Revisão de circuitos Eletricos Parte I

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Eletrotécnica Geral 
(Apostila - Parte 1) 
DLSR / JCFC 
Universidade Estadual Paulista 
Faculdade de Engenharia 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Revisão 01: jan / 2010 
 Mauro Guimarães 
 FEELT / UFU 
ii 
SUMÁRIO 
1 Componentes de Circuitos.............................................................................. 1/7 
1.1 Corrente.............................................................................................................. 1/7 
1.2 Tensão................................................................................................................. 1/7 
1.3 Fontes................................................................................................................. 2/7 
1.4 Resistência.......................................................................................................... 3/7 
1.5 Lei de OHM........................................................................................................ 3/7 
1.6 Potência e Energia Elétrica................................................................................. 4/7 
1.7 Circuitos Abertos e Curtos-Circuitos.................................................................. 6/7 
 
2 Leis de KIRCHHOFF...................................................................................... 1/5 
2.1 Introdução........................................................................................................... 1/5 
2.2 Leis da Tensão de Kirchhoff.............................................................................. 1/5 
2.3 Leis da Corrente de Kirchhoff (LCK)................................................................ 2/5 
2.4 Montagem e Solução das Equações................................................................... 2/5
2.4.1 Aplicação............................................................................................................ 2/5 
2.5 Ligações Série-Paralelo...................................................................................... 3/5 
2.6 Ligações ∆ - Υ.................................................................................................... 4/5 
2.7 Divisor de Corrente e Divisor de Tensão............................................................ 4/5 
 
3 Teoremas de Circuitos..................................................................................... 1/13 
3.1 Teorema da Superposição.................................................................................. 1/13 
3.2 Teoremas de Thévenin e de Norton.................................................................... 3/13 
3.3 Análise por Correntes de Malha........................................................................ 5/13 
3.4 Análise pelas Tensões nos Nós (Nodal)............................................................. 8/13 
3.5 Teorema de Millman.......................................................................................... 10/13
3.6 Teorema da máxima transferência de Potência................................................. 12/13
 
4 Análise de Circuitos em Corrente Alternada (CA)....................................... 1/25 
4.1 Elementos de Circuitos....................................................................................... 1/25 
4.1.1 Indutores e Indutância........................................................................................ 1/25 
4.1.1.1 Associação de Indutores..................................................................................... 2/25 
4.1.1.2 Análogo Mecânico: Massa ou Inércia................................................................ 3/25 
4.1.1.3 Potência e Energia.............................................................................................. 3/25 
4.1.1.4 Aplicação............................................................................................................ 3/25 
4.1.1.5 Inconvenientes.................................................................................................... 3/25 
Sumário iii
4.1.2 Capacitores e Capacitância................................................................................ 3/25 
4.1.2.1 Associação de Capacitores................................................................................. 4/25 
4.1.2.2 Análogo Mecânico: Constante de Mola............................................................. 4/25 
4.1.2.3 Potência e Energia............................................................................................. 4/25 
4.1.2.4 Aplicação........................................................................................................... 4/25 
4.2 Tensão e Corrente Senoidais.............................................................................. 5/25 
4.2.1 Tensão e Corrente Senoidal................................................................................ 5/25 
4.2.2 Valores Característicos de Tensão e Corrente de uma Onda Alternada............. 7/25 
4.3 Números Complexos.......................................................................................... 9/25 
4.3.1 Forma Retangular............................................................................................... 9/25 
4.3.2 Forma Polar........................................................................................................ 10/25
4.3.3 Conversão entre as Duas Formas........................................................................ 10/25
4.3.4 Operações com Números Complexos................................................................. 10/25
4.4 Fasores................................................................................................................ 11/25
4.5 Elementos de Circuito no Domínio da Freqüência............................................ 12/25
4.5.1 Resistor............................................................................................................... 12/25
4.5.2 Indutor................................................................................................................ 13/25
4.5.3 Capacitor............................................................................................................ 13/25
4.5.4 Impedância......................................................................................................... 14/25
4.5.4.1 Diagrama de Impedâncias.................................................................................. 15/25
4.5.5 Admitância......................................................................................................... 16/25
4.6 Solução de Circuitos em CA.............................................................................. 17/25
4.6.1 Associação em Série de Impedâncias................................................................. 17/25
4.6.2 Associação em Paralelo de Impedâncias............................................................ 18/25
4.6.3 Equivalência de Fontes...................................................................................... 19/25
4.6.4 Método da Superposição.................................................................................... 19/25
4.6.5 Circuito Equivalente de Thévenin...................................................................... 21/25
4.6.6 Método das Correntes de Malha........................................................................ 22/25
4.6.7 Método da Tensão nos Nós................................................................................ 23/25
4.6.8 Conversões ∆⇒ Υ............................................................................................. 24/25
 
5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada (CA)..................................... 1/11 
5.1 Potência Senoidal............................................................................................... 1/11 
5.1.1 Circuito Resistivo...............................................................................................2/11 
5.1.2 Circuito Puramente Reativo............................................................................... 2/11 
5.1.3 Circuitos Intermediários..................................................................................... 3/11 
Sumário iv
5.1.4 Potência Ativa e Potência Reativa..................................................................... 4/11 
5.2 Triângulo de Potências....................................................................................... 4/11 
5.2.1 Potência Complexa............................................................................................. 5/11 
5.3 Correção do Fator de Potência........................................................................... 8/11 
 
 
I COMPONENTES DE CIRCUITOS 
Neste capítulo serão apresentados os conceitos básicos utilizados no estudo dos circuitos 
elétricos, principalmente em circuitos de corrente contínua. 
I.1 Corrente 
A proposição básica de um circuito elétrico é a de mover ou transferir cargas através de 
um percurso especificado. A este movimento de cargas dá-se o nome de Corrente Elétrica. 
Quando 6,242x10
18
 elétrons atravessam em um segundo, com velocidade uniforme, uma 
seção reta de um condutor qualquer, diz-se que este escoamento de carga corresponde a 1 
ampere. A unidade de corrente é o Ampere (A). Formalmente pode-se definir Corrente Elétrica 
como a taxa de variação no tempo da carga, ou seja: 
dt
dq
i = . 
Na teoria de circuitos a corrente é geralmente imaginada como movimento de cargas 
positivas. Esta convenção foi estabelecida por Benjamin Franklin que imaginou que a corrente 
trafegava do positivo para o negativo. Sabe-se atualmente que a corrente num condutor metálico 
representa o movimento de elétrons que se desprendem das órbitas dos átomos do metal. Desta 
forma deve-se distinguir a corrente convencional usada na teoria de redes elétricas, dada pelo 
movimento de cargas positivas, da corrente eletrônica dada pelo movimento de elétrons. 
I.2 Tensão 
O escoamento de cargas descrito anteriormente é causado por uma “pressão” externa 
ligada à energia que as cargas possuem em virtude de suas posições. A esta pressão dá-se o nome 
de Energia Potencial Elétrica. No interior de uma bateria, reações químicas fazem com que 
cargas negativas (elétrons) se acumulem em um dos terminais, enquanto as cargas positivas 
(íons) se acumulam no outro, ficando estabelecido desta maneira uma diferença de potencial 
elétrico entre os terminais. 
Cargas podem ser levadas a um nível de potencial mais alto através de uma fonte externa 
que realize trabalho sobre elas, ou podem perder energia potencial quando se deslocam em um 
circuito elétrico. Em qualquer destes dois casos, pode-se dizer por definição que: “Existe uma 
diferença de potencial de 1 volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de energia de 1 
joule (J) quando se desloca uma carga de 1 coulomb (C) entre estes dois pontos”, ou seja, 
quando for necessário gastar uma quantidade de energia igual a 1 joule para deslocar uma carga 
de 1 coulomb de uma posição x para uma posição y qualquer, a diferença de potencial, ou 
tensão, entre estes dois pontos é de 1 volt. A diferença de potencial entre dois pontos de um 
circuito é portanto um indicador da quantidade de energia necessária para deslocar uma carga 
entre dois pontos. De um modo mais geral a diferença de potencial entre dois pontos é definida 
por: 
Q
W
E = 
Unidades SI: Trabalho: Joule (J) 
 Carga: Coulomb (C) 
 Tensão: Volt (V) 
Eletrotécnica Geral – I. Componentes de Circuitos 
© DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 4/7 
se movimentem mesmo com a presença desta força de oposição é a diferença de potencial, ou 
tensão. A relação existente entre estes três componentes, tensão, corrente e resistência foi 
introduzida por George Simon Ohm e é dada por: 
!)(ohms,
I
E
R = 
O circuito da figura abaixo apresenta estes três componentes sendo que a direita se 
apresenta as três formas, com respectivas unidades, nas quais se pode representar as relações 
entre essas três grandezas. 
 
