Calculo Estrutural

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MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - 
Definição dos Elementos Estruturais 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar a relação entre Engenharia e 
Arquitetura e a definição dos 
elementos de uma estrutura 
 
A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes 
uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única. 
Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve 
ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão 
Arquitetônica (Arquitetura). 
1. Definição dos Elementos Estruturais 
 
 
 
Laje: 
estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de 
menor dimensão. 
 
 
As lajes em 
um Sistema 
Estrutural 
estão, na 
maioria das 
vezes, 
apoiadas 
em vigas, 
podando 
também, 
em certos 
casos, 
estarem 
apoiadas 
diretamente 
sobre 
pilares. 
 
 
 
 
 
Viga: 
estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas. 
 
As vigas 
em um 
Sistema 
Estrutural 
podem 
estar 
apoiadas 
diretamente 
sobre os 
pilares 
como 
também 
sobre 
outras 
vigas. 
 
 
 
 
Pilar: 
estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas. 
 
Os pilares em um Sistema 
Estrutural estão apoiados nas 
fundações. 
 
Fundação: 
estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
 
As fundações 
em um Sistema 
Estrutural estão 
apoiadas em 
estacas ou 
diretamente 
sobre o terreno. 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural 
Vigas 
 
Objetivo do módulo 
Definir o que é uma viga, o que é 
tensão, como se faz a verificação da 
estabilidade de um elemento 
estrutural e quais são as tensões em 
uma viga. 
 
Vigas 
 
1. Definição 
 
Pode-se dizer que as vigas foram um elemento de sustentação criado pelo homem, ainda que 
inconscientemente. 
Imaginemos um homem pré-histórico com sua incrível e insaciável necessidade de comer. Só que, para 
conseguir alimentos, ele tinha que atravessar um rio. Porém, nas proximidades de sua caverna o rio era muito 
largo e profundo, sendo que ele não conseguia atravessá-lo tendo que caminhar todos os dias milhares de 
quilômetros desde a sua caverna até uma parte onde o rio fosse mais raso e estreito de maneira que ele 
pudesse pular e atravessá-lo. 
Um dia, após uma terrível tempestade noturna, o homem pré-histórico saiu de sua caverna e viu que naquela 
parte mais larga do rio havia caído uma árvore, permitindo então que ele atravessasse o rio caminhando sobre 
o tronco, sem a necessidade de caminhar os milhares de quilômetros. 
Pronto: estava criada a VIGA, ou seja, o tronco de árvore apoiado sobre as duas margens era uma viga. 
 
D definição 
VIGA: estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais 
apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais à sua direção (se a direção da viga é 
horizontal, os carregamentos são verticais). 
 
Vigas de madeira 
 
Vigas de aço: 
 
 
Vigas de concreto: 
 
 
 
 
 
MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - 
Posicionamento dos Elementos Estruturais 
 
2. Posicionamento dos Elementos Estruturais 
 
O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é dado em função de cada 
projeto, em consonância com os demais projetos componentes de uma edificação, como por exemplo: projeto 
arquitetônico, projeto hidráulico, projeto elétrico etc. 
Você gostaria de ter que se abaixar 
todas as vezes que desce uma escada 
para não correr o risco de fazer um galo 
batendo-a em uma viga que cruza esta 
escada? 
 
Você gostaria de estar sentado na 
platéia de um teatro em uma poltrona 
que fica bem atrás de um pilar? 
 
Seria interessante uma tubulação 
horizontal ter que desviar das vigas em 
cada piso de um edifício? 
 
Curiosidade 
Qual seria o limite de altura para edifícios em: 
Alvenaria: chega-se até (acreditem !!!!) 
20 pavimentos mas com uma limitação, 
a espessura das paredes no pavimento 
térreo que podem chegar até 1,50 
metros. 
 
Concreto armado: chega-se até 60 
pavimentos com a limitação nas 
dimensões e na quantidade de pilares 
no pavimento térreo. 
 
Aço: chega-se até 190 pavimentos com 
limitações quanto à necessidade de 
travamento e também, dependendo da 
eficiência do travamento, limitações 
devido à possíveis oscilações que 
possam ocorrer devido ao vento 
(podendo chegar até 40 cm no topo de 
um edifício para ventos muito fortes). 
 
 
O observação 
Para se entender bem a estreita ligação entre Engenharia e Arquitetura, deve-se estar atento para o fato de 
que novos Sistemas Estruturais oferecem a possibilidade de criação de novas Expressões Arquitetônicas que, 
por sua vez, exigem novos Sistemas Estruturais, formando um círculo interminável que vem permitindo a 
evolução tanto da Engenharia como também da Arquitetura através dos tempos.
 
 
Teatro Villa-Lobos - São Paulo 
 
C conclusão 
Para se compreender melhor a parte TÉCNICA de uma obra, é necessário o conhecimento de alguns pontos, 
como por exemplo: quais os tipos de carregamento que atuam em uma edificação, quais os esforços que 
surgem nos elementos estruturais provenientes destes carregamentos, quais as tensões que estes eforços 
provocam. 
 
MÓDULO 02 - Estática: Princípio Básico da 
Arquitetura 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar a relação entre estética e 
estática e os problemas que podem 
ocorrer quando os princípios da 
estática não são observados 
 
1. Estática: Princípio Básico da Arquitetura 
 
A fórmula a seguir é para você, que gosta de Arquitetura e não sabe o que está fazendo nesta disciplina. 
PROJETO = ESTÉTICA + ESTÁTICA + OUTROS 
 
 
D definição 
ESTÉTICA: 
Responsável pela "arte" de um projeto. A estética é dada pela expressão arquitetônica através de 
várias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de Planejamento Arquitetônico. 
ESTÁTICA: 
Responsável pela "técnica" de um projeto. A estática se encarrega de fazer com que uma estrutura 
fique "em pé", suportando as cargas e as transportando sem deformações excessivas até o terreno. A 
palavra ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imóvel como estátua, parado. 
OUTROS: 
Alguns itens também devem ser considerados na execução de um projeto. Projeto elétrico, projeto 
hidráulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo, integração com o entorno, definição dos 
materiais a serem utilizados, definição dos processos construtivos, entre outros.
 
A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser estática, porém: 
Ela pode se 
"inclinar": 
 
por não estar bem travada 
 
por problemas de 
fundação. 
Ela pode se 
deformar e/ou 
fissurar 
excessivamente, 
em partes ou como 
um todo, devido a 
excesso de carga 
ou travamento 
inadequado. 
 
Partes da estrutura 
podem ser 
afastadas uma da 
outra devido a 
falhas nas juntas 
(para estruturas 
metálicas ou de 
madeira). 
 
 
Um ou mais pilares 
de um edifício 
sujeitos a carga de 
compressão podem 
flexionar ao máximo 
até que, a menos 
que o carregamento 
seja retirado, eles 
rompem. 
 
Os materiais podem 
estar 
sobrecarregados 
gerando ruptura 
 
 
 
O observação 
Após um período de tempo, pode haver decomposição dos materiais devido à fatores externos. 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 03 - Influência da Técnica na ExpressãoArquitetônica 
 
Objetivo do módulo 
Apresentar opiniões de vários 
Arquitetos conceituados nacional e 
internacionalmente a respeito de 
como a técnica pode servir para a 
Arquitetura e vice-versa 
 
1. Influência da Técnica na Expressão Arquitetônica 
 
 Alfred Willer 
"Não se admite mais que hoje se faça um anteprojeto e não se localize os elementos estruturais, ou seja, o 
projeto arquitetônico e o estrutural estão ligados, pois quem propõem a estrutura e quem a viabiliza e a 
dimensiona é o engenheiro. Logo, o arquiteto tem que ter uma boa experiência de como funciona a estrutura. 
O objetivo da cadeira Sistemas Estruturais no curso de Arquitetura não é tornar o Arquiteto um calculista, mas 
fazer os estudantes entenderem como funciona uma estrutura, conhecer as várias opções estruturais e propor, 
dentro do projeto arquitetônico, uma solução viável". 
 Roberto Luiz Gandolfi 
"A trilogia função, técnica e plástica é Arquitetura. Não é possível criar um espaço sem saber as técnicas e 
instalações necessárias para que se desempenhe todas as funções satisfatoriamente. As técnicas que têm que 
servir a esta função não são influência sobre a Arquitetura e sim a própria Arquitetura". 
 Leonardo Tossiaki Oba 
"Os elementos técnicos mais expressivos na Arquitetura são, em geral, as suas estruturas. A estrutura define e 
estabelece o espaço arquitetônico. Cada arquiteto acaba por desenvolver um modo particular de expressão 
estrutural. Pessoalmente acho que se deve evitar excessos e buscar sempre uma coerência nas decisões 
usando técnicas adequadas para cada caso. Ou seja, usar vãos maiores somente quando necessário e quando 
não houver necessidade de flexibilidade ou grandes vãos, procurar soluções estruturais mais simples. Seria 
algo como uma "composição estrutural" onde cada espaço tem uma solução mais sintonizada com as suas 
necessidades e o conjunto se expressa como um todo coerente e composto." 
 Elgson Ribeiro Gomes 
"Utilizo a técnica dos engenheiros acrescentando graça e bom gosto. 
A utilização da técnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que não se produzam efeitos que 
descaracterizam a obra". 
 Oscar Niemeyer 
"A Arquitetura e a Engenharia são duas coisas inseparáveis. 
A estrutura é a própria Arquitetura, não existe Arquitetura sem estrutura. 
Quando o tema permite, é preciso invadir o campo fecundo da imaginação e fantasia e procurar a forma 
diferente, a surpresa arquitetural. E aí surgem as conquistas estruturais inovadoras; os grandes vãos livres, os 
balanços enormes, as cascas finíssimas, enfim, tudo que pode demonstrar o progresso da técnica em toda sua 
plenitude". 
 Lúcio Costa 
"Enquanto satisfaz apenas as exigências técnicas e funcionais - não é ainda Arquitetura; quando se perdem 
intenções meramente decorativas - tudo não passa de cenografia; mas quando - popular ou erudita - aquele 
que a ideou, pára e hesita, ante a simples escolha de um espaçamento de pilar ou da relação entre a altura e a 
largura de um vão, e se detém na procura obstinada da justa medida entre cheios e vazios, na fixação dos 
volumes e subordinação deles a uma lei, e se demora atento ao jogo dos materiais e seu valor expressivo - 
quando tudo isto se vai pouco a pouco somando, obedecendo aos mais severos preceitos técnicos e 
funcionais, mas, também, àquela intenção superior que seleciona, coordena e orienta em determinado sentido 
toda essa massa confusa e contraditória de detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo, expressão, 
unidade e clareza - o que se confere à obra o seu caráter de permanência: isto sim é Arquitetura". 
 
