Lista 1 e 2

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Cálculo Diferencial e Geometria Analítica
Primeira Lista Unificada - 2014.2
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
1 Conceitos vetoriais básicos
[1] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.
(a) (A,B) ∈ # «AB
(b) (A,B)∼ (C ,D)⇔ # «AB = # «C D
(c) AB//C D ⇒ # «AB// # «C D
(d)
# «
AB = # «C D ⇒ A =C e B =D
(e)
# «
AB = # «C D ⇒ (A,C )∼ (B ,D)
(f)
# «
AB = # «C D ⇒ AC ∩BD =ø
(g) ‖# «AB‖ = ‖# «C D‖⇒ # «AB = # «C D
(h)
# «
AB = # «C D ⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖
(i) Se
# «
AB = # «C D , então existe um único plano contendo A,B ,C e D .
(j) (A,B)∼ (C ,D)⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖
[2] Seja #«v um vetor não nulo. Mostre que o vetor
#«v
‖ #«v ‖ (chamado de versor de
#«v ) é unitário com
a mesma direção e sentido que #«v .
1
2 Adição de vetores e multiplicação por escalar
[1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos:
Figura 1: (a) Hexágono Regular
2
Figura 2: (b) Tetraedro
Figura 3: (c) Cubo
3
Figura 4: (d) Paralelepípedo
Figura 5: (e) Hexágono Regular
4
Figura 6: (f) Hexágono Regular
[2] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com ori-
gem em cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.
[3] Sejam (A,B) um representante de
#«
u 6=
#«
0 , e (C ,D) um representante de
#«
v 6=
#«
0 . Mostre que
AB//C D se, e somente se, existe λ ∈R tal que
#«
u =λ
#«
v .
[4] Sendo M o ponto médio de AC , N o de BD e
#«
x =
# «
AB +
# «
AD+
# «
C B +
# «
C D , prove que
#«
x //
# «
M N .
[5] Fixados os vetores
#«
u e
#«
v , resolva os sistemas nas incógnitas
#«
x e
#«
y :
(a)
{
#«
x +2
#«
y =
#«
u
3
#«
x −
#«
y = 2
#«
u +
#«
v
(b)
{
#«
x +
#«
y =
#«
u −2
#«
v
#«
x −
#«
y = 3
#«
u
3 Soma de ponto com vetor
[1] Sejam A,B e C pontos quaisquer em E
3
. Prove que
# «
AB −
# «
AC =
# «
C B .
[2] Considere um triângulo ABC arbitrário e sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB ,BC
e C A, respectivamente. Exprima
# «
BP ,
# «
AN e
# «
C M em função de
# «
AB e
# «
AC .
[3] Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao
terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[4] Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelo-
gramo.
[5] Mostre que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único
ponto.
5
[6] Dado 4ABC , seja X um ponto no lado AB tal que a medida de X B é o dobro da medida de
AX . Exprima
# «
C X em função de
# «
C A e
# «
C B .
[7] Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[8] Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.
[9] Num triângulo ABC , sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB , BC e AC , respectiva-
mente. Mostre que
# «
AN + # «BP + # «C M = #«0
[10] Dados quatro pontos A,B ,C e X tais que
# «
AX =m # «X B , exprima # «C X em função de # «C A e # «C B (e
de m).
[11] Seja O ABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC . Exprima
# «
OX em termos de
# «
O A,
# «
OB e
# «
OC .
[12] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que Faça
uma
fi-
gura
e
iden-
tifi-
que
os
ve-
tores
da-
dos
Faça
uma
fi-
gura
e
iden-
tifi-
que
os
ve-
tores
da-
dos
# «
AB + # «AC + # «AD+ # «AE + # «AF = 6 # «AO
[13] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que
une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P =O+ 1
4
(
# «
O A+ # «OB + # «OC + # «OD)
[14] Considere o triângulo ABC, e sejam
# «
C A = #«u , # «C B = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real tal que
X =C +α#«w pertença à reta AB.
4 Dependência e Independência Linear
[1] Se { #«u , #«v , #«w } é LI e a #«u +b #«v + c #«w = #«0 , com a,b,c reais, então a = b = c = 0.
[2] SejaB := { #«u , #«v , #«w }⊂V3 um conjunto LI. Mostre queB gera todo vetor de V3.
[3] Sejam #«u , #«v e #«w LI. Mostre que, se a #«u +b #«v +c #«w =α#«u +β#«v +γ#«w , então a =α, b =β e c = γ.
[4] Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um desenho ilustrando tal
situação.
[5] Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u − #«v e #«u + #«v + #«w
também são LI.
[6] Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u /2+5 #«v } é LD ou LI. Justifique.
[7] Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que:
(a) Se { #«u , #«v , #«w } é LI, então { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v , 3 #«v } também é LI.
(b) { #«u −2 #«v + #«w , 2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD.
6
[8] Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3
# «
B M = 7 # «MC . Verifique que os vetores # «AM , # «AB e
# «
AC são LD.
Sugestão: Escreva o vetor
# «
AM em função de
# «
AB e
# «
AC .
[9] Sejam ABC um triângulo arbitrário, M o ponto médio do lado AB e N um ponto em AC .
Sabendo M N é paralelo ao lado BC , mostre que N é o ponto médio do lado AC .
[10] Seja { #«u , #«v , #«w } LI. Mostre que são LI:
(a) { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v ,3 #«v }
(b) { #«u + #«v , #«u − #«w , #«v + #«w }
[11] Mostre que { #«u −2 #«v + #«w ,2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD, quaisquer que sejam #«u , #«v , #«w ∈V3.
5 Base
[1] Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD:
(a) #«u = (1,2,3) e #«v = (2,1,1)
(b) #«u = (1,7,1) e #«v = (1/2,7/2,1/2)
[2] Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e #«w = (x3, y3, z3)E são LI
se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[3] Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2,1)E , #«v = (0,1,3)E e #«w = (0,−1,3)E são LI
ou LD.
[4] Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e
#«
f 1 = 2 #«e 1− #«e 2, #«f 2 = #«e 1− #«e 2+2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1+2 #«e 3,
pode-se dizer que (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) também é base de V3? Justifique.
[5] Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e
#«
f 1 = #«e 1+ #«e 2+ #«e 3, #«f 2 = #«e 1+ #«e 2, #«f 3 = #«e 3,
decida se F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
[6] Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e somente se,
‖#«u + #«v ‖2 = ‖#«u ‖2+‖#«v ‖2 (Teorema de Pitágoras)
[7] Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1,2,2) seja combinação linear de #«v = (m−
1,1,m−2) e #«w = (m+1,m−1,2). Em seguida, determine m para que { #«u , #«v , #«w } seja LD.
[8] Seja O ABC um tetraedro, e M o ponto médio de BC .
(a) explique por que (
# «
O A,
# «
OB ,
# «
OC ) é uma base.
(b) determine as coordenadas de
# «
AM nesta base.
7
6 Mudança de base
[1] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base de V3, e defina
#«
f 1 = #«e 1− #«e 2
#«
f 2 = #«e 3
#«
f 3 = #«e 2+ #«e 3
(a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
(b) Encontre a matriz de mudança de E para F .
(c) Se #«v = (1,−1,3)F , determine as coordenadas de #«v na base E .
(d) Se #«u = (1,−1,3)E , determine as coordenadas de #«u na base F .
[2] Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se que M é a matriz de mudança de E para F , mostre que
M−1 é a matriz de mudança de F para E .
[3] Sejam E , F e G bases de V3 e suponha que M e N são as matrizes de mudança de E para F e,
de F para G , respectivamente. Mostre que M N é a matriz de mudança de E para G .
[4] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2,#«e 3), F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) são bases, onde
#«e 1 = #«f 1+2 #«f 2
#«e 2 = #«f 1− #«f 3
#«e 3 = #«f 2+ #«f 3
e

