MAT24092013175724 (1)

Prévia do material em texto

1 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________ 
SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 _____________________________________ 
 Apostila 1: Sistemas Estruturais: Aplicações 
 
 
Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo 
 
 
 
 
 
 
 
Macapá, Setembro de 2013 
2 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
1. VIGAS ISOSTÁTICA 
 
1.1. Cálculo das Reações 
 
Como já vimos, as reações de apoio se opõe à tendência de 
movimento devido às cargas aplicadas, resultando um estado de equilíbrio 
estável. 
Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o 
número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de 
incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples. 
Assim, relembrando o dado na apostila 1, supondo a estrutura no 
plano xy, as condições de equilíbrio é dado pelas equações: 
 
 y 
 ∑ 
 ∑ 
 (0,0)a ∑ x 
 ∑ 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 
Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas em relação 
aos eixos x e y, respectivamente e; 
M o módulo do momento das forças em relação a um ponto 
qualquer do plano. 
 
Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também como 
condições de equilíbrio, três equações de momentos, desde que relativas a 
pontos não pertencente à mesma reta(pontos não colineares): 
 
 
 
 
3 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
 ∑ 
 Equações de momentos ∑ 
 ∑ 
 
Onde a, b e c são não colineares. 
 
1.2. Exemplos de Aplicação 
 
a) Determinação das reações de apoio: 
 
As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas equações de 
equilíbrio e como são três equações normalmente são suficientes. 
A técnica para cálculo de reações consiste em “isolar”, inicialmente, a 
estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção 
dos movimentos restringidos os esforços incógnitos(encontrar o valor) 
correspondentes. 
 
O método para determinação das reações de apoio adotado segue 
um roteiro de 04 passos: 
 
1º identificar e destacar dos sistemas os elementos estruturais que 
serão analisados. Desenhar o modelo estrutural (ME); 
2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser 
analizado; 
O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a 
retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos 
movimentos restringidos os esforços incógnitos 
correspondentes. 
3º determinar um sistema de referência (SR) para a análise(xy); 
4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE); 
 ∑ ∑ ∑ 
 
4 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
Exemplo 1: Viga isostática com carga distribuída simétrica. 
q= 1 KN/m
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Modelo Estrutural (ME)
Rv1 Rv2
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
 
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – q.L = 0 
 ∑ (Para se fazer um somatório de momentos, é necessário 
escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de 
referência adotado. Para maior facilidade é necessário conveniente que esse 
ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural onde houver 
maior número de incógnitas. No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o 
ponto A. A escolha do ponto para determinação dos momentos é um passo muito 
importante, pois dependendo do ponto escolhido, a resolução do problema pode 
ser simplificada ou muito complicada.) 
 Assim, 
 ∑ (RH1.0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2)=0 
 q.L²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L) 
 q.L/2 – RV2=0 RV2= qL/2 
5 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
Substituindo RV2 na equação ∑ 
 ∑ RV1 + qL/2 – qL =0 
 RV1 = qL/2 
 
 Respostas: 
 RV1=qL/2; 
 RV2=qL/2; 
 RH=0 
 
 Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga. 
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Modelo Estrutural (ME)
Rv1 Rv2
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
P
P= kN
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – P = 0 RV1 = P – RV2 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (P.L/2) = 0 
6 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 P.L/2 – RV2.L=0 
 Multiplicando 1/L para simplificar RV2=P/2 
 Substituindo RV2 na equação ∑ 
 ∑ RV1=P – RV2 RV1=P/2 
 
Respostas: 
 RV1= P/2; 
 RV2= P/2; 
 RH=0 
 
Exemplo 3: Viga isostática com carga distribuída e uma concentrada no 
centro da viga. 
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Modelo Estrutural (ME)
Rv1 Rv2
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
P q= 1 KN/m
P= kN
A
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – q.L - P = 0 RV1 + RV2= P + qL 
7 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0 
 P.L/2 + q.L²/2 – RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar 
 P/2 + q.L/2 – RV2 =0 
 RV2 = P/2 + qL/2 
 Substituindo RV2 na equação ∑ 
 ∑ RV1 + RV2 = P + qL 
 RV1=P/2 + qL/2 
Respostas: 
 RV1= P/2 + ql/2; 
 RV2= P/2+ qL/2; 
 RH=0 
 