+ 
- E 
+
V
- 
R 
I 
 
!)(ohms,
I
E
R = 
V)(volts,RIE = 
A)(amperes,
R
E
I = 
I.6 Potência e Energia Elétrica 
Potência é uma grandeza que mede quanto trabalho (conversão de energia de uma forma 
em outra) pode ser realizado em um certo período de tempo. Como exemplo pode-se citar um 
grande motor elétrico que por ter uma potência maior que a de um pequeno motor elétrico 
consegue converter mais rapidamente uma mesma quantidade de energia elétrica em energia 
mecânica. 
Como a energia, no sistema internacional, é medida em Joules (J) e o tempo em segundos 
(s), a unidade da potência é joules/segundo (J/s). Esta unidade em sistemas elétricos e eletrônicos 
recebeu o nome de watt (W), ou seja: 1 watt = 1 joule/segundo (J/s). A definição de potência 
média pode ser expressa da seguinte maneira: 
J/s)undojoules/segW,(watts,
t
W
P = 
A potência consumida por um componente ou sistema elétrico pode ser calculada em 
termos da tensão aplicada ao componente e da corrente que o atravessa. Este fato é demonstrado 
a seguir. 
t
Q
V
t
VQ
t
W
P
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
)(
, como 
t
Q
I
∆
∆
= , tem-se que VIP = (watts). Utilizando-se a 
expressão de Ohm para a resistência pode-se obter duas outras fórmulas para a potência. 
(watts)
2
R
V
P
R
V
VVIP =⇒


== 
( ) (watts)2 RIPIIRVIP =⇒== 
Um sistema pode ceder ou consumir potência. Para distinguir entre estas duas 
possibilidades deve-se observar a polaridade da tensão aplicada e o sentido da corrente que 
atravessa o sistema. A razão na qual um componente absorve ou gera energia representa a 
potência absorvida ou desenvolvida pelo componente. Uma fonte gera potência e uma carga 
absorve. 
Eletrotécnica Geral – I. Componentes de Circuitos 
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+
+
B
-
I
A
-
I 
 
IEPIEP
IEP
volvidadeabsorvida
absorvida
..
B)(elemento.
sen =⇒−=
=
 
Absorção negativa corresponde à emissão positiva, logo o elemento A deve ser uma 
fonte. 
Sejam 3 elementos de circuitos sujeitos a uma corrente I conforme apresentado no 
circuito abaixo. As polaridades das tensões são apresentadas no circuito. 
+
E B
B
A I
-
+
-
+ -
EC CEA
 
Quando a corrente entra em um elemento 
do circuito no terminal marcado com +, o 
elemento absorve energia. Caso contrário o 
elemento fornece energia. Portanto, na figura ao 
lado, os elementos B e C são elementos que estão 
absorvendo energia, e são denominados 
Elementos Passivos. 
Exemplo 3: É possível ligar um resistor R = 1 kΩ com potência nominal Pn = 2W em 110V? 
E = 110 V 
R = 1 kΩ 
P =
E
R
2
= 
110
1000
2
= 12,1 W > 2W ⇒ NÃO 
Todo processo ao qual esteja relacionada uma transformação na forma da energia 
(elétrica x mecânica) está associado a perdas. Para avaliar o nível no qual estas perdas ocorrem 
no processo define-se o conceito de Eficiência (η). Desta maneira a eficiência relaciona a 
potência na saída de um sistema com a potência na entrada, ou seja: 
entrada
saída
P
P
=η 
A Energia Elétrica é dada pelo produto da potência elétrica absorvida ou fornecida pelo 
tempo sobre o qual esta absorção ou fornecimento ocorre: 
W (joules) = P (watts) x t (segundos) 
Unidade: W: energia: Watt - segundo ou Joules (Ws- J) 
 Watt - hora (Wh) 
 Kilowatt - hora (kWh) 
Exemplo 4: 
Quantidade Equipamento Potência (W) Tempo (h/dia) 
1 Geladeira 300 2 
2 Lâmpada 100 4 
1 Chuveiro 3000 1 
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Qual o consumo mensal? 
C = 30 ( 2 x 300 + 100 x 8 + 3000) 
C = 132 kWh 
I.7 Circuitos Abertos e Curtos-Circuitos 
Denomina-se Circuito Aberto ao circuito que tem dois pontos não conectados ao longo do 
mesmo. Desta maneira a resistência equivalente deste circuito é R = ∞, pois o fluxo de corrente 
que passa por ele é zero para qualquer tensão finita aplicada sobre o mesmo. 
10
-
+
E
R = 
-
+∞∞∞∞
I = 0
15 V
ΩΩΩΩ
E = ?
 
Denomina-se Curto-Circuito a um circuito que tem seus terminais fechados por um 
condutor qualquer. Se este condutor for ideal se tem R=0 provocando nos terminais deste uma 
tensão nula quando um fluxo finito de corrente passar sobre ele. Normalmente o “condutor” que 
fecha o circuito tem uma resistência muito baixa e as considerações acima são válidas. 
-
+ R = 0 (fio ideal) 
E = 0 I = ?
 
Nem todos os curto-circuitos e circuitos abertos são desejados. Freqüentemente, um ou 
outro é um defeito no circuito que ocorre como resultado de uma falha de um componente 
devido a um acidente ou ao uso incorreto do circuito. A seguir apresentam-se alguns casos nos 
quais falhas não são desejadas. 
Exemplo 5: Circuito aberto desejado: lâmpada apagada. 
-
+
S
 
Exemplo 6: Circuito aberto indesejado: fusível aberto 
-
+
chuveiroI
abre o circuito
 
Eletrotécnica Geral – I. Componentes de Circuitos 
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Exemplo 7: Curto-circuito (prática) 
R
i
-
+ R = 0 
E = 0
E
A
B
AB
I
 
Numa situação de curto-circuito, devido ao elevado valor da corrente de curto, a fonte de 
tensão poderá sofrer danos se não tiver um dispositivo de proteção 
Exemplo 8: Tipo de curto-circuito acidental 
-
+
I
 