#«g 1 = #«e 1−2 #«e 2
#«g 2 = #«e 1+ #«e 3
#«g 3 = #«e 2− #«e 3
Encontre as matrizes de mudanças de
(a) E para F ;
(b) F para G ;
(c) E para G ;
(d) F para E ;
(e) G para F ;
(f) G para E .
[5] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina
#«
f 1 = #«e 1−3 #«e 2
#«
f 2 = #«e 2+ #«e 3
#«
f 3 = #«e 1− #«e 2
(a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
(b) Sendo #«u = 3 #«e 1+4 #«e 2− #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação à base F .
7 Ângulo entre vetores e Produto Escalar
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal.
[1] Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que
#«u · ( #«v + #«w)= #«u · #«v + #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade)
8
[2] Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0.
[3] Se #«u = (2,1,−1) e #«v = (1,−1,2), encontre um vetor não nulo #«w tal que #«u · #«w = #«v · #«w = 0.
[4] Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais:
(a) #«u = (x+1,1,2), #«v = (x−1,−1,−2);
(b) #«u = (x, x,4), #«v = (4, x,1);
(c) #«u = (x,−1,4), #«v = (x,−3,1).
[5] Seja #«v = (2,3,−1) e #«w = (2,−4,6).
(a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖#«u ‖ = 3p3, #«u⊥#«v e #«u⊥#«w .
(b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o vetor (1,0,0)?
[6] Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
[7] Se A,B ,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
# «
AB · # «BC + # «BC · # «C A+ # «C A · # «AB .
[8] Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖#«u ‖ = 3/2, ‖#«v ‖ = 1/2, ‖#«w‖ = 2, calcule
#«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u .
[9] (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈V3. Mostre que
|#«u · #«v | ≤ ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖
[10] Seja ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) uma base ortonormal. Dado
#«u ∈V3, mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1+ ( #«u · #«e 2) #«e 2+ ( #«u · #«e 3) #«e 3.
[11] Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um único par ( #«w 1,
#«w 2)
de vetores tal que #«w 1//
#«v , #«w 1 ⊥ #«v e #«w 1+ #«w 2 = #«w ; #«w 1 chama-se projeção de #«w na direção de
#«v (ou sobre #«v ). Notação: #«w 1 = proj #«v #«w .
[12] Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v
#«w =
#«w · #«v
‖#«v ‖2
#«v . Conclua que proj #«v
#«w =
( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário.
[13] Dada uma base ortonormal ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3), mostre que, para todo
#«u ∈V3,
#«u = proj #«e 1 #«u +proj #«e 2 #«u +proj #«e 3 #«u
[14] Dada a base ( #«e 1,
#«e 2,
#«u ), onde #«e 1 e
#«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor
#«e 3 tal
que ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) é uma base ortonormal.
[15] (Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt) Dada a base (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3), encontre uma
base ortonormal ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) tal que
#«e 1//
#«
f 1 e
#«e 2 seja combinação linear de
#«
f 1 e
#«
f 2.
[16] Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se M M t = M t M = I (matriz identidade).
Sejam E e F bases ortonormais deV3. Mostre que a matriz de mudança de E para F é ortogo-
nal. Conclua que, neste caso, MF E =M tEF e |det MEF | = 1.
9
8 Orientação
Observação: Nesta seção, E é uma base fixada de V3,A é o conjunto das bases com a mesma
orientação que E eB, as bases com orientação oposta.
[1] Suponha que E tem a mesma orientação que F . Mostre que F ∈A .
[2] Existe alguma base de V3 simultaneamente emA eB? Justifique.
[3] Mostre que duas bases quaisquer emB têm a mesma orientação.
[4] Sejam F ∈A e G ∈B. Mostre que F e G têm orientação oposta.
[5] Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G , então E
tem a mesma orientação que G .
[6] Mostre que as bases E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (−#«e 1+ #«e 2, #«e 2, #«e 3) têm orientação oposta.
[7] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases com a mesma orientação. Mostre
que, se #«e 3//
#«u então existe λ> 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u = #«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖.
[8] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases de orientação oposta. Mostre que,
se #«e 3//
#«u então existe λ< 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u =−#«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖.
[9] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3). Em cada caso decida se F ∈A ou F ∈B, sendo F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3):
(a)
#«
f 1 = −#«e 1+ #«e 2−2 #«e 3
#«
f 2 = −2 #«e 1+ #«e 2
#«
f 3 = #«e 1+ #«e 3
(b)
#«e 1 = −2 #«f 1
#«e 2 = #«e 2− #«f 3
#«e 3 = #«f 1+ #«f 2+ #«f 3
[10] Sejam ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) e (a
#«e 1,b
#«e 2,c
#«e 3) bases positivas. Qual é a relação entre a,b e c?
[11] Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de
Gram-Schmidt. Mostre que F ∈A .
[12] Considere a matriz
M(t ) :=
1+2t −t 0−t 1− t −3t
t 2t 1+4t

