Aula 08

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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Aula 8 – Medidas de tendência central: dados agrupados em intervalos de classes.
Prof. Lauro Boechat Batista
Aula 1 - S
Aula 8 – Medidas de tendência central: dados agrupados em intervalos de classes.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de tendência central em dados agrupados em intervalos de classe
Classe modal (classe de maior frequência)
Determinação da média aritmética ponderada
Determinação da moda bruta e da moda pela fórmula de Czuber
Determinação da mediana
Média, moda e mediana em distribuições especiais
Resumo 
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Aula 8 – Medidas de tendência central: dados agrupados em intervalos de classes.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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Aula 8 – Medidas de tendência central: dados agrupados em intervalos de classes.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 1. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da média aritmética ponderada (Tabela 1)
 
 =
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da moda bruta (Tabela 1)
Moda bruta – a moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Ponto médio da classe modal = (LI + LS)/2 = (1,62 + 1,68)/2
Ponto médio da classe modal = 3,30/2 = 1,65 m.
A moda bruta será igual a 1,65 m (Mo = 1,65 m).
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
 = (40 – 10) = 30 e = (40 – 20) = 20
 LI = 1,62 e IC = 0,06 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
Mo = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + .0,06 = 1,62 + 0,036
Mo = 1,656 m.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC, onde:
LI é o limite inferior da classe de referência, é a frequência acumulada anterior à classe de referência, é a frequência simples da classe de referência, IC é o intervalo de classe e a classe de referência é a classe cuja frequência acumulada seja imediatamente superior ao valor 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 1)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC
Md = 1,62 + ( ) . 0,06 = 1,62 + ( ) . 0,06 
Md = 1,62 + 0,7 . 0,06 = 1,62 + 0,042 = 1,662 m. 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 2. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da média aritmética ponderada (Tabela 2)
 
 =
A Tabela 2 é uma distribuição de dados simétrica e neste caso a média é exatamente igual ao valor do ponto médio da classe central.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da moda bruta (Tabela 2)
Moda bruta – a moda bruta é o ponto médio da classe modal.
Ponto médio da classe modal = (LI + LS)/2 = (1,62 + 1,68)/2
Ponto médio da classe modal = 3,30/2 = 1,65 m.
A moda bruta será igual a 1,65 m (Mo = 1,65 m).
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 2)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
 = (50 – 10) = 40 e = (50 – 10) = 40
 LI = 1,62 e IC = 0,06 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 2)
Determinação da moda pela fórmula de Czuber:
Mo = LI + . IC, onde:
 LI é o limite inferior da classe modal, = (fmax. – fant.),
 = (fmax. – fpost) e IC = intervalo de classe. 
Mo = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + .0,06 = 1,62 + 0,03
Mo = 1,65 m. 
A distribuição é simétrica e, assim, a média = mediana = moda
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 2)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC, onde:
LI é o limite inferior da classe de referência, é a frequência acumulada anterior à classe de referência, é a frequência simples da classe de referência, IC é o intervalo de classe e a classe de referência é a classe cuja frequência acumulada seja imediatamente superior ao valor 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes (Tabela 2)
Determinação da mediana:
Md = LI + ( ). IC
Md = 1,62 + ( ) . 0,06 = 1,62 + ( ) . 0,06 
Md = 1,62 + 0,5 . 0,06 = 1,62 + 0,03 = 1,65 m. 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Valores obtidos da média, da mediana e da moda, nas Tabelas 1 e 2.
Tabela 1: média (1,6665) > mediana (1,662) > moda (1,656), portanto a distribuição é assimétrica à direita. 
Tabela 2: média (1,65) = mediana (1,65) = moda (1,65), então a distribuição é simétrica. 
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da moda e da mediana em tabelas especiais
Tabela 3: as frequências anteriores e posteriores à classe modal são iguais. Neste caso, a moda será igual ao ponto médio da classe modal, ou seja, será igual à moda bruta.
Tabela 4: a soma das frequências anteriores à classe de referência é igual à soma das frequências posteriores à classe de referência. Neste caso, a mediana será igual ao ponto médio da classe de referência.
 
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 3. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da média aritmética ponderada, da mediana e da moda (Tabela 3)
 
 =
Mo = LI + . IC = 1,62 + . 0,06
Mo = 1,62 + 0,5 . 0,06 = 1,62 + 0,03 = 1,650 m
Mi = LI + .IC = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + . 0,06
 Mi = 1,62 + 0,026 = 1,646 m
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Dados agrupados em uma tabela de frequências em intervalos de classes.
Tabela 4. Tabela de frequências das alturas de 80 alunos de um classe.
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Determinação da média aritmética ponderada, da mediana e da moda (Tabela 4)
 
 =
Mo = LI + . IC = 1,62 + . 0,06
Mo = 1,62 + 0,027 = 1,647 m
Mi = LI + .IC = 1,62 + . 0,06 = 1,62 + . 0,06
 Mi = 1,62 + 0,03 = 1,650 m
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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA
Resumo
Dados agrupados em intervalos de classes
Moda bruta
Determinação da média, da moda e da mediana
Casos especiais
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