Análise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores: 
1. A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero, porque não 
existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal ativa; 
2. Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente distribuída, 
as reações de apoio são iguais; 
RV1=RV2=q.L/2 
3. Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do seu 
vão, as reações de apoio também são iguais; 
RV1=RV2=P/2 
4. Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída e 
a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio são 
iguais ao somatório das reações dos dois casos anteriores. 
RV1=RV2= qL/2 + P/2 
Isso acontece devido ao princípio da superposição de efeitos. Esse princípio 
diz que, quando existir linearidade entre as forças que atuam no sistema, 
quer dizer, quando as ações de umacarga não afetam as reações da outra, 
as cargas que atuam no sistema se somam, e seus efeitos também. 
8 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
5. As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um determinado 
ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de atuação da carga. No 
caso de cargas uniformemente distribuídas de seção constante, o 
baricentro é exatamente o centro do espaço de atuação da carga.(abaixo) 
6. Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado 
maior.(abaixo) 
 
q= KN/m
=
P= q.L
q1= KN/m
q2= KN/m
P1= q1.L P2= q2.L
=
q
P= q.L/2
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
Exercícios Resolvidos: 
1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de vão submetida ao 
carregamento de carga concentrada de 60KN aplicada no seu centro. 
 
Modelo Estrutural (ME)
60 kN
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Rv1 Rv2
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
P= 60 kN
+ -
RESOLUÇÃO:
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – 60 = 0 RV1 + RV2= 60 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + 60.3 - RV2.6 = 0 
 0+0+180 - RV2.6 =0 
 6RV2=180 
 RV2=180/6 
 RV2=30 kN 
10 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
 Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60 
 ∑ RV1 + 30 = 60 
 RV1 = 30 kN 
Respostas: 
 RV1= 30 kN; 
 RV2= 30 KN; 
 RH=0 
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
Rv1=30 kN Rv2=30 kN
Rh=0
A B
P= 60 kN
 
2. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento 
submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de 
8KN/m por todo o vão. 
 
11 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
q= 8 KN/m
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Modelo Estrutural (ME)
Rv1 Rv2
Rh
A B
q= 8 KN/m
RESOLUÇÃO:
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
 
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – (8.6) = 0 RV1 + RV2= 48 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + 48.3 - RV2.6 = 0 
 0+0+144 - RV2.6 =0 
 6RV2=144 
 RV2=144/6 
 RV2= 24 kN 
 
 Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 48 
 ∑ RV1 + 24 = 48 
 RV1 = 24 kN 
Respostas: 
 RV1= 24 kN; 
12 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 RV2= 24 KN; 
 RH=0 
q= 8 KN/m
Rv1=24 kN Rv2=24 kN
Rh=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
 
3. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento 
submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de 6KN/m 
a partir do primeiro terço do vão. 
 
q= 6 KN/m
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Modelo Estrutural (ME)
Rv1 Rv2
Rh
A B
q= 6 KN/m
RESOLUÇÃO:
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
 
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
13 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 ∑ RV1 + RV2 – (6.4) = 0 RV1 + RV2= 24 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + 24.4 - RV2.6 = 0 
 0+0+96 - RV2.6 =0 
 6RV2=96 
 RV2=96/6 
 RV2= 16 kN 
 
 Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 24 
 ∑ RV1 + 16 = 24 
 RV1 = 8 kN 
Respostas: 
 RV1= 8 kN; 
 RV2= 16 KN; 
 RH=0 
q= 6 KN/m
Rv1= 8 kN Rv2= 16 kN
Rh=0
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
 
4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento 
submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo o 
vão com 6KN/m na extremidade direita. 
 
14 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
6,00 m
q= 6 kN/m
q= 6 kN/m
Rv1
Rh
A Rv2B
Modelo Estrutural (ME)
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
RESOLUÇÃO:
R= 6 X 6/2 = 18 kN
4,00 m
6,00 m
2,00 m
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
R=área do triangulo
 
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – (6.6/2) = 0 RV1 + RV2= 18 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + 18.4 - RV2.6 = 0 
 0+0+72 - RV2.6 =0 
 6RV2=72 
 RV2=72/6 
 RV2= 12 kN 
 
 Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 18 
 ∑ RV1 + 12 = 18 
 RV1 = 6 kN 
 
15 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
Respostas: 
 RV1= 6 kN; 
 RV2= 12 KN; 
 RH=0 
Rv1= 6 kN
Rh
A Rv2= 12 kNB
R= 6 X 6/2 = 18 kN
4,00 m
6,00 m
2,00 m
Diagrama com as Cargas Ativas e Reativas
 
5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento 
submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no sentido 
horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda. 
 
