Lista de exercícios 1 - 2016.1 - Profa. Andrea Martinho

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Revisa˜o para P1
Prof.a Andrea Martinho
1. Calcule os limites abaixo, justificando
sua resposta.
(a) lim
x→2
√
x+ 1−√3√
5x− 1− 3
(b) lim
x→+∞
√
x2 + 1− x
(c) lim
x→0
cos2x+ 1√
2(x2 + 1)
(d) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
(e) lim
x→0
tg 5x
sen 2x
(f) lim
x→5
2x − 25
x− 5
(g) lim
x→1
sen(pix)
1− x2
2. Use o Teorema do Confronto para deter-
minar o limite:
(a) lim
x→2
sen
[
(x− 2)cos 1
x− 2
]
(b) lim
x→−1
g(x), se
|3g(x)− 5| < 5(x+ 1)2
para todo x ∈ R
(c) lim
x→1
f(ex
2
−1)sen
1
x− 1 se f uma
func¸a˜o cont´ınua com f(1) = 0.
3. Considere as func¸o˜es h(x) = (x − 1)2 e
g(x) = −(x−1)2. Seja f(x) uma func¸a˜o
definida para todo x ∈ R, e que satisfaz
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (∀x ∈ R).
(a) Prove que f(x) e´ continua em x =
1.
(b) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o
f(x) que na˜o seja diferencia´vel em
x = −2.
4. Seja
f(x) = |x− 1|+ |x|.
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
(b) Determine os limites laterais
limx→1+ f(x), limx→1− f(x)
limx→0+ f(x), limx→0− f(x).
Existe lim
x→0
f(x)? E o lim
x→1
f(x)
(c) Estude a continuidade de f .
5. Considere a seguinte func¸a˜o:
f(x) =


2x− 2 se x < −1,
Ax+B se −1 ≤ x ≤ 1,
5x+ 7 se x > 1.
(a) Determine os valores de A e B,
de tal forma que a func¸a˜o f seja
cont´ınua para todo x ∈ R.
(b) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico.
6. Dado f(x), calcule f ′(x):
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) =
x10
10
+
x5
5
+ 6
(c) f(x) = x8 − 2x7 + 3x+ 1
(d) f(x) = esen x
(e) f(x) = arc tg(x2 − 2x+ 1)
(f) f(x) = sec(ex − 2)
(g) f(x) =
2
5x
−
√
2
3x2
(h) f(x) = (x3 − 8) ( 2
x
− 1)
(i) f(x) =
2x+ 7
3x− 1
(j) f(x) = (2 + sen x)cos 3x
(k) f(x) = x2ee
e
e
x
1
(l) f(x) =
1− ex
1 + ex
(m) f(x) = ln
(
(x2−1)3
ln x
)2
7. Expresse dy
dx
em termos de x e y, onde
y = f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
dada implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) x2 − y2 = 4
(b) xy2 + 2y = 3
(c) x2 + 4y2 = 3
(d) x2 + y2 + 2y = 0
(e) xey + xy = 3
(f) y + cos y = xy
(g) y + ln(x2 + y2) = 4
(h) 2y + seny = x
8. (a) Seja f : R −→ R diferencia´vel e
seja f(x) = xg(x2). Supondo que
g(1) = 4 e g′(1) = 2, calcule f ′(1)
(b) Uma escada de 8m esta´ encostada
em uma parede. Se a extremi-
dade inferior da escada for afastada
do pe´ da parede a uma velocidade
constante de 2(m/s), com que ve-
locidade a extremidade superior es-
tara´ descendo no instante em que a
inferior estiver a 3m da parede?
9. Um triaˆngulo iso´sceles ABC tem o
ve´rtice A em (0, 0). A base deste
triaˆngulo que esta´ situada acima deste
ve´rtice e e´ paralela ao eixo x, e tem
os ve´rtices B e C localizados sobre a
para´bola y = 9 − x2. Sabendo que o
lado BC aumenta a´ raza˜o de 2cm/s, de-
termine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do
triaˆngulo, no instante em que o lado BC
mede 4cm.
10. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de abs-
cissa 0. Esboce os gra´ficos de f e da reta
tangente.
11. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = ln x no ponto de
abscissa 1. Esboce os gra´ficos de f e da
reta tangente.
12. Seja f(x) = x2. Determine a equac¸a˜o
da reta que e´ tangente ao gra´fico de f e
paralela a` reta y = 1
2
x+ 3.
13. Sabe-se que r e´ uma reta tangente ao
gra´fico de f(x) = x3 + 3x e paralela a`
reta y = 6x − 1. Determine a equac¸a˜o
de r.
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