(a) Que valores deve tomar t para que M(t ) seja a matriz de mudança de E para uma base
F (t )?
(b) Especifique os valores de t para os quais E e F (t ) ∈A , e os valores para os quais F (t ) ∈B.
(c) Existe t tal que F (t )= E?
(d) Seja t0 o menor inteiro positivo para o qual F (t0) é base. Exprima cada vetor de F (t0)
como combinação linear dos vetores de E .
10
9 Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal positiva.
[1] (Identidade de Lagrange) Prove que ‖#«u ∧ #«v ‖2 = ‖#«u ‖2‖#«v ‖2− ( #«u · #«v )2.
[2] Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que
‖#«u ∧ #«v ‖ = ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖sinθ
[3] Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são LD.
[4] Mostre que #«u ∧ #«v =−#«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈V3. [O produto vetorial não é comutativo]
[5] Calcule (
#«
j ∧ #«j )∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não é associativo.
[6] Demonstre as seguintes propriedades:
(a) #«u ∧ ( #«v 1+ #«v 2)= #«u ∧ #«v 1+ #«u ∧ #«v 2
(b) ( #«u 1+ #«u 2)∧ #«v = #«u 1∧ #«v + #«u 2∧ #«v
(c) #«u ∧ (λ#«v )= (λ#«u )∧ #«v =λ( #«u ∧ #«v )
[7] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v .
(b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente independentes.
(c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3.
[8] Calcule ‖#«u ‖ sabendo-se que ‖#«u ∧ #«v ‖ = 4p2, ‖#«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦.
[9] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1,1, x) e #«v = (−1,1,0) é
igual a
p
22, encontre o valor de x.
[10] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
[11] Calcule a área do triângulo ABC, sendo
# «
AC = (−1,1,0) e # «AB = (0,1,3).
[12] Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖# «AB ∧ # «AC‖.
[13] Calcule o momento em relação ao ponto O da força
#«
F = (−1,3,4), aplicada ao ponto P tal que
# «
OP = (1,1,1) [este momento é # «OP ∧ #«F ].
[14] Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3,1) e a #«v = (−3,3,3).
[15] Dados #«u = (1,1,1), #«v = (0,1,2), ache uma base ortonormal positiva ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que
(i) #«e 1//
#«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que
#«u .
(ii) #«e 2 é combinação linear de
#«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva.
[16] Prove que ( #«u + #«v )∧ ( #«u − #«v )= 2( #«u ∧ #«v ).
11
[17] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que
#«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 .
Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente.
[18] Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede
h = ‖
# «
AB ∧ # «AC‖
‖# «AB‖
[19] Seja F uma base qualquer deV3 e considere#«u = (a1,b1,c1)F e #«v = (a2,b2,c2)F . Calcule #«u ∧ #«v .
10 Duplo Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal positiva (
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ).
[1] Prove que
(a) ( #«u ∧ #«v )∧ #«w =−( #«v · #«w) #«u + ( #«u · #«w) #«v ;
(b) #«u ∧ ( #«v ∧ #«w)= ( #«u · #«w) #«v − ( #«u · #«v ) #«w .
[2] (Identidade de Jacobi) Use as fórmulas acima para concluir que
( #«u ∧ #«v )∧ #«w + ( #«w ∧ #«u )∧ #«v + ( #«v ∧ #«w)∧ #«u = #«0 .
[3] Dados #«u = (1, −32 , 12 ), #«v = (6,−2,−4), #«w = ( 17 , 27 , 37 ), calcule
( #«u ∧ #«v )∧ #«w e #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[4] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que
# «
AH é paralelo a (
# «
AB ∧ # «AC )∧ # «BC .
Sugestão: Calcule [(
# «
AB ∧ # «AC )∧ # «BC ]∧ # «AH .
[5] Resolva o sistema
{
#«x ∧ ( #«i + #«j )=−#«i + #«j
#«x · ( #«i + #«j )= 2
[6] Fixe um vetor #«u não nulo. Resolva o sistema
{
#«x ∧ #«u = #«0
#«x · #«u = 1 ,
[7] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[8] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
12
11 Produto Misto
Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do determinante.
Também fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva.
[1] Mostre que #«u , #«v e #«w são LI se, e somente se, [ #«u , #«v , #«w ] 6= 0.
[2] Sejam r e s retas, #«u vetor não nulo paralelo à r e, #«v vetor não nulo paralelo à s. Se P ∈ r e
Q ∈ s, mostre que r e s são coplanares se, e somente se, [ #«u , #«v , # «PQ]= 0.
[3] Seja F = ( #«u , #«v , #«w) uma base de V3. Mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= det MEF .
[4] Dados #«u , #«v e #«w , mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= #«u ∧ #«v · #«w .
[5] Seja ABC DEFG H um paralelepípedo, e defina #«u = # «AB , #«v = # «AD e #«w = # «AE . Mostre que o
volume desse paralelepípedo é igual a [ #«u , #«v , #«w ].
[6] Mostre que o volume de um tetraedro ABCD é igual a |[ # «AB , # «AC , # «AD]|/6.
[7] O produto misto é trilinear, isto é,
(a) [α# «u1+β# «u2, #«v , #«w ]=α[ # «u1, #«v , #«w ]+β[ # «u2, #«v , #«w ]
(b) [ #«u ,α#«v1+β#«v2, #«w ]=α[ #«u , #«v1, #«w ]+β[ #«u , #«v2, #«w ].
(c) [ #«u , #«w ,α# «w1+β# «w2]=α[ #«u , #«w , # «w1]+β[ #«u , #«w , # «w2]
[8] O produto misto é alternado, isto é, [ #«u , #«v , #«w ]=−[ #«v , #«u , #«w ]= [ #«v , #«w , #«u ]=−[ #«u , #«w , #«v ]= [ #«w , #«u , #«v ]=
−[ #«w , #«v , #«u ].
[9] Prove que #«u ∧ #«v · #«w = #«u · #«v ∧ #«w .
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[10] Prove que ( #«u ∧ #«v ) · ( #«w ∧ #«t )=
∣∣∣∣#«u · #«w #«u · #«t#«v · #«w #«v · #«t
∣∣∣∣.
Sugestão: Utilize o exercício acima.
[11] Prove que, para quaisquer α,β ∈R vale:
(a) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u +α#«v +β#«w , #«v , #«w ].
(b) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v +α#«u +β#«w , #«w ].
(c) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v , #«w +α#«u +β#«v ].
Sugestão: Revise Escalonamento.
[12] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2,0), #«v = (0,1,0) e #«w =
(−2,−1,−1).
[13] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados
# «
AB = (1,1,0), # «AC = (0,1,1) e # «AD = (−4,0,0).
[14] Calcule [ #«u , #«v , #«w ] sabendo que ‖#«u ‖ = 1,‖#«v ‖ = 2 e ‖#«w‖ = 3, e que ( #«u , #«v , #«w) é uma base nega-
tiva, sendo #«u , #«v , #«w dois a dois ortogonais.
13
[15] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = #«o então #«u , #«v , #«w são linearmente dependentes.
[16] Prove que a altura do tetraedro ABC D relativa à base ABC é
h = | [
# «
AB ,
# «
AC ,
# «
AD] |
‖# «AB ∧ # «AC‖
Sugestão: Volume =
1
3
(área ∆ABC )h
12 Sistema de Coordenadas
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (2,−1,3) e Q =
(5,−2,1).
[2] Encontre as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (−1,3,0) em relação ao ponto
M = (1,0,1).
[3] Mostre que os pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,2) e C = (1,1,1) são vértices de um triângulo
retângulo (sistema ortogonal).
[4] Considere os pontos A = (1,2,−1), B = (0,1,1) e C = (2,0,0). Mostre que4ABC é equilátero.
[5] Suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal. Encontre a área do triângulo ABC sabendo-
se que A = (2,−1,0), B = (0,1,1) e C = (−1,0,0).
[6] (a) Mostre que os pontos P = (−1,0,0), Q = (2,−1,−1), R = (0,3,1) e S = (4,5,1) são vértices
de um quadrilátero plano, convexo. Em seguida, especifique quais são seus lados e quais
são suas diagonais (um quadrilátero é convexo se e só se nenhum de seus vértices é
interior ao triângulo determinado pelos outros três).
(b) Verifique se os pontos A = (2,6,−5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) são vértices
de um paralelogramo.
(c) Mostre que os pontos E = (3,0,−1), F = (0,3,0), G = (5,1,−2), H = (−4,1,2) são vértices
de um trapézio.
13 Estudo da reta
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos
pontos A= (−1,1,0) e B= (0,−1,1).
[2] Escreva uma equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que
tem como vetor diretor
#«v =
(p
3
49
,
3
p
3
98
,
−p3
7
)
.
São dados A= (1,1,3) e B= (3,1,0).
14
[3] Dê dois vetores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
X = (1,2,0)+λ(1,1,1) (λ ∈R)
[4] Considere a reta r : X = (1,0,1)+λ(2,−1,1) (λ ∈R), e sejam P = (2,1,−1) e Q = (5/3,−1/3,4/3)
pontos de E3. Verifique se P e Q estão em r .
[5] São dadas as equações
1−2x
3
= 2−3y
5
= 1− z
(a) Mostre que elas representam uma reta r .
(b) Elas são equações na forma simétrica de r ? Caso não sejam, passe-as para a forma si-
métrica.
(c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r .
[6] Sejam P = (1,0,1) e Q = (0,1,1). Dados A = (1,2,1) e B = (1,2,−1), verifique se existe um ponto
C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2 (sistema ortogonal).
Solução. Seja (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) o sistema de coordenadas ortogonal do problema (figura 7).
Figura 7: Triângulo ABC
Como
# «
PQ = (−1,1,0) é um vetor diretor da reta PQ,
X = (1,0,1)+λ(−1,1,0) (λ ∈R)
é uma equação vetorial dessa reta. Se C é um ponto qualquer dessa reta, existe λ ∈R tal que
C = (1−λ,λ,1)
15
Com isso,
# «
AC = (−λ,λ−2,0) e # «AB = (0,0,−2),
e portanto,
# «
AC ∧ # «AB =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
−λ λ−2 0
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣= (−2λ+4,−2λ,0).
Em particular, ‖# «AC ∧ # «AB‖ = 2
√
(λ−2)2+λ2. Logo
área(4ABC )= ‖
# «
AC ∧ # «AB‖
2
=
√
(λ−2)2+λ2
Por outro lado, para todo λ ∈R tem-se
(λ−2)2+λ2 = 2(λ−1)2+2≥ 2,
e portanto,
área(4ABC )≥p2,
para todo ponto C sobre a reta PQ. Como
p
2 > 1/2, segue-se que não existe um ponto C
sobre a reta PQ tal que área(4ABC )= 1/2.
[7] Dados os pontos A = (0,0,1), B = (1,2,1) e C = (1,0,1), obtenha equações paramétricas das
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC , relativas ao vértice C .
[8] Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal
que o comprimento de PB seja o triplo de PA.
[9] Escreva equações paramétricas para a reta r , que passa pelo ponto A = (2,0,−3) e:
(a) é paralela à reta s :
1−x
5
= 3y
4
= z+3
6
.
(b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1,0,4) e C = (2,1,3).
(c) é paralela à reta t :