Dependendo do valor da tensão E, o choque provocado pela passagem da corrente I 
poderá ser mais perceptível ou não. O limiar da sensação humana está entre 1 mA C.A e 
5 mA C.C. Acima de 20 mA pode ocorrer perda dos sentidos e morte. 
II LEIS DE KIRCHHOFF 
II.1 Introdução 
Neste capítulo serão apresentados métodos para se determinar a solução de circuitos de 
corrente contínua, através da utilização de leis fundamentais. A seguir são apresentadas algumas 
definições básicas que serão utilizadas ao longo deste capítulo. 
• Ramo de um circuito: é um componente isolado tal como um resistor ou uma fonte. Este 
termo também é usado para um grupo de componentes sujeito a mesma corrente. 
• Nó: é um ponto de conexão entre três ou mais ramos (entre 2: junção). 
• Circuito fechado: é qualquer caminho fechado num circuito. 
• Malha: é um circuito fechado que não tem um trajeto fechado em seu interior. 
d f
c
-
+
e
a b
a - b - e - d - a ! malha 
b - c - f - e - b ! malha 
a - b - c - f - e - d - a ! circuito fechado 
b, e ! nó 
a, d, c, f ! junção 
b - c - f - e ! ramo 
d - a - b ! ramo 
II.2 Leis da Tensão de Kirchhoff 
A soma algébrica (os sinais das correntes e quedas de tensão são incluídas na adição) de 
todas as tensões tomadas num sentido determinado (horário ou anti-horário), em torno de 
um circuito fechado é nula. 
R
1
-
+
R
2
R
3
E
1
E
2
E
3
I
E
Convenção: todas as tensões que estão 
no sentido da corrente são positivas. 
E - E1 - E2 - E3 = 0 
E = E1 + E2 + E3
Utilizando-se a lei de Kirchhoff tem-se: 
E = R1I + R2I + R3I
E = (R1 + R2 + R3) I 
Re = R1 + R2 + R3 ! Resistência Equivalente
Para o cálculo da corrente deve-se fazer o seguinte: I =
E
R e
Pela observação das equações apresentadas acima, pode-se dizer que a resistência 
equivalente de uma associação de resistores ligados em série é dada por: 
∑= N
1=i
ie RR ! N: nº de resistências em série 
Eletrotécnica Geral – II. Leis de Kirchhoff
© DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 2/5
II.3 Lei da Corrente de Kirchhoff (LCK) 
A soma algébrica (soma das correntes com os sinais) de todas as correntes que entram 
num nó é nula. 
4
I
3
I
1
I
2
I
Convenção: As correntes que entram em um nó são 
consideradas como sendo positivas e as que saem 
são consideradas como sendo negativas. 
-I1 - I2 + I3 + I4 = 0 
Aplicando esta lei ao circuito abaixo tem-se: 
1
I
1
G
2
G
3
G E
2
I
3
I
S
I
IS - I1 - I2 - I3 = 0 
IS = I1 + I2 + I3 I = G E 
IS = G1 E + G2 E + G3 E 
IS = (G1 + G2 + G3) E 
Ge = G1 + G2 + G3 ! Condutância Equivalente
Logo a condutância total de resistores ligados em paralelo é igual a soma das 
condutâncias individuais.
Se for interessante trabalhar com resistências tem-se: 
∑=⇒++== N
1=i ie321e
e
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
G
Para o caso especial de apenas 2 resistores em paralelo tem-se: 
R
R R
R R
e
1 2
1 2
=
+
II.4 Montagem e Solução das Equações 
II.4.1 Aplicação 
Para exemplificar a utilização destas associações será utilizado o circuito abaixo 
(esquerda). Para este circuito serão calculados V e I utilizando-se as leis de Kirchhoff. 
+-
-
+
6 V
2 ΩΩΩΩ
3 ΩΩΩΩ 2 ΩΩΩΩ 3 ΩΩΩΩ
2 A
8 V
V
I
A primeira coisa a ser feita deve ser 
arbitrar as correntes no circuito. Desta 
maneira tem-se: 
3 ΩΩΩΩ
I
- +
I 4
I 1
I
2 A
8 V-
+
6 V
2 ΩΩΩΩ
V
3 ΩΩΩΩ
A B
C
3
I 2
2 ΩΩΩΩ
Eletrotécnica Geral – II. Leis de Kirchhoff
© DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 3/5
Aplicando a LTK por ordem, na malha da qual a fonte V faz parte, na malha da qual a 
fonte de 6V faz parte e na malha composta pelos resistores de 3 Ω, 2 Ω e 2 Ω, tem-se: 
V + 3.I2 - 8 = 0 (1) 
6 – 3.I4 = 0 ! I4 = 2A (2) 
8 – 2.I3 – 3I4 = 0 ! I3 = 1A (3) 
Aplicando agora a LCK aos nós A, B e C tem-se: 
Nó C: I4 + I1 + I2 - I = 0 (4) 
Nó A: I3 - 2 + I - I4 = 0 (5) 
Nó B: 2 - I1 - I2 - I3 = 0 (6) 
Observando-se a resistência de 2 Ω, na qual uma tensão de 8V está aplicada, pode-se 
determinar a corrente I1. Desta maneira tem-se: I1 = 8/2 = 4A 
Pode-se observar que (6) é a combinação linear de (4) e (5). Aliando esta observação a 
teoria se pode afirmar n nós produzirão n-1 equações. Para finalizar a solução deve-se fazer o 
seguinte: 
Usando (6) → I2 = - 3A 
Usando (1) → V = 8 - 3I2 = 17V V = 17V 
Usando (5) → I = 2 - I3 + I4 = 3 A I = 3A 
II.5 Ligações Série-Paralelo 
Os exemplos apresentados a seguir mostram exemplos de redução de circuitos utilizando-
se técnicas de redução série-paralelo. 
Exemplo 1: Utilizando as fórmulas deduzidas para a Re, determinar a resistência total entre os 
pontos A e B. 
RT
A
B
16 Ω 3 Ω 8 Ω
14 Ω 9 Ω
5 Ω 24 Ω 4 Ω
Passo 1: 8 + 4 =12 ! 12//24 = 8
2412
24.12
=
+
Passo 2: 8 + 3 + 9 = 20 
Passo 3: 20//5 = 
20x5
25
4=
Passo 4: RT = 4 + 16 + 14 = 34 Ω
Exemplo 2: De maneira análoga pode-se utilizar as fórmulas de associações série-paralelo para 
determinar a corrente I e a potência P fornecidas ao circuito para uma tensão E de 
50 V. 
E
15 Ω 10 Ω
20 Ω 5 Ω
-
+
I
5 Ω
Passo 1: Determinar a resistência equivalente !
10 + 5 + 5 = 20 ! 20//20 = 10 
Passo 1.1: 10 + 15 = 25! Re = 25 Ω
Passo 2: Determinar a corrente I ! E = RT . I !
I = 50/25 = 2A 
Passo 3: Determinar a potência P ! P = E . I !
P = 50.2 = 100W 
Eletrotécnica Geral – II. Leis de Kirchhoff
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II.6 Ligações ∆∆∆∆ - Y 
Quando se está resolvendo um circuito, pode-se encontrar uma ligação em ∆, o que 
impossibilita a aplicação das fórmulas de redução série-paralelo na determinação da resistência 
Re. Para facilitar a solução pode-se lançar mão da conversão ∆ - Y que é apresentada a seguir. 
B
R
2
3
R
R1R
A
C
R
R
A
B C
A
B C
R
R R
R R R
A
1 2
1 2 3
=
+ +
 R B =
R R
R R R1 3
1 2 3+ +
R
R R
R R R
C
2 3
1 2 3
=
+ +
II.7 Divisor de Corrente e Divisor de Tensão 
Circuitos divisores de corrente ou tensão são circuitos que através de arranjos particulares 
de resistências permitem que se obtenha uma tensão ou corrente em função deste arranjo pré-
determinado. A seguir são apresentados os circuitos divisores de tensão, que se aplicam a 
resistores em série e os divisores de corrente, que se aplicam a resistores em paralelo. 
a) Divisor de Tensão 
n1
R
1
E
RR
2
E
entradasaída
n
i
i
E
eeqüivalentaresistênci
medidaésaídaaqualdaatravésaresistênci
E
E
R
R
E
.
.
1
1
1
=
=
∑
=
Particularizando para 3 resistores tem-se: 
E
RRR
R
E
R
ER
IRE
REI
RRRR
e
e
e
.
.
.
321
1
1
1
11
321
++
=
==
=
++=
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b) Divisor de corrente: 
n1
I
I
I I
2
I
1R R nR2
entradasaída
0
1
1
.
.
I
eequivalentacondutânci
medidaésaídaaqualnaacondutânci
I
I
G
G
I nn
i
i
=
=
∑
=
Particularizando para 2 resistores tem-se: 
I
R
R R
.I1
2
1 2
=
+
I
R
R R
.I2
1
1 2
=
+
Exemplo 3: Determinar para o circuito da esquerda a tensão E, e para o circuito da direita a 
corrente I. 
-
+
10 V
15 Ω
E 10 Ω
5 A 5 Ω 10 Ω 20 Ω
25 Ω
I
VE 210
50
10
=×=
AI
I
43,15
35,0
1,0
5
05,01,02,0
1,0
=×=
×
++
=
III TEOREMAS DE CIRCUITOS 
III.1 Teorema da Superposição 
Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um 
elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes 
produzidas por cada fonte independente operando isoladamente. 
Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no 
cálculo da potência. 
Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O 
procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é 
apresentado seguir. 
A
B
B
A
-
+
B
A
E = 0
B
I = 0
A
Curto-Circuito 
EAB = 0 
RAB = 0 
Circuito-Aberto
I = 0 
RAB = ∞
Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3.
1
-
+
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I
1
I
2
I
3
18 A140 V 2
E
Passo 1: Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se: 
-
+
´
´
´´
1´
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I
1
I
2
I
3
140 V 2E
E1
’ = 20 I1
’
E2
’ = 6 I2
’= 5 I3
’
LTK ! 140 = E1
’ + E2
’
LCK ! I1
’ = I2
’ + I3
’
Fazendo as substituições tem-se: 
E
20
E
6
E
5
1
'
2
'
2
'
= +
Eletrotécnica Geral – III. Teoremas de Circuitos
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3E 10E 12E1
'
2
'
2
'
= +
3E E1
'
2
'
= 22 ! ´2
´
1 .3
22
EE =
LKT ! ´2.13
22
140 E