C conclusão 
Vê-se portanto, pelos depoimentos acima, que os Arquitetos sempre levam em consideração a técnica, 
concluindo que ela é de grande importância no desenvolvimento dos projetos tanto Arquitetônico 
quanto Estrutural, trabalhando sempre em conjunto, sempre inseparáveis um do outro. 
 
MÓDULO 04 - Tipos de Carregamentos - 
Carregamentos 
 
Objetivo do módulo 
Definir os tipos de carregamento 
concentrado, distribuído/m e 
distribuído/m
2.
 
 
1. Carregamentos 
 
Sabe-se que na antiguidade não havia o cálculo ou o projeto estrutural. A evolução acontecia de uma obra 
para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes uma obra que demorara até centenas de anos para 
chegar até um determinado estágio não suportava os carregamentos impostos até mesmo pelo próprio peso 
da estrutura e desabava. Então, não restava nada a fazer senão aprender com o erro ocorrido e recomeçar a 
construção. 
Um fator que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista estrutural, foi a observação das forças 
da natureza. Esta observação permitiu que os elementos estruturais tivessem dimensões cada vez menores e 
também permitiu que os vãos se tornassem cada vez maiores. 
 
E exemplo 
Uma árvore e suas raízes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a construção de um pilar com sua 
fundação. 
 
 
 
Com o surgimento da Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e novos materiais. Com estas 
técnicas e materiais, alguns modelos teóricos, ou seja, explicações, para as forças da natureza foram 
descobertos. Baseados nestes modelos teóricos surgiram então os projetos mostrando que uma obra poderia 
ser construída sem a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou o processo de tentativa e 
erro). 
O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto estrutural de uma obra são os 
carregamentos nela atuantes. 
 
D definição 
Carregamento: qualquer influência que causa forças ou deformações em uma estrutura. 
 
 
 
 
MÓDULO 04 - Tipos de Carregamentos - 
Tipos de Carregamentos 
 
2. Tipos de Carregamentos 
 
Existem três tipos de carregamentos: 
Concentrado, distribuído/m e distribuído/m
2
. 
Concentrado Distribuído/m Distribuído/m
2
 
 Concentrado: 
- Representa uma força aplicada em um único ponto da estrutura. 
 
- Unidade: kN 
- Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e fundações. 
 
E exemplo 
força concentrada: 
sobre uma laje: 
um cofre no meio de uma sala 
 
sobre uma viga: 
reação de uma outra viga 
 
sobre um pilar: 
reação das vigas que se apoiam no pilar 
 
sobre a fundação: 
carga do pilar que chega na fundação 
 
 
Voltar 
 Distribuído/m: 
- Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura. 
 
- Unidade: kN/m 
- Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas. 
 
E exemplo 
força distribuída/m: 
sobre uma laje: 
peso de uma parede de alvenaria. 
sobre uma viga: 
peso de uma parede de alvenaria. 
 
 
 
Voltar 
 Distribuído/m2: 
 
- Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura. 
 
- Unidade: kN/m
2
 
- Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje. 
 
E exemplo 
Exemplo de força distribuída/m
2
: 
sobre uma laje: 
peso das pessoas sobre a laje 
 
 
 
 
MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com 
Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes - 
Peso-próprio (pp) 
 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar os carregamentos 
permanentes atuantes em uma 
estrutura. 
 
Os carregamentos permanentes estão atuando sobre a estrutura durante todo o tempo, não 
importando qual seja a sua utilização ou quais sejam as condições atmosféricas. 
1. Peso-próprio (pp): 
 
Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na definição dos carregamentos atuantes em 
uma estrutura. Este peso, definido como peso-própio é função do peso específico do material em questão. 
: peso específico do material (kN/m3) 
Lajes 
 
Fórmula 
 
VigasFórmula 
 
para seção retangular: 
 
Pilares: 
 
Fórmula 
 
para seção retangular: 
 
Peso específico () de alguns materiais mais utilizados: 
 concreto armado: 25 kN/m3 
 madeira: varia de 5 kN/m3 (pinho) até 10 kN/m3 (ipê) 
 aço: 78 kN/m 
 
 
MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Permanentes - 
Alvenaria (alv) 
 
 
2. Alvenaria (alv): 
 
Função do peso/m
2
 da alvenaria, dependendo se a parede é mais ou menos espessa. 
O peso das paredes de alvenaria de uma obra devem ser consideradas sobre os elementos estruturais em que 
elas se apoiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da alvenaria é função 
do peso/m
2
 da alvenaria, que varia de acordo com sua espessura. 
Fórmula 
 
O peso/m
2
 dos principais tipos de alvenaria são os seguintes: 
 alvenaria de cutelo: 
0,95 kN/m
2
 
 
 alvenaria de 1/2 vez: 
1,70 kN/m
2
 
 
 alvenaria de 1 vez: 
3,20 kN/m
2
 
 
 
O observação 
a - Os valores de peso/m
2
 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com argamassa de 
1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco. 
b - Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria não devem ser considerados, proporcionando 
assim uma maior segurança.
 
 
MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Permanentes - 
Revestimento (rev) 
 
 
3. Revestimento (rev): 
 
O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se apoiam. 
Um valor básico é utilizado como peso de revestimento: 
rev = 0,50 kN/m
2
 (carregamento 
distribuído/m
2
) 
 
O observação 
O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por exemplo: 
taco, tapete, borracha, paviflex, etc. 
 
Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas consultas ao 
próprio fabricante. 
 
 
 
MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com 
Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes - 
Cobertura (cob) 
 
 
4. Cobertura (cob): 
 
O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apoiam algum tipo de cobertura, 
entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas mais o peso das próprias telhas. O peso da 
cobertura é função do peso/m
2
 do telhado. 
cob = 0,60 kN/m
2
 à 1,00 kN/m
2
 (carregamento 
distribuído/m
2
) 
- 0,60 kN/m
2
 para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m
2
 para telha de barro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com 
Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes - 
Estrutura sobre a Estrutura 
 
 
5. Estrutura sobre a estrutura: 
 
Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo portanto a carga definida pela 
reação de um elemento estrutural sobre outro. 
As fotos mostram os tipos de reações de elementos estruturais sobre a própia estrutura que podem ocorrer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje: apesar de 
muito raro, pode 
receber a carga 
de um pilar (kN) 
(carregamento 
concentrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga: não 
muito 
comumente, 
pode receber 
a carga de um 
pilar (kN), 
sendo 
chamada 
então de viga 
de transição 
(carregamento 
concentrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga: 
usualmente 
recebe as 
reações das lajes 
(kN/m), ou seja, 
as lajes, neste 
caso, estão 
apoiadas nas 
vigas 
(carregamento 
distribuído/m) 
 
 
 
 
 
 
Viga: usualmente também, pode 
receber as reações de outras 
vigas (kN), ou seja, as vigas, 
neste caso, estariam apoiadas 
em outras vigas (carregamento 
concentrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilar: raramente, 
pode receber as 
reações das lajes 
diretamente (kN), 
sendo então, uma 
estrutura tipo 
cogumelo, sem 
vigas 
(carregamento 
concentrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilar: 
normalmente, 
recebe as reações 
das vigas que nele 
se apoiam (kN) 
(carregamento 
concentrado) 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais - 
Vento 
 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar os carregamentos acidentais 
que podem atuar em uma estrutura. 
Exemplo de cálculo de carregamentos 
em uma estrutura. 
 
Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre estão presentes em um Sistema 
Estrutural. Há épocas em que eles são atuantes e há épocas em que eles não aparecem. Devido a esta 
sazonidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, não podendo nunca ser esquecidos. 
1. Vento 
 
Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou edificações especiais, 
como por exemplo, torres, caixas d'água elevadas, galpões, etc. 
 
Pergunta: 
O que seria melhor para a consideração do vento em uma edificação do ponto de vista estrutural? 
Opções: 
Uma edificação sujeita a um vento com velocidade de 2 km/h ou de 100 km/h? 
Uma edificação em um local plano ou em um local montanhoso? 
Uma edificação livre, sem nenhuma vizinhança, ou uma edificação com vizinhos por todos os 
lados? 
Um sobrado de dois pavimentos ou um edifício de 80 pavimentos? 
 
Resposta: 
O efeito do vento é função de alguns fatores específicos, tais como: velocidade do vento, conseguida 
através de mapas com linhas de igual velocidade, topografia do local, vizinhança da edificação e tipo da 
edificação. 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais - 
Empuxo 
 
 
2. Empuxo 
 
Empuxo é a força lateral proveniente da ação da água nas piscinas ou caixas d'água ou do solo nos sub-
solos sobre as paredes verticais. 
CASO 1 
Caso de empuxo d'água sobre 
as paredes laterais de uma 
piscina ou caixa d'água: 
 
O valor do carregamento é 
triangular variando desde zero 
na superfície até q na parte mais 
profunda. 
Fórmula 
 
CASO 2 
Caso de 
empuxo de 
terra sobre 
uma cortina 
de concreto, 
que aparece 
quando da 
utilização de 
sub-solos: 
 
O valor do 
carregamento 
é triangular 
variando 
desde zero 
na superfície 
até q na 
parte mais 
profunda. 
Fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais - 
Frenagem 
 
 
3. Frenagem 
 
Outro dia estava indo para a praia quando na serra, em um daqueles grandes viadutos que tem uma 
grande inclinação, um caminhão daqueles enormes resolveu me ultrapassar. 
Porém, lá embaixo, no final do viaduto, estavam atravessando a pista uma mãe de mãos dadas com 
uma criança. 
 
Eu só olhei para o lado e ouvi uma grande freada do caminhão. Felizmente nada aconteceu, o 
caminhão conseguiu parar a tempo!!! 
Mas imagine só o deslocamento horizontal do viaduto com a freada, e o que este deslocamento deve 
ter provocado nos pilares.! 
Parece que não, mas a frenagem é um dos principais carregamentos que devem ser considerados no 
cálculo de pontes e viadutos, sendo logicamente função do peso do veículo. Quanto mais leve o veículo 
menor o efeito da frenagem e quanto mais pesado o veículo, maior o efeito da frenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais 
Sobrecargas (SC) 
 
 
4. Sobrecargas (SC) 
 
São carregamentos dados em função da utilização de determinado compartimento da edificação.O efeito da sobrecarga é considerado sobre lajes sendo portanto um carregamento do tipo distribuído/m
2
. 
Valores a srem considerados: 
 forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m2 
 residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m2 
 compartimentos com acesso ao público (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m2 
 compartimentos para baile, ginástica, esporte (teatros, ginásios, clubes, etc.): sc = 4,00 kN/m2 
 compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: sc = função de cada caso 
Forro 
 
Escritório 
 
Sala de Aula 
 
Sala de Ginástica 
 
Biblioteca 
 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais - 
Terremoto, Neve 
 
 
5. Terremoto, neve 
 
Tanto o terremoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser considerados. Felizmente, no 
Brasil, não há a necessidade da consideração deste tipo de carregamento, uma vez que eles não ocorrem 
nem com intensidade nem com frequência suficiente que justifique sua consideração. 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais 
Cargas Móveis 
 
 
6. Cargas Móveis 
 
Logicamente a carga é dita móvel porque 
se mexe. E o que se mexe é um veículo. 
Portanto, a carga a ser considerada é o 
peso dos veículos se deslocando sobre 
pontes e viadutos. 
O efeito da carga móvel é função do peso 
e da localização do veículo sobre a 
estrutura. 
Normalmente, o peso do veículo é 
conhecido, sendo utilizados veículos 
padrões. Mas a localização do veículo se 
modifica a cada momento, sendo 
necessários então métodos especiais para 
a consideração deste fator, dificultando a 
consideração deste tipo de carga quando 
do cálculo de pontes e viadutos. 
 
 
MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de 
Atuação - Acidentais - 
Exemplos de Carregamento 
 
 
7. Exemplos de carregamento 
 
E exemplo 
Baseado no esquema 
ao lado definir a carga 
em: 
lajes: L1 
vigas: V2 e V5 
pilares: P5 
Dados: 
 piso de 
escritório 
 revestimento da 
laje: taco 
 alvenaria: 1 vez 
 material: 
concreto armado 
 reação da laje 
L1 nas vigas V1, 
V3, V4 e V5: 
6,25 KN/m 
 reação da viga 
V1 sobre os 
pilares P1 e P2: 
42,68 KN 
 reação da viga 
V2 sobre a viga 
V5 e o pilar P5: 
2,19 KN 
 reação das 
vigas V3 e V4 
sobre os pilares 
P1,P3 e P4: 
43,93 KN 
 reação da viga 
V5 sobre o pilar 
P2: 43,33 KN 
 reação da viga 
V5 sobre o pilar 
P4: 44,21KN 
 
Para se calcular as cargas em uma edificação, inicia-se sempre de cima para baixo (da cobertura para o 
térreo) na seguinte sequência: lajes, vigas, pilares e fundações. 
Portanto, no nosso exemplo, calcularemos primeiramente a carga na laje L1, depois nas vigas V2 e V5 e 
finalmente no pilar P5. 
Pode-se ver através do esquema que as cargas são as seguintes: 
Laje L1: 
Peso-próprio (distribuída/m
2
) + revestimento 
(distribuída/m
2
) + sobrecarga (distribuída/m
2
) 
 
 
peso-próprio: pp = 0,10 m . 25 
kN/m
3
 
= 2,50 
kN/m
2
 
revestimento: rev = 0,50 
kN/m
2
 
sobrecarga: sc = 2,00 
kN/m
2
 
 total 
= 5,00 
kN/m
2
 
Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de uma parede de alvenaria ou de um pilar sobre a laje. 
Viga V2: 
Peso-próprio (distribuída/m) 
 
 
peso-próprio: pp = 0,10 m . 0,50 m . 25 kN/m
3
 = 1,25 kN/m 
 
Viga V5: 
Peso-próprio (distribuída/m) + alvenaria (distribuída/m) + reação da laje L1 (distribuída/m) + reação 
da viga V2 (concentrada) 
 
 
peso-próprio: pp = 0,20 m . 0,50 m . 25 kN/m
3
 = 2,50 kN/m 
alvenaria: alv = 2,60 m . 3,20 kN/m
2
 = 8,32 kN/m 
laje: laje = 6,25 kN/m 
 total = 17,07 kN/m 
 
Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de um pilar sobre a viga 
Pilar P5: 
Peso-próprio (concentrada) + reação da viga V2 
(concentrada) 
 
 
peso-
próprio: 
pp = 0,20 m . 0,20 m . 2,60 m . 25 
kN/m
3
 
= 2,60 kN 
reação da 
viga: 
viga = 2,19 kN 
 
total = 4,79 kN 
 
MÓDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforços - 
Leis de Newton 
 
Objetivo do módulo 
Definir as três Leis de Newton e os 
esforços de tração, compressão, 
flexão, torção e cisalhamento 
 
 
D definição 
As forças em um Sistema Estrutural são caracterizadas pelas leis de Newton, pelo cálculo dos 
momentos em relação a um ponto, pelo cálculo do equilíbrio em relação a um ponto e do equilíbrio 
de forças paralelas. 
 
1. Leis de Newton 
 
(Isaac Newton - 1642 - 1727) 
Primeira Lei 
"Qualquer corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme 
a menos que alguma força seja aplicada sobre ele." 
Pergunta: os carregamentos não exercem uma força sobre a estrutura? 
Resposta: Sim 
Pergunta: a estrutura deixa de estar em repouso? Resposta: Não 
Pergunta: o que acontece? 
Segunda Lei 
"A aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força aplicada sobre 
ele e inversamente proporcional à sua massa." 
a = F / m F = m . a 
Terceira Lei 
"A toda ação, corresponde uma reação igual e contrária." 
Resposta à última pergunta da Primeira Lei: do ponto de vista estrutural, a 
toda ação (carregamentos, na maioria para baixo), corresponde uma reação 
igual e contrária (para cima). Logo: a resultante é nula e consequentemente a 
estrutura está em repouso. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforços - 
Esforços 
 
2. Esforços 
 
Os carregamentos solicitam os elementos estruturais através de forças. 
A seguir veremos que os materiais de que são compostos estes elementos estruturais respondem a estas 
solicitações através de esforços. 
Esforços que podem surgir: 
Tração 
Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, puxando em sentidos 
opostos 
 
 
E exemplo 
Corda no cabo de guerra. 
 
 
Compressão 
Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, empurrando em sentidos 
opostos. 
 
 
E exemplo 
Pisando no balão.
 