x = 1−2λ
y = 4+λ
z = −1−λ
(λ ∈R).
[10] Sejam r e s duas retas com vetores diretores #«u e #«v , respectivamente. Suponha que #«u // #«v e
r ∩ s 6=ø. Mostre que r = s.
[11] Dados A = (0,2,1), r : X = (0,2,−2)+λ(1,−1,2), encontre os pontos de r que distamp3 de A.
Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual ap
3, e por quê.
(sistema ortogonal)
[12] Dada a reta r : X = (1,0,0)+λ(1,1,1) e os pontos A = (1,1,1), B = (0,0,1), ache o ponto de r
equidistante de A e B (sistema ortogonal).
[13] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3,3,3) e é paralela à reta BC , sendo
B = (1,1,0) e C = (−1,0,−1).
[14] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0,0,0)+λ(1,2,4)(λ ∈R) e X = (1,0,−2)+µ(−1,−1,−1)(µ ∈R)
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
16
14 Estudo do Plano
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Determine duas equações vetoriais do plano que passa por A = (−1,−1,1), e é paralelo aos
vetores #«u = (1,0,1) e #«v = (−1,1,0).
[2] Uma reta r é dada como intersecção de dois planos:
r :
{
x+ y + z−1= 0
x+ y − z = 0
Dê equações paramétricas de r .
Observação: A reta r acima está expressa sob a Forma Coplanar, ou seja, como interseção de
dois planos.
[3] Encontre uma equação geral do plano que contém o ponto (−1,0,1) e é perpendicular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[4] Encontre uma equação geral do plano paralelo à reta r : X = (−1,0,1)+ (2,0,−1) e perpendi-
cular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[5] Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo Oz e é
paralela ao plano pi : x−3y +5z−6= 0.
[6] Decomponha o vetor #«v = (1,2,4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X = (1,1,0)+λ(1,0,1)+µ(0,1,−1) (λ,µ ∈R)
e outra paralela à reta
X = (0,0,0)+ν(2,1,0)
[7] Considere a equação
ax+by + cz+d = 0, (1)
onde a2+b2+c2 6= 0. Mostre que a equação (1) é uma equação geral de um plano, e determine
três pontos não colineares nesse plano.
[8] Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,1) e
C = (2,1,2).
[9] Seja pi o plano que passa pelos pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não
colineares. Mostre que uma equação geral de pi é dada por∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
17
[10] Dadas equações paramétricas de um plano pi,
x =−1+2λ−3µ
y = 1+λ+µ
z =λ
(λ,µ ∈R)
obtenha uma equação geral desse plano.
[11] Uma plano tem equação geral x+2y−z+1= 0. Obtenha equações paramétricas desse plano.
[12] Seja ax+by + cz+d = 0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a 6= 0. Mostre que
x =−baλ− caµ− da
y =λ
z =µ
(λ,µ ∈R)
são equações paramétricas de pi.
Observação: Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano pi1. Mostre que
pi1 ⊆pi, donde pi1 =pi.
[13] Dadas as retas
r :
x−1
2
= y
2
= z e s : x−1= y = z
obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.
[14] Sejam P = (4,1,−1) e r : X = (2,4,1)+λ(1,−1,2).
(a) Mostre que P ∉ r .
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por P .
[15] Suponha que ax +by + cz +d = 0 seja uma equação geral de um plano pi. Mostre que #«v é
ortogonal a pi.
[16] Obtenha uma equação geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1,0,−1) e tem vetor nor-
mal #«n = (1,−1,0).
[17] Escreva equações paramétricas para a reta r =pi1∩pi2, onde
pi1 : 2x− y −3= 0 e pi2 : 3x+ y +2z−1= 0
[18] Dê uma equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa
pelos pontos A = (1,1,1) e B = (2,1,−1).
[19] Dê uma equação geral do plano que passa pelo P = (1,0,1) e é perpendicular à reta X =
(0,0,1)+λ(1,2,−1).
[20] Decomponha o vetor #«v =−3 #«i +4 #«j −5 #«k paralela e ortogonalmente ao plano
pi :