+=
Tem-se então: 
E2
’ = 16,8V 
E1
’ = 123,2V 
I1
’ = 6,16A
I2
’ = 2,8A 
I3
’ = 3,36A 
Passo 2: Devido à fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tensão tem-se: 
´´
´´
´´
´´
´´
1
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I
1
I
2
I
3
18 A
2
E
E1
”= 20 I1
”
E2
”= 6 I2
” = 5 I3
”
LTK ! -E1
” - E2
” = 0 
LCK ! I1
” + 18 = I2
” + I3
”
Fazendo as substituições tem-se: 
E
20
18
E
6
E
5
1
"
2
"
2
"
+ = +
3E1
” + 1080 = - 10E1
” - 12E1
”
E1
” = - 43,2V 
E2
” = 43,2V 
I1
”= − = −
43,2
20
2,16A 
I2
” =
43,2
6
7,20A=
I3
” = 8,64A
5
43,2
=
Passo 3: Devido à superposição tem-se: 
E1 = E1
’ + E1
” = 112,2 - 43,2 = 80V 
E2 = E2
’ + E2
’’ = 60V 
I1 = I1
’ + I1
” = 4,0A 
I2 = 10A 
I3 = 12A 
P2 = 6 (2,8)
2 + 6 (7,2)2 = 358W 
Levando em consideração este valor de P2, pode-se observar que o Teorema da 
Superposição não é válido em relação a potência. Para tanto se deve calcular a potência 
dissipada utilizando as fórmulas usuais. Tem-se então: 
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WPouWP
R
V
PouIRP
600
6
60
60010.6
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
====
==
Pode-se observar que a potência dissipada calculada pela fórmula usual não é igual ao 
valor encontrado aplicando-se o teorema da superposição comprovando a afirmação feita 
anteriormente.
Exercício: resolver o exemplo utilizando o teorema da superposição e os conceitos de divisor de 
tensão e corrente que foram apresentados no capítulo anterior. 
III.2 Teoremas de Thévenin e Norton 
Para que se aplique estes teoremas a uma rede qualquer esta deve ser dividida em duas 
partes: X e Y. A rede X deve ser linear e bilateral (2 terminais) e a rede Y deve ser composta por 
uma resistência e/ou uma fonte e/ou qualquer ramo. O teorema especifica que a parte X pode ser 
substituída por um circuito equivalente de Thévenin ou de Norton. Após o cálculo deste circuito 
equivalente, a parte Y deve ser novamente agregada a este circuito equivalente para a solução 
final.
Th
R
YX
-
+
V
Th
X
A
B
B
A
Circuito Equivalente de Thévenin 
Eth : Tensão de Thévenin 
Rth : Resistência de Thévenin 
X
N
G
YX
I
A
B
B
A
N
Circuito Equivalente de Norton 
IN : corrente de Norton 
GN: condutância de Norton 
A seguir apresenta-se como calcular os valores dos circuitos equivalentes de Thévenin e 
Norton.
• Eth é a tensão em circuito aberto, medida nos terminais AB. É calculada resolvendo-se 
o circuito correspondente considerando as fontes ativas e as resistências do circuito 
em relação a estes terminais; 
• RTh é a resistência vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são 
anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto); 
• IN é a corrente através do curto-circuito aplicado aos terminais AB no sentido A!B; 
• GN é a condutância vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são 
anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto). 
Eletrotécnica Geral – III. Teoremas de Circuitos
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-
+
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
18 A140 V I
Para este exemplo considera-se a resistência de 6 Ω como sendo o circuito Y. Para 
calcular o circuito equivalente de Thévenin segundo a metodologia apresentada deve-se 
retirar o circuito Y (a resistência de 6Ω).
140 V
X
-
+
5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
18 A 6 ΩΩΩΩ
A
B
B
A
Y
Cálculo do Equivalente de Thévenin: 
Th
R
-
+
Th
B
A
E
Por superposição calcula-se ETh:
ETh = E
’
 + E
”
E
5
25
.140 28V' = =
I1
”
 = 
5 18
25
18
5
.
= A
E
”
 = 
18
5
.20 72V=
ETh = 100 V 
Solução alternativa por Kirchoff:
LTK ! 140 - 20I1 - 5I2 = 0 
LCK ! I1 - I2 + 18 = 0 
ETh = 140 - 20I1
140 - 20 I1 - 5 (I1 + 18) = 0 
140 - 25 I1 - 90 = 0 
I1 = 2A 
ETh = 140 - 40 = 100 V 
Calculando agora RTh:
RTh = 20//5 ! Ω= 4
25
20x5
Após ter-se calculado VTh e RTh pode-se 
finalmente calcular a corrente no resistor de 
6 Ω:
-
+
B
A
6 ΩΩΩΩE = 100V
Th
R = 4 ΩΩΩΩ
Th
I
100
10
= − ! I 10A= −
III.3 Análise por Correntes de Malha 
Este tipo de análise resulta da aplicação das leis de Kirchhoff a circuitos com várias 
malhas. As leis de Kirchhoff são aplicadas às correntes das diversas malhas respeitando sentidos 
arbitrados (preferencialmente o sentido horário). 
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Para exemplificar este procedimento será utilizado o circuito apresentado na figura 
abaixo. 
-2
R1 +
-
+
-
+
Ea
b
EcR4
R R3
R5
I1 I2
I3
E
Aplicando-seas leis de Kirchhoff tem-se: 
Ea - R1I1 - R4 (I1 - I2) = 0 
-R2I2 + Eb - R5 (I2 - I3) - R4 (I2 - I1) = 0 
-R3I3 - EC - R5 (I3 - I2) = 0 
Reescrevendo a primeira equação tem-se: 
Ea = (R1 + R4) I1- R4I2
Pode-se observar que R1 e R4 são as resistências que pertencem a malha 1 (resistência 
própria) e que -R4 (o coeficiente de I2) é o negativo da resistência existente entre a malha 1 e a 
malha 2 (resistência mútua). 
Estendendo o mesmo raciocínio para as outras malhas tem-se: 
Eb = (R2 + R4 + R5) I2 - R4I1 - R5I3
-Ec = (R3 + R5) I3 - R5I2
Escrevendo os resultados na forma matricial tem-se: 
















+−
−++−
−+
=








3
2
1
535
55424
441
c
b
a
I
I
I
RRR0
RRRRR
0RRR
E-
E
E
 ou seja: IRE .=
A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-
se na teoria matemática, pode-se montar diretamente as matrizes E , R e I : 
♦ Montagem direta de E : 
Ei : é dada pela soma algébrica das fontes de tensão ao se percorrer a malha no 
sentido arbitrado para a corrente. A tensão será positiva se a corrente sair pelo 
terminal positivo da fonte. 
♦ Montagem direta de R : 
• Os elementos da diagonal principal – Rii – são obtidos pela soma das resistências 
dos ramos da malha i; 
• Os elementos fora da diagonal principal – Rij – tem o valor da resistência 
equivalente do ramo comum à malha i e j com sinal (-). 
♦ Montagem direta de I : 
A matriz I é o Vetor de corrente de malhas a serem determinadas, arbitradas num 
mesmo sentido. 
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Exemplo 4: Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo: 
+
-
+
1 Ω
I1 2
I
56 V 8 V
10 Ω
2 Ω
-
I 3
2 Ω 4 Ω
5 Ω
Utilizando-se as regras 
apresentadas acima, se obtém a 
seguinte equação matricial: 
56
8
0
9 5 2
5 10 1
2 1 13






=
− −
− −
− −












I
I
I
1
2
3
Calculando o determinante tem-se: ∆ = det 
9 5 2
5 10 1
2 1 13
775
− −
− −
− −






=
Para o cálculo de I1, deve-se substituir a primeira coluna da matriz ∆ pelo vetor das 
tensões (analogamente para o cálculo de I2 e I3). Desta maneira tem-se: 
∆1= det 7760
1310
1108
2556
=








−
−
−−
Considerando calculadas ∆1 e ∆2, pode-se calcular as correntes utilizando a Regra de 
Cramer: 
I1
1
=
∆
∆
 I2
2
=
∆
∆
 I3
3
=
∆
∆
I1 = 10A I2 = 6A I3 = 2A 
Casos Particulares:
• Existência de fontes de corrente em paralelo com uma condutância (resistência) !
efetuar a conversão de fontes 
-
+
1 Ω
5 Ω 4 Ω 2 A 
1 Ω
5 Ω
4 Ω
8 V ≡≡≡≡
• Corrente arbitradas em qualquer sentido ! aplica-se as mesmas regras só que na 
montagem de R , os elementos fora da diagonal principal terão sinais positivos se as 
correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido. 
Eletrotécnica Geral – III. Teoremas de Circuitos
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R
Th
E
Th
B
A
-
+
R
L
I
I
E
R R
Th
Th L
=
+
A potência absorvida pela carga será: 
( )P R I
R E
R R
E
4R
1
R R
R R
L L
2 L Th
2
Th L
2
Th
2
Th
Th L
Th L
= =
+
= −
−
+








A potência transferida PL será máxima quando RL = RTh, ou seja, quando a carga for igual ao 
valor da resistência equivalente de Thévenin do circuito. Neste caso a potência em RTh será
Th
2
Th
R4
E
 e assim pode-se afirmar que quando a potência transferida é a máxima, a eficiência do 
circuito é de 50%. 
IV ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CA 
IV.1 Elementos de Circuitos 
IV.1.1 Indutores e Indutância 
O Indutor é um elemento de circuito cuja tensão é diretamente proporcional à taxa de 
variação da corrente que o percorre. Esta tensão é calculada por: 
e L
di
dt
=
i
eL
A constante de proporcionalidade L é a auto-indutância ou 
simplesmente, a indutância do elemento. A unidade da 
indutância é Henry (volt-segundo/ampere) e o símbolo é H. 
Se a tensão é conhecida e deseja-se determinar a corrente, tem-se: 
i =
1
L
e dt∫
Esta equação mostra que a corrente na indutância não depende do valor instantâneo da 
tensão, mas do seu passado, isto é, da integral ou soma dos produtos tensão-tempo para todos os 
instantes anteriores ao de interesse. Para muitas aplicações, quando se quer a corrente na 
indutância após um processo de chaveamento (usualmente ocorre em um instante arbitrário 
chamado de t = 0) a equação anterior pode ser escrita como: 
i =
1
L
e dt i (0)∫ +
onde i(o) =
1
L
e dt
−∞
∫o é a medida da história da indutância anterior ao processo de 
chaveamento. 
Como conseqüência: 
L
i(t)
I 0 = I 0L
i(t)
No instante t = 0.
Um indutor magnetizado corresponde a um 
indutor desmagnetizado em paralelo com uma 
fonte de corrente no instante t = 0. 
Voltando à equação de definição de L, dtdiLeL .= pode-se verificar que se a corrente i
for constante tem-se 0=dtdi o que implica em 0=Le .
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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Logo um indutor é um curto-circuito em relação à corrente contínua. Deve-se ressaltar 
entretanto que somente após a corrente em um indutor se tornar constante é que ele irá se 
comportar como curto-circuito. 
Uma aproximação de e L
di
dt
L = pode ser dada por 
t
i
LL ∆
∆
≅e . Da análise destas duas 
fórmulas pode-se verificar que a corrente em um indutor não pode variar instantaneamente (dar 
saltos), ou seja uma indutância evita variações instantâneas da corrente da mesma forma que a 
massa de um automóvel o impede de parar ou arrancar instantaneamente. 
iL
tNÃO
O terceiro exemplo de variação de 
corrente na figura ao lado implica que 
∆t = 0 o que conduz a e = ∞ que é 
impossível pois não existe fonte de 
tensão infinita. 
t
Le
Para a tensão não há nenhuma restrição.
IV.1.1.1 Associação de Indutores 
Indutores em série: 
1e
2e
L
1
L
2
i
e e e L
di
dt
L
di
dt
T 1 2 1 2= + = +
e (L L )
di
dt
T 1 2= +
LT = L1 + L2
Logo, uma associação em série de indutores tem o mesmo comportamento que uma 
associação de resistores em série. 
Indutores em paralelo:
i
i 1
2
i
L
1 L
2
e0
( ) 


