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na forma
A′u2+B ′uv +C ′v2+D ′u+E ′v +F ′ = 0 (3)
(a) Mostre que [
D ′
E ′
]
=
[
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
][
D
E
]
.
(b) Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por rotação, isto é, se (2) é trans-
formada em (3) por meio de uma rotação, então
A+C = A′+C ′ e B 2−4AC =B ′2−4A′C ′.
(c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A−λ B/2B/2 C −λ
∣∣∣∣= 0, (4)
são reais, quaisquer que sejam A,B e C .
(d) Mostre ainda que λ1 =λ2 apenas se A =C e B = 0, e neste caso, λ1 =λ2 = A =C .
(e) Conclua que, se A2+B 2+C 2 6= 0 não pode ocorrer λ1 =λ2 = 0.
(f) Mostre que A+C é a soma da raízes de (4) e −B
2−4AC
4
é o produto delas.
(g) Conclua que A′ e C ′ são raízes de (4), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto.
25
[9] Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por uma mudança de coordenadas da
forma [
x
y
]
=
[
h
k
]
+
[
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
][
u
v
]
.
Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação seguida de uma
rotação (roto-translação).
20 Cônicas
[1] Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1,0), F2 = (1,0) e o eixo maior
medindo 10.
[2] Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num dos eixos coorde-
nados, e passa por A e B .
(a) A = (3,2); B = (1,4) (b) A = (5,2); B = (2,4)
[3] Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse
9x2+16y2 = 100.
[4] Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
(a) os vértices (±2,0), e os focos (±3,0);
(b) os vértices (±15,0), e as assíntotas 5y =
±4x;
(c) b = 4, e as assíntotas 2y =±3x (focos no
eixo O y);
(d) os focos (±5,0), e as assíntotas 2y =±x;
(e) as assíntotas y = ±x, e um ponto da hi-
pérbole, (5,9);
(f) os focos (±5,0), e o comprimento L = 92
da corda por um dos focos, perpendicu-
lar a F1F2.
[5] Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço.
(a) y2 = 16x;
(b) y2+28x = 0;
(c) x2+40y = 0;
(d) 5y2 = 12x;
(e) 2x2 = 7y ;
(f) 7x2 = 15y .
[6] Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
(a) A = (2,3), x = 0
(b) A = (3,1), y +3= 0
(c) A = (−4,−2), 2x+ y = 3
Sugestão: Use translações e rotações.
Enunciado das cinco questões seguintes: Determine a equação da circunferência em cada
caso:
26
[7] que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (−1,1)
[8] circunscrito ao triângulo de vértices (7,3), (2,8) e (5,7).
[9] concêntrico ao círculo 4x2+4y2−16x+20y +25= 0 e tangente à reta 5x+12y = 1.
[10] que tem seu centro sobre a reta 4x−5y = 3 e é tangente às retas 2x−3y = 10 e 3x−2y =−5.
[11] que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x−5y +18 = 0 uma corda de comprimento
6.
[12] O ponto (3,1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a reta y+6= 0. Deter-
mine a equação de E sabendo que sua excentricidade é
c
a
=
p
2
2
.
[13] Determine os pontos da elipse x
2
100+
y2
36 = 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi-eixo
OX positivo seja igual a 14.
[14] Determine a equação da família de elipses com centro (2,3), reta focal paralela ao eixo-OX e
excentricidade
c
a
= 1
2
.
[15] Determine a equação da elipse que passa por (1,3), (−1,4), (0,3−
p
3
2 ) e (−3,3), sabendo que
seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
[16] Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e passa pelo ponto
(2,1).
[17] Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2,1) e (4,1) e excentricidade
c
a
= 2p
3
.
[18] Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x
2
4 −
y2
9 = 1 e a reta 9x+2y =
24.
[19] Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto (2,3) e um dos
focos no ponto (2,5).
[20] Determine os valores de k de modo que a equação
(x−4)2
9+k +
y2
5+k = 1 represente uma hipér-
bole. Esboce a curva para k =−7 e dê os focos, a excentricidade e = c
a
e as assíntotas.
[21] Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta a curva em ape-
nas um ponto.
[22] Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola x2+16y = 0. Ve-
rifique que a diretriz da parábola tangencia a circunferência.
[23] Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela interseção da reta
x−2y +3= 0 com a parábola.
[24] Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e diretriz 4x+3y = 1.
[25] Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1.
27
[26] Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixo-OX e passa pelos pontos
( 32 ,−1), (0,5) e (−6,7).