x = 1−λ
y =−2
z =λ−µ
(λ,µ ∈R)
[21] Prove que o lugar geométrico dos pontos de E3 que são equidistantes de A = (1,−1,2) e B =
(4,3,1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é
perpendicular ao segmento AB .
18
15 Posições relativas de retas e planos
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) ortogonal.
[1] Estude a posição relativa das retas
r : X = (−1,2,−2)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : x = y −1= z
[2] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : X = (1,3,6)+µ(0,2,6) (µ ∈R)
[3] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s :
{
x+ y + z = 6
x− y − z =−4
[4] Determine m para que as retas r : X = (1,0,2)+λ(2,1,3) e s : X = (0,1,−1)+λ(1,m,2m) sejam
coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa.
[5] Determine α e β para que as retas
r : X = (1,α,0)+λ(1,2,1) (λ ∈R) e s :
{
x = z−2
y =βz−1
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
[6] Sejam #«u = (d ,e, f ) e #«w = (g ,h, i ) vetores diretores de um plano pi. Se #«v = (m,n, p) é um vetor
diretor de uma reta r , então r −tpi se, e somente se,∣∣∣∣∣∣
d e f
m n p
g h i
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[7] Dados o plano pi : X = (1,1,3)+λ(1,−1,1)+µ(0,1,3), com λ,µ ∈R, e a reta
r : X = (1,1,1)+α(3,2,1) (α ∈R),
estude a posição relativa de r e pi.
[8] Calcule m para que a reta r : X = (1,1,1)+λ(2,m,1) seja paralela ao plano
pi : X = (0,0,0)+α(1,2,0)+β(1,0,1).
[9] Calcule m para que a reta r :
x−1
m
= y
2
= z
m
seja transversal ao plano pi : x+my + z = 0
[10] Estude a posição relativa dos planos
pi1 : X = (1,0,−1)+λ(−1,1,1)+µ(1,0,1) e pi2 : X = (0,0,0)+α(1,0,1)+β(−1,0,3)
19
[11] Estude a posição relativa dos planos pi1 : 2x− y + z−1= 0 e pi2 : 2x− y + z+10= 0.
[12] Mostre que os planos pi1 : X = (0,0,0)+λ(−1,m,1)+µ(2,0,1) e
pi2 : X = (1,2,3)+α(m,1,0)+β(1,0,m)
são transversais, para todo m ∈R.
[13] Sejam r e s retas reversas, passando por A e B , e por C e D , respectivamente. Obtenha uma
equação vetorial da reta t , concorrente com r e s, e paralela ao vetor #«v = (1,−5,−1). Dados
A = (0,1,0), B = (1,1,0), C = (−3,1,−4) e D = (−1,2,−7).
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , que passa pelo ponto P = (2,−1,1) e é concorrente
com as retas reversas
r :
{
y + z = 5
x+2z = 9 e s :
{
2x− z =−1
y −2z = 1
[15] Considere os planos pi1 : 2x = y , pi2 : x = 0, pi3 : z = 0, e seja pi4 o plano determinado pelas retas
r : X = (1,2,0)+λ(1,2,−1) e s :
{
x = 0
y + z = 1
Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume.
16 Perpendicularidade e Ortogonalidade
Observação: Nesta seção está fixado um sistema de coordenadas ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ).
[1] Verifique se as retas r e s são ortogonais nos seguintes casos:
(a) r : X = (1,3,0)+λ(0,−7,5) e s : x−12 =
y−3
5 = z7
(b) r : x−42 =
y−2
3 = z+4−5 e s :

x = 2+3λ
y =−5−2λ
z = 1−λ
[2] Ache as equações na forma simétrica da reta r que passa por P = (−1,3,5) e é perpendicular
ao plano pi : x− y +2z−1= 0.
[3] Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas:
r :

x = 2+λ
y =λ
z =−1+λ
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
[4] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB , e que inter-
cepta a reta s, onde pi : 2x− y +3z−1= 0, A = (1,0,1), B = (0,1,2), s : X = (4,5,0)+λ(3,6,1).
20
[5] Verifique se r é perpendicular a pi nos seguintes casos:
a) r :

x = 1+3λ
y = 1−3λ
z =λ
e pi : 6x−6y +2z−1= 0.
b) r :
{
x− y − z = 0
x+ y = 0 e pi : 2x−2y +4z = 1.
[6] Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi nos casos:
a) P = (1,−1,0) e pi : X = (1,−1,1)+λ(1,0,1)µ(1,1,1);
b) P = (1,3,7) e pi : 2x− y + z = 6.
[7] Ache uma equação geral do plano pi e é perpendicular à reta r no casos:
a) P = (0,1,−1) r : X = (0,0,0)+λ(1,−1,1);
b) P = (1,1,−1) r :
{
x−2y + z = 0
2x−3y + z−1= 0
[8] Ache o ponto simétrico de P = (1,1,−1) em relação à reta r : x+23 = y = z.
Observação: Dizemos que o ponto P ′ é o simétrico de P em relação a reta r (ao plano pi) se o
ponto médio do segmento PP ′ pertence a reta r (aoplano pi).
[9] Ache o ponto simétrico de P = (1,4,2) em relação ao plano pi : x− y + z−2= 0.
[10] Determine a projeção ortogonal
a) do ponto P = (4,0,1) sobre o plano pi : 3x−4y +2= 0;
b) da reta r : x+1= y +2= 3z−3 sobre o plano pi : x− y +2z = 0.
[11] Verifique se os planos pi1 : X = (4,3,1)+λ(−1,0,−1)+µ(3,1,0) e pi2 : y −3z = 0 são perpendi-
culares.
[12] Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto A = (2,1,0) e é perpendicular aos
planos pi1 : x+2y −3z+4= 0 e pi2 :−1
8
x− 1
4
y + 3
8
z−1= 0.
[13] Um cubo tem diagonal AB e uma das faces está contida no plano pi : x − y = 0. Determine
seus vértices, dados A = (1,1,0) e B = (1,3,p2).
[14] Dados os planos pi1 : x− y+z+1= 0, pi2 : x+ y−z−1= 0 e pi3 : x+ y+2z−2= 0, encontre uma
equação geral do plano que contém pi1∩pi2 e é perpendicular a pi3.
Solução. Considere os vetores #«n 1 = (1,−1,1), #«n 2 = (1,1,−1) e #«n 3 = (1,1,2). Então: #«n 1 é
normal a pi1,
#«n 2 é normal a pi2 e
#«n 3 é normal a pi3. Como
#«n 1 e
#«n 2 são LI, os planos pi1 e pi2
são transversais e portanto, pi1∩pi2 é uma reta que denotaremos por r . Em particular, #«n 1 e
#«n 2 são ortogonais à reta r , de onde segue-se que
#«v = #«n 1∧ #«n 2 é um vetor diretor dessa reta:
#«v = #«n 1∧ #«n 2 =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
1 −1 1
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣= (0,2,2).
21
Sejapi4 o plano procurado. Comopi4 ⊥pi3 e #«n 3 é ortogonal api3, concluimos que #«n 3 é paralelo
ao plano pi4. Além disso,
#«v também é paralelo ao plano pi4 já que este plano contém a reta r .
Como #«v e #«n 3 são LI, o vetor
#«n 4 := #«v ∧ #«n 3 é normal ao plano pi4:
#«n 4 := #«v ∧ #«n 3 =
∣∣∣∣∣∣∣
#«
i
#«
j
#«
k
0 2 2
1 1 2
∣∣∣∣∣∣∣= (2,2,−2).
Logo, uma equação geral de pi4 é da forma
2x+2y −2z+d = 0,
para algum d ∈ R. Observando que A := (0,0,−1) pertence à reta r , e portanto ao plano pi4,
obtemos d =−2. Logo
pi4 : x+ y − z−1= 0,
que coincide com o plano pi2. Isto já era esperado, visto que
#«n 2 · #«n 3 = 0 e r ⊂pi2.
17 Ângulos
Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) de coordenadas.
[1] Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
(a) X = (−5/2,2,0)+λ(1/2,1,1) e s :
{
3x−2y +16= 0
3x− z = 0
(b) r : x = 1− y
2
= z
3
e s :
{
3x+ y −5z = 0
2x+3y −8z = 1
[2] Ache a medida em radianos do ângulo entre reta e plano nos casos:
(a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometricamente.
(b)

x = 1+λ
y =λ
z =−2λ
e x+ y − z−1= 0
(c)
{
y = 2−x
x = 1+2z e
p
45/7x+ y +2z = 10
[3] Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) 2x+ y − z−1= 0 x− y +3z−10= 0;
b) X = (1,0,0)+λ(1,0,1)+µ(−1,0,0). x+ y + z = 0.
[4] Ache a reta que intercepta as retas r :
x−1
3
= y −1
2
= −z
3
e