+=
+
=
+=
=
dt
di
dt
di
L
dt
iid
Le
iii
dt
di
Le
TT
T
2121
210
0
..
.
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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Como cada derivada pode ser simplificada utilizando-se: 
2
2
1
1 e
L
e
dt
di
L
e
dt
di
== tem-se: 
2121
111
.
LLLL
e
L
e
Le
T
T +=⇒



+= .
Logo, uma associação em paralelo de indutores tem o mesmo comportamento que uma 
associação de resistores em paralelo. 
IV.1.1.2 Análogo Mecânico: Massa ou Inércia 
Diferente da energia resistiva, que é perdida em forma de calor, a energia indutiva é 
armazenada do mesmo modo que a energia cinética é armazenada numa massa em movimento. 
IV.1.1.3 Potência e Energia 
A seguir são apresentadas as fórmulas para o cálculo da potência consumida por um 
indutor e também a energia armazenada. 
Potência: )(. watts
dt
di
LiiepL ==
Energia: ∫∫ ∫ === diiLdt.dtdiLipdtwL ! 2L iL21w = (joules) 
IV.1.1.4 Aplicação 
Indutores são utilizados em diversas aplicações. Entre estas se pode citar sua utilização na 
partida de lâmpadas fluorescentes, onde os indutores têm como função provocar uma sobre-
tensão devido a uma abertura no circuito. Como a corrente não pode variar rapidamente,quem 
varia é a tensão. 
IV.1.1.5 Inconvenientes 
Os indutores apresentam os seguintes inconvenientes: 
• pesados e volumosos; 
• resistência não é desprezível; 
• indução de tensões indesejáveis em outros elementos. 
IV.1.2 Capacitores e Capacitância 
O Capacitor é o elemento de circuito que apresenta uma corrente diretamente 
proporcional à derivada da tensão em relação ao tempo. Esta corrente é calculada por: 
dt
de
Ci .C =
i
eC
A constante de proporcionalidade C é a capacitância, que é uma 
medida da capacidade do capacitor em armazenar carga. A 
unidade da capacitância é Farad e o símbolo C. Uma 
capacitância de 1 F é muito grande e dificilmente encontrada em 
aplicações práticas. Os valores usuais são da ordem de µF - 
microfarad (10
-6
 F) ou ρF - picofarad (10-12 F). 
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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Exemplo 1: Traçar as curvas (formas de onda) da tensão, potência instantânea e energia 
armazenada em função do tempo para cada um dos circuitos abaixo. 
i(t) e L = 10 H i(t) e C = 0,1 F
t t
4321 0,5 0,7
t t
i(A) i(A)
e(V) e(V)
2
20
20
t t
40
p(W) p(W)
20
w(J) w(J)
t t
20 5
a-) b-)
Em a-): 
2..
2
1
.
.
iLw
ieP
dt
di
Le
L
=
=
=
Em b-): 
2..
2
1
.
..
1
eCw
ieP
dti
C
e
C
=
=
= ∫
IV.2 Tensão e Corrente Senoidais 
No Capítulo III foram apresentados diversos métodos para solucionar circuitos excitados 
por uma fonte constante de tensão ou corrente. A seguir são introduzidas as características da 
excitação senoidal bem como uma maneira para trabalhar com circuitos excitados em AC sem 
necessitar operar com as funções trigonométricas. 
IV.2.1 Tensão e Corrente Senoidal 
Uma tensão ou corrente alternada senoidal, varia com o tempo como mostrado na figura 
abaixo. 
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00
X
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
Y
T
T: período (s) 
f: freqüência (1/s) 
SI: f = HERTZ (Hz) 
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t [ms]
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
e
2
 [
V
]
30°: ângulo de defasagem 
t = 0 ! e2 = 20 sen 30° = 10V 
30° !
pi
6
 rad = 0,5236 rad !
1,39ms
377
0,5236
t −=−=
Logo e2 está adiantado de 30° em relação a e1
(exemplo 3). A diferença de fase entre e1 e e2 é 
de 30° e portanto e1 e e2 estão defasadas de 30°. 
Exemplo 4: Forma de onde e período para a tensão e3 = 20 sen (377t - 30°) 
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t [ms]
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
e
2
 [
V
]
-30°: ângulo de defasagem 
t = 0 ⇒ e2 = 20 sen (- 0,5) ! e2 = - 10V 
377t - 
pi
6
= pi ! t = 9,72 ms 
Logo e3 está atrasado de 30° em relação a e1
(exemplo 3) ou de 60° em relação a e2 (exemplo 4). 
IV.2.2 Valores Característicos de Tensão e Corrente de uma Onda Alternada. 
Em uma onda alternada, os seguintes valores característicos podem ser ressaltados: 
• Valor Instantâneo: valor em um instante qualquer do tempo; 
• Valor de Pico (valor máximo): mais alto valor instantâneo de tensão ou corrente em 
cada ciclo. Pode ser definido para a parte positiva ou negativa da onda. 
• Valor de Pico a Pico: como o próprio nome diz é o valor entre os picos máximos e 
mínimos de uma onda. Para uma onda simétrica Vpp = 2 Vp e para uma onda não 
simétrica: Vpp = E Ep p+ −+
• Valor Médio: uma função periódica v(t), com um período T, tem um valor médio 
Vmédio dado por:
Vmédio = dt(t)v
T
1
T
o
∫
• Valor Eficaz (Vef) ou Valor Médio Quadrático (VRMS-Root Mean Square): uma função 
periódica v(t), com um período T, tem um valor eficaz Vef dado por: 
dt(t)v
T
1
V
T
0
2
ef ∫≅
No caso de uma senoide v(t) = A sen(wt) ! V
A
2
ef =
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Exemplo 5: Valores instantâneos e de pico. 
0 2 4 6 8
t
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e
Ep-
Ep+
E1
t1
E2
t2
E1 e E2 valores instantâneos. 
Ep+ : valor de pico positivo 
Ep- : valor de pico negativo 
Exemplo 6: Valor médio. 
=


= ∫ ∫pi pi
pi
pi
o
2
dwt0+dwtwtsen
2
1
médiaE
pipi
pi
pi
pi
pi
1
2
2
=0)cos+cos(
2
1
=0+wt)cos(
2
1
o
==
−=
−= ∫
média
média
média
E
E
E
Exemplo 7: Determinar o valor de pico de uma tensão alternada que deve alimentar uma 
resistência R para que a potência dissipada seja a mesma caso ela fosse alimentada 
por uma fonte de tensão contínua de 100V. 
)sen(wtEe p=
)sen(wt
R
E
i
p
=
iep .= ! )(sen 2
2
wt
R
E
p
p
=
Em corrente contínua tem-se: Pcc = 100
100 10000
x
R R
W=
Em corrente alternada tem-se: 
dwt.wtsen
R
E
2
1
P 2
2
o
2
p
CA ∫= pipi = ∫
pi
pi
2
o
2
2
p
dwt.wtsen
R
E
2
1
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2
2
2wtsen
-wt
=dwt
2
2wtcos-1
=dwtwtsen2 ∫∫
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


 


−=
pi
pi
2
0
2
p
CA
2
2wtsen
wt
R4
E
P ! ( )
R2
E
02
R4
E
2
p
2
p
=−pi
pi
Para que a potência dissipada seja a mesma deve-se ter: 
PCC = PCA ! 141,42VEE20000
2R
E
R
10000
p
2
p
2
p
=⇒=⇒=
Assim, pode-se afirmar que uma tensão alternada com valor de pico de 141,42 V ao 
alimentar uma resistência R dissipa a mesma potência que uma tensão contínua de 100 V 
aplicada a esta resistência. 
Observações sobre o exemplo:
Ao se calcular o valor eficaz correspondente a este valor de pico tem-se: 
V100
2
42,141
==efE (pois a onda é uma senoide). 
Este resultado permite dizer que um volt eficaz de tensão alternada dissipa a mesma 
potência que um volt de tensão contínua. 
Exemplo 8: Determinar o valor eficaz da forma de onda abaixo. 
( )
=


