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Lista 1 e 2

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[24] lim
x→1 e
(
x−1p
x−1
)
r esp. : e2
[25] lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)2x
r esp. : e2
[26] lim
x→−∞
(
1+ 1
x
)x
3 r esp. : e
1
3
[27] lim
x→+∞
(
1+ 1
x
)x−3
r esp. : e
[28] lim
x→0 (1+4x)
1
x r esp. : 2/3
[29] lim
x→2−
3x
x−2 r esp. :+∞
[30] lim
x→0−2
(
1
x
)
r esp. : 0
[31] lim
x→0−
4
1+2
(
1
x
) r esp. : 4
Enunciado das três questões seguintes: Determine todas as assíntotas verticais e
horizontais do gráfico de f:
[32] f (x)= 1
(x−5)2 r esp. : v : x = 5, h : y = 0
[33] f (x)= x+3
x−1 r esp. : v : x = 1, h : y = 1
[34] f (x)= x
2
x2−4 r esp. : v : x = 2, x =−2, h : y = 1
Enunciado das duas questões seguintes: Verifique se as funções abaixo são contínuas nos
pontos indicados:
[35] f (x)= x
2−9
x−3 em x=3 resp.:não é contínua
30
[36] f (x)= 3x−5 em x=2 resp.:é contínua
Enunciado das três questões seguintes: Determine lim
x→2 f (x) em cada caso:
[37] lim
x→2
[
f (x)−x]= 10
[38] lim
x→2
[
x f (x)
]= 8
[39] lim
x→2
4x
f (x)
= 12
5
Enunciado das três questões seguintes: Para cada uma das funções a seguir, calcule f (xo),
lim
x→x−o
f (x) e lim
x→x+o
f (x):
[40] f (x)=

|x|
x
, x 6= 0
0, x = 0
, xo = 0
[41] f (x)=

x−1, x < 0
5, x = 3
8−x x > 0
, xo = 3
[42] f (x)=

x2+1, x > 2
5, x = 2
7x−9, x < 2
, x0 = 2
[43] Detemine os valores de a e b para os quais a função
f (x)=

