MATEMÁTICA APLICADA AULA 01

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PROF. NILO
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Os números Naturais foram os primeiros a serem idealizados pelo homem e surgiram da necessidade de relacionar objetos a quantidades. Os elementos que pertencem a esse conjunto são:
O zero num primeiro momento, não era usual, tendo surgido posteriormente, pela necessidade de expressar algo nulo. 
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Um subconjunto do conjunto dos naturais é :
( * ) exclui o zero, logo temos :
Dizem que Matemática é fogo na roupa! Será mesmo?
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Os gráficos ajudam a entender ! 
No comércio a utilização exclusiva dos números Naturais esbarrava na necessidade comercial de diferenciar o Lucro do Prejuízo. 
Os matemáticos resolveram essa deficiência criando o conjunto dos números Inteiros.
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Vejamos agora alguns subconjuntos do conjunto dos inteiros :
Conjunto dos Inteiros não positivos :
Conjunto dos Inteiros não negativos :
Conjunto dos Inteiros não nulos :
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Conjunto dos Inteiros negativos :
Conjunto dos Inteiros positivos :
RETA NUMÉRICA :
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É possível concluir que:
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Com a evolução dos cálculos, o conjunto dos números Inteiros passou a não mais satisfazer algumas operações. Surgiu então um novo conjunto numérico: o dos números Racionais. 
Veja o que acontece quando colocamos o termômetro numa pessoa com febre ou analisamos as temperaturas em certas regiões do planeta, como a Groenlândia, por exemplo!
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São exemplos de números racionais os números decimais, as dízimas periódicas e é claro, os números inteiros, pois todos serão sempre iguais a frações.
Dízimas Periódicas:
SIMPLES
COMPOSTAS
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As Dízimas Periódicas são Números Racionais. Como se sabe, os Números Racionais, são os que se apresentam sob a forma p/q, onde p e q são Números Inteiros, sendo q não nulo por estar no denominador.
As geratrizes são frações sob a forma irredutível, cujo resultado da divisão do numerador pelo denominador, é a própria dízima periódica que assim se chama por possuir uma parte que se repete indefinidamente, chamada de parte periódica.
A Dízima Simples é a dízima que possui apenas parte periódica, à direita da vírgula.
A Dízima Composta é a dízima que possui parte não periódica seguida da parte periódica, à direita da vírgula.
Os dois tipos de dízimas, podem possuir parte inteira.
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Exemplos:
FALSA DÍZIMA, como veremos mais à frente.
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Exemplos de cálculo de geratrizes:
Para deslocar a vírgula para a direita da parte periódica, teremos que multiplicar por 10.
Subtraindo as duas equações, chegamos a:
Divida agora o numerador pelo denominador para fazer a verificação da sua resposta, obtendo a dízima inicial !
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Exemplos de cálculo de geratrizes:
Para deslocar a vírgula para a direita da parte periódica, teremos que multiplicar por 100.
Subtraindo as duas equações, chegamos a:
Tal qual no exemplo anterior, divida o numerador pelo denominador para fazer a verificação da sua resposta.
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Exemplos de cálculo de geratrizes:
Para deslocar a vírgula para a direita da parte periódica, teremos que multiplicar por 1000.
Subtraindo as duas equações, chegamos a:
Pode ocorrer que na simplificação da fração para chegar na forma irredutível, seja mais rápido obtendo o MDC do numerador com o denominador e dividindo-os por esse valor.
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Podemos então por observação concluir que para obter geratrizes de dízimas simples, basta escrever uma fração cujo numerador é a parte periódica e denominador é formado por um número com tantos noves quanto os algarismos da parte periódica. Depois é só simplificar !
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Numa primeira análise, essa dízima seria simples e teria parte periódica = 9.
Para que se tenha uma geratriz, devemos obter uma fração. Temos então um caso de falsa dízima !
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Para deslocarmos a vírgula para a direita da parte não periódica, multiplicaremos por 10, obtendo-se uma dízima simples. Aí é só aplicar o que vimos anteriormente.
Ok?
