 
n: freqüência total. 
fai: soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana. 
fme: freqüência da classe que contém a mediana. 
c: amplitude do intervalo da classe da mediana. 
 
Qual é a diferença entre média e mediana? 
 
Embora sejam duas medidas de tendência central, a média e a mediana 
possuem conceitos diferentes. Observe o conjunto de dados abaixo: 
 
2, 3, 4, 5, 9, 15, 35, 98. 
 
Calculando a média obtemos: 
 
 
 
Calculando a mediana obtemos: 
 
 
 
O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média levou em 
consideração todos os valores do conjunto de dados numéricos, sendo assim infl 
uenciada pelos maiores valores. A mediana levou apenas em consideração os 
seus dois valores centrais. 
 
 30 
 
Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há casos em que a mediana 
descreve melhor a situação. Cabe ao pesquisador procurar a medida mais 
conveniente. 
 
6.3 Moda 
 
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência. 
 
Exemplo. 
 
Para o conjunto de dados: 10, 12, 12, 23, 12, 25, 20, a moda é 12. 
 
Curiosidade: Para os dados agrupados, a moda é calculada através da fórmula: 
 
 
 
, onde: 
 
Li: limite inferior da classe modal. 
d1: diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente anterior. 
d2: diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente seguinte. 
c: amplitude do intervalo da classe modal. 
 
Um conjunto de dados pode ser: 
 
Amodal: quando nenhum dado se repete. 
Exemplo. 2, 3, 5, 9, 10 e 12. 
 
Modal: quando um valor se repete. 
Exemplo: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7 e 9. 
Moda: 4. 
 
Bimodal: quando dois valores se repetem. 
Exemplo. 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 e 10. 
Moda: 4 e 6. 
 
Trimodal: quando três valores se repetem. 
Exemplo. 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6 e 8. 
Moda: 2, 4 e 6. 
 
Polimodal: mais do que três valores se repetem. 
Exemplo. 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10. 
 
 31 
Moda: 1, 3, 5 e 7. 
 
6.4 Medidas de posição (quartis, decis e percentis) 
 
Para o conjunto de dados ordenados temos que os valores que dividem o conjunto 
em quatro partes iguais são denominados quartis. Esses valores que podem ser 
representados por Q1, Q2 e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiros 
quartis, respectivamente. 
 
Os valores que dividem o conjunto ordenado em dez partes iguais denominam-se 
decis e os valores que dividem os dados em cem partes iguais percentis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO VII - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma amostra com dez preços de álcool foi extraída em diversos postos no dia 
02/01/2007. Os preços em reais são: 
 
1,00 1,25 1,35 1,09 1,19 1,25 1,12 1,45 1,39 1,19 
 
Para a tabela acima determine: 
 
a) a mediana. 
 
Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados em 
ordem. (Rol) 
 
1,00 1,09 1,12 1,19 1,19 1,25 1,25 1,35 1,39 1,45 
 
Temos aqui um conjunto com uma quantidade par de elementos (10 elementos). 
 
Devemos então fazer a média aritmética dos dois elementos centrais: 
 
 
 
b) a moda. 
 
Para o cálculo da moda não há necessidade de colocar os dados em ordem, 
porém a visualização dos valores que se repetem fica mais clara. 
 
O conjunto de dados é bimodal, pois há no conjunto dois valores que se repetem: 
1,19 e 1,25. 
 
c) a média. 
 
 
 
 33 
 
O preço médio do álcool é de R$1,23 (arredondamento de duas casas decimais). 
 
2. O peso em quilogramas de 50 alunos de uma academia está listado na tabela 
abaixo. 
 
Tabela 5. Freqüências. 
 
 
 
Determine a média. 
 
Devemos lembrar que essa tabela mostra que existem 2 alunos com peso igual a 
54 kg, 4 alunos com 58 kg e assim por diante. O número total de alunos é igual a 
50. 
 
Neste caso, para o cálculo da média utilizamos a fórmula: 
 
 
 
Vamos fazer este cálculo utilizando a tabela. 
 
Tabela 5. Cálculo da Média. 
 
 
 34 
 
 
 
 
O peso médio dos alunos da academia é de 68 kg. 
 
b) Moda. 
 
A moda é 74 (16 alunos pesam 74 kg). 
 
3. A seguir estão listadas as mensalidades, em reais, do curso de línguas (2 horas 
semanais) em diversas escolas de um bairro. 
 
 
240 350 250 300 320 285 450 600 198 
 
Determine: 
 
a) Mediana. 
 
Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados em 
ordem. (Rol) 
 
 
198 240 250 285 300 320 350 450 600 
 
Temos aqui um conjunto com uma quantidade ímpar de elementos (9 elementos). 
 
A mediana é o termo central. 
 
Me=300. 
 
 35 
 
Podemos dizer que 50% dos preços são maiores ou iguais a R$ 300,00 e 50% dos 
preços são menores ou iguais a R$ 300,00. 
 
b) Moda. 
 
O conjunto de dados é amodal (nenhum valor se repete). 
 
c) Média. 
 
 
 
O valor médio é de R$332,56. 
 
4. Um nutricionista indicou dietas diferentespara três grupos de pacientes. A 
tabela indica a perda de peso (em kg) por paciente. 
 
Tabela 7. Perda de Peso. 
 
 
 
Calcule a média, a mediana e a moda para cada um dos grupos. 
 
Grupo 1. 
 
 
 
A moda é igual a 4 kg. 
 
 
 
Grupo 2. 
 
 
 36 
 
 
A moda é igual a 2 kg. 
 
 
 
Grupo 3. 
 
 
 
Bimodal: 4kg e 6 kg. 
 
 
 
Os resultados estão na tabela a seguir: 
 
Tabela 8. Resumo. 
 
 
 
Levando em consideração a média, podemos dizer que a dieta do grupo 1 foi a 
que teve mais efeito. 
 
A mediana para os grupos 1 e 3 foi a mesma, significando que 50% do peso 
perdido é maior ou igual a 4,5 kg e 50% menor ou igual a 4,5 kg. 
 
5. Considere o histograma abaixo, para calcular a idade média dos alunos em um 
curso de Inglês. 
 
 37 
 
Gráfico 1. Histograma. 
 
 
 
Para calcular a média, primeiramente vamos transportar os dados do gráfico para 
uma tabela. 
 
Tabela 9. Freqüências. 
 
 
 
Agora vamos calcular a média: 
 
Tabela 10. Cálculo da Média. 
 
 
 38 
 
 
A idade média é 14,10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO VIII - MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Quando descrevemos nossos dados através das medidas de tendência central, 
necessitamos muitas vezes de complementos, denominados medidas de 
dispersão. As medidas de dispersão utilizadas são a amplitude, a variância, o 
desvio-padrão e o coeficiente de variação. 
 
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados variam 
em torno da região central. 
 
8.1 Amplitude 
 
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado. 
 
Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa medida de dispersão. 
 
No exemplo 2 (capítulo 1) a amplitude é: 39000 - 520 - 3380. 
 
8.2 Variância (s2) 
 
A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo 
tamanho da amostra menos 1. 
 
 
 
O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado (xi) e a média do 
conjunto . 
 
 
 40 
Exemplo: Calcular a variância para o caso abaixo. 
 
Tabela 1. Tempo, em minutos. 
 
 
 
No caso de uma distribuição de freqüências usamos a fórmula: 
 
 
 
onde xi é o ponto médio do intervalo de classe e fié a freqüência de cada classe. 
 
Tabela 2. Classes de salários. 
 
 
 
8.3 Desvio-padrão (s) 
 
 41 
 
O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
Para dados isolados: 
 
 
Para dados agrupados: 
 
 
O desvio-padrão é uma das medidas de dispersão de maior interesse nas 
pesquisas em geral, pois ela é expressa na mesma unidade da variável em 
estudo. 
 
Verifique o exemplo abaixo: 
 
Vamos considerar as alturas, em centímetros, de 2 grupos de alunos de uma 
universidade. 
 
Tabela 3. Alturas. 
 
 
 
Devemos observar que, quanto maior o desvio-padrão, maior será a variação 
entre os dados analisados, e, quanto menor for o desvio-padrão, menor é a 
variação entre os dados analisados. 
 
