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3, e por quê.
(sistema ortogonal)
[12] Dada a reta r : X = (1,0,0)+λ(1,1,1) e os pontos A = (1,1,1), B = (0,0,1), ache o ponto de r
equidistante de A e B (sistema ortogonal).
[13] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3,3,3) e é paralela à reta BC , sendo
B = (1,1,0) e C = (−1,0,−1).
[14] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0,0,0)+λ(1,2,4)(λ ∈R) e X = (1,0,−2)+µ(−1,−1,−1)(µ ∈R)
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
16
14 Estudo do Plano
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[1] Determine duas equações vetoriais do plano que passa por A = (−1,−1,1), e é paralelo aos
vetores #«u = (1,0,1) e #«v = (−1,1,0).
[2] Uma reta r é dada como intersecção de dois planos:
r :
{
x+ y + z−1= 0
x+ y − z = 0
Dê equações paramétricas de r .
Observação: A reta r acima está expressa sob a Forma Coplanar, ou seja, como interseção de
dois planos.
[3] Encontre uma equação geral do plano que contém o ponto (−1,0,1) e é perpendicular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[4] Encontre uma equação geral do plano paralelo à reta r : X = (−1,0,1)+ (2,0,−1) e perpendi-
cular à reta
s :
{
x+ y + z = 0
−y + z = 2
[5] Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo Oz e é
paralela ao plano pi : x−3y +5z−6= 0.
[6] Decomponha o vetor #«v = (1,2,4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X = (1,1,0)+λ(1,0,1)+µ(0,1,−1) (λ,µ ∈R)
e outra paralela à reta
X = (0,0,0)+ν(2,1,0)
[7] Considere a equação
ax+by + cz+d = 0, (1)
onde a2+b2+c2 6= 0. Mostre que a equação (1) é uma equação geral de um plano, e determine
três pontos não colineares nesse plano.
[8] Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,1) e
C = (2,1,2).
[9] Seja pi o plano que passa pelos pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não
colineares. Mostre que uma equação geral de pi é dada por∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1
x1 y1 z1 1
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
17
[10] Dadas equações paramétricas de um plano pi,
x =−1+2λ−3µ
y = 1+λ+µ
z =λ
(λ,µ ∈R)
obtenha uma equação geral desse plano.
[11] Uma plano tem equação geral x+2y−z+1= 0. Obtenha equações paramétricas desse plano.
[12] Seja ax+by + cz+d = 0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a 6= 0. Mostre que
x =−baλ− caµ− da
y =λ
z =µ
(λ,µ ∈R)
são equações paramétricas de pi.
Observação: Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano pi1. Mostre que
pi1 ⊆pi, donde pi1 =pi.
[13] Dadas as retas
r :
x−1
2
= y
2
= z e s : x−1= y = z
obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.
[14] Sejam P = (4,1,−1) e r : X = (2,4,1)+λ(1,−1,2).
(a) Mostre que P ∉ r .
(b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por P .
[15] Suponha que ax +by + cz +d = 0 seja uma equação geral de um plano pi. Mostre que #«v é
ortogonal a pi.
[16] Obtenha uma equação geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1,0,−1) e tem vetor nor-
mal #«n = (1,−1,0).
[17] Escreva equações paramétricas para a reta r =pi1∩pi2, onde
pi1 : 2x− y −3= 0 e pi2 : 3x+ y +2z−1= 0
[18] Dê uma equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa
pelos pontos A = (1,1,1) e B = (2,1,−1).
[19] Dê uma equação geral do plano que passa pelo P = (1,0,1) e é perpendicular à reta X =
(0,0,1)+λ(1,2,−1).
[20] Decomponha o vetor #«v =−3 #«i +4 #«j −5 #«k paralela e ortogonalmente ao plano
pi :

x = 1−λ
y =−2
z =λ−µ
(λ,µ ∈R)
[21] Prove que o lugar geométrico dos pontos de E3 que são equidistantes de A = (1,−1,2) e B =
(4,3,1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é
perpendicular ao segmento AB .
18
15 Posições relativas de retas e planos
Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ) ortogonal.
[1] Estude a posição relativa das retas
r : X = (−1,2,−2)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : x = y −1= z
[2] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : X = (1,3,6)+µ(0,2,6) (µ ∈R)
[3] Estude a posição relativa das retas
r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s :
{
x+ y + z = 6
x− y − z =−4
[4] Determine m para que as retas r : X = (1,0,2)+λ(2,1,3) e s : X = (0,1,−1)+λ(1,m,2m) sejam
coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa.
[5] Determine α e β para que as retas
r : X = (1,α,0)+λ(1,2,1) (λ ∈R) e s :
{
x = z−2
y =βz−1
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
[6] Sejam #«u = (d ,e, f ) e #«w = (g ,h, i ) vetores diretores de um plano pi. Se #«v = (m,n, p) é um vetor
diretor de uma reta r , então r −tpi se, e somente se,∣∣∣∣∣∣
d e f
m n p
g h i
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[7] Dados o plano pi : X = (1,1,3)+λ(1,−1,1)+µ(0,1,3), com λ,µ ∈R, e a reta
r : X = (1,1,1)+α(3,2,1) (α ∈R),
estude a posição relativa de r e pi.
[8] Calcule m para que a reta r : X = (1,1,1)+λ(2,m,1) seja paralela ao plano
pi : X = (0,0,0)+α(1,2,0)+β(1,0,1).
[9] Calcule m para que a reta r :
x−1
m
= y
2
= z
m
seja transversal ao plano pi : x+my + z = 0
[10] Estude a posição relativa dos planos
pi1 : X = (1,0,−1)+λ(−1,1,1)+µ(1,0,1) e pi2 : X = (0,0,0)+α(1,0,1)+β(−1,0,3)
19
[11] Estude a posição relativa dos planos pi1 : 2x− y + z−1= 0 e pi2 : 2x− y + z+10= 0.
[12] Mostre que os planos pi1 : X = (0,0,0)+λ(−1,m,1)+µ(2,0,1) e
pi2 : X = (1,2,3)+α(m,1,0)+β(1,0,m)
são transversais, para todo m ∈R.
[13] Sejam r e s retas reversas, passando por A e B , e por C e D , respectivamente. Obtenha uma
equação vetorial da reta t , concorrente com r e s, e paralela ao vetor #«v = (1,−5,−1). Dados
A = (0,1,0), B = (1,1,0), C = (−3,1,−4) e D = (−1,2,−7).
[14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , que passa pelo ponto P = (2,−1,1) e é concorrente
com as retas reversas
r :
{
y + z = 5
x+2z = 9 e s :
{
2x− z =−1
y −2z = 1
[15] Considere os planos pi1 : 2x = y , pi2 : x = 0, pi3 : z = 0, e seja pi4 o plano determinado pelas retas
r : X = (1,2,0)+λ(1,2,−1) e s :
{
x = 0
y + z = 1
Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume.
16 Perpendicularidade e Ortogonalidade
Observação: Nesta seção está fixado um sistema de coordenadas ortogonal (O,
#«
i ,
#«
j ,
#«
k ).
[1] Verifique se as retas r e s são ortogonais nos seguintes casos:
(a) r : X = (1,3,0)+λ(0,−7,5) e s : x−12 =
y−3
5 = z7
(b) r : x−42 =
y−2
3 = z+4−5 e s :

x = 2+3λ
y =−5−2λ
z = 1−λ
[2] Ache as equações na forma simétrica da reta r que passa por P = (−1,3,5) e é perpendicular
ao plano pi : x− y +2z−1= 0.
[3] Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas:
r :

x = 2+λ
y =λ
z =−1+λ
e s :
{
x+ y = 2
z = 0
[4] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB , e que inter-
cepta a reta s, onde pi : 2x− y +3z−1= 0, A = (1,0,1), B = (0,1,2), s : X = (4,5,0)+λ(3,6,1).
20
[5] Verifique se r é perpendicular a pi nos seguintes casos:
a) r :

x = 1+3λ
y = 1−3λ
z =λ
e pi : 6x−6y +2z−1= 0.
b) r :
{
x− y − z = 0
x+ y = 0 e pi : 2x−2y +4z = 1.
[6] Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi nos casos:
a) P = (1,−1,0) e pi : X = (1,−1,1)+λ(1,0,1)µ(1,1,1);
b) P = (1,3,7) e pi : 2x− y + z = 6.
[7] Ache uma equação geral do plano pi e é perpendicular à reta r no casos:
a) P = (0,1,−1) r : X = (0,0,0)+λ(1,−1,1);
b) P = (1,1,−1) r :
{
x−2y + z = 0
2x−3y + z−1= 0
[8] Ache o ponto simétrico de P = (1,1,−1) em relação à reta r : x+23 = y = z.
Observação: Dizemos que o ponto P ′ é o simétrico de P em relação a reta r (ao plano pi) se o
ponto médio do segmento PP ′ pertence a reta r (ao