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Para deslocarmos a vírgula para a direita da parte não periódica, multiplicaremos por 10, obtendo-se uma dízima simples. Aí é só aplicar o que vimos anteriormente.
Legal?
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Vejamos agora alguns subconjuntos do conjunto dos Racionais:
RACIONAIS NÃO NULOS
RACIONAIS NÃO NEGATIVOS
RACIONAIS NÃO POSITIVOS
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RACIONAIS NEGATIVOS
RACIONAIS POSITIVOS
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RETA NUMÉRICA :
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É possível concluir que:
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Alguns números decimais não podem ser escritos na forma de fração. Dessa forma não pertencem ao conjunto dos Racionais, formando o conjunto dos números Irracionais (II ou Q’). Tal conjunto possui números importantes para a Matemática, como o as constantes abaixo. 
Também são Irracionais números representados por radicais cujas respostas possuem infinitas casas decimais, como os citados abaixo.
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Construímos um triângulo retângulo de catetos medindo 1 unidade. Apoiado na hipotenusa, construímos um segundo triângulo retângulo de cateto medindo 1 unidade e assim sucessivamente. Teremos vários triângulos retângulos cujas hipotenusas tem para comprimento alguns números Irracionais da forma raiz de p.
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A reunião dos conjuntos dos números Racionais com o conjunto dos Irracionais, forma o conjunto dos números Reais.
Percebe-se facilmente que o conjunto dos irracionais ( II ou Q’), corresponde à diferença dos conjuntos R  Q ).
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SUBCONJUNTOS DO CONJUNTO DOS REAIS
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OUTROS SUBCONJUNTOS DO CONJUNTO DOS REAIS
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São subconjuntos de IR, indicados por desigualdades.
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INTERVALO ABERTO DE EXTREMIDADES a e b.
INTERVALO FECHADO DE EXTREMIDADES a e b.
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA E ABERTO À DIREITA.
INTERVALO ABERTO À ESQUERDA E FECHADO À DIREITA.
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INTERVALO ABERTO EM a E ILIMITADO À ESQUERDA.
INTERVALO FECHADO EM a E ILIMITADO À ESQUERDA.
INTERVALO ABERTO EM a E ILIMITADO À DIREITA.
INTERVALO FECHADO EM a E ILIMITADO À DIREITA.
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OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS
Seguem os mesmos padrões que os conjuntos vistos anteriormente.
Exemplo :
Dados os conjuntos abaixo, obtenha o que se pede.
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Reunindo os conjuntos dos Racionais e o conjunto dos Irracionais, obtemos o conjunto dos Reais IR.
Também é possível concluir que:
Os Irracionais são os Reais que não são Racionais. 
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Temos finalmente que na resolução de certas equações de 2º grau, o discriminante é menor que zero.
Até agora dizíamos que as raízes eram imaginárias e parávamos a resolução.
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Adotaremos a chamada unidade imaginária.
A solução da equação proposta será :
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CONJUNTOS NUMÉRICOS NO DIAGRAMA DE VENNEULER
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EXEMPLO 01
Dados os números abaixo, coloque-os no interior do conjunto numérico adequado.
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Resp:
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EXEMPLO 02
Calcule simplificando a expressão abaixo.
Resp: 51/73
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EXEMPLO 03
Seja N o menor número inteiro positivo pelo qual devemos multiplicar o número 2520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural não nulo. Qual é a soma dos algarismos desse número N?
Resp: 7
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EXEMPLO 04
Qual é a geratriz da dízima 0,0121121121... ?
Resp: 121/9990
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EXEMPLO 05
Coloque os números abaixo na ordem crescente.
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EXEMPLO 06
Qual é o valor das expressões abaixo?
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EXEMPLO 07
Sendo x = 1, y = 0,05, z = 2 e w = 0,2, calcule o resultado da expressão abaixo.
Resp: 6
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EXEMPLO 08
Qual é a maior das expressões abaixo?
Resp: são iguais.
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EXEMPLO 09
Mostre que o número abaixo é racional.
Resp: mostrar.
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EXEMPLO 10
Dados os conjuntos abaixo, obtenha o que se pede.
Resp: