04_alg_linear_21_08_2012

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Sistemas de Equações Lineares
Matriz escalonada
No exemplo anterior, obtivemos uma matriz do tipo:


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Após a resolução de sistemas lineares com o uso de
operações elementares (Método Gauss-Jordan), a matriz
obtida recebe o nome de escalonada reduzida.
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Sistemas de Equações Lineares
Matriz escalonada
Uma matriz A está na forma escalonada reduzida
quando satisfaz às seguintes condições:
1 Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zero)
ocorrem abaixo das linhas não nulas;
2 O pivô (1o elemento não nulo de uma linha) de cada linha
não nula é igual a 1;
3 O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da
linha anterior;
4 Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus
outros elementos são iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (1) e (3), mas
não necessariamente (2) e (4) dizemos que ela está na forma
escalonada.
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Sistemas de Equações Lineares
Matriz escalonada
Exemplos de matrizes escalonadas reduzidas:


1 0 0
0 1 0
0 0 1




1 3 0 2
0 0 1 −3
0 0 0 0


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Sistemas de Equações Lineares
Matriz escalonada
Exemplos de matrizes escalonadas:


1 1 1
0 −1 2
0 0 5




1 3 −1 5
0 0 −5 15
0 0 0 0


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Sistemas de Equações Lineares
Exemplo


x + 3y + 13z = 9
y + 5z = 2
−2y − 10z = −8
Vamos resolvê-lo, utilizando o método de Gauss-Jordan, de
forma a deixar a matriz na forma escalonada reduzida.
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Sistemas de Equações Lineares
Exemplo
Em geral, um sistema linear não tem solução se, e
somente se, a última linha não nula da forma escalonada
reduzida da sua matriz aumentada for da forma [0...0|bm] com
bm 6= 0. Vamos resolvê-lo, utilizando o método de
Gauss-Jordan, de forma a deixar a matriz na forma escalonada
reduzida.
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Sistemas de Equações Lineares
Exemplo
Considere o seguinte sistema:


3z − 9w = 6
5x + 15y − 10z + 40w = −45
x + 3y − z + 5w = −7
sua matriz aumentada é:
E assim, vamos prosseguir com a resolução do sistema.
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Sistemas de Equações Lineares
Exemplo
Neste sistema, podemos perceber que algumas variáveis
não estão associadas a pivôs. Assim, elas serão chamadas de
variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários.
Vamos considerar que estas variáveis assumam valores
arbitrários, representados pelos escalares α e β. Assim a
solução geral do sistema poderá ser do tipo:
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Sistemas de Equações Lineares
Exercícios
Resolva os seguintes sistemas, utilizando o método de
Gauss-Jordan:


x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x − 7y + 4z = 10


2x + 2y + 2z = 0
−2x + 5y + 2z = 1
8x + y + 4z = −1
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