 
Flexão 
Ocorre quando há carregamento transversal entre os apoios 
 
 
E exemplo 
O que acontece quando algumas pessoas pisam bem no meio de um 
banco de madeira bem fininho? (antes do banco quebrar) 
 
 
Torção 
Ocorre quando há o giro das extremidades em direções opostas. 
 
 
E exemplo 
O que deve ser feito com uma roupa molhada para deixá-la mais enxuta?
 
Cisalhamento 
Ocorre quando há o escorregamento entre seções paralelas devido à forças 
paralelas 
 
 
E exemplo 
O que acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel?
 
 
 
O observação 
Pode haver, e normalmente há, uma combinação destes esforços em um mesmo elemento estrutural. Outro 
fator a ser considerado é que nem todos os elementos estruturais suportam bem todos os esforços. Por 
exemplo, será que uma corda suporta tão bem o esforço de compressão quanto o de tração? 
 
MÓDULO 08 - Momento 
 
 
Objetivo do módulo 
Cálculo do momento de uma força em 
relação a um ponto. 
 
1. Momento 
 
 
D definição 
Momento de uma força em relação a um ponto é o produto desta força pela sua distância até o ponto 
considerado.
 
 
Momento de carga concentrada 
 
 
(momento da força V em relação 
ao ponto A) 
sentido horário 
 
(momento da força H em relação 
ao ponto A) 
sentido anti-horário 
 
(momento da força P em relação ao 
ponto A) 
sentido horário 
 
 
O observação 
Não importa a direção da força para o cálculo do momento. 
 
 
Momento de carga distribuída 
 
 
FórmulaMOMENTO = 
CARGA (q). COMPRIMENTO DA CARGA (b) . DISTÂNCIA DO CG DA 
CARGA AO PONTO CONSIDERADO (b/2+a) 
Mq/A=q . b.(a + 
b/2) 
 
(momento da carga q em relação ao ponto A) 
sentido horário 
 
 
 
 
MÓDULO 09 - Equilíbrio de Forças Paralelas 
 
 
Objetivo do módulo 
Definir as condições de equilíbrio de 
forças paralelas. 
 
1. Equilíbrio de forças paralelas 
 
 
Pergunta: 
Será que se for colocado um paralelepípedo de um 
lado da viga e três paralelepípedos sobrepostos do 
outro lado vai haver equilíbrio? 
 
 
Resposta: 
A resposta intuitiva para esta pergunta é NÃO. 
Porém, observe a foto abaixo: 
 
Vê-se portanto, que se o paralelepípedo único estiver mais longe do ponto de apoio que os três 
paralelepípedos sobrepostos vai haver equilíbrio. 
Logo, para haver equilíbrio, o momento causado pela força menor (paralelepípedo único mais distante 
do ponto de apoio) deve ser igual ao momento causado pela força maior (paralelepípedos 
sobrepostos mais próximos do ponto de apoio). 
Conclusão: 
Quanto maior a distância, menor a força. 
 
 
Conclusão: 
Então além da força aplicada o que importa também é a distância desta força em relação ao ponto de 
apoio. 
Este conceito foi utilizado pela primeira vez por Arquimedes (287-212 a.C.) que proferiu a seguinte 
frase: 
 
"Me dê um ponto de apoio que eu poderei levantar o mundo." 
 
 
 
E exemplo 
Pergunta: 
Porque será que a maçaneta de 
uma porta é o mais longe possível 
da dobradiça? 
 
Reflita e aperte para ver a 
resposta 
 
 
 
 
E exemplo 
Pergunta: 
Porque será que as pessoas carregam 
as sacolas de supermercado com o 
braço abaixado e não levantado na 
horizontal? 
 
Reflita e aperte para ver a 
resposta 
 
 
 
Condições para o equilíbrio de forças paralelas: 
(TRÊS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA) 
 
1. A toda ação corresponde uma reação igual e 
contrária: 
P + Q = R 
P + Q - R = 0 
 
2. Vale o mesmo se houvesse forças horizontais: 
 
3. Momento da força menor em relação ao apoio é 
igual ao momento da força maior: 
P.a1 = Q.a2 
(anti-horário) 
(horário) 
P.a1 - Q.a2 = 0 
 
 
! importante 
As três equações acima definidas (somatório das forças verticais igual a zero, somatório das forças 
horizontais igual a zero e somatório dos momentos em relação a um ponto igual a zero) são conhecidas 
como as TRÊS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA. 
 
É indiferente a escolha da convenção de sinais (de baixo para cima ou de cima para baixo, da esquerda para a 
direita ou da direita para a esquerda, horário ou anti-horário), o resultado é o mesmo. 
 
E exemplo 
Definir a distância a e a reação R para que o 
sistema abaixo esteja em equilíbrio. 
 
 
convenção de baixo para cima, 
positivo 
- 3 - 6 + R = 0 
R = 9 
 
não há forças horizontais aplicadas 
Mapoio = 0 
convenção sentido horário, positivo 
-3 x 4 + R . 0 + 6 . a = 0 
a = 2 
Trocando as convenções: 
 
convenção de cima para baixo, 
positivo 
3 + 6 - R = 0 
R = 9 
Mapoio = 0 
convenção anti-horário, positivo 
3 x 4 + R . 0 - 6 . a = 0 
a = 2 
 
MÓDULO 10 - Reações de Apoio - 
Tipos de Apoio e Reações 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar os tipos de apoio e de vigas e 
como calcular reações de apoio de 
vigas isostáticas. 
 
O observação 
As reações de apoio em estruturas como vigas, treliças e pórticos, são calculadas aplicando-se as Três 
Equações Fundamentais da Estáticas definidas no módulo anterior. 
 
1. Tipos de Apoio e Reações 
 
Engaste 
 
3 reações de apoio: 
- reação momento 
(M), 
- reação horizontal 
(H), 
- reação vertical (R), 
logo: 3 incógnitas. 
Apoio fixo 
 
2 reações de apoio: 
- reação horizontal 
(H), 
- reação vertical (R), 
logo: 2 incógnitas. 
Apoio 
móvel 
 
1 reação de apoio: 
- reação vertical (R), 
logo: 1 incógnita. 
 
MÓDULO 10 - Reações de Apoio - 
Tipos de Estruturas 
 
2. Tipos de Estruturas 
 
Hipostática 
Menos de 3 
incógnitas 
São instáveis 
Exemplos: estrutura com um apoio fixo 
(2 incógnitas), ou 2 apoios móveis (2 
incógnitas), ou 1 apoio móvel (1 
incógnita) 
 
 
 
Isostática 
3 incógnitas 
Resolvidas com 
as três equações 
da estática 
Exemplo: estrutura com um apoio fixo e 
um apoio móvel (3 incógnitas), ou um 
engaste (3 incógnitas) 
 
 
Hiperestática 
Mais de 3 
incógnitas 
Necessitam 
outras equações 
além das três 
equações da 
estática 
Exemplos: estrutura com 2 engastes (6 
incógnitas), ou 1 engaste e um apoio 
móvel (4 incógnitas), ou 1 engaste e um 
apoio fixo (5 incógnitas) ou 2 apoios fixos 
(4 incógnitas) 
 
 
 
 
 
MÓDULO 10 - Reações de Apoio - 
Exemplos 
 
3. Exemplos - Cálculos das Reações de Apoio de vigas Isostáticas 
 
Viga com uma carga concentrada 
Viga com uma carga distribuída 
Viga com cargas concentradas e distribuídas 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 11 - Aplicação do Cálculo das Reações de 
Apoio 
 
Objetivo do módulo 
Calcular, a partir da planta do 
pavimento tipo de um edifício, as 
reações de apoio que compõem a sua 
estrutura. 
 
1. Cálculo das reações de apoio das vigas do pavimento tipo abaixo 
 
 Planta do projeto arquitetônico 
 
 Planta do projeto estrutural 
 
 
O observações 
Numeração dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares) em um projeto estrutural 
. 
Lajes e pilares: da esquerda para a direita e de cima para baixo. 
Vigas: da esquerda para a direita e de cima para baixo (vigas horizontais), e na continuação de baixo para 
cima da esquerda para direita (vigas verticais). 
Para uma mesma viga com balanço(s) a numeração é única para o(s) balanço(s) e para o vão. A 
diferenciação se dá através de uma seqüência de letras do alfabeto iniciando-se pela letra "a" a esquerda 
ou abaixo (dependendo se a viga é horizontal ou vertical). Portanto, para a viga 21, por exemplo, com dois 
balanços em um vão ter-se-á: "V21a" para o balanço, "V21b" para o vão e "V21c" para outro balanço. 
 