x =−1+5λ
y = 1+3z
z =λ
e forma
ângulos congruentes com os eixos coordenados.
22
[5] Ache a retar que passa pelo ponto (1,−2,3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente,
com o eixo dos x e dos y .
[6] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x+ y + z = 0 e que forma 45◦ com o
plano pi2 : x− y = 0.
[7] Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces.
[8] Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r :
{
x−2y +2z = 0
3x−5y +7z = 0 e forma
com o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus.
[9] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta
r :
{
3z−x = 1
y −1= 1
e forma com s : X = (1,1,0)+λ(3,1,1) um ângulo cuja medida em radianos é θ = arccos 2
p
30
11
.
[10] A diagonal BC de um quadrado ABC D está contida na reta r : X = (1,0,0)+λ(0,1,1). Sabendo
que A = (1,1,0), determine os pontos B ,C ,D .
18 Distâncias
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) de coordenadas.
[1] Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
(a) P = (0,−1,0) e r :
{
x = 2z−1
y = z+1 . (b) P = (1,−1,4) e r :
x−2
4
= y−3 =
z−1
−2 .
[2] Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s :
{
2x− z = 3
y = 2 , concorrente com t : X =
(−1,1,1)+λ(0,−1,2), e que dista 1 do ponto P = (1,2,1).
[3] Um quadrado ABC D tem a diagonal BD contida na reta r :
{
x = 1
y = z . Sabendo que A =
(0,0,0), determine os vértices B ,C e D .
[4] Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r :
{
x+ z = 1
y = 0
e s :
{
x+ y = 1
z = 0 . Descreva o lugar geométrico.
[5] Sejam P = (1,0,2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano pi que
contém r e dista 2 do ponto P .
[6] Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax+by + cz+d = 0, mostre que
d(P,pi)= |ax0+by0+ cz0+d |p
a2+b2+ c2
23
[7] Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0,0,2)+λ(−2, 1/2,1) e x−1−2 =
y
1/2
= z.
[8] Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y +2z+9= 0 e 4x−2y +4z−21= 0.
[9] Calcule a distãncia entre as retas r :