= ∫ ∫pi pi
pi
pi
0
2
2
2
2
ef dwt0+dwtwtsen
2
50
E
( ) ( )[ ] ( )50
4
50
4
0
2 2
pi pi
pipiwt - 2sen 2wt
o
= −
E Vef = =
50
2
25 
IV.3 Números Complexos
Os números complexos são introduzidos nesta seção a fim de fornecer uma ferramenta 
que permita calcular rapidamente somas algébricas de valores de tensão e corrente alternadas que 
são expressos por valores senoidais. 
Um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano referido a um 
sistema de eixos cartesianos, sendo que o ponto determina um vetor a partir da origem do plano. 
O eixo horizontal é chamado de eixo real e o eixo vertical de eixo imaginário. Os números 
complexos podem ser apresentados de duas maneiras, retangular e polar. 
IV.3.1 Forma Retangular 
A representação retangular de um número 
complexo Z, é: Z = X + jY, onde X e Y são números reais. 
O símbolo j indica o componente imaginário. A figura ao 
lado mostra a representação retangular deste número Z. 
Desta maneira pode-se dizer que i1j =−= ,
Re (Z) = X e Im (Z) = jY. 
Im
Z = X + jYY
X ℜ
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IV.3.2 Forma Polar 
A forma polar utiliza um módulo e um ângulo na 
representação de um número complexo. O ângulo é 
sempre medido a partir do eixo real positivo no sentido 
anti-horário (um sentido horário indica um ângulo 
negativo). A figura ao lado mostra a representação em 
forma polar de Z = r∠θ.
r
Z
θ
Im
ℜ
IV.3.3 Conversão entre as Duas Formas 
As seguintes equações são utilizadas para se passar de uma forma a outra: 
• Retangular ! Polar: 22 YXr += e 
X
Y
tg 1−=θ.
• Polar ! Retangular: θcos.rX = e θsen.rY = .
Duas outras formas podem ainda ser utilizadas na representação de números complexos: 
• Forma exponencial: Z = r.e
jθ
• Forma trigonométrica: Z = r (cos θ + j sen θ)
Exemplo 9: Representar o número complexo Z = 4 +j3 nas formas polar, exponencial e 
trigonométrica. 
Polar: Z = 5∠36,87°
Exponencial: º87,36.5 jeZ =
Trigonométrica: 5.(cos 36,87° + j sen 36,87°) 
IV.3.4 Operações com Números Complexos 
Considerando dois números complexos, Z1 = X1 + jY1 cuja representação polar é 11 θ∠r e 
Z2 = X2 + jY2 com representação polar 22 θ∠r apresenta-se abaixo as fórmulas utilizadas para a 
realização das diversas operações (considerando que 1−=j ): 
• Complexo Conjugado de Z1: X1 –jY1 ou 11 θ−∠r ;
• Inverso ou Recíproco de Z1:
jYX +
1
 ou 
θ∠1
1
r
;
• Adição Z1 + Z2: ( ) ( )2121 YYjXX +++ ;
• Subtração Z1 - Z2: [ ] [ ]2121 YYjXX −+− ;
• Multiplicação ( ) ( )2121212121 YXXYjYYXXZZ ×−×+×−×=× ou
( )°+∠×=× 212121 θθrrZZ
• Divisão Z1 / Z2:
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
BA
BABA
j
BA
BBAA
+
−
+
+
+
 ou °−∠ )( 21
2
1 θθ
r
r
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Exemplo 14: Determine a impedância equivalente do circuito abaixo sabendo que w = 10 rad/s. 
.
0,001 F
1,0 H
10 Ω
30 ΩZ
10 Ω
Para transformar o circuito deve-se 
primeiramente calcular XC e XL. 
Tem-se então: 
XL = 10 . 1 = 10Ω
XC = 
1
10 0 001
100
. ,
= Ω
O circuito transformado é apresentado 
a seguir. 
.
10 Ω
10 Ω
30 Ω
j10 Ω
-j100 Ω
1Z
!
Z!
2Z
!
Pode-se agora calcular a impedância 1Z! :
!
( )
Z
j
j
j300
40 + j10i
=
+
+ +
=
+30 10 10
30 10 10
300
A seguir a impedância 2Z! :
!Z
j
40 + j10
j400
j102
= +
+
=
+
+
10
300 300 700
40
Pode-se então calcular a impedância 
equivalente Z! :
!
.(
(
Z =
700 + j400
40 + j10
j100)
700 + j400
40 + j10
j100)
−
+ −
!Z =
-j70000 + 40000
40 + j10
1700 - j3600
j1040 +
°∠=
°−∠
°−∠
= 72,425,20
72,6421,3981
26,6058,80622
Z!
IV.5.4.1 Diagrama de Impedâncias 
Conforme apresentado nos itens anteriores, os 
resistores, indutores e capacitores quando representados 
no domínio da freqüência têm associado um ângulo de 
fase. Desta maneira, um resistor tem um ângulo de fase 
θ = 0°, um indutor um ângulo de fase θ = 90° e um 
capacitor um ângulo de fase θ = -90°. Isto eqüivale a dizer 
que em um diagrama de fasores, o resistor está sempre no 
eixo dos reais, a reatância indutiva no eixo imaginário 
positivo e a reatância capacitiva no eixo imaginário 
negativo. 
°∠0R
°−∠ 90CX
°∠90LX
ℜ
Im
A associação destes elementos, seja em série, seja em paralelo irá produzir portanto uma 
impedância eqüivalente onde o angulo de fase estará entre +90° e -90°. Se o ângulo de fase θ for 
positivo será dito que o circuito é indutivo e se este ângulo for negativo que o circuito é 
capacitivo. Se o ângulo de fase θ for igual a zero o circuito é puramente resistivo. 
É importante salientar que a impedância, da mesma maneira que a resistência ou 
reatância não é uma grandeza fasorial visto que um fasor está associado a uma função do tempo 
com um deslocamento de fase particular. Sua representação através de um módulo e um ângulo 
de fase é entretanto extremamente útil como ferramenta na análise de circuitos CA. 
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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Em um circuito CA após a determinação do módulo da impedância este valor pode ser 
utilizado na determinação da corrente do circuito, da mesma maneira que seu ângulo de fase será 
utilizado na determinação da fase da corrente. 
IV.5.5 Admitância 
A condutância já foi definida para circuitos CC como sendo equivalente a 1/R. Para 
circuitos AC define-se a Admitância Y! da seguinte maneira: ZY !! 1= . A admitância tem como 
unidade o Siemens (S). Analogamente à impedância, a admitância é uma medida de quanto um 
circuito “admite” a passagem de uma corrente. 
Ao se tomar a impedância !Z = R + jX (onde R é uma resistência e X uma reatância), a 
admitância equivalente será dada por !Y = G + jB, onde G é denominado Condutância e B 
Suscetância.
Exemplo 15: Calcular a admitância equivalente à seguinte impedância: Z = 3+ j 4Ω .
A impedância Z na forma polar é dada por °∠= 13,535Z! . Tem-se então: 
S
Z
Y 13,5320,0
13,535
11
−∠=
°∠
==
!
!
ou na forma retangular: Y = 0,12 –j0,16, o que indica uma condutância de 0,12 S e uma 
suscetância de –0,16 S. Logo, a suscetância corresponde a uma reatância indutiva é 
negativa. 