 Sequência de vigas para cálculo das reações: 
Existe sempre uma sequência lógica de vigas para o cálculo das reações de apoio. Deve-se iniciar os 
cálculos pelas vigas que não dependem das outras (não tenham outras vigas apoiadas sobre elas). E 
assim sucessivamente. 
No nosso exemplo: 
Iniciando a análise pela viga V1 
 
viga 1 
- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço 
- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão 
- depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço 
logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio. 
viga 2 
- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão 
logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio. 
viga 3 
- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço 
- depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço 
logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio. 
viga 4 
- não depende da reação de apoio de nenhuma viga 
logo: podem ser calculadas as reações de apoio (1) V4 
viga 5 
- não depende da reação de apoio de nenhuma viga. 
logo: podem ser calculadas as reações de apoio (2) V5 
viga 6 
- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já 
calculada (1)) 
- depende da reação de apoio da V2 no meio do vão 
logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio. 
viga 7 
- não depende da reação de apoio de nenhuma viga 
logo: podem ser calculadas as reações de apoio (3) V7 
viga 8 
- não depende da reação de apoio de nenhuma viga 
logo: podem ser calculadas asreações de apoio (4) V8 
viga 9 
- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já 
calculada (1)) 
- depende da reação de apoio da V2 no meio do vão 
logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio 
viga 10 
- não depende da reação de apoio de nenhuma viga 
logo: podem ser calculadas as reações de apoio (5) V10 
Reiniciando a análise pela viga V1 
viga 1 
- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço (já 
calculada (2)) 
- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já 
calculadas (3) e (4)) 
- depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já 
calculada(5)) 
logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (6) V1 
viga 2 
depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já 
calculadas (3) e (4)) 
logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (7) V2 
viga 3 
depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço (já 
calculada (2)) 
depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já 
calculada(5)) 
logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (8) V3 
viga 4 
já calculada (1) 
viga 5 
já calculada (2) 
viga 6 
- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já 
calculada (1)) 
- depende da reação de apoio da V2 na extremidade do balanço (já 
calculada (7)) 
logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (9) V6 
viga 7 
já calculada (3) 
viga 8 
já calculada (4) 
viga 9 
- depende da reação de apoio da v4 na extremidade do balanço (já 
calculada (1)) 
- depende da reação de apoio da v2 na extremidade do balanço (já 
calculada (7)) 
logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (10) V9 
viga 10 
já calculada (5) 
Reiniciando a análise pela viga V1 
viga 1 
já calculada (6) 
viga 2 
já calculada (7) 
viga 3 
já calculada (8) 
viga 4 
já calculada (1) 
viga 5 
já calculada (2) 
viga 6 
já calculada (9) 
viga 7 
já calculada (3) 
viga 8 
já calculada (4) 
viga 9 
já calculada (10) 
viga 10 
já calculada (5) 
Logo, já foram calculadas as reações de apoio de todas as vigas. 
A seqüência para o cálculo das reações de apoio é a seguinte: 
(1) V4 
(2) V5 
(3) V7 
(4) V8 
(5) V10 
(6) V1 
(7) V2 
(8) V3 
(9) V6 
(10) V9 
 
O observação 
A seqüência definida acima não é a única seqüência possível para o cálculo das reações de apoio. Pode 
haver mais de uma seqüência para um mesmo esquema estrutural. 
 
O observação 
Os valores das cargas uniformemente distribuídas sobre as vigas são provenientes dos seguintes 
elementos: reação das lajes que se apoiam nas vigas, peso-própio, peso da alvenaria sobre as vigas. 
 
 
Cálculos das reações 
 Viga V4 
 
MV6 = 0 
positivo: horário 
+6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0 RV9 = 18kN 
V = 0 
positivo: baixo 
para cima 
RV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0 RV6 = 18kN 
H = 0 
positivo: esq. para 
dir. 
HV6 = 0 HV6 = 0 
Voltar 
 Viga V5 
 
MV3 = 0 5,5 . 6,00 . 3,00 - RV1 . 6,00 = 0 RV1 = 16,50kN 
positivo: horário 
V = 0 
positivo: baixo para 
cima 
RV3 + 16,50 - 5,5 . 6,00 = 0 RV3 = 16,50kN 
H = 0 
positivo: esq. para dir. 
HV1 = 0 HV1 = 0 
Voltar 
 Viga V7 
 
MV1 = 0 
positivo: horário 
-10 . 2,00 . 1,00 + RV2 . 2,00 = 0 RV2 = 10kN 
V = 0 
positivo: baixo para 
cima 
10 + RV1 - 10 . 2,00 = 0 RV1 = 10kN 
H = 0 
positivo: esq. para 
dir. 
HV2 = 0 HV2 = 0 
Voltar 
 Viga V8 
 
MV2 = 0 
positivo: horário 
5,4 . 2,00 . 1,00 - RV1 . 2,00 = 0 RV1 = 5,4kN 
V = 0 
 
positivo: baixo para 
cima 
5,4 + RV2 - 5,4 . 2,00 = 0 RV2 = 5,4kN 
H = 0 
positivo: esq. para dir. 
HV2 = 0 HV2 = 0 
Voltar 
 Viga V10 (= Viga V4) 
 
Viga V4 Viga V10 
RV6 = 18kN RV3 = 18kN 
RV9 = 18kN RV1 = 18kN 
HV6 = 0 HV3 = 0 
Voltar 
 Viga V1 
 
MP1 = 0 
p ositivo: horário 
-RP2 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 10 . 2,50 + 5,4 . 
4,50 + 18 . 8,00 + 3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) . 
(4,75 - 1,50) - 1,5 . 1,50 . 0,75 + 2 . 4,5 . 
2,25 + 2 . 2,00.(6,00 + 1,00) = 0 
RP2 = 
53.86kN 
V = 0 
positivo: baixo para 
cima 
53,86 + RP1 - 16,5 - 10 - 5,4 - 18 -3,5.(1,50 
+ 6,00 + 2,00) -1,5 . 1,50 - 2 . 4,50 - 2 . 2,00 
= 0 
RP1 = 
44.54kN 
H = 0 
positivo: esq. para 
dir. 
HP1 = 0 HP1 = 0 
Voltar 
 Viga V2 
 
MV9 = 0 
positivo: 
horário 
RV6 . 6,00 - 10.(2,00 + 1,50) - 5,4 . 1,50 - 10 . 6,00 
. 3,00 - 3,5.(2,50 + 2,00).(2,25 + 1,50) = 0 
RV6 = 
47,03kN 
V = 0 
positivo: 
baixo 
para 
cima 
47,03 + RV9 - 10 - 5,4 - 10 . 6,00 - 3,5.(2,50 + 
2,00) = 0 
RV9 = 
44,12kN 
H = 0 
positivo: 
esq. 
para dir. 
HV6 = 0 HV6 = 0 
Voltar 
 Viga V3 
 
MP3 = 0 
 
positivo: 
horário 
-RP4 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 18.(6,00 + 2,00) + 
4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 -1,50) + 10 . 6,00 . 
3,00 = 0 
RP4 = 
74,58kN 
V = 0 
positivo: 
baixo para 
cima 
RP3 + 74,58 - 16,5 - 18 - 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) - 
10 . 6,00 = 0 
RP3 = 
65,52kN 
H = 0 
positivo: 
esq. para 
dir. 
HP4 = 0 HP4 = 0 
Voltar 
 Viga V6 
 
MP3 = 0 
positivo: 
horário 
-RP1 . 6,00 + 47,03 . 4,00 - 18. 1,00 + 4,4.(1,00 + 
6,00) . (3,50 - 1,00) + 8,4 . 4,00 . 2,00 + 6,7 . 
2,00.(4,00 + 1,00) = 0 
RP1 = 63,55kN 
V = 0 
positivo: 
baixo 
para cima 
RP3 + 63,55 - 18 - 47,03 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 8,4 . 
4,00 - 6,7 . 2,00 = 0 
RP3 = 79,28kN 
H = 0 
positivo: 
esq. para 
dir 
HP1 = 0 HP1 = 0 
Voltar 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga V9 
 
MP4 = 0 
positivo: 
horário 
-RP2 . 6,00 - 18 . 1,00 + 44,12 . 4,00 + 4,4.(1,00 + 
6,00) . (3,50 - 1,00) + 10 . 4,00 . 2,00 + 5,0 . 
2,00.(4,00 + 1,00) = 0 
RP2 = 
60,91kN 
V = 0 
positivo: 
baixo 
para 
cima 
RP4 + 60,91 - 18 - 44,12 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 10 . 
4,00 - 5 . 2,00 = 0 
RP4 = 
82,01kN 
H = 0 
positivo: 
esq. para 
dir 
HP2 = 0 HP2 = 0 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 12 - Distribuição das Forças nos Elementos Estruturais - 
Transmissão de Cargas 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar como os vários tipos de 
elementos estruturais recebem as 
cargas e as transmitem até o solo. 
 
1. Transmissão de Cargas 
 
D definição 
A estrutura é um sistema de barras que recebe as cargas e as transmite para o solo. 
 
 
 
 
 
 Tipos de estruturas 
Tesoura Viga Pilar Pórtico Arco 
 Tesoura: 
Duas barras retas inclinadas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC). 
 
 
Pergunta: 
Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas? 
Reflita e aperte para ver a resposta 
Voltar 
 Viga: 
Uma barra horizontal (AB). 
 
 
Pergunta: 
Qual é o esforço que a barra está sujeita? 
Reflita e aperte para ver a resposta 
Voltar 
 Pilar: 
Uma barra vertical (AB) - é a maneira mais simples e natural de transmissão de cargas. 
 
 
Pergunta: 
Qual é o esforço que a barra está sujeita? 
Reflita e aperte para ver a resposta 
Voltar 
 Pórtico: 
Uma barra horizontal (BAC) mais duas barras verticais (BD e CE). 
 
 
Pergunta: 
Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas? 
Reflita e aperte para ver a resposta 
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 Arco: 
Duas barras curvas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC). 
 
 
Pergunta: 
Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas? 
Reflita e aperte para ver a resposta 
Voltar 
 
! importante 
É essencial para o entendimento da transmissão de cargas em uma estrutura a compreensão de como 
a estrutura funciona como um todo. Deve-se enxergar todos os elementos estruturais trabalhandoem 
conjunto, ainda que a análise estrutural destes elementos seja feita em separado. 
 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - 
Tensão 
 
2.Tensão (para qualquer elemento estrutural) 
 
D definição 
Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações), aos esforços internos aplicados - 
força normal (N) que dá origem à tração ou à compressão, momento fletor (M) que dá origem à flexão, 
momento torçor (Mt) que dá origem à torção e força cortante (V) que dá origem ao cisalhamento. 
 
Fórmula 
A fórmula geral para qualquer que seja a tensão (normal, flexão, torção ou cisalhamento) é a seguinte: 
Tensão 
= 
Esforço interno aplicado 
————————————————————— 
característica geométrica da seção 
transversal 
esforço interno aplicado: N ou M ou Mt ou V 
Característica geométrica da seção transversal: área (A), momento de inércia (I), momento estático (Q), base 
(b), altura (h), entre outras 
 
E exemplo 
Tensão de flexão em uma viga 
 
 
 
As fibras superiores tendem a se 
aproximar (compressão) e as fibras 
inferiores tendem a se afastar (tração). 
Resposta da viga: para responder à 
compressão, as fibras superiores 
tracionam e para responder à tração, 
as fibras inferiores comprimem 
 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - 
Verificação da Estabilidade 
 
3. Verificação da Estabilidade (para qualquer elemento estrutural) 
 
A estabilidade é realizada pela verificação da seguinte inequação: 
Tensão admissível Tensão máxima x Coeficiente de segurança 
3.1. Tensão máxima 
 
Relação entre o máximo esforço interno aplicado e uma característica geométrica da seção transversal. 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - 
Verificação da Estabilidade - Tensão Admissível 
 
3.2. Tensão admissível 
 
D definição 
A tensão admissível é uma característica do material que está sendo utilizado e indica até quanto o 
material aguenta antes de se romper. 
 
E exemplo 
Definição da tensão admissível de um determinado material 
Para tal, vamos nos imaginar em um laboratório com uma viga nas seguintes condições: 
 
Esta viga tem uma determinada seção transversal, com suas características geométricas. 
No laboratório, existem três relógios: o primeiro deles mede o valor da carga P, os outros dois calculam o valor 
do máximo esforço interno e da tensão máxima. 
Para a definição da tensão admissível, a carga P que está aplicada no meio da viga vai sendo aumentada até 
o seu rompimento. 
1° relógio 2° relógio 3° relógio 
mede P 
(kN) 
calcula máximo 
esforço interno 
(kN) 
calcula tensão 
máxima 
kN/cm²) 
10,00 5,00 37,50 
15,00 7,50 56,30 
20,00 10,00 75,00 
24,10 12,05 90,40 
Rompimento: 
A viga se rompeu quando o valor da carga P chegou a 24,10 kN. 
Tensão admissível: 
seria: 90,40 kN/cm². 
Mas se o material estiver com problemas, se os equipamentos estiverem com problemas, se acontecer alguma 
coisa? 
Alguma garantia deve ser dada. 
E esta garantia é conseguida com a diminuição do valor da tensão conseguida no terceiro relógio (multiplica-se 
o valor obtido na tensão máxima por 0,85). 
Portanto, a tensão admissível a ser adotada é: 
90,40 . 0,85 = 76,84 kN/cm² 
Logo: a tensão admissível do material em questão é 76,84 kN/cm² 
Para efeito de convenção, utiliza-se uma barra sobre o símbolo da tensão para indicar a tensão 
admissível. 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural- Vigas - 
Verificação da Estabilidade - Coeficiente de Segurança 
 
3.3. Coeficiente de Segurança 
 
Este coeficiente majora o valor dos carregamentos e consequentemente dos máximos esforços internos. Esta 
majoração é realizada para se garantir possíveis falhas nos cálculos, nos materiais ou em outros fatores que 
possam influir na segurança da estrutura. 
Normalmente, utiliza-se para o coeficiente de segurança o valor 1,4. 
 
 
MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - 
Tensões na Viga 
 
4. Tensões na viga 
 
As tensões existentes em uma viga são as seguintes: 
 tensão de flexão, 
 tensão de cisalhamento, 
 tensão de torção. 
Estas tensões não atuam separadamente em uma viga, mas sim de maneira composta. 
Por exemplo, as tensões de flexão e de cisalhamento atuam sempre de maneira conjunta em uma mesma 
viga. 
Tensão de flexão 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente da flexão. A flexão aparece em uma viga devido ao esforço 
interno aplicado - momento fletor (M). 
Tensão de cisalhamento 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento. O cisalhamento aparece em uma viga devido 
ao esforço interno aplicado - força cortante (V). 
Tensão de torção 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente da torção. A torção aparece em uma viga devido ao esforço 
interno aplicado - momento torçor (Mt). 
A seguir serão analisadas as tensões de flexão e de cisalhamento. 
A tensão de torção não será abordada devido a incidênia extremamente baixa incidência deste tipo de tensão 
em uma viga, não justificando portanto a sua análise. 
Resumo esquemático 
Geometria + Carregamento 
 
esforço interno aplicado 
M V Mt 
 
Flexão Cisalhamento Torção 
 
tensão 
Flexão Cisalhamento Torção 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Vigas Hipostáticas 
 
 
Objetivo do módulo 
Definir vigas hipostáticas, isostáticas 
e hiperestáticas e apresentar a teoria 
para cálculo de momentos fletores em 
vigas hiperestáticas (Equação dos 3 
Momentos). 
 
1. Vigas Hipostáticas: 
 
D definição 
São aquelas vigas com menos de três reações de apoio, ou, em outras palavras, menos de três 
incógnitas. 
 
ou ainda, são aquelas vigas com três ou mais reações da apoio (ou incógnitas) mas com liberdade 
não restringida. 
 
 
O observação 
 
Se houver alguma força horizontal, não há nenhuma reação neste sentido, e a tendência é que a viga 
"escorregue" nesta direção.
 
 
C conclusão 
As vigas hipostáticas não são estáveis, não são estáticas. 
 
 
 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Vigas Isostáticas 
 
 
2. Vigas Isostáticas: 
 
D definição 
Vigas Isostáticas: são aquelas vigas com três reações de apoio (ou, três incógnitas) e com liberdade 
retringida. 
 
 
 
 
O observação 
 
Se houver uma força horizontal, o apoio fixo tem uma reação horizontal que impede o deslocamento da viga 
nesta direção. 
 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Vigas Hiperestáticas 
 
 
3. Vigas Hiperestáticas: 
 
D definição 
Vigas hiperestáticas são aquelas vigas com mais de três reações de apoio (ou, mais de três 
incógnitas) e com liberdade restringida. 
 
 
 
O observação 
 
Se houver uma força horizontal, o apoio fixo tem uma reação horizontal que impede o deslocamento da viga 
nesta direção. 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Esforço Interno Aplicado - Momento Fletor (M) 
 
 
4. Esforço Interno Aplicado - Momento Fletor (M): 
 
Para o cálculo das tensões de flexão em uma viga, se faz necessário o conhecimento dos momentos 
fletores desta viga. 
O cálculo dos momentos fletores é realizado através de convenções especificas (já visto para as vigas 
isostáticas - Sistema Estruturais I e II). 
A visualização deste cálculo em uma viga é feita com o desenho deum diagrama, também de acordo com 
convenções especificas (já visto para as vigas isostáticas - Sistema Estruturais I e II)
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Momentos Fletores para Vigas Isostáticas 
5. Momentos Fletores para Vigas Isostáticas: 
Exemplo de 
diagrama de 
momentos 
fletores para 
forças 
concentradas 
e força 
distribuída 
nos balanços 
e no meio do 
vão. 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação 
dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Cálculo de Momentos Fletores de Vigas Contínuas 
 
 
6. Cálculo de Momentos Fletores de Vigas Contínuas: 
 
 
D definição 
Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos. 
 