x = 2−λ
y = 1+λ
z =−λ
e s :
{
x+ y + z = 0
2x− y −1= 0 .
[10] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z que distam 3 do ponto A = (0,2,1).
[11] Ache os pontos da reta y = 2x+1 que estão situados a distância 2 da origem.
[12] Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+2y −2z = 0
[13] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z que distam
p
14/3 de s : x = y = z+1.
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e é
concorrente com as retas
r : X = (1,−1,−1)+λ(1,2,4) e s :
{
x− y = 1
3y −2z+6= 0 .
[15] Ache os pontos da reta r :
{
y = 2−x
x = y + z que distam
p
6 de pi : x−2y − z = 1.
[16] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1,1,−1), Q = (2,1,1) e que dista
1 da reta r : X = (1,0,2)+λ(1,0,2).
[17] Dê uma equação vetorial da reta r , contida no plano pi : x + y = 0, que forma um ângulo de
30◦ com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x.
[18] Se a distância da origem a um plano é d , e esse plano intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e
(0,0,c), prove que:
1
d 2
= 1
a2
+ 1
b2
+ 1
c2
.
19 Mudança de Coordenadas
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ) de coordenadas em E2.
[1] Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′, #«f1, #«f2, #«f3) dois sistemas de coordenadas tais que #«f1 = #«e1+
#«e2,
#«
f2 = #«e2, #«f3 = #«e2+ #«e3 e O′ = (1,1,1)Σ1 . Obtenha as equações paramétricas da reta r : [X =
(0,0,0)+λ(0,1,1)]Σ1 no sistema Σ2.
[2] Sejapi : [2x−y+z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral depi no sistemaΣ2 do exercício anterior.
[3] Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P = (p3,1) sejam
(
p
3,−1).
24
[4] Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x + 3y − 2 = 0 passe pela (nova) origem,
sabendo que esta tem abscissa −1.
[5] Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+2y+1=O fique paralela ao (novo) eixo das
abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes.
[6] Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio r > 0. Mostre que C ,
em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem equação u2+ v2 = r 2.
[7] Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações:
(a) 9x2−4y2−18x−16y −7= 0;
(b) 4x2−24x y +11y2+56x−58y +95= 0;
(c) 16x2−24x y +9y2−85x−30y +175= 0;
(d) 4x2+ y2+8x−10y +13= 0;
(e) x2−6x−5y +14= 0;
(f) x2+2y2−4x−4y −1= 0;
(g) 8x2−2x y +8y2−46x−10y +11−0;
(h) 12x2+8x y −3y2+64x+30y = 0;
(i) 2x2−12x y +7y2+8x+20y −14= 0;
(j) 25x2+20x y +4y2+30x+12y −20= 0;
(k) 4x2−4x y + y2−8p5x−16p5y = 0;
(l) x2+x y + y2−1= 0;
(m) 4x2 − 12x y + 9y2 − 8p13x − 14p13y +
117= 0;
(n) 3x2−2x y +3y2+2p2x−6p6y +2= 0.
[8] Considere a equação do segundo grau
Ax2+B x y +C y2+Dx+E y +F = 0, (2)
que após uma mudança de coordenadas em E2 é escritana forma
A′u2+B ′uv +C ′v2+D ′u+E ′v +F ′ = 0 (3)
(a) Mostre que [
D ′
E ′
]
=
[
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
][
D
E
]
.
(b) Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por rotação, isto é, se (2) é trans-
formada em (3) por meio de uma rotação, então
A+C = A′+C ′ e B 2−4AC =B ′2−4A′C ′.
(c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A−λ B/2B/2 C −λ
∣∣∣∣= 0, (4)
são reais, quaisquer que sejam A,B e C .
(d) Mostre ainda que λ1 =λ2 apenas se A =C e B = 0, e neste caso, λ1 =λ2 = A =C .
(e) Conclua que, se A2+B 2+C 2 6= 0 não pode ocorrer λ1 =λ2 = 0.
(f) Mostre que A+C é a soma da raízes de (4) e −B
2−4AC
4
é o produto delas.
(g) Conclua que A′ e C ′ são raízes de (4), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto.
25
[9] Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por uma mudança de coordenadas da
forma [
x
y
]
=
[
h
k
]
+
[
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
][
u
v
]
.
Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação seguida de uma
rotação (roto-translação).
20 Cônicas
[1] Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1,0), F2 = (1,0) e o eixo maior
medindo 10.
[2] Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num dos eixos coorde-
nados, e passa por A e B .
(a) A = (3,2); B = (1,4) (b) A = (5,2); B = (2,4)
[3] Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse
9x2+16y2 = 100.
[4] Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
(a) os vértices (±2,0), e os focos (±3,0);
(b) os vértices (±15,0), e as assíntotas 5y =
±4x;
(c) b = 4, e as assíntotas 2y =±3x (focos no
eixo O y);
(d) os focos (±5,0), e as assíntotas 2y =±x;
(e) as assíntotas y = ±x, e um ponto da hi-
pérbole, (5,9);
(f) os focos (±5,0), e o comprimento L = 92
da corda por um dos focos, perpendicu-
lar a F1F2.
[5] Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço.
(a) y2 = 16x;
(b) y2+28x = 0;
(c) x2+40y = 0;
(d) 5y2 = 12x;
(e) 2x2 = 7y ;
(f) 7x2 = 15y .
[6] Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
(a) A = (2,3), x = 0
(b) A = (3,1), y +3= 0
(c) A = (−4,−2), 2x+ y = 3
Sugestão: Use translações e rotações.
Enunciado das cinco questões seguintes: Determine a equação da circunferência em cada
caso:
26
[7] que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (−1,1)
[8] circunscrito ao triângulo de vértices (7,3), (2,8) e (5,7).
[9] concêntrico ao círculo 4x2+4y2−16x+20y +25= 0 e tangente à reta 5x+12y = 1.
[10] que tem seu centro sobre a reta 4x−5y = 3 e é tangente às retas 2x−3y = 10 e 3x−2y =−5.
[11] que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x−5y +18 = 0 uma corda de comprimento
6.
[12] O ponto (3,1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a reta y+6= 0. Deter-
mine a equação de E sabendo que sua excentricidade é
c
a
=
p
2
2
.
[13] Determine os pontos da elipse x
2
100+
y2
36 = 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi-eixo
OX positivo seja igual a 14.
[14] Determine a equação da família de elipses com centro (2,3), reta focal paralela ao eixo-OX e
excentricidade
c
a
= 1
2
.
[15] Determine a equação da elipse que passa por (1,3), (−1,4), (0,3−
p
3
2 ) e (−3,3), sabendo que
seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
[16] Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e passa pelo ponto
(2,1).
[17] Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2,1) e (4,1) e excentricidade
c
a
= 2p
3
.
[18] Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x
2
4 −
y2
9 = 1 e a reta 9x+2y =
24.
[19] Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto (2,3) e um dos
focos no ponto (2,5).
[20] Determine os valores de k de modo que a equação
(x−4)2
9+k +
y2
5+k = 1 represente uma hipér-
bole. Esboce a curva para k =−7 e dê os focos, a excentricidade e = c
a
e as assíntotas.
[21] Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta a curva em ape-
nas um ponto.
[22] Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola x2+16y = 0. Ve-
rifique que a diretriz da parábola tangencia a circunferência.
[23] Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela interseção da reta
x−2y +3= 0 com a parábola.
[24] Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e diretriz 4x+3y = 1.
[25] Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1.
27
[26] Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixo-OX e passa pelos pontos
( 32 ,−1), (0,5) e (−6,7).
Enunciado das cinco questões seguintes: Identifique os principais elementos das
parábolas em cada caso:
[27] x2−8y = 0;
[28] 2y2+5x+8y −7= 0;
[29] 3y2+7y −6= 0;
[30] 9x2−42x+49= 0;
[31] 3y2−2y +1= 0.
Enunciado das duas questões seguintes: Determine a equação da parábola com:
[32] Foco F = (−3
4
,0) e diretriz x = 34 .
[33] Vértice V = (−1,−3) e diretriz x =−3
[34] Verifique que a equação do segundo grau 10y2+8x−30y −9= 0 é uma parábola, determine
o vértice, o foco e a equação da diretriz.
[35] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos equidistantes à circun-
ferência x2+ y2 = 1 e ao eixo-OX .
[36] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que são centros das
circunferências tangentes simultaneamente à reta y = 1 e à circunferência x2+ y2 = 9.
21 Superfícies
[1] Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1,0,0), (0,1,0), ( 12 ,
1
2 ,
p
2
2 ), (0,0,1).
Enunciado das quatro questões seguintes: Ache as equações das seguintes superfícies:
[2] O cilindro com geratriz perpendicular ao plano x y e cuja diretriz é a parábola y = x2.
[3] O elipsóide obtido girando a elipse x
2
2 +
y2
4 = 1 ao redor do eixo maior.
[4] O cone obtido girando a reta y = ax+b, z = 0 ao redor dos eixo dos y .
[5] O cone obtido girando a reta x = t , y = 2t , z = 3t ao redor da reta x =−t , y = t , z = 2t .
Enunciado das dez questões seguintes: Identificar as quádricas cujas equações sejam:
[6] x2− y2+ z2 = 0
28
[7] x2− y2+ z2 = 1
[8] x2− y2+ z2 =−1
[9] x2−4y2 = 0
[10] x2−4y2 = 4
[11] 2x = y2+ z2
[12] 9y = x2
[13] 4z = y2−x2
[14] x2+4y2+9z2 = 25
[15] x2− y2 = z
Enunciado das cinco questões seguintes: Usando as translações e rotações dos eixos,
identifique as superfícies cujas equações sejam:
[16] 4x2+ y2+4z2−8x−2y −24z+44= 1
[17] 2x2+4y2+ z2−8y − z+ 614 = 0
[18] 4x2+ y2− z2+12x−2y +4z = 12
[19] 2x2− y2+3z2+1= 0
[20] y2+2x− z = 0
Cálculo Diferencial
22 Limites e Continuidade
[1] Prove que f (x)= 1x é contínua em todo p 6= 0.
Enunciado das trinta questões seguintes: Encontre os limites indicados se existirem:
[2] lim
x→1
(
x3+x2+5x+1) r esp. : 8
[3] lim
x→2
x2+5x−4
x2−5 r esp. :−10
[4] lim
x→6
x2−36
x−6 r esp. : 12
[5] lim
x→2
x−2p
2x−4 r esp. : 0
[6] lim
x→0
x
2−p4−x r esp. : 4
[7] lim
x→1
2−p3+x
x−1 r esp. :−
1
4
[8] lim
x→2
p
2x2−3x+2−2p
3x2−5x−1−1
r esp. : 514
[9] lim
x→+∞
(
5x3−3x) r esp. :+∞
29
[10] lim
x→−∞
2x2−1
x2−1 r esp. : 2
[11] lim
x→−∞
3x
x2−3 r esp. : 0
[12] lim
x→−∞
x2+x+1
(x+1)3−x3 r esp. :
1
3
[13] lim
x→+∞
(p
x2+3x+4−x
)
r esp. : 32
[14] lim
x→0
sen3x
2x
r esp. : 3/2
[15] lim
x→0
senx
4x
r esp. : 1/4
[16] lim
x→0
t g 2x
3x
r esp. : 2/3
[17] lim
x→0
t g 3x
t g 5x
r esp. : 3/5
[18] lim
x→0
sen3x− sen2x
senx
r esp. : 1
[19] lim
x→0
sen4x
sen3x
r esp. : 4/3
[20] lim
x→0
1−cos x
senx
r esp. : 0
[21] lim
x→0
1−cos2x
sen3x
r esp. : 0
[22] lim
x→0
1−cos4x
x
r esp. : 0
[23] lim
x→2 3
(
x2−4
x−2
)
r esp. : 81[24] lim
x→1 e
(
x−1p
x−1
)
r esp. : e2
[25] lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)2x
r esp. : e2
[26] lim
x→−∞
(
1+ 1
x
)x
3 r esp. : e
1
3
[27] lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x−3
r esp. : e
[28] lim
x→0 (1+4x)
1
x r esp. : 2/3
[29] lim
x→2−
3x
x−2 r esp. :+∞
[30] lim
x→0−2
(
1
x
)
r esp. : 0
[31] lim
x→0−
4
1+2
(
1
x
) r esp. : 4
Enunciado das três questões seguintes: Determine todas as assíntotas verticais e
horizontais do gráfico de f:
[32] f (x)= 1
(x−5)2 r esp. : v : x = 5, h : y = 0
[33] f (x)= x+3
x−1 r esp. : v : x = 1, h : y = 1
[34] f (x)= x
2
x2−4 r esp. : v : x = 2, x =−2, h : y = 1
Enunciado das duas questões seguintes: Verifique se as funções abaixo são contínuas nos
pontos indicados:
[35] f (x)= x
2−9
x−3 em x=3 resp.:não é contínua
30
[36] f (x)= 3x−5 em x=2 resp.:é contínua
Enunciado das três questões seguintes: Determine lim
x→2 f (x) em cada caso:
[37] lim
x→2
[
f (x)−x]= 10
[38] lim
x→2
[
x f (x)
]= 8
[39] lim
x→2
4x
f (x)
= 12
5
Enunciado das três questões seguintes: Para cada uma das funções a seguir, calcule f (xo),
lim
x→x−o
f (x) e lim
x→x+o
f (x):
[40] f (x)=