Modelo Estrutural (ME)
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Rv1 Rv2
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
+ -
RESOLUÇÃO:
+
M= 30kN.m
+
M= 30kN.m
 
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
16 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 = 0 RV1 = - RV2 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + 30 - RV2.6 = 0 
 0 + 0 + 30 - RV2.6 =0 
 6RV2=30 
 RV2=30/6 
 RV2= 5 kN 
 
 Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2 
 ∑ RV1 = -5 
 RV1 = - 5 kN 
 
Respostas: 
 RV1= - 5 kN; 
 RV2= 5 KN; 
 RH=0 
Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação 
é o oposto ao inicialmente arbitrado. 
Uma solução mais refinada seria obtida observando-se que, para 
equilibrar o momento aplicado na viga, as reações verticais teriam que ser 
equivalentes a um binário, de mesma intensidade e sentido contrário, Fig. 
abaixo. 
17 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
5 kN 5 kN
Rh=0
A B
+
M= 30kN.m
Diagrama de Cargas Ativas e Reativas
 
6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de 
comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua 
extremidade. 
P= 20 kN
 
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Rv1
Rh
+
Sistema de Referência (SR)
A B
20 kN
+ -
RESOLUÇÃO:
Ma
 
18 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 – 20 = 0 RV1 = 20 KN 
 ∑ (RH1 . 0) + (RV1.0) + Ma+ 20.4 = 0 
 0 + 0 + Ma + 80 =0 
 Ma = - 80 kNm 
Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste 
momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário. 
 
Diagrama com Cargas Ativas e Reativas
Rv1=20kN
Rh=0
A B
20 kNMa=80kNm
 
7. Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de vão, 
submetida a uma carga distribuída de 8 kN/m, com um balanço de 2m na 
extremidade esquerda submetida a um momento externo(carga momento) 
de 20 kNm no sentido anti-horário localizado à cinco metros do apoio 
esquerdo e uma carga concentrada de 10 kN na extremidade. 
 
 
19 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
Modelo Estrutural (ME)
q= 8 KN/m
M=20kNm
10 kN
+
 
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
RESOLUÇÃO:
M=20kNm
10 kN
+
Rv1
Rh
A Rv2B
q= 8 KN/m
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
R=8.4=32kN
 
 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 
 ∑ RV1 + RV2 – 32 – 10 = 0 RV1 + RV2 = 42 
 ∑ (RH . 0) + (RV1.0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0 
 0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =0 
 6RV2=100 - 64 
 RV2=36/6 
20 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 RV2= 6 kN 
 Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 42 
 ∑ RV1 + 6 = 42 
 RV1 = 36 kN 
Diagrama de carga ativa e reativa
M=20kNm
10 kN
+
Rv1=36
Rh=0
A Rv2=6B
q= 8 KN/m
 
Respostas: 
 RV1= 36 kN; 
 RV2= 6 KN; 
 RH=0 
8. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo: 
3 kN
4 KN/m
 
 
21 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
3 kN
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
RESOLUÇÃO:
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
+ -
Rv1A Rv2B
Rh
R=4.4=16 KN
 
 Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ 3 - RH=0 RH= 3 KN 
 ∑ RV1 – (4. 4,0)+ RV2 = 0 RV1+ RV2 = 16 KN 
 ∑ + (RV1 . 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0 
 9RV1 + 4,5 – 112 +0 + 0=0 
 9RV1=107,5 RV1=11,94 KN 
 Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 16 
 ∑ 11,94 + RV2 = 16 
 RV2 = 4,06 kN 
 
 Respostas: 
 RV1= 11,94 kN; 
 RV2= 4,06 KN; 
 RH=3 KN 
22 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
9. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo: 
 
 
5 kN 10 kN 5 kN
 
5 kN 10 kN 5 kN
Diagrama de Corpo Livre (DCL)
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
+ -
Rv2B
Rh
Rv1A
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 ∑ RH=0 RH= 0 
 ∑ RV1 – 5 – 10 – 5 + RV2 = 0 RV1+ RV2 = 20 KN 
 ∑ + (RV1 . 16) - (5.12) - (10.8) –(5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0 
23 
 
Sistemas Estruturais/Apost. 01 – Prof. Eng.º Civil e de Seg. do Trabalho Ederaldo Azevedo 
 16RV1 - 60 – 80 - 20 +0 + 0=0 
 16RV1=160 RV1=10 KN 
 Substituindo RV1 na equação RV1 + RV2= 20 
 ∑ 10 + RV2 = 20 
 RV2 = 10 kN 
Respostas: 
 RV1= 10 kN; 
 RV2= 10 KN; 
 RH= 0 KN 
 
 
REFERÊNCIAS: 
ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas isostáticas. São Paulo: 
Oficina de Textos, 2009. 
MACHADO JÚNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à isostática. São Carlos: 
EESC/USP, 1999, 2007. 
SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: estruturas 
isostáticas. 5.ed. Rio de Janeiro: Globo, 1981. V. 1. 
VIERO, Edison Humberto. Isostática: passo a passo. 2. Ed. Caxias do 
Sul, RS: Educs, 2008.