Para as vigas contínuas, o cálculo não é tão simples quanto era para as vigas isostáticas. 
Nas vigas isostáticas as incógnitas são três, precisamos então de três equações, que são as três 
equações da estática (somatória dos momentos em relação a um ponto igual a zero, somatório das 
forças verticais igual a zero e somatório das forças horizontais igual a zero). 
Para as vigas hiperestáticas tem-se mais de três incógnitas. Foram criados então vários métodos para o 
cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, 
pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e 
consequentemente desenhar os diagramas. 
Métodos de 
cálculo: 
Método dos Deslocamentos 
Método dos Esforços 
Método de Cross 
Método da Equação dos Três Momentos 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e 
Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Método da Equação dos Três Momentos 
 
 
7. Método da Equação dos Três Momentos: 
 
Dentre os vários métodos existentes para o cálculo de vigas hiperestáticas, será apresentado nesta 
disciplina o Método da Equação dos 3 Momentos. 
Análise do Método da Equação dos 3 Momentos: 
O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) sequenciais de uma viga, a 
partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção. 
Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua 
sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: 
 
A seguir será apresentada a Equação dos 3 Momentos para uma viga com momento de inércia 
constante no vão e de vão para vão. 
Isto quer dizer, uma viga sem mísulas, com seção transversal igual, ou aproximadamente igual, ao longo 
da viga. 
 Misula: 
 
Fórmula 
 
Onde: 
 e :comprimento dos vãos 
 Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios 
 : Fatores de carga 
Os fatores de carga são função da carga atuante no vão. 
Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga 
finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. 
- Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão: 
 
Fórmula 
 
- Para carga concentrada no vão: 
 
Fórmulas 
 
 
O observação 
O índice "1" nas fórmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio 
da direita. 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e 
Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Número de Aplicações 
 
 
8. Número de Aplicações: 
 
Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de um viga contínua, deve-se aplicar a 
equação dos três momentos em vãos subsequentes dois a dois. O resultado é que o número total de 
aplicações é igual ao número de vãos menos um. 
 
E exemplo 
Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos. 
 
Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação 
e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos. 
 
 
MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e 
Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor - 
Convenção de Sinais 
 
 
9. Convenção de Sinais para Cálculo de Momentos Fletores: 
 
Olhando as cargas à esquerda da seção 
considerada: 
(Convenção positiva) 
 
Olhando as cargas à direita da seção 
considerada: 
(Convenção positiva) 
 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Cálculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga Continua 
 
 
Objetivo do módulo 
Apresentar um exemplo prático de 
aplicação da Equação dos 3 
Momentos e do desenho do diagrama 
de momentos fletores em uma viga 
hiperestática, com dois vãos, com 
carga distribuída em um dos vãos e 
uma carga concentrada no outro vão. 
 
1. Cálculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga 
Contínua: 
 
A viga tem 
dois vãos, 
portanto 
será 
necessária 
uma 
aplicação 
da 
Equação 
dos Três 
Momentos. 
 
 
Fórmula 
Equação dos Três Momentos: 
 
1º aplicação: 
Vãos: 
 
 
Apoios: 
 
n-1 =0 
n =1 
n+1 =2 
 
 
 
O observação 
Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço. 
 
Cálculo dos fatores de carga 
 
 
Cálculo 
 
Cálculo 
 
Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
Cálculo 
 
2(4,00 + 5,00).X1 = -6(9,33 + 16,00) 
X1 = - 8,44 kNm 
 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Reações de Apoio 
 
 
2. Reações de Apoio: 
 
As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos 
vãos (distribuidas e/ou concentradas), deve-se aplicar também os momentos nos apoios do 
respetivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma 
maneira que a carga aplicada sobre ele. 
 
Para vão 1: 
 
M0 = 0 
3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) 
= 0 
R1 = 9.11 kN 
V = 0 
R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0 
R0 = 4,89 kN 
Para vão 2: 
 
M1 = 0 
10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 
5,00 = 0 
R2 = 2,31 kN 
V = 0 
R1 + 2,31 - 10 = 0 
R1 = 7,69 kN 
 
 
O observação 
A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2. 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Conclusão 
 
 
3. Conclusão: 
 
Visão final da viga, com momentos nos apoios e reações de apoio, a partir dos quais serão 
calculados os momentos fletores que servirão de base para o desenho do diagrama: 
 
 
 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Onde Calcular os Momentos Fletores? 
 
 
4. Onde Calcular os Momentos Fletores?: 
 
Momentos fletores: nas seções de início e de fim de carga distribuída e nas seções de carga 
concentrada. 
 
O observação 
As reações de apoio são cargas concentradas. 
 
! importante 
É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o 
resultado é sempre o mesmo!!!!!! 
 
No nosso exemplo: 
 
Os momentos fletores deverão ser calculados nas seguintes seções: 0, 1, A, 2. 
Cálculo 
Seç
ão 
0 
M0 
= 
X0 
= 0 
Seção 1 
M1 = X1 = - 8,44 kNm 
Ou, olhando as cargas à esquerda: 
 
Convenção: 
 
M1 = +4,89.4,00-3,5.4,00.2,00 = -8,44 kNm 
 
O observação 
Qualquer que seja a maneira de se realizar o cálculo, aproveitando o valor da Equação 
dos Três Momentos, calculando-se com os valores à esquerda ou à direita da seção, o 
resultado deve ser sempre o mesmo. 
 
 
Cálculo 
Seção A 
Convenção: 
 
Olhando as cargasà direita: 
 
MA = +2,31.3,00 = 6,93 kNm 
Seção 2 
M2 = X2 = 0 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Desenho dos Diagramas 
 
 
5. Desenho dos diagramas: 
 
Com os valores dos momentos fletores nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do 
diagrama. 
Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas: 
 valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de 
referência e negativos, acima desta linha. 
 linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos 
consecutivos: 
- se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e 
inclinada. 
- se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é uma 
parábola do 2° grau. A parábola do 2° grau necessita de três pontos 
para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos 
pontos da parábola são os momentos fletores nos pontos extremos. Há 
a necessidade então de um terceiro ponto. Este ponto é conseguido 
"pendurando-se" (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o 
valor qx²/8 (q: valor da carga, x: distância entre os dois pontos) a partir 
da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da 
carga sempre empurra a "barriga" da parábola). 
 
 
 
MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três 
Momentos para Dois Vãos - 
Desenho Final 
 
 
6. Desenho Final: 
 
Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto: 
 
 
O observação 
O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx
2
/8 não é necessariamente o ponto de máximo 
momento fletor.
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 16 - Tensão de Flexão 
Aplicação da Equação dos 3 Momentos para Dois e Três 
Vãos 
 
 
 
 
 
Objetivo do módulo 
Apresentar dois exemplos práticos de cálculo de momentos nos 
apoios de vigas hiperestáticas a partir da Equação dos 3 
Momentos. Primeiro exemplo: viga com três vãos e um balanço, 
carga distribuída em um vão, uma carga concentrada em outro 
vão, sem carga em um vão e carga concentrada na extremidade 
do balanço; Segundo exemplo: viga com dois vãos, carga 
distribuída em ambos os vão e uma carga concentrada em um 
dos vãos. 
 
1. Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos 3 Momentos 
para Dois e Três Vãos 
 
Cáculo dos momentos nos apois de viga contínua abaixo esquematizada 
A viga tem 
três vãos, 
portanto 
serão 
necessárias 
duas 
aplicações 
da Equação 
dos 3 
Momentos. 
 
Cálculo do momento sobre os apoios das extremidades: 
Seção 0: 
X0 = 0 
Seção 3 (olhando-se as cargas à direita da seção): 
X3 = - 6.1,50 = - 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas 
1º aplicação (vãos e ): 
 
1º aplicação: 
Vãos: 
 
 
Apoios: 
 
n-1 =0 
n =1 
n+1 =2 
 
 
2º aplicação (vãos e ): 
 
1º aplicação: 
Vãos: 
 
 
Apoios: 
 
n-1 =1 
n =2 
n+1 =3 
 
 
 
 
 
Cálculo dos fatores de carga 
vão 
 
vão 
 
vão 
 
Cálculo 
 
Cálculo 
 
 
Cálculo 
Se não há carga no vão 
 
 
O observação 
Cálculo dos fatores de carga em um determinado vão: 
 se não houver carga neste vão o fator de carga é igual a zero. 
 se houver mais de uma carga neste vão o fator de carga final é igual a soma dos 
fatores de carga das cargas atuantes. 
 
Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
Cálculo 
 
2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50.X2 = -6(7,59 + 6,29) 
16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1° equação) 
E na sequência podemos resolver a 2ª aplicação 
Cálculo 
 
3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 . -9 = - 6(5.71 + 0) 
3,50 . X1 + 15,.00 . X2 = 1,74 (2° equação) 
Resolvendo-se o sistema de duas equações a duas incógnitas, decorrente da 1° e 2° 
aplicações da Equação dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2. 
Então: 
X0 = 0 
X1 = -5,51 kNm 
X2 = 1,40 kNm 
X3 = -9,00 kNm 
 Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores 
nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. 
 
MÓDULO 16 - Tensão de Flexão 
Aplicação da Equação dos 3 Momentos para Dois e Três Vãos - 
Exemplo 
 
 
2. Exemplo: 
 
Aplicação da Equação dos 3 Momentos: 
 Cálculo dos momentos nos apoios da viga contínua abaixo 
esquematizada: 
A viga tem dois 
vãos, portanto 
será necessária 
uma aplicação da 
Equação dos 3 
Momentos. 
 
Fórmula 
1º aplicação (vãos e ): 
 
1º aplicação: 
Vãos: 
 
 
Apoios: 
 
n-1 =0 
n =1 
n+1 =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo dos fatores de carga 
Cálculo dos fatores de carga 
vão 
 
vão 
 
Cálculo 
 
Cálculo 
 
 
 
Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
Cálculo 
 
2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56) 
19,00 . X1 = -189,48 
X1 = -9,97 kNm 
Então: 
X0 = 0 
X1 = -9,97 kNm 
X2 = 0 
 Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores 
nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. 
 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Flexão 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar os diagramas de tensões de 
flexão de uma viga, definir o que é linha 
neutra, apresentar a fórmula da tensão de 
flexão. 
 
1. Flexão 
 
Para o estudo da flexão, imaginemos uma viga com seção transversal retangular. 
Viga de espuma 
 
Apliquemos no meio do vão desta viga uma força concentrada de cima para baixo. 
Viga de espuma com força concentrada 
 
A imagem acima pode ser representada da seguinte maneira: 
 
Para melhor entender esta figura, pode-se fazer três perguntas (lembrando que estamos no 
meio do vão): 
1 
 
Pergunta: 
O que acontece nas fibras superiores? 
 
Resposta: 
Fibras se aproximam (compressão) 
2 
 
Pergunta: 
O que acontece na fibra central? 
 
Resposta: 
Nada 
3 
 
Pergunta: 
O que acontece nas fibras inferiores? 
 
Resposta: 
Fibras se afastam (tração) 
 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Diagrama de Tensões Resultantes 
 
2. Diagrama de tensões resultantes 
 
Colocando-se os esforços de compressão nas fibras superiores, tração nas fibras inferiores 
e ainda nenhum esforço na fibra central, pode-se obter os seguintes gráficos (lembrando 
que estamos no meio do vão): 
 
fibra central 
 
Pergunta: 
Qual dos gráficos seria o correto? pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para 
unir a compressão das fibras superiores à tração das fibras inferiores passando por 
nenhum esforço na fibra central? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Reflita e aperte para ver a resposta 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Linha Neutra (LN) 
 
3. Linha Neutra (LN) 
 
D definição 
- Na LN, não há esforço, nem de tração, nem de compressão. 
- Para materiais homogêneos (aço, madeira, concreto (não concreto armado)), a LN 
passa no centro de gravidade (CG) da seção transversal.
 
 
O observação 
Na verdade, a Linha Neutra não é uma linha e sim um "plano neutro", pois está presente ao 
longo da viga e ao longo de toda a seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Lei de Navier (1826) 
 
 
 
4. Lei de Navier (1826) 
 
D definição 
As seções planas permanecem planas após a deformação. 
 
Análise das distâncias 
 
Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e 
consequentemente dos esforços nas fibras superiores, inferiores e na LN em alguns 
pontos da viga acima:Sobre o apoio Meio do vão 
Fibras 
superiores 
Fibras se afastam: tração 
Fibras se aproximam: 
compressão 
Linha Neutra Não há alteração Não há alteração 
Fibras 
inferiores 
Fibras se aproximam: 
compressão 
Fibras se afastam: tração 
 
Pergunta: 
Porque as condições das fibras superiores e inferiores, para o meio do vão e sobre o 
apoio são diferentes? 
 
Resposta: 
Por que o sinal do momento fletor no apoio e no meio do vão é diferente. Normalmente 
o sinal do momento fletor sobre o apoio é negativo e no meio do vão é positivo. 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Tensão de Flexão 
 
5. Tensão de Flexão 
 
D definição 
Resposta da seção transversal ao esforço externo (momento fletor). 
 
- Estudo da tensão de flexão no meio do vão de uma viga sujeita a momento fletor 
(M) positivo: 
 
O desenho acima mostra as tensões de flexão com a seguinte convenção: 
 
- tensão de flexão/compressão: positiva; 
- tensão de flexão/tração: negativa. 
Fórmula 
Geral da 
Tensão de 
flexão 
 
Onde: 
 
: tensão de flexão. 
 
M : momento fletor na seção considerada 
y : distância da LN à fibra considerada 
 
ILN 
: momento de inércia em relação à 
Linha Neutra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - 
Exemplo 
 
6. Exemplo 
 
Determinação das tensões de flexão 
Determinação das tensões de flexão nas fibras 1e 2, superior e inferior dos pontos D e B da viga abaixo: 
 
 
 Ponto D: 
Fibra superior: 
 
Pergunta : 
Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto D (meio do vão) a tensão de 
flexão será de compressão ou de tração? 
Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção. 
 
Resposta : 
Fibra 1 -  f = M . y / ILN = 30 . 100 . 12.5 / 104167 = 0,36 kN/cm² 
Fibra sup -  f = M . y / ILN = 30 . 100 . 25 / 104167 = 0,72 kN/cm² 
Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. 
O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto D (meio do vão) é de 
compressão. 
Fibra inferior: 
 
Pergunta : 
Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto D (meio do vão) a tensão de flexão 
será de compressão ou de tração?. 
Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção. 
 
Resposta : 
Fibra 2 -  f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-12,5) / 104167 = - 0,36 kN/cm² 
Fibra inf -  f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-25) / 104167 = - 0,72 kN/cm² 
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto D (meio do vão) é de tração. 
Diagrama das tensões de flexão no ponto D: 
 
 Ponto B: 
Fibra superior: 
 
Pergunta : 
Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto B (apoio) a tensão de flexão será 
de compressão ou de tração? 
Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção. 
 
Resposta : 
Fibra 1 -  f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 12,5 / 104167 = - 0,24 kN/cm² 
Fibra sup -  f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 25 / 104167 = - 0,48 kN/cm² 
Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. 
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto B (apoio) é de tração. 
Fibra inferior: 
 
Pergunta : 
Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto B (apoio) a tensão de flexão será 
de compressão ou de tração? 
Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção. 
 
Resposta : 
Fibra 2 -  f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-12,5) / 104167 = 0,24 kN/cm² 
Fibra inf -  f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-25) / 104167 = 0,48 kN/cm² 
O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto B (apoio) é de compressão. 
Diagrama das tensões de flexão no ponto B: 
 
 
 
MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e 
Verificação da Estabilidade - Verificação da 
Estabilidade 
 
 
Objetivo do módulo 
Mostrar como se faz a 
verificação da estabilidade para 
flexão em uma viga, mostrar 
onde estão as tensões máximas 
de flexão e apresentar exemplos 
de verificação da estabilidade 
para flexão. 
 
1. Verificação da Estabilidade 
 
Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é 
necessário que a seguinte inequação seja verificada: 
Fórmula 
Tensão admissível Tensão máxima . Coeficiente de segurança 
Verificação da estabilidade de uma viga 
Portanto, para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga, as 
inequações abaixo devem ser obedecidas, tanto para a seção de 
Momento fletor máximo positivo como para a seção de Momento fletor 
máximo negativo. 
Fórmula 
 
 
O observação 
A barra acima dos simbolos de tensão de flexão ( ), indica que esta 
tensão é uma tensão admissível. 
 
Na verificação da estabilidade à flexão, o que interessa são as tensões 
máximas de flexão (tração ou compressão). 
Porém, uma pergunta deve ser feita: onde estão as tensões máximas? 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - 
Tensão Máxima de Flexão 
 
2. Tensão máxima de Flexão 
 
Fórmula 
 
Imaginemos uma viga com uma determinada seção transversal. 
Esta seção transversal tem um centro de gravidade (CG). 
Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN (ILN). 
A partir da LN, define-se a distância até as fibras superior e inferior (ysup e yinf). 
 
Esta viga tem o seguinte diagrama de momentos fletores: 
 
Analisemos agora as tensões de flexão nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo 
nas fibras superior e inferior. 
 f 
 
ysup (+) + fc 
yinf (-) - ft 
 
ysup (+) - ft 
yinf (-) + fc 
Porém, a pergunta ainda persiste: onde estão as tensões máximas de flexão? 
Para descobrir onde estão estas tensões máximas, vamos analisar a fórmula da tensão de flexão: 
Fórmula 
 
A tensão máxima se consegue com os máximos valores no numerador, e o mínimo valor no denominador. 
Máximos valores no numerador: 
M: momento máximo positivo ou negativo (função do diagrama de momentos fletores). 
y: distância da LN à fibra mais afastada (ysup ou yinf). 
Mínimo valor no denominador: 
O valor do momento da inércia em relação à LN é constante, pois a seção transversal em uma determinada 
seção da viga é única. 
Diagramas das tensões de flexão 
A partir da tabela e das considerações acima, pode-se construir os diagramas das tensões de flexão nas 
seções de momento fletor máximo positivo e negativo. 
 
 
C conclusão 
Então, respondendo à pergunta, as tensões máximas de flexão estão nas seções de momento fletor 
máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior.
 
Fórmula da tensão de flexão máxima 
 
 
 
 
MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - 
Exemplo 1 
 
3. Exemplo 1 
 
Verificação da estabilidade à flexão de uma viga: 
Diagrama de momentos fletores: 
 
Seção Transversal: 
 
Onde: 
 
= 2,00 
kN/cm² 
= 1,75 
kN/cm² 
Características geométricas da seção transversal: 
Cálculo 
ILN = b . h³ / 12 = 10 . 50³ / 12 = 104167 cm
4
 
 
O observação 
A fórmula acima é valida somente para seção transversal retangular. 
 
 Flexão: 
Fórmula 
 
 Para : 
Fibras superiores: 
 
Pergunta: 
A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.