+
⇒
+
⇒
22
22
XR
X
-=B-0,16s=B
XR
R
=G0,12s=G
0,16sj-0,12=Y!
Exemplo 16: Calcular a admitância equivalente do circuito abaixo com w = 200 rad/s. 
.
Y 0,15 H 100 µF20 Ω
50 Ω
Para transformar o circuito deve-se 
primeiramente calcular XC e XL. Tem-se então: 
XL = 200x0,15 = 30 Ω
XC = Ω= 50
100200
106
x
O circuito transformado é apresentado a seguir. 
.
20 Ω
50 Ω
Y! j30 Ω -j50 Ω
Passando para condutâncias tem-se: 
.
Y! S20
1
Sj
30
1
−
=
°−∠
S
457,70
1
Sj 01,001,0 +
Pode-se então calcular Y! equivalente: 
°−∠
+−=
457,70
1
30
1
j
20
1
Y!
Y! = 0,05 - j 0,033 + 0,01 + j 0,01 
Y! = 0,06 - j 0,023 S
Y! = °−∠ 97,20064,0
A impedância equivalente é dada por: 
Ω°∠== 97,2056,151 YZ !!
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IV.6 Solução de Circuitos em CA 
Nesta seção os teoremas e leis apresentados nos capítulos anteriores para os circuitos 
CC serão revistos de maneira a aplicá-los aos circuitos CA. 
A lei de Ohm anunciada no primeiro capítulo como sendo IRV .= , neste capítulo será 
enunciada em termos da impedância da seguinte maneira: IZV !!! .= .
A Lei das Tensões de Kirchhoff – LTK enunciada no capítulo dois como: “A soma (os 
sinais das correntes e quedas de tensão são incluídas na adição) de todas as tensões tomadas 
num sentido determinado (horário ou anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula” é 
válida quando se trabalha com circuitos em CA, da mesma maneira que a Lei das Correntes 
de Kirchhoff – LCK “A soma algébrica (soma das correntes com os sinais) de todas as 
correntes que entram num nó é nula. As correntes que entram em um nó são consideradas 
como sendo positivas e as que saem são consideradas como sendo negativas”. 
IV.6.1 Associação em Série de Impedâncias 
A fórmula para o cálculo da impedância eqüivalente de uma associação em série de N 
impedâncias é similar àquela apresentada para os resistores, ou seja: 
Neq ZZZZZ
!"!!!! ++++= 321
Exemplo 17: Para o circuito abaixo calcular a corrente I! e as tensões sobre cada um dos 
elementos que o compõem sabendo que °∠= 050E! e que R = 3 Ω, XC = 3 Ω e 
XL = 7 Ω.
C
.
-
+
E
X
L
XR
.
I
O primeiro passo é determinar Zeq. Tem-se então:
Ω°∠=+=+−=
°∠+°−∠+°∠=
13,53543733
90900
jjjZ
XXRZ
eq
LCeq
!
!
Pode-se agora determinar a corrente: 
A13,5310
13,535
050
−∠=
∠
°∠
==
eqZ
E
I
!
!
!
Pode-se agora calcular a tensão sobre cada um dos elementos utilizando a lei de ohm: 
V13,5330
0313,5310).(
°−∠=
=°∠×−∠==
R
R
V
RIV
!
!!
V13,14330
90313,5310).(
°−∠=
=°−∠×−∠=−=
C
CC
V
jXIV
!
!!
V87,3670
90713,5310).(
°∠=
=°∠×−∠==
L
LL
V
jXIV
!
!!
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Exemplo 22: Para o circuito abaixo, determinar o Equivalente de Thevenin em relação aos 
pontos AB e então a tensão !E1.
-j5 Ω j10 Ω
A
-
+
B
A305 °∠ V9020 °∠1E! 10 Ω
Determinação da Impedância de Thevenin, ThZ
! .
! /Z /j5Th = 10 
!
.(
Z
j5)
10 + j5
Th =
10
!
, ,
ZTh =
∠ °
∠ °
50 90
1118 26 57
Ω
! , ,ZTh = ∠ °4 47 63 43 Ω
Pode-se agora determinar a tensão de Thevenin ThE
! .
-j5 Ω j10 ΩA
-
+
B
V9020 °∠
I!
10 ΩThE!
Utilizando a regra do divisor de tensão 
tem-se: 
! .
, ,
E
20 90
10 j5 j10
Th =
∠ °
− +
=
∠ °
∠ °
10
200 90
1118 26 57
! , ,E VTh = ∠ °17 89 63 43 
Utilizando o Circuito Eqüivalente de Thevenin apresentado abaixo pode-se finalmente 
calcular a tensão !E1 .
A
-
+
B
A305 °∠ V43,6389,17 °∠=
Th
E!
1E
!
Ω°∠= 43,6347,4Z Th!
)305()43,6347,4(43,6389,17E1 °∠°∠+°∠=!
! , , , ,E1 = ∠ °+ ∠ °17 89 63 43 22 35 93 43 
V14,8088,38E
31,38j66,6E
22,31j1,34-16,00j8,00E
1
1
1
°∠=
+=
−+=
!
!
!
IV.6.6 Método das Correntes de Malha 
A única diferença entre o método das correntes de malha apresentando para os circuitos 
CC e o que deve ser utilizado em circuitos AC é que a matriz de resistências dos circuitos CC 
deve ser substituída pela matriz das impedâncias para os circuitos AC. Tem-se então que: 
IZE !!! .= .
Exemplo 23: Determinar a tensão !V para que a tensão sobre a impedância 2 + j 3 Ω da figura 
abaixo seja nula. 
Eletrotécnica Geral – IV. Análise de Circuitos em CA
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3Ω 4Ω
-j4Ω
AZ
!
BZ
!
A C
B
CZ
!
Ω°∠=
°−∠
=
−
×
= 74,2949,1
74,2906,8
12
47
43
j
Z
A
!
Ω°−∠=
°−∠
°−∠
=
−
−×
= 26,6098,1
74,2906,8
9016
47
)4(4
j
j
Z
B
!
Ω°−∠=
°−∠
°−∠
=
−
−×
= 26,6049,1
74,2906,8
9012
47
)4(3
j
j
Z
C
!
Pode-se agora remontar o circuito utilizando as impedâncias calculadas. Tem-se então: 
1Z
!
I
+
C
-
A
V30200 °∠ j1Ω
-j2Ω
B
°−∠ 26,6049,1
°∠ 74,2949,1
°−∠ 26,6098,12 + j1,5Ω
Pode-se então calcular a 
impedância 1Z
! do circuito acima 
começando por cada um dos braços 
em que os pontos B e C são 
intermediários: 
1,98∠-60,26° + j1 = 0,98 - j1,72 + j1 = 0,98 - j0,72 = 1,22∠-36,30° Ω
1,49∠29,74° - j2 = 1,29 + j0,74 - j2 = 1,29 - j1,26 = 1,8∠-44,33° Ω
Ω°−∠=
°−∠
°−∠
=
°−∠+°−∠
°−∠×°−∠
= 54,3973,0
09,4101,3
63,8020,2
33,448,130,3622,1
33,448,130,3622,1
1Z
!
Pode-se agora calcular TZ
! :
76,13,15,1239,540,7360,261,491,5j2ZT jj −++=°−∠+°−∠++=!
Ω°∠=−= 4,48-3,31j0,263,3ZT!
Finalmente pode-se calcular a corrente I. A corrente solicitada não é fasorial. Deve-se 
portanto utilizar somente o módulo da impedância 
T
Z! e da tensão aplicada ao circuito 
final. Tem-se desta maneira: A42,60
3,31
200
=I = .
V POTÊNCIA EM CIRCUITOS CA 
V.1 Potência Senoidal 
-
+ Circuito
Elétrico
i(t)
e(t)
A Potência Instantânea p(t) de um circuito elétrico em corrente alternada é dada por 
)().()( titetp = e a energia líquida fornecida pela fonte entre os instantes t1 e t2 é dada por: 
W(t ) W(t ) e(t).i(t)d(t)2 1
t
t
1
2
− = ∫
A potência p pode ter valores positivos e negativos dependendo do instante considerado. 
Uma potência p positiva indica uma transferência de energia da fonte para o circuito, ao passo 
que, um valor negativo corresponde a uma transferência de energia do circuito para a fonte. 
A potência instantânea )().()( titetp = é dada em função do tempo. Temos portanto que: 
e(t) = Emáx .sen (wt + α)
i(t) = Imáx. .sen (wt + β)
α
β
E!
I!
Ref.
Se adotarmos α - β = φ e mudarmos a 
referência temos: 
φ
E!
I!
Ref.
Adotando a mudança de referência temos: 
e (t) = Emáx sen (wt + φ)
i (t) = Imáx sen wt 
e a potência instantânea p é dada por: p(t) = Emáx sen (wt + φ) . Imáx sen wt. 
Se lembrarmos que: ( )[ ]sen sen cos cos( )α β α β α β= − − +1
2
 e que
α = (wt + φ) e β = wt, tem-se: 
Eletrotécnica Geral – V. Potência em Circuitos CA
© DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 5/11/ 
V.2.1 Potência Complexa 
A potência eficaz absorvida por um elemento passivo sobre o qual é aplicada uma tensão 
de vefef VV θ∠=! ( vjef eV θ. ) e pelo qual passa uma corrente de iefef II θ∠=! ( ijef eI θ. ), foi definida 
como sendo: ( )ivefef IVP θθ −= cos.. . Representando este valor com a fórmula de Euler, tem-se: 
( )[ ]ivjeefef eRIVP θθ −= .. ou ( )iv jefjefe eIeVRP θθ −= .
Na fórmula acima pode-se verificar que a parcela v
j
ef eV
θ
 corresponde ao fasor de tensão. 
Já a parcela i
j
ef eI
θ−
 corresponde ao conjugado do fasor de corrente original. Portanto, tem-se 
que: ( )*. efefe IVRP !!=
Desta maneira, como [ ]SRP e= , pode-se dizer que a Potência aparente complexa, S! é 
dada por: 
*. efef IVS
!!!
=
Pode-se representar a potência aparente em termos dos fasores da tensão e da corrente. 
Tem-se então: 
φφφ ∠+∗ S=senj.E.I+cosIE.=jQP=I.E=S !!!
Como pode ser observado, a potência ativa e a reativa são componentes da potência 
aparente, conforme apresentado acima. 
Fórmulas (E = ERMS I = IRMS):
1. [ ]SR
R
E
I.RcosE.IP e
2
R2 !
==== φ
2. [ ]SI
X
E
IXsenI.EQ m
2
X2 !
==== φ
3. S E.I Z.I
E
Z
P Q
2
2 2
= = = = +2
4.
S
P
E
E
Z
R
cosFP R ==== φ
5.
R
X
E
E
tg
R
X
tg
P
Q
tg 111 −−− ===φ
6. ! ! !S = E .I∗
7. )2cos(.cos.)( φωφ +−= tSStp
8. W(t) = p(t)dt
t
t
1
2∫
Exercícios: 
1. Determinar o ∆ de potências de cada ramo do circuito sendo de 20 W a potência consumida 
no resistor de 2 Ω. Determinar também o ∆ de potência total e o FP. 
1I
!
2Ω
-j5Ω
1Ω
j1Ω
1V
!
I! 2
I! A16,310II.220I.R20 1
2
1
2
1 ==⇒=⇒=
Z1 = + =2 5 5 385
2 2 , Ω
! ! !V Z I1 1 1= !V1 = Z1I1
V1 = 5,385 x 3,16 = 17,02 V 
Eletrotécnica Geral – V. Potência em Circuitos CA
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3. Dado um circuito com V30500=E °∠! e A6010 °∠=I! (valores eficazes) determinar o ∆ de 
potências. 
AIES V3050006010.30500. * −∠=°−∠°∠== !!!
VA)(-30sen5000j+(-30)cos5000=S °!
!S = 4330 - j 2500 VA 
P = 4330 W 
Q = 2500 VAR (capacitivo) 
4330
2500
tg 1-=φ
φ = 30° adiantado 
4330 W
2500 VAR
5000 VA
30°
4. Calcular a corrente na linha, a potência consumida e o FP global de um circuito monofásico 
de distribuição de 110 V, 60 Hz, que alimenta as seguintes cargas em paralelo: 
a. 10 lâmpadas incandescentes de 100 W cada 
b. 20 lâmpadas fluorescentes, que consomem 40W cada lâmpada com reator de 8W 
(cada) com FP global de 0,9 atrasado. 
c. 2 motores de indução que consomem 1 kW com corrente de 12A cada, atrasado em 
relação a tensão. 
d. Um forno elétrico a resistência de 1 kW. 
Adota-se V0110 °∠=E! .
Para a carga a tem-se um circuito puramente resistivo e tem-se: 
FP = 1 
P = 10.100 W = 1000 W 
Q = 0 e S = 1000 VA 
A009,9
0110
01000
.
VA0100001000
**
*
°∠=