|x|
x
, x 6= 0
0, x = 0
, xo = 0
[41] f (x)=

x−1, x < 0
5, x = 3
8−x x > 0
, xo = 3
[42] f (x)=

x2+1, x > 2
5, x = 2
7x−9, x < 2
, x0 = 2
[43] Detemine os valores de a e b para os quais a função
f (x)=

x2−4, x <−1
ax+b, −1≤ x < 2
4−x2, x ≥ 2
é contínua, qualquer que seja x ∈R.
[44] Seja f :R→R a função definida por
f (x)=
{
2(x−4), se x < 1
kx x ≥ 1 . Determine k, de modo que f seja contínua em x = 1.
[45] Calcule lim
x→2
[
1
x−2 +
x−7
x2+x−6
]
.
[46] Calcule lim
x→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1.
Enunciado das quatro questões seguintes: Calcule o limite:
[47] lim
x→−∞
3
√
4x2+6x+3
x2−5
[48] lim
n→∞
(
2n+3
2n+1
)n+1
[49] lim
x→1
3
x−1
4 −1
sen[5(x−1)]
[50] lim
x→0
6x− sen2x
2x+3sen4x
31
[51] Usando um teorema adequado, demonstre que
lim
x→0 x
n sen
(1
x
)
= 0,
onde n é um número inteiro poistivo par.
[52] Calcule o limite da função dada por
f (x)= |x|
x
.
[53] Baseado na questão anterior, responda se a função tem limites laterais em x = 0.
[54] Seja
f (x)=
{ p
2−x
4 se x < 2
0 se x = 2
Verifique se esta função possui limite em x = 2. Caso não possua justifique sua resposta.
[55] Seja
f (x)=
{
x+1 se x ∈Q
−x+1 se x ∈R−Q
Verifique se esta função possui limite em algum ponto. Em qualquer um dos casos, possui ou
não, justifique sua resposta.
[56] Mostre que se a > 1 e β ∈R, então
(a) lim
x→∞
ax
x
=+∞
(b) lim
x→∞
ax
xβ
=+∞
Enunciado das vinte questões seguintes: Calcule o limite:
[57] lim
x→0
(1+x)3− (1+3x+3x2)
x4+x3 ;
[58] lim
x→2
x2−4
x3−2x2+x−2;
[59] lim
x→a
x2− (a+1)x+a
x3−a3 ;
[60] lim
x→1
( 1
1−x −
3
1−x3
)
;
[61] lim
h→0
(x+h)3−x3
h
.
[62] lim
x→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1;
[63] lim
x→1
p
x−1
3
p
x−1;
[64] lim
x→0
p
1+x−p1−x
x
;
[65] lim
h→0
p
x+h−px
h
;
[66] lim
h→0
3px+h− 3px
h
.
[67] lim
x→∞
2x2−3x−4
4p
x2+1
;
[68] lim
x→∞
100x
x2−1; ;
32
[69] lim
x→∞
x2−5x+1
3x+7 ;
[70] lim
x→∞
x2
10+xpx ;
[71] lim
x→∞
2x+3
x+ 3px .
[72] lim
x→∞
2x2−3x−4
4p
x2+1
;
[73] lim
x→∞
100x
x2−1; ;
[74] lim
x→∞
x2−5x+1
3x+7 ;
[75] lim
x→∞
x2
10+xpx ;
[76] lim
x→∞
2x+3
x+ 3px .
23 Função Logarítmica
[1] Calcule.
(a) lim
x→+∞ log3 x.
(b) lim
x→0+
ln x.
(c) lim
x→0+
log 1
3
x.
(d) lim
x→+∞ ln
x
x+1.
(e) lim
x→+∞[ln(2x+1)− ln(x+3)]
(f) lim
x→+∞[x ln2− ln(3
x +1)]
(g) lim
x→1 ln
x2−1
x−1
24 Limites Fundamentais
A presente seção fará uso dos seguintes limites:
lim
x→0
senx
x
= 1
e
lim
x→∞
(
1+ 1
x
)x = e
[1] Calcule lim
x→0
x2
sin x
;
Enunciado das quinze questões seguintes: Calcule os limites abaixo usando a primeira
fórmula dada acima:
[2] lim
x→2
senx
x
;
[3] lim
x→∞
senx
x
;
[4] lim
x→0
sen3x
x
;
[5] lim
x→0
1− cosx
x2
; .
[6] lim
x→a
senx− sena
x−a ;
[7] lim
x→a
cosx− cosa
x−a ;
[8] lim
x→0
ar csenx
x
;
[9] lim
h→0
sen(x+h)− senx
h
;
[10] lim
x→0
1−pcosx
x2
.
33
Enunciado das questões seguintes: Calcule o limite.
[11] lim
x→∞
(x−1
x+1
)x
;
[12] lim
x→0
(2+x
3−x
)x
;
[13] lim
x→∞
( x
x+1
)x
;
[14] lim
x→1
( x−1
x2−1
)x+1
;
[15] lim
x→∞
( 1
x2
) 2x
x+1
.
[16] limx→0(1+ senx) 1x .
[17] lim
x→0(cosx)
1
x ;
[18] lim
x→0(cosx)
1
x2 ;
[19] lim
x→0
eαx −eβx
x
;
[20] lim
x→0
eαx −eβx
sen(αx)− sen(βx) .
[21] limn→∞n
(
a
1
n −1
)
.
[22] limn→0
t g x
x .
Algumas Demonstrações.
[23] Seja f (x) uma função cujo limite quando x tende a a é igual a zero e |g (x)| ≤M , ambas com
o mesmo domínio D . Mostre que o limite do produto destas funções quando x tende para a
também tende para zero.
[24] Use a questão anterior para determinar um exemplo em que o teorema por ser aplicável.
[25] Suponha que, para todo x, |g (x)| ≤ x4. Calcule
lim
x→0
g (x)
x
.
[26] Seja f (x) uma função definida em R, tal que para todo x, | f (x)− f (p)| ≤ M |x −p|2. Calcule,
caso exista,
lim
x→p
f (x)− f (p)
x−p .
[27] Mostre que se f : [a,b]→R é uma função contínua então | f | : [a,b]→R é contínua, isto é, se f
é contínua então o módulo de f também o é. Mostre através de um exemplo que a recíproca
não é verdadeira.
Referência: Boulos, P.; Camargo, I., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2a Edição, Ma-
kron Books, 2004.
34