No grupo 2, a variação entre as alturas é maior (desviopadrão 18,98 cm), e no 
grupo 1 (desvio-padrão 1,08 cm), a variação é menor. 
 
8.4 Coeficiente de Variação (CV) 
 
 42 
 
O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio-padrão e a média. 
 
 
 
Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de porcentagem. 
 
 
 
No exemplo acima temos: Grupo 1, com CV=0,71%, e Grupo 2, com CV=11,08%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
 
 
MÓDULO IX - Exercícios resolvidos 
 
1. A variação do preço, em reais, da lata de óleo de soja em diversos mercados. 
Preços referentes a 03/01/2008. 
 
 
2,50 2,70 2,30 2,45 2,60 
2,10 2,65 2,15 2,35 2,70 
 
Para os dados acima encontre: 
 
a) a média. 
 
 
 
O preço médio é de R$2,45. 
 
b) desvio-padrão. 
 
Para facilitar os cálculos, vamos construir uma tabela; veja a seguir: 
 
 
 
 
 44 
 
* arredondamento para duas casas decimais. 
 
 
 
2. Para a tabela a seguir, determine: 
 
Tabela 4. Produção de Biodiesel. 
 
 
 
Determine: 
 
a) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de junho a dezembro de 
2006. 
 
 
 
 
 45 
 
 
 
 
b) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de janeiro a outubro de 
2007. 
 
 
 
 
Desvio-Padrão: 
 
 
 46 
 
 
 
 
O valor médio da produção de biodiesel, em 2006, foi de 3021,57 m³ e, em 2007, 
foi de 3112,4 m³. A variação da produção foi maior em 2007. 
 
3. A tabela a seguir mostra os preços de venda no mercado atacadista de 3 
produtos. 
 
 
 47 
 
 
a) calcule o preço médio de cada produto nos meses de janeiro a outubro de 
2007. 
 
b) calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação de cada produto nos meses 
de janeiro a outubro de 2007. 
 
c) analise os resultados do item b. 
 
Feijão Carioquinha – Tipo 1 
 
 
 
 
 
 48 
 
 
 
 
Feijão Carioquinha – Tipo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
 
Feijão Preto – Tipo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumindo os nossos dados temos: 
 
 
 
Após a análise, podemos concluir que o feijão preto tipo 1 possui menor preço 
médio e também a menor variação de preço. 
 
 
 50 
Entre o feijão carioquinha tipos 1 e 2, o menor preço médio é o do tipo 2; a 
variação do tipo 1 é de aproximadamente 3% e a do tipo 2 é de 2,8%. 
 
4. A tabela de freqüências abaixo mostra o número de professores agrupados por 
classes; de idade de uma Universidade. 
 
 
 
Calcule a média, a variância e o coeficiente de variação. 
 
Para o cálculo da média devemos primeiramente encontrar os pontos médios dos 
intervalos de classe; veja a seguir: 
 
 
 
Para o cálculo da média, fazemos: 
 
 
 51 
 
 
 
*aproximação de duas casas decimais. 
 
Para o cálculo da variância temos: 
 
 
 
 
 
 
 52 
 
Para o cálculo do coeficiente de variação temos: 
 
 
 
5. Considere a tabela abaixo. 
 
 
 
Calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. 
 
Para o cálculo da média, temos: 
 
 
 
 
 
Para o desvio-padrão temos: 
 
 53 
 
 
 
 
 
Para o coeficiente de variação temos: 
 
 
 
A média dos salários é de R$1156,67 com um coeficiente de variação de 17,6%. 
 
6. Considere o histograma abaixo e calcule a variância e o coeficiente de variação. 
 
 
 
A idade média dos alunos já foi calculada no capítulo anterior, basta agora 
calcularmos o desvio-padrão e o coeficiente de variação. 
 
 
 54 
 
 
 
 
A variação das idades dos alunos do curso de Inglês é de 18,87%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, 2004. 
 
LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall, 
2004. 
 
MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio d Janeiro: LTC, 2000. 
 
NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando excel. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2003. 
 
PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, 2004. 
 
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
VIEIRA, S. Introdução a Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1980.