°∠
°∠
=



=⇒=
°∠=+=+=
E
S
IIES
jjQPS
a !
!
!!!!
!
Para a carga b tem-se um circuito reativo e tem-se: 
FP = 0,9 (atrasado) ! °== − 84,25)9,0(cos 1bφ
P = 40.20 + 8.20 = 960 W 
Q = P.tg φb = P.tg (cos-1 0,9) = 464,94 VAR 
VA67,106694,464960 2222 =+=+= QPS
VA84,2567,1066 °∠=S!
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A84,2570,9
0110
84,2567,1066
.
**
*
°−∠=


°∠
°∠
=



=⇒=
E
S
IIES b !
!
!!!!
Para a carga c tem-se um circuito reativo e tem-se: 
S = E . I = 110 . 12 = 1320 VA 
VAR63,86110001320PS=Q 2222 =−=−
A75,4024
0110
75,402640
.
VA75,40264063,861.21000.2
**
*
°−∠=


°∠
°∠
=



=⇒=
°∠=+=+=
E
S
IIES
jjQPS
c !
!
!!!!
!
Para a carga d tem-se um circuito puramente resistivo e temos: 
FP = 1 
P = 1000 W 
Q = 0 e S = 1000 VA 
A009,9
0110
01000
.
VA0100001000
**
*
°∠=


°∠
°∠
=



=⇒=
°∠=+=+=
E
S
IIES
jjQPS
d !
!
!!!!
!
A seguir apresenta-se, de forma tabular, os resultados obtidos acima para cada uma das 
cargas, bem como os totais para cada quantidade. 
Carga P(W) Q(VAR) !S (VA) I! (A) 
1 1000 0 °∠01000 °∠009,9
2 960 464,96 (ind) °∠ 84,2566,1066 °−∠ 84,2570,9
3 2000 1723,25 (ind) °∠ 75.402640 °−∠ 75,4000,24
4 1000 0 °∠01000 °∠009,9
Total 4960 2188,21 (ind)°∠ 81,2322,5421 °−∠ 81,2329,49
Pode-se calcular os valores solicitados para conferir com as somas obtidas na tabela 
acima. 
WPTotal 4960=
A81,2328,49
0110
81,2322,5421
.
VA81,2322,542121,21884960
**
*
°−∠=


°∠
°∠
=



=⇒=
°∠=+=+=
E
S
IIES
jjQPSTotal
!
!
!!!!
!
atrasado91,0)81,23cos( =°=FP
V.3 Correção do Fator de Potência 
As alimentações elétricas, a partir de uma demanda instalada são feitas através de três 
fases. Os sistemas industriais em geral possuem um componente indutivo preponderante devido 
ao grande número de motores. Cada carga individual tende a ser uma resistência para um FP 
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unitário ou uma impedância indutiva com FP em atraso. Todas as cargas são ligadas em paralelo 
e a impedância equivalente resulta em uma corrente em atraso e uma potência reativa indutiva Q. 
Se o FP é baixo (menor que 0,92), devido a programa de tarifação das companhias distribuidoras 
de energia a empresa deve pagar uma multa. Para que isto não ocorra existe a necessidade de 
correção do FP. Para corrigir o FP são ligados capacitores ou bancos de capacitores nos 
equipamentos ou no transformador na subestação. 
P
S1
φ1
Q1
P
S2
φ2
Q2
Situação original:
FP1 = cos φ1
P
Q
tg 11 =φ
Q1 = P.tg φ1
Situação final (desejada): 
FP2 = cos φ2
P
Q
tg 22 =φ
Q2 = P tg φ2
A Potência Reativa a ser fornecida pelo capacitor ou banco de capacitores é dada por: Q1
- Q2 = ∆Q.
∆Q = P(tg φ1 - tg φ2)
Do formulário apresentado no início do capítulo tem-se que XEX
2Q = , ou seja, a 
potência capacitiva é dada pelo quadrado da tensão aplicada ao capacitor dividido pelo valor da 
reatância capacitiva. Como os capacitores serão ligados em paralelo com a carga, a tensão 
aplicada aos mesmos será a própria tensão de alimentação: EX = EAL. Tem-se então que 
C
2
AL
X
E
=Q . Como 
fCC
X C
piω 2
11
== o valor do capacitor necessário para efetuar a correção do 
fator de potência é dado por: 
C =
Q
2 f EAL
2
∆
pi
Exemplo: Um transformador de 25 kVA (potência nominal) operando em 127 V, 60 Hz fornece 
12 kW a uma carga com FP = 0,6 atrasado. 
a. Determinar a porcentagem de plena carga que o transformador alimenta. 
b. Desejando-se alimentar cargas com FP unitário com este transformador, quantos 
KW podem ser acrescentados, até que o transformador esteja em plena carga? 
c. Se as cargas adicionais tiverem FP 0,8666 adiantado, quantos kVA dessa carga 
serão necessários para levar o transformador a operar com sua capacidade plena de 
carga? 
d. Nestas duas situações qual o FP final, e qual a capacitância necessária, se for 
preciso, para que o FP fique acima de 0,92 indutivo. 
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a) A plena carga, o transformador opera com 25 kVA. Para se calcular a porcentagem 
de plena carga, deve-se portanto calcular a potência aparente para a carga em questão 
(12 kW com fp=0,6 atrasado) 
Pa = 12 kW fpa = 0,6 atrasado 
φa = cos-1(0,6) = 53,13 ° 
Qa = Pa tg φa = 16 kVAR 
kVA20QPS 2a
2
aa =+=
ST = 25 kVA 
80%=.100%
25
20
%100.% ==
T
a
S
S
12 kW
φa
16 kVAR
Logo o transformador está operando a 
80% de plena carga. 
b) É solicitado a quantidade de carga com fp=1 (puramente resistivas) que se pode 
adicionar (∆P) até que o transformador esteja operando a plena carga (Sb/ST=1). Como 
será adicionada somente carga resistiva, Qb = Qa.
Pa=12 kW
Qa=Qb
∆P
Sb=25 kVA
φb
22
b
22
b
1625P
P
−=
−= bT QS
Pb = 19,2 kW 
∆P = 19,2 - 12 = 7,2 kW 
c) Neste item é solicitada a quantidade de carga com fp=0,8667 adiantado que se deve 
adicionar para que o transformador opere a plena carga (Sc/ST=1). Com fp=0,8667 
adiantado teremos a adição de potência ativa e reativa (PC e QC). A figura abaixo 
apresenta esta situação. 
Pa
Qa
φc
Pc
Qc
Sa
Sc
Sφa
Pc
QT=Qa-QcST
PT=Pa+Pc
φcf
1612 jSa +=!
Carga adicionada: 
φc = cos-1(0,8667) = 30° 
ccc QjPS +=!
Potência aparente a plena carga: 
ST = 25 kVA 
cc QP
tg
73,1
58,0
P
Q
30
P
Q
=tg
c
c
c
c
c
=
⇒==°⇒φ
)Q-(16jP12SSS
S
cccaT
T
++=+=
+=
!!!
TT QP
( )
( )
( )
025,5639,2
32256357,41144625
)Q-(16Q73,112625
)Q-(16P1225
)Q-(16P12S
2
22
2
c
2
c
2
c
2
c
2
2
c
2
cT
=−+
+−+++=
++=
++=
++=
cc
cccc
QQ
QQQQ
Calculando o delta para a equação tem-se: 
∆ = 5,72 + 225 = 230,7 
kVAR40,6
2
19,1539,2
Q c =
+
−=
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Pc = 1,73Qc = 11,08 kW 
kVA8,12QPS 2c
2
cc =+=
d) O fator de potência final dos itens b e c é obtido do triângulo de potência final. Assim 
tem-se: 
atrasado768,0
25
2,19
S
P
)b(FP
b
b
T ===
atrasado923,0
25
08,23
52
PP
)c(FP aT ==
+
=
c
O fator de potência final do item b, é menor que 0,92 e necessita portanto de 
correção.
∆Q = P(tg cos-1 φb- tg cos-1 0,92) 
∆Q = 19,2 (tg cos-1 0,768 - tg cos-1 0,92) 
∆Q = 19,2 (0,834 - 0,426) = 7,83 
C =
Q
2 f E2
∆
pi pi
=
7 830
2 60 127 2
,
. ( )
C = 1288 µF
Portanto deve-se colocar um capacitor de 1288 µF em paralelo com as cargas 
para que o fator de potência final seja igual a 0,92.