x2−4, x <−1
ax+b, −1≤ x < 2
4−x2, x ≥ 2
é contínua, qualquer que seja x ∈R.
[44] Seja f :R→R a função definida por
f (x)=
{
2(x−4), se x < 1
kx x ≥ 1 . Determine k, de modo que f seja contínua em x = 1.
[45] Calcule lim
x→2
[
1
x−2 +
x−7
x2+x−6
]
.
[46] Calcule lim
x→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1.
Enunciado das quatro questões seguintes: Calcule o limite:
[47] lim
x→−∞
3
√
4x2+6x+3
x2−5
[48] lim
n→∞
(
2n+3
2n+1
)n+1
[49] lim
x→1
3
x−1
4 −1
sen[5(x−1)]
[50] lim
x→0
6x− sen2x
2x+3sen4x
31
[51] Usando um teorema adequado, demonstre que
lim
x→0 x
n sen
(1
x
)
= 0,
onde n é um número inteiro poistivo par.
[52] Calcule o limite da função dada por
f (x)= |x|
x
.
[53] Baseado na questão anterior, responda se a função tem limites laterais em x = 0.
[54] Seja
f (x)=
{ p
2−x
4 se x < 2
0 se x = 2
Verifique se esta função possui limite em x = 2. Caso não possua justifique sua resposta.
[55] Seja
f (x)=
{
x+1 se x ∈Q
−x+1 se x ∈R−Q
Verifique se esta função possui limite em algum ponto. Em qualquer um dos casos, possui ou
não, justifique sua resposta.
[56] Mostre que se a > 1 e β ∈R, então
(a) lim
x→∞
ax
x
=+∞
(b) lim
x→∞
ax
xβ
=+∞
Enunciado das vinte questões seguintes: Calcule o limite:
[57] lim
x→0
(1+x)3− (1+3x+3x2)
x4+x3 ;
[58] lim
x→2
x2−4
x3−2x2+x−2;
[59] lim
x→a
x2− (a+1)x+a
x3−a3 ;
[60] lim
x→1
( 1
1−x −
3
1−x3
)
;
[61] lim
h→0
(x+h)3−x3
h
.
[62] lim
x→0
p
1+x−1
3
p
1+x−1;
[63] lim
x→1
p
x−1
3
p
x−1;
[64] lim
x→0
p
1+x−p1−x
x
;
[65] lim
h→0
p
x+h−px
h
;
[66] lim
h→0
3px+h− 3px
h
.
[67] lim
x→∞
2x2−3x−4
4p
x2+1
;
[68] lim
x→∞
100x
x2−1; ;
32
[69] lim
x→∞
x2−5x+1
3x+7 ;
[70] lim
x→∞
x2
10+xpx ;
[71] lim
x→∞
2x+3
x+ 3px .
[72] lim
x→∞
2x2−3x−4
4p
x2+1
;
[73] lim
x→∞
100x
x2−1; ;
[74] lim
x→∞
x2−5x+1
3x+7 ;
[75] lim
x→∞
x2
10+xpx ;
[76] lim
x→∞
2x+3
x+ 3px .
23 Função Logarítmica
[1] Calcule.
(a) lim
x→+∞ log3 x.
(b) lim
x→0+
ln x.
(c) lim
x→0+
log 1
3
x.
(d) lim
x→+∞ ln
x
x+1.
(e) lim
x→+∞[ln(2x+1)− ln(x+3)]
(f) lim
x→+∞[x ln2− ln(3
x +1)]
(g) lim
x→1 ln
x2−1
x−1
24 Limites Fundamentais
A presente seção fará uso dos seguintes limites:
lim
x→0
senx
x
= 1
e
lim
x→∞
(
1+ 1
x
)x = e
[1] Calcule lim
x→0
x2
sin x
;
Enunciado das quinze questões seguintes: Calcule os limites abaixo usando a primeira
fórmula dada acima:
[2] lim
x→2
senx
x
;
[3] lim
x→∞
senx
x
;
[4] lim
x→0
sen3x
x
;
[5] lim
x→0
1− cosx
x2
; .
[6] lim
x→a
senx− sena
x−a ;
[7] lim
x→a
cosx− cosa
x−a ;
[8] lim
x→0
ar csenx
x
;
[9] lim
h→0
sen(x+h)− senx
h
;
[10] lim
x→0
1−pcosx
x2
.
33
Enunciado das questões seguintes: Calcule o limite.
[11] lim
x→∞
(x−1
x+1
)x
;
[12] lim
x→0
(2+x
3−x
)x
;
[13] lim
x→∞
( x
x+1
)x
;
[14] lim
x→1
( x−1
x2−1
)x+1
;
[15] lim
x→∞
( 1
x2
) 2x
x+1
.
[16] limx→0(1+ senx) 1x .
[17] lim
x→0(cosx)
1
x ;
[18] lim
x→0(cosx)
1
x2 ;
[19] lim
x→0
eαx −eβx
x
;
[20] lim
x→0
eαx −eβx
sen(αx)− sen(βx) .
[21] limn→∞n
(
a
1
n −1
)
.
[22] limn→0
t g x
x .
Algumas Demonstrações.
[23] Seja f (x) uma função cujo limite quando x tende a a é igual a zero e |g (x)| ≤M , ambas com
o mesmo domínio D . Mostre que o limite do produto destas funções quando x tende para a
também tende para zero.
[24] Use a questão anterior para determinar um exemplo em que o teorema por ser aplicável.
[25] Suponha que, para todo x, |g (x)| ≤ x4. Calcule
lim
x→0
g (x)
x
.
[26] Seja f (x) uma função definida em R, tal que para todo x, | f (x)− f (p)| ≤ M |x −p|2. Calcule,
caso exista,
lim
x→p
f (x)− f (p)
x−p .
[27] Mostre que se f : [a,b]→R é uma função contínua então | f | : [a,b]→R é contínua, isto é, se f
é contínua então o módulo de f também o é. Mostre através de um exemplo que a recíproca
não é verdadeira.
Referência: Boulos, P.; Camargo, I., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2a Edição, Ma-
kron Books, 2004.
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