Enunciado das cinco questões seguintes: Identifique os principais elementos das
parábolas em cada caso:
[27] x2−8y = 0;
[28] 2y2+5x+8y −7= 0;
[29] 3y2+7y −6= 0;
[30] 9x2−42x+49= 0;
[31] 3y2−2y +1= 0.
Enunciado das duas questões seguintes: Determine a equação da parábola com:
[32] Foco F = (−3
4
,0) e diretriz x = 34 .
[33] Vértice V = (−1,−3) e diretriz x =−3
[34] Verifique que a equação do segundo grau 10y2+8x−30y −9= 0 é uma parábola, determine
o vértice, o foco e a equação da diretriz.
[35] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos equidistantes à circun-
ferência x2+ y2 = 1 e ao eixo-OX .
[36] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que são centros das
circunferências tangentes simultaneamente à reta y = 1 e à circunferência x2+ y2 = 9.
21 Superfícies
[1] Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1,0,0), (0,1,0), ( 12 ,
1
2 ,
p
2
2 ), (0,0,1).
Enunciado das quatro questões seguintes: Ache as equações das seguintes superfícies:
[2] O cilindro com geratriz perpendicular ao plano x y e cuja diretriz é a parábola y = x2.
[3] O elipsóide obtido girando a elipse x
2
2 +
y2
4 = 1 ao redor do eixo maior.
[4] O cone obtido girando a reta y = ax+b, z = 0 ao redor dos eixo dos y .
[5] O cone obtido girando a reta x = t , y = 2t , z = 3t ao redor da reta x =−t , y = t , z = 2t .
Enunciado das dez questões seguintes: Identificar as quádricas cujas equações sejam:
[6] x2− y2+ z2 = 0
28
[7] x2− y2+ z2 = 1
[8] x2− y2+ z2 =−1
[9] x2−4y2 = 0
[10] x2−4y2 = 4
[11] 2x = y2+ z2
[12] 9y = x2
[13] 4z = y2−x2
[14] x2+4y2+9z2 = 25
[15] x2− y2 = z
Enunciado das cinco questões seguintes: Usando as translações e rotações dos eixos,
identifique as superfícies cujas equações sejam:
[16] 4x2+ y2+4z2−8x−2y −24z+44= 1
[17] 2x2+4y2+ z2−8y − z+ 614 = 0
[18] 4x2+ y2− z2+12x−2y +4z = 12
[19] 2x2− y2+3z2+1= 0
[20] y2+2x− z = 0
Cálculo Diferencial
22 Limites e Continuidade
[1] Prove que f (x)= 1x é contínua em todo p 6= 0.
Enunciado das trinta questões seguintes: Encontre os limites indicados se existirem:
[2] lim
x→1
(
x3+x2+5x+1) r esp. : 8
[3] lim
x→2
x2+5x−4
x2−5 r esp. :−10
[4] lim
x→6
x2−36
x−6 r esp. : 12
[5] lim
x→2
x−2p
2x−4 r esp. : 0
[6] lim
x→0
x
2−p4−x r esp. : 4
[7] lim
x→1
2−p3+x
x−1 r esp. :−
1
4
[8] lim
x→2
p
2x2−3x+2−2p
3x2−5x−1−1
r esp. : 514
[9] lim
x→+∞
(
5x3−3x) r esp. :+∞
29
[10] lim
x→−∞
2x2−1
x2−1 r esp. : 2
[11] lim
x→−∞
3x
x2−3 r esp. : 0
[12] lim
x→−∞
x2+x+1
(x+1)3−x3 r esp. :
1
3
[13] lim
x→+∞
(p
x2+3x+4−x
)
r esp. : 32
[14] lim
x→0
sen3x
2x
r esp. : 3/2
[15] lim
x→0
senx
4x
r esp. : 1/4
[16] lim
x→0
t g 2x
3x
r esp. : 2/3
[17] lim
x→0
t g 3x
t g 5x
r esp. : 3/5
[18] lim
x→0
sen3x− sen2x
senx
r esp. : 1
[19] lim
x→0
sen4x
sen3x
r esp. : 4/3
[20] lim
x→0
1−cos x
senx
r esp. : 0
[21] lim
x→0
1−cos2x
sen3x
r esp. : 0
[22] lim
x→0
1−cos4x
x
r esp. : 0
[23] lim
x→2 3
(
x2−4
x−2